江西创智协作体2026年元月高三联合调研考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 江西创智协作体2026年元月高三联合调研考试数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 76.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-17 12:00:57 | ||
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文档简介
江西创智协作体2026年元月高三联合调研考试
数 学 试 卷
本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ，，则
A.
B.
C.
D.
2.在复平面内，复数 对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 ， 为单位向量，且 ，则向量 ， 的夹角为
A. B.
C. D.
4.某科技公司为了让机器人走进千家万户，不断加大研发资金投入.该公司2020年全年投入研发资金3000万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是（参考数据：，）
A.2025年 B.2026年 C.2027年 D.2028年
5.已知正三棱柱 的各条棱长均为1，D是侧棱 的中点，则四棱锥 的体积是
A. B.
C. D.
6. 某投资公司2020－2024年的投资与收益情况如下表所示：（单位：千万元）
投资 2.3 2.5 3.9 5.4 5.9
收益 0.3 1.4 1.9 2.6 3.8
根据表中数据利用最小二乘法，可得回归直线方程为，由此估计如果2025年该公司的投资为8千万元时，它的收益为
A.5.1千万元 B.5.2千万元 C.5.3千万元 D.5.4千万元
7. 过双曲线的右焦点作其渐近线的垂线，垂足在第一象限，且与双曲线的右支交于点，为的中点，则双曲线的离心率为
A. B.
C.2 D.3
8. 已知函数，其图象过点，，且。则的最小正周期的最大值为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 过点作圆的两条切线、，切点为、。则
A.
B. 外接圆的面积是
C. 直线的方程为
D. 圆心到直线的距离是
10. 已知函数，则
A. 是偶函数
B. 是周期函数
C. 的值域是
D. 曲线在处的切线方程是
11. 设数列前项的和为，且，则
A.
B. 若各项均为正数，则是等差数列
C. 不可能是等比数列
D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设是定义在上的偶函数，且对任意，恒有，当时，，则______。
13. 已知为等比数列，对于任意正整数，，则。
14. 如图，表格中，，，，，是，，，，，的一个排列，且满足，则满足条件的方格表共有张。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.（本题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，是的中点。
（1） 求证：平面平面；
（2） 求二面角的正弦值。
16.（本题满分15分）
已知函数。
（1） 判断函数的单调性，并求出的极值；
（2） 若曲线有两条过坐标原点的切线，求的取值范围。
17.（本题满分15分）
设锐角的内角，，所对边分别为，，，且。
（1） 若，的面积为，求的周长；
（2） 求的取值范围。
18.（本题满分17分）
在正三角形 的顶点上有一只机器蛙每隔一分钟跳一次（跳动的时间忽略不计），每次跳动，原地跳动的概率为 ，跳向另外两点的概率均为 。假设开始时，机器蛙在正三角形的顶点 处做第一次跳动。
（1）求经过2次跳动后，机器蛙在顶点 处的概率；
（2）求经过 次跳动后机器蛙在顶点 处的概率；
（3）记由前 次跳动导致机器蛙在顶点 处停留的总时间为随机变量 （分钟），求 。
19.（本题满分17分）
在平面直角坐标系 中，如果 ，，则 的面积 。
已知椭圆 的离心率为 ，左右顶点分别为 ，。
为椭圆上异于 ， 的任意一点，过点 作 的垂线 ，过点 作 的垂线 ，直线 与 交于点 。
（1）求椭圆 的方程；
（2）求点 的轨迹方程；
（3）求 的最大值。
江西创智协作体2026年元月高三联合调研考试·数学
参考答案及评分细则
1.C【解析】. 故选C.
2.A【解析】因为，所以对应的点位于第一象限. 故选A.
3.B【解析】设向量，的夹角为，由，得，化简得：，所以. 故选B.
4.D【解析】由题可知，设该公司全年投入的研发资金第年后超过6000万元，则，，故该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是2028年. 故选D.
5.C【解析】由题设可知到面的距离，则. 故选C.
6.B【解析】，，代入回归直线方程，，解得，所以回归直线方程为，当时，收益为5.2千万元，故选B.
