期末考前模拟测试卷（含解析）-数学九年级上册北师大版

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期末考前模拟测试卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，则它的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当时，随的增大而减小
C．图象经过点
D．若点，在图象上，且，则
3．某商场促销的方案是：在本商场一次性购物超过元，就可以参加转转盘抽取稷山四宝的活动，转盘如图所示（一个可以自由转动的转盘被分成面积相等的4个扇形，在4个扇形上分别写有：麻花1小袋、饼子1小袋、鸡蛋5个、红枣1小袋的文字）．每个参与者转动转盘两次，当两次指针都指向同一物品时，就领取指针指向的物品，当两次指针指向的物品不一样时，则不领取任何物品（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．问一个有幸参加转转盘的购物者能领取到红枣1小袋的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是（ ）
A． B． C． D．
5．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割（黄金比例为），如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在等边三角形内部取一点P，连接．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，双曲线与直线交于点M，N，并且点M坐标为，点N坐标为，根据图象信息可得关于不等式的解为（　　）
A． B．
C． D． 或
二、填空题
10．已知，则的值为 ．
11．一元二次方程的解为 ．
12．如图，菱形的面积为120，对角线与相交于点O，，则 ．
13．在一个不透明的箱子里装有个球，这些球除颜色外都相同，其中红球3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率为0.2，那么可以估算出的值为 ．
14．如图，在等腰中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，且．若 ，则的长为 ．
15．如图，在中，,点分别是边上的点，连结,将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点为顶点的三角形与相似，则的长为 ．
16．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点．交的图象于点．下结论正确有 ．
①与的面积相等；②与始终相等；③；④四边形面积不变；
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于x的方程的根为、．
(1)当时，求的值；
(2)若方程的一个根，求a的值与另一个根．
19．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
20．如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交、于D，E两点．
(1)求证：．
(2)设，试判断关于x的方程根的情况并说明理由．
21．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
(1)求动力F与动力臂l的函数关系式．
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
22．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
(1)小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ．
(2)小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．
23．如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，．
(1)求证：；
(2)如图，连接．
（）判断的形状，并说明理由；
（）求证：．
24．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；
（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．

