湖北省沙市中学2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷（含答案）

沙市中学2026届高三阶段性测试（一）
数 学2026.1
命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 试卷满分：150分 考试时间：120分钟
所有答案请填涂在答题卡上，答在本试卷上无效！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设，复平面内表示复数的点在直线上，则
A. B.
C. D.
2. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
3. “”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去。显然公共汽车的速度比自行车快，但乘公共汽车有一个等候时间（候车时间假设是固定不变的）。在任何情况下，他总是选择花时间最少的最佳方案。下表列出他到达甲，乙，丙三地采用最佳方案所需的时间。则他离住地8千米的地方，需要的时间为
目的地 目的地离住地的距离 最佳方案所需时间
甲地 2千米 12分钟
乙地 4千米 18分钟
丙地 6千米 22分钟
A.24分钟 B.26分钟 C.28分钟 D.30分钟
5. 已知向量在向量上的投影向量为，，则
A. B.
C. D.3
6. 已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，。若的前5项和与的前4项和都等于，则
A.30 B.32 C.42 D.46
7. 已知抛物线的焦点为，点是上的动点，关于轴对称的点为，点，且周长的最小值为，则当直线的倾斜角为时，等于
A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4
8. 单位圆上有个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为
A.42　　　　 B.49　　　　 C.56　　　　 D.64
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. 两组数据，，，和，，，，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则
A. ，，，的平均数为
B. ，，，的方差为
C. 若，，，，则
D. 若，，，，则
10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，，直线交双曲线于另一点，连接，，，则
A. 　　　　　　　 B.
C. 　　　 D.
11. 在实践课上，小明使用块全等的三角形薄板（不计厚度），仅通过拼接得到一个三棱柱，则
A. 所用薄板的形状是等腰三角形
B. 所用薄板的形状是直角三角形
C. 所得三棱柱的侧棱与底面所成角的正切值为
D. 所得三棱柱的某个侧面与底面垂直
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为______。
13. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为______.
14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤。
15.（13分）
已知函数的部分图象如图所示。
（1）求的解析式；
（2）把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合。
16.（15分）
某地举行足球赛，共有16支球队参加。赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下。现16支球队分为，，，四组，每组4支球队。已知甲、乙、丙、丁4支球队分在组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，。假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变。
（1）求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率；
（2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对，，组每支球队的胜率均为，乙队对，，组每支球队的胜率均为。求甲队夺冠的概率。
17.（15分）
如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心．
（1）证明：平面平面；
（2）已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面．，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且．求满足条件的点轨迹的长度．
18.（17分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明：函数有3个零点；
（3）当时，对任意的，满足．
试证明：．
19.（17分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2），是椭圆上异于点的两动点，直线、的斜率互为相反数．
（i）求证：直线的斜率为定值；
（ii）求外接圆在点处的切线的方程．
2026届高三阶段性测试（一）
数学参考答案与解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C B A A B B AC AB
11
ACD
12.
13.60
14.
15.（1），
由图知，过点，即，则，
由图得，，解得。
所以。
（2）由题得，，
由，得，则，
所以，
解得，
因此，使成立的的取值集合是。
16.
（1）设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件，
由题得，，，。
设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件，则。
由题可得，
。
因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为。
（2）由题得，甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为；
乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为。
因此，甲队夺冠的概率为。
17. （1）
连接并延长交于点，连接，取的中
点为，连接，。
因为点在底面的投影是的重心，则平面，，
因为为中点，为中点，则，
由题得，，，所以，
所以四边形是平行四边形，则，
所以平面。
因为平面，所以平面平面。
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，设。
由，得，
整理得，
所以点轨迹表示球心在，半径的球面，
又是棱台表面上的点，所以点轨迹是球面与棱台表面的交线，
由题得，，则，
所以，
又，，则，，，
所以球面只与棱台侧面，侧面，底面相交，
因为，，，，
所以。
答案第2页（共8页）
，
，
从而可得， ， ，
因此所求交线长度为.
18.
（1） 当时， ， 则，
所以， . 因此曲线在处的切线方程为.
（2） 的定义域是， ，
若， 令， 得或， 且.
当时， ， 单调递增； 当时， ， 单调递减；
当时， ， 单调递增；
所以在处取得极大值，
在处取得极小值.
因为， 所以， 又，
所以， 使得， 即在上有1个零点；
因为， 所以， 则， 所以，
所以， 使得， 即在上有1个零点；
又，
所以， 使得， 即在上有1个零点.
综上， 当， 有3个零点.
（3）在处的切线方程为，
设，
下面证明：当时，。
设，则，
设，则，显然，时，，所以递增，
则，即，所以递减，则，
从而，即。
所以，，，，
得
。
即。
19.（1）由椭圆的离心率为，得，则，
由点在上，得，解得，，
所以椭圆的方程是。
（2）（i）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，，
由消去得：，
，即，，，
直线、的斜率分别为，，
则，
即
，整理得，
即，解得或，
当时，直线，即，过点，不符合题意，
因此，直线，其斜率为，
所以直线的斜率为定值.
（ii）设外接圆方程为，
由点在该圆上，得，
圆方程化为：，
将直线方程代入得：
，
整理得：，
则，，
由（i）得：，，由，得，
由，得，
联立消去得：，
整理得，即，解得或，
当时，，此时直线，过点不符合题意；
当时，外接圆圆心与点确定直线的斜率，
所以外接圆的切线方程为，即.
选填题部分题目详解
6.【详解】依题意，，，显然，
，则，
又，故，
所以，由，得，
则，解得，所以.
7.【详解】设点到轴的距离为，
的周长为
，解得，
所以抛物线，点，，
则，，得，，
所以，
8.【详解】设，则
，
所以，
因为，
所以，
当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有，
则，因此所求的最大值为.
10.【详解】双曲线的右焦点为，直线
联立，解得，
根据对称性知
对选项A：，故，A正确；
对选项B：，故，B正确；
对选项C：，
，C错误；
对选项D：，，而，所以，
由角平分线定理可知：，
（另解：直线，到的距离为，到的距离为，
两者不相等，），D错误
11.【详解】由于三棱柱的侧面是平行四边形，因此8个三角形中的2个作为上下底面，
其余6个两两拼成3个平行四边形，这3个平行四边形作为3个侧面.
记该三棱柱为，，，，
无论如何拼接侧面，侧棱长必与三角形的某一边相等，在侧面
中，有或，
同理，“或”，“或”都是真命题，
这说明中至少有两个相等，即所用薄板的形状是等腰三角
形，故A正确；
不妨设，那么在3个侧面中：
有2个是边长为的菱形，且一条对角线长为；
另1个是邻边长分别为和的平行四边形，且一条对角线长为.
在平行四边形中，不妨设（若，则两条对角线长都大于
），则，
由于，设为的中点，连接，，
则 ，，， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，则 ，又 ，所以 ，
那么在 中，，所以 ，
因为 ，其中 为 中点，
那么 ，所以 ，则 平面 ，
又 底面 ，则平面 底面 ，故D正确；
所以 ，，
而 ，那么 ，
因此只可能有 ，解得 ，故B错误；
侧棱与底面所成角的余弦值即为 ，则正弦值为 ，故正切值为 ，故C正确.
14.【详解】
设 ，
则当 时， 不成立；
当 时，由 ，得 ，则 ，不成立；
当 时，
若 ，即 ，则 ，即 成立；
若 ，即 ，则 ，即 ，得 ；
综上， 的取值范围是 。