7.A【解析】设双曲线的半焦距为，，，因为为的中点，所以过作于，则，，设，因此，解得，，由点在双曲线上，得，即，所以. 故选A.
8.A【解析】因为函数的图象过点，，且，所以，，两式相减，化简得，，即，要使的最小正周期取最大值，应该取最小且，当时，取最小值，此时，又，所以无答案，舍去. 当时，，此时，又，所以，所以的最小正周期的最大值为. 故选A.
9.AC【解析】由题意得圆心，半径，故，，所以A正确；因为是外接圆的直径，其面积为，所以B错误；因为点，，，均在以为直径的圆上，其圆方程为，化简得：，两圆相减得方程：，所以C正确；由点到直线距离公式得，所以D不正确. 故选AC.
10.ACD【解析】由题可知的定义域为. 因为，故A正确；因为当时，，所以在上单调递增，所以不可能是周期函数，故B不正确；
因为当时，，所以在上单调减，所以函数的值域为；
所以C正确；
因为，，所以在处的切线方程是，故D正确. 故选ACD.
11.ABD【解析】对于A，由得，所以，A正确；
对于B，因为，所以，于是
，即，整理得，于是
. 因为，所以，即. 所以是等差数列，B正确；
对于C，由于，数列可能满足，即是首项为，公比为的等比数列，所以C不正确；
对于D，由及可知，. 故D正确. 故选ABD.
12. 【解析】由题意得：.
13.2【解析】设公比为，则，代入，所以得. 所以.
14.8【解析】因为，所以，，为，或，；所以，即，同理，所以，，为，；而，，，互不相同，故，为，；而，为，. 所以满足条件的方格表共有张.
15. 证明：（1） 因为是正三角形，是的中点，所以，（2分）
因为侧面底面，，侧面底面，所以侧面，
平面，所以，所以平面，（5分）
又因为平面，所以平面平面. （6分）
（2） 如图以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为，则，，，. ，. （8分）
易得，底面的法向量，（9分）
设平面的法向量，则，
令，得. （11分）
设二面角的大小为，则，（12分）
所以二面角的正弦值为. （13分）
16. 解：（1） 函数的定义域为，
.
令，解得. （2分）
，的变化情况如下表所示.
单调减 单调增
所以，在区间上单调减，在区间上单调增. （5分）
当时，有极小值，无极大值. （7分）
（2）由（1）得. 设切点坐标为，
所以切线的斜率，
所以切线方程为. （11分）
又因为切线过原点，所以，
整理得：，（13分）
因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，
所以，解得或. （15分）
17. 解：（1）由，得，由为锐角，所以. （3分）
由余弦定理得及三角形面积得：，，
所以，（6分）
所以，即的周长为. （7分）
（2）记 由（1）知.
，其中，（10分）
此时 （13分）
.
综上，的取值范围是. （15分）
18. 解：（1）记第次跳动后机器蛙在，，处分别为事件，，，由对称性可知，且，.
则
. （4分）
（2）由题意得：
. （7分）
所以，
所以是以为公比，首项为的等比数列，
所以，即. （10分）
（3）由（2）可知. （12分）
所以
…………………………………………………………………………（17分）
19.解：（1）由题可得：，，所以 ，
，
所以椭圆的方程为． …………………………………………………………………………（4分）
（2）因为在椭圆上，所以 ． ……………………………………………………（6分）
因为 ，，所以 ．
设，则有
，
化简得的轨迹方程为：
． …………………………………………………………………………（9分）
（3）由椭圆的对称性，不妨设 ，，．
因为，，，四点在以为直径的圆上，且的中垂线为轴，故圆心为与轴的交点，
从而，即，所以，，
得．，
所以，
． …………………………………………………………（13分）
令 ，
则 ，解得 ，
当 时，，
所以 ． ……………………………………………………（17分）
得，
所以当时，
，即………………6分
因为………………7分
所以………………8分
当且仅当时取等号，
又因为，由此可解得或（舍）
代入，可得，即（满足）
所以当时，面积的最大值为. ………………10分
（3）由，所以
即
即………………12分
所以，………………13分
所以或
因为直线不经过点，所以………………15分
所以直线为
直线恒过定点.………………17分
数 学 试 卷
本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ，，则
A.
