2025-2026学年度北师大版九年级数学上学期 期末测试 提升练习试卷（含答案）

北师大版2025-2026学年九年级数学上学期单元测试提升练习试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．
2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数21500000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（　　）
A．4 B．6 C．9 D．36
5．方程经过配方后，其结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，点B的坐标是，则AC的长是（　　）
A．5 B．7 C．12 D．13
7．若点A(-3，a)，B(-1，b)，C(2，c)都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接为（　　）
A．b8．如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，草坪的面积为，若设道路的宽为，根据题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共20分，每空2分,答案写在答题卡上）
9．若 ，则 =　 　．
10．“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是　 　．
11．已知方程的两个根分别为，则的值为　 　．
12．某种LED灯能提供4000（流明）的光通量．把它安装在某房间时，房间的光照强度（单位：勒克斯）与房间面积（单位：平方米）满足关系式．若要求房间的光照强度不低于200勒克斯，则房间的最大面积为　 　平方米．
13．如图，在中，对角线与相交于点E，若，则线段的长为　 　．
14．已知a和b是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　．
15．已知关于x的不等式组有且仅有个整数解，关于的分式方程有增根，则不等式组的整数解是不等式的解的概率为　 　．
16． 如果关于x，y的二元一次方程组 的解满足那么a的取值范围是　 　.
17．如图，正方形的边长为4，是等边三角形，点F在边的上方，点E在射线上运动．连接，取的中点M，则线段的长度的最小值为　 　．
18．如图，在菱形中，，，点E为边上一个动点，延长到点F，使，且、相交于点G．当点E从点A开始向右运动到点B时，则点G运动路径的长度为 　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
19．(8分)（1）计算：；
（2）解方程：．
20．(10分)“春节一中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录.张老师在班会上，提议同学从“A.贴春联”“B.吃饺子”“C.挂灯笼”“D.拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解.如图，班长做了4张背面完全相同的卡片.将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上.
（1）佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B.吃饺子”的概率是　 　；
（2）若欢欢先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，乐乐再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率.
21．(10分)为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，人的眼睛、标杆的顶端和大树顶端在一条直线上，标杆与大树的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，、、三点共线，，求大树的高度．
22．(10分)如图，在 中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，．
（1）求的长；
（2）若．
①证明四边形是菱形；
②若，求四边形的周长．
23．(10分)
（1） 将两张长为 8 ， 宽为 4 的矩形纸片如图 1 叠放．
①判断四边形 的形状，并说明理由．
②求四边形 的面积．
（2） 如图 2， 在矩形 和矩形 中， ， 求四边形 的面积．
四、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．(10分)快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元．
（1）甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元
（2）已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案 哪种方案能使每小时的分拣量最大
25．(10分)已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0).
（1）(待定系数法)若y与x成正比例函数关系，且该函数图象经过点(2，3)，则该函数的表达式为　 　；
（2）若y与x满足如图所示的函数图象.
①(待定系数法)该函数的表达式为 ▲ ；
题后反思，小明说，在如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2.小明这种确定k的方法有道理吗 说说你的认识，并用这种方法求一次函数表达式.
②(平移求表达式)将该函数图象向下平移3个单位长度，得到的新函数表达式为 ▲ ；
③该函数图象经过一次平移后得到的新函数图象的表达式为y=2x+5，则平移方式是 ▲ ；
④(根据图象位置关系求表达式)与该函数图象平行且过点(-1，-5)的一次函数的表达式为 ▲ ；与该函数图象垂直且过点(4，1)的一次函数的表达式为 ▲ .
26．(10分)在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使点与点重合，展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将BC边沿CE翻折得到GC；
第3步：延长EG交AD于点，则点为AD边的三等分点．
证明如下：连接正方形ABCD沿CE折叠， ， 又， ① ..设， 是AB的中点，则， 在Rt中，可列方程：②， 解得：，即是AD边的三等分点．
“破浪”小组进行如下操作：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕AC与折痕DE交于点；
第3步：过点折叠正方形纸片ABCD，使折痕．
（1）【过程思考】
“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ▲ ；
②处所列方程是 ▲ ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；
（3）【拓展提升】
①如图3，将矩形纸片ABCD对折，使点A和点重合，展开铺平，折痕为EF，将沿CE翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若，求的值。
②在边长为6的正方形ABCD中，点是射线BA上一动点，连接CE，将沿CE翻折得到，直线EG与直线AD交于点．若，请直接写出BE的长．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】
10．【答案】
11．【答案】10
12．【答案】20
13．【答案】3
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】a≤-3
17．【答案】
18．【答案】
19．【答案】解：（1）
；
（2）
去括号得，，
化为一般式得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，．
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意，列表如下：
　 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
共有16种等可能得结果，其中两个摸到的习俗相同的结果有：AA、BB、CC、DD，共4种，
∴他们两人摸到的习俗相同的概率==.
21．【答案】【解答】解：如图所示，过点作于点，交于点，
依题意，、、三点共线，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴大树的高度为．
22．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，∴，∵点是的中点，
∴，又，∴，∴，又，∴；
（2）解：①∵，，∴四边形是平行四边形，
∵，，∴，即，∴四边形是菱形；
②∵四边形是平行四边形，，
∴，，，∵，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴是等边三角形，
∴，即，∴四边形的周长为．
23．【答案】（1）解：①四边形 AGCH 是菱形， 理由如下：
四边形 ABCD 和四边形 AECF 是矩形，
四边形 AHCG 是平行四边形．
，
∴平行四边形 是菱形．
②由①可知， GC=AG，
设 则
在 Rt 中， 由勾股定理得：
解得：x=5，
，
．
（2）解：设 CG=a， 则
四边形 ABCD 和四边形 AECF 是矩形，
四边形 AHCG 是平行四边形．
，
，
即 解得 ：AG=2a．
在 Rt 中， 由勾股定理得
解得 a=3 或 (不合题意，舍去)，
，
。
24．【答案】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，
依题意，得，
解得，
答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元．
（2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台．
依题意，得，
解得．
故整数可以为和，可以为和，
故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台；
方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台．
设台机器人每小时的分拣量为，则．
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，此时，
∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大．
25．【答案】（1）
（2）解：①y=2x+1；
②y=2x-2；
③向左平移2个单位长度；
26．【答案】（1）HL；
（2）点是AB边的三等分点，证明如下：
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∵ABCD是正方形，
，
，
，
，
，
，
，即，
点是AB边的三等分点．
（3）①
设CD=a
则，根据折叠可知，则
，
．
四边形MDCN是矩形，
，相似比为
设，则
在中，由勾股定理得
（舍），
②当点在线段AD上时，如图所示，
则，
同【探究操作】设，则
在R中，由勾股定理得，
解得
，
当点在AD的延长线上时，连接HC，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为6，
．
由折叠的性质得，
又，
，
．
设，
．
在R，由勾股定理，可知，
，解得．
综上所述，BE的长为3或12．
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