参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B D C A B B D D
1．C
【分析】本题考查简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上方看得到的视图．找到从上方看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：该锥形瓶的俯视图的底层是：
故选：C．
2．B
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性及反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
分别根据反比例函数的图象及图象上点的坐标特点、反比例函数的增减性对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，
∴图象在第一、三象限，故本选项错误；
B、当时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
C、∵当时，，
∴图象不经过点，故本选项错误；
D、∵图象在第一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小，
∴当时，，故本选项错误；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合情况的结果数，再利用概率公式解题即可．
【详解】解：令为麻花1小袋，为饼子1小袋，为鸡蛋5个，为红枣1小袋，
列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果，其中两次指针都指到红枣1小袋的情况只有1种，
∴购物者能领取到红枣1小袋的概率是为．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容是解题的关键；由网格特点知，，则有，从而可求解．
【详解】解：根据网格特点，，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知，由此可求得的长，进而得出的长．
【详解】解：∵P为的黄金分割点（），
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．B
【分析】将绕点A顺时针旋转得，连接，由旋转的性质可知，，由勾股定理逆定理得是直角三角形且，取的中点H，连接，则，证明是等边三角形得，然后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴．
如图，将绕点A顺时针旋转得，连接，
由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形且．
取的中点H，连接，则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理的逆定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
【详解】解：依题意，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
，
则①②得，
，
，
∵，，
，
解得，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作于点，则，同时由旋转得到，，先证明，得到，再证明，得到∴，进而利用勾股定理得到的长度．
【详解】解：作于点，则，
∵四边形为矩形，，，
∴，，，，
∴，，
由旋转可知，，，，
∴，，
在与中，，，，
∴，
∴，，
∴，
在与中，，，，
∴，
∴，
∴．
故选：D ．
9．D
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法，确定不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可知：不等式的解集为： 或；
故选D．
10．
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确设出未知数是解题关键．
直接利用已知条件设出相应未知数，进而代入化简即可．
【详解】设，，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
11．，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再提取公因式分解因式，把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可．熟练的利用因式分解的方法解方程是解本题的关键．
【详解】解：∵，即：
∴，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
12．13
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的对角线互相平分且菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
由菱形的面积等于对角线乘积的一半，算出，由菱形对角线互相垂直平分，可得，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵菱形的面积为120，
∴，
解得：，
∵菱形的对角线与相交于点O，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：13．
13．15
【分析】本题考查了由频率估计概率，大量重复试验后发现，摸到红球的频率为0.2可得摸到红球的概率为0.2，根据红球的个数除以球的总个数等于摸到红球的概率，计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
故答案为：．
14．8
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理的应用等知识点，综合性强，难度大，解题的关键是作出适当的辅助线．
基本思路：见解析的辅助线作法，利用等腰直角三角形求得的长；利用两三角形的一个角对应相等且这个角的两边对应成比例证得，推得，从而证得，进一步证得四边形为矩形，最后在直角三角形中利用勾股定理可求得的长，即可求得的长．
【详解】解：如图，延长到E，连接，使，
∴，则
∴为直角三角形．
在中，，，
则，
由于由逆时针旋转得到，故
，，
在和中，，，
∴
，则，
如图，过点A作，设的长为，则
由于，．
∴，
，
∴四边形为矩形，
∴
在中，由勾股定理得，，
即，解得，
则，
故答案为：8．
15．或2
【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质及相似三角形知识是解题的关键．
根据折叠的性质得到，再由相似三角形的性质分两种情况讨论即可得到结论．
【详解】解：∵将沿翻折得到，
∴，
∵，
∴，
∵以点C、E、F为顶点的三角形与相似，
∴或，即或，
解得：或2，
故答案为：或2．
16．①③④
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义以及利用分割图形法求图形面积．设点的坐标为，则，，，．①根据反比例函数系数的几何意义即可得出；②由点的坐标可找出，，由此可得出只有时；③结合点的坐标即可找出，，由此可得出该结论成立；④利用分割图形法求图形面积结合反比例系数的几何意义即可得知该结论成立．问题得解．
【详解】解：设点的坐标为，则，，，．
①，，
与的面积相等，故①正确；
②，，
令，即，
解得：．
当时，，故②不正确；
③，，
，
，故③正确．
④．
四边形的面积大小不会发生变化，故④正确；
故答案为：①③④．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法、直接开平方法等解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得：，；
（2）解：，
，
∴或，
解得：，．
18．(1)7
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．
（1）将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系建立方程组求解即可；
【详解】（1）∵当时，方程为，
，
；
（2）∵方程的根为、，
又
，
即，
解得：，
19．(1)
(2)5元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：（1）
（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，根据三月份销售256件，五月份的销售量达到400件，列出方程进行求解即可；
（2）设降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，
由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：应降价5元．
20．(1)见解析
(2)方程有两个相等的实数根，理由见解析
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质．
（1）先证，进而得，再由，，即可得；
（2）先由得，再由，得，再根据相似三角形的性质得，进而得，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵M是三条角平分线的交点，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：方程有两个相等的实数根，理由如下：
，
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，即，
，
∴方程有两个相等的实数根．
21．(1)动力F与动力臂l的函数关系式为
(2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为
【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论．
【详解】（1）依题意，得．
∴．
答：动力F与动力臂l的函数关系式为．
（2）当时，
解得．
∵小华最多能使出的力，
∴．
答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了概率公式，画树状图求概率，
（1）根据概率公式计算；
（2）画出树状图，确定所有可能出现的结果，符合题意的结果，再根据概率公式得出答案．
【详解】（1）解：一共有4张邮票，符合题意的有1张，
所以，抽中B的概率是．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少有一张是D的概率是．
23．(1)见解析；
(2)（）是等腰直角三角形，理由见解析；（）见解析．
【分析】（1）由正方形的性质得，再证明，即可证明结论成立；
（2）（）证，得，再证明，得，进而得，，即可得解；（ii）延长到，使得，证，得，，再证明（），得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）（）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（）延长到，使得，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质是解题的关键．
24．（1），；（2）﹣3＜x＜0或x＞2；（3）或．
【分析】（1）把、的坐标代入反比例函数解析式求出，过作轴于，过作轴于，延长、交于，求出梯形的面积和的面积，即可得出关于的方程，求出的值，得出、的坐标，代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出答案；
（2）根据、的横坐标，结合图象即可得出答案；
（3）分为两种情况：当点在第三象限时和当点在第一象限时，根据坐标和图象即可得出答案．
【详解】解：（1）把，代入得：，
即，

则，
过作轴于，过作轴于，延长、交于，
，，
，，，
，解得：，
即，，
把代入得：，
即反比例函数的解析式是；
把，代入得：，
解得：，，
即一次函数的解析式是；
（2），，
不等式的解集是或；
（3）分为两种情况：当点在第三象限时，要使，实数的取值范围是，
当点在第一象限时，要使，实数的取值范围是，
即的取值范围是或．
【点睛】本题考查了一次函数的反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的图象和性质，不等式和三角形的面积等知识点，熟悉相关性质，利用数形结合和思想解决，是解题的关键．
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