B.
C.
D.
2.在复平面内，复数 对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 ， 为单位向量，且 ，则向量 ， 的夹角为
A. B.
C. D.
4.某科技公司为了让机器人走进千家万户，不断加大研发资金投入.该公司2020年全年投入研发资金3000万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是（参考数据：，）
A.2025年 B.2026年 C.2027年 D.2028年
5.已知正三棱柱 的各条棱长均为1，D是侧棱 的中点，则四棱锥 的体积是
A. B.
C. D.
6. 某投资公司2020－2024年的投资与收益情况如下表所示：（单位：千万元）
投资 2.3 2.5 3.9 5.4 5.9
收益 0.3 1.4 1.9 2.6 3.8
根据表中数据利用最小二乘法，可得回归直线方程为，由此估计如果2025年该公司的投资为8千万元时，它的收益为
A.5.1千万元 B.5.2千万元 C.5.3千万元 D.5.4千万元
7. 过双曲线的右焦点作其渐近线的垂线，垂足在第一象限，且与双曲线的右支交于点，为的中点，则双曲线的离心率为
A. B.
C.2 D.3
8. 已知函数，其图象过点，，且。则的最小正周期的最大值为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 过点作圆的两条切线、，切点为、。则
A.
B. 外接圆的面积是
C. 直线的方程为
D. 圆心到直线的距离是
10. 已知函数，则
A. 是偶函数
B. 是周期函数
C. 的值域是
D. 曲线在处的切线方程是
11. 设数列前项的和为，且，则
A.
B. 若各项均为正数，则是等差数列
C. 不可能是等比数列
D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设是定义在上的偶函数，且对任意，恒有，当时，，则______。
13. 已知为等比数列，对于任意正整数，，则。
14. 如图，表格中，，，，，是，，，，，的一个排列，且满足，则满足条件的方格表共有张。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.（本题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，是的中点。
（1） 求证：平面平面；
（2） 求二面角的正弦值。
16.（本题满分15分）
已知函数。
（1） 判断函数的单调性，并求出的极值；
（2） 若曲线有两条过坐标原点的切线，求的取值范围。
17.（本题满分15分）
设锐角的内角，，所对边分别为，，，且。
（1） 若，的面积为，求的周长；
（2） 求的取值范围。
18.（本题满分17分）
在正三角形 的顶点上有一只机器蛙每隔一分钟跳一次（跳动的时间忽略不计），每次跳动，原地跳动的概率为 ，跳向另外两点的概率均为 。假设开始时，机器蛙在正三角形的顶点 处做第一次跳动。
（1）求经过2次跳动后，机器蛙在顶点 处的概率；
（2）求经过 次跳动后机器蛙在顶点 处的概率；
（3）记由前 次跳动导致机器蛙在顶点 处停留的总时间为随机变量 （分钟），求 。
19.（本题满分17分）
在平面直角坐标系 中，如果 ，，则 的面积 。
已知椭圆 的离心率为 ，左右顶点分别为 ，。
为椭圆上异于 ， 的任意一点，过点 作 的垂线 ，过点 作 的垂线 ，直线 与 交于点 。
（1）求椭圆 的方程；
（2）求点 的轨迹方程；
（3）求 的最大值。
江西创智协作体2026年元月高三联合调研考试·数学
参考答案及评分细则
1.C【解析】. 故选C.
2.A【解析】因为，所以对应的点位于第一象限. 故选A.
3.B【解析】设向量，的夹角为，由，得，化简得：，所以. 故选B.
4.D【解析】由题可知，设该公司全年投入的研发资金第年后超过6000万元，则，，故该公司全年投入的研发资金超过6000万元的第一年是2028年. 故选D.
5.C【解析】由题设可知到面的距离，则. 故选C.
6.B【解析】，，代入回归直线方程，，解得，所以回归直线方程为，当时，收益为5.2千万元，故选B.
7.A【解析】设双曲线的半焦距为，，，因为为的中点，所以过作于，则，，设，因此，解得，，由点在双曲线上，得，即，所以. 故选A.
