人教版九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 期末章节复习卷（含答案）

第二十一章 《一元二次方程》期末章节复习卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．关于x的一元二次方程的两个根是 ，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．2
2．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．18 B． C．20 D．22
4．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．0
6．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
7．关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
9．已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．若是方程的一个根，则
12．方程的解是 ．
13．若，则 ．
14．已知是方程的两个实数根，则的值为 ．
15．若是一元二次方程的解，则代数式的值为 ．
16．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是给定矩形的“倍”矩形．现有一个长为3，宽为2的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为 ．
17．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ．
18．如图，在边长为4的正方形中E是对角线上一动点，连接，将正方形沿所在直线折叠，点D的对应点为（不与正方形的顶点重合），连接，当平行于的边时，的长为 ．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）解方程：
(1)； (2)．
20．（本题6分）已知关于的一元二次方程．
(1)若此方程有两个相等的实数根，求实数的值；
(2)已知是此方程的一个根，求方程的另一个根及的值．
21．（本题8分）软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作品，是长，宽的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图，左右边衬的宽度是上下边衬的倍，面积变成原作品的倍，求上下边衬的宽度是多少？
22．（本题8分）如下图所示，一根木棍垂直平分柱子，，．一只老鼠由柱子底端点以的速度向顶端点爬行；同时，另一只老鼠由点以的速度沿木棍爬行．当老鼠在线段上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点组成的三角形的面积为？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由．
23．（本题8分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式．
(1)第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
(2)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？
24．（本题8分）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”．
(1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）；
(2)点是关于的一元二次方程的“两根点”．
①若点在直线上，求的值；
②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）．
25．（本题10分）【观察思考】如图，中秋节期间，政府广场上用盆景（用☆表示）和花卉（用口表示）组成似菱形的图案．
【规律发现】请用含的式子填空：
（1）第6个图案中盆景的盆数为______；
（2）第个图案中花卉的盆数可表示为______；
【规律应用】解决下列问题：
（3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆．
26．（本题10分）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为．
(1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由；
(2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A
解：∵关于x的一元二次方程的两个根是 ，
∴，，
∴，
故选：A．
2．B
解：将方程化成一般式．
由方程有实数根，得：
解得，
故选：B．
3．A
解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
∴
；
则的值为18．
故选：A．
4．D
解：A．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．当时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；
D．该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；
故选：D．
5．A
解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故选：A．
6．B
解：∵一元二次方程有实根，
∴且，
解得且，
故选：B．
7．D
解：∵一元二次方程有实根，
∴，
解得，
故选：D．
8．A
解：根据题意得，，
解得，
又，
∴，
∴且，
故选：A．
9．A
解：∵关于的方程有两个相等实数根，
∴这个方程根的判别式为，
∴，
∴或，即或，
∵点的坐标为，
∴或，
∴点在直线或直线上，
10．D
解：∵，，
∴，，
∴
，
∵a，m，n是实数，
∴，
∴，即①正确；
若m，n都为整数，其可能情况有以下两种：
当m，n都为奇数时，则必为偶数，
又∵，
∴，
∵a为奇数，
∴必为偶数，这与b为奇数矛盾；
当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数，
又∵，
∴，
∵a为奇数，
∴必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数．即②正确；
∵，，
∴，，
∴关于x的一元二次方程的两根为，n．即③正确．
故选：D．
二．填空题
11．
解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：2024
12．，
解：，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
故答案为：，．
13．
解：依题意，
∴或，且
∴
故答案为：．
14．
解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
解：∵是一元二次方程的解
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
16．
解：∵现有一个长为3，宽为2的矩形，
∴它的周长，面积，
∴它的“k倍”矩形的面积，周长，
设它的“k倍”矩形的长为x，则宽为，
由题意得：，
整理得：，
∴，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，
∴即：，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
17．18
解： ，
，
解得，
三角形的两边长分别为4和6，
第三边的长，
即第三边的长，
第三边的长是一元二次方程的一个根，
第三边为8，
则三角形的周长为，
故答案为：18．
18．或4
解：根据题意，得
当时，延长交于点M，
∵边长为4的正方形，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，，
∵正方形沿所在直线折叠，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，
∵边长为4的正方形，
∴，，
∵正方形沿所在直线折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴；
故答案为：或4．
三．解答题
19．（1）解：
，
，
，．
（2）解：
，
，
， ．
20．（1）解：∵，
∴，
∴
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
（2）解：设方程的另一个根为，
由题意得：，
∴，
即方程的另一个根为，
则，
∴，
解得．
21．解：设上下边衬的宽度是，则左右边衬的宽度是，
依题意得：
（舍）
答：此作品上下边衬的宽度是．
22．解：存在．
垂直平分，，
．
设爬行时间为．
当老鼠在上运动时，，，．
由，得．
整理，得，
解得，．
当时，；
当时，，
和均符合题意．
故答案为：当爬行或时，两只老鼠与点组成的的面积为．
23．（1）解：由题意可得：，
∵公司希望该产品第一年的利润为20万元，
∴，
解得：，
∴若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元；
（2）解：∵受产能限制，销售量无法超过12万件，
∴，
∴，
∵为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，
∴，
由题意可得：，
∵该公司第二年的利润W2为90万元时，
∴，
整理可得：，
解得：，，
故该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元．
24．（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴方程的“两根点”的坐标为；
（2）解：①∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴；
②由①可得，
∴点在直线上，
如图所示，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于，
，
在中，当时，，即；当时，，解得，即，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴．
25．解：（1）由所给图案可知，
第1个图案中盆景的盆数为：；
第2个图案中盆景的盆数为：；
第3个图案中盆景的盆数为：；…，
∴第个图案中盆景的盆数为盆．
∴第6个图案中盆景的盆数为盆
故答案为：7；
（2）∵第1个图案中花卉的盆数可表示为，
第2个图案中花卉的盆数可表示为，
第3个图案中花卉的盆数可表示为，
第4个图案中花卉的盆数可表示为，…，
所以第个图案中花卉的盆数可表示为盆．
故答案为：；
（3）由题意得，，
解得或（不合题意，舍去），
则，，
答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为盆，盆；
26．（1）解：可以平分的周长说法错误．理由如下：
∵，，，
∴；
∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，
∴，，，，
根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，
根据题意，平分的周长，
∴，
∴，
解得，
大于了3秒．
故平分的周长的说法是错误的．
（2）解：平分的面积说法正确．理由如下：
根据题意，得，，
若平分的面积，得，
解得（舍去）．
故当时，平分的面积．