8.A【解析】因为函数的图象过点，，且，所以，，两式相减，化简得，，即，要使的最小正周期取最大值，应该取最小且，当时，取最小值，此时，又，所以无答案，舍去. 当时，，此时，又，所以，所以的最小正周期的最大值为. 故选A.
9.AC【解析】由题意得圆心，半径，故，，所以A正确；因为是外接圆的直径，其面积为，所以B错误；因为点，，，均在以为直径的圆上，其圆方程为，化简得：，两圆相减得方程：，所以C正确；由点到直线距离公式得，所以D不正确. 故选AC.
10.ACD【解析】由题可知的定义域为. 因为，故A正确；因为当时，，所以在上单调递增，所以不可能是周期函数，故B不正确；
因为当时，，所以在上单调减，所以函数的值域为；
所以C正确；
因为，，所以在处的切线方程是，故D正确. 故选ACD.
11.ABD【解析】对于A，由得，所以，A正确；
对于B，因为，所以，于是
，即，整理得，于是
. 因为，所以，即. 所以是等差数列，B正确；
对于C，由于，数列可能满足，即是首项为，公比为的等比数列，所以C不正确；
对于D，由及可知，. 故D正确. 故选ABD.
12. 【解析】由题意得：.
13.2【解析】设公比为，则，代入，所以得. 所以.
14.8【解析】因为，所以，，为，或，；所以，即，同理，所以，，为，；而，，，互不相同，故，为，；而，为，. 所以满足条件的方格表共有张.
15. 证明：（1） 因为是正三角形，是的中点，所以，（2分）
因为侧面底面，，侧面底面，所以侧面，
平面，所以，所以平面，（5分）
又因为平面，所以平面平面. （6分）
（2） 如图以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为，则，，，. ，. （8分）
易得，底面的法向量，（9分）
设平面的法向量，则，
令，得. （11分）
设二面角的大小为，则，（12分）
所以二面角的正弦值为. （13分）
16. 解：（1） 函数的定义域为，
.
令，解得. （2分）
，的变化情况如下表所示.
单调减 单调增
所以，在区间上单调减，在区间上单调增. （5分）
当时，有极小值，无极大值. （7分）
（2）由（1）得. 设切点坐标为，
所以切线的斜率，
所以切线方程为. （11分）
又因为切线过原点，所以，
整理得：，（13分）
因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，
所以，解得或. （15分）
17. 解：（1）由，得，由为锐角，所以. （3分）
由余弦定理得及三角形面积得：，，
所以，（6分）
所以，即的周长为. （7分）
（2）记 由（1）知.
，其中，（10分）
此时 （13分）
.
综上，的取值范围是. （15分）
18. 解：（1）记第次跳动后机器蛙在，，处分别为事件，，，由对称性可知，且，.
则
. （4分）
（2）由题意得：
. （7分）
所以，
所以是以为公比，首项为的等比数列，
所以，即. （10分）
（3）由（2）可知. （12分）
所以
…………………………………………………………………………（17分）
19.解：（1）由题可得：，，所以 ，
，
所以椭圆的方程为． …………………………………………………………………………（4分）
（2）因为在椭圆上，所以 ． ……………………………………………………（6分）
因为 ，，所以 ．
设，则有
，
化简得的轨迹方程为：
． …………………………………………………………………………（9分）
（3）由椭圆的对称性，不妨设 ，，．
因为，，，四点在以为直径的圆上，且的中垂线为轴，故圆心为与轴的交点，
从而，即，所以，，
得．，
所以，
． …………………………………………………………（13分）
令 ，
则 ，解得 ，
当 时，，
所以 ． ……………………………………………………（17分）
得，
所以当时，
，即………………6分
因为………………7分
所以………………8分
当且仅当时取等号，
又因为，由此可解得或（舍）
代入，可得，即（满足）
所以当时，面积的最大值为. ………………10分
（3）由，所以
即
即………………12分
所以，………………13分
所以或
因为直线不经过点，所以………………15分
所以直线为
直线恒过定点.………………17分
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