期末考前模拟测试卷（含解析）-数学九年级上册苏科版

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期末考前模拟测试卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从、、、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的解为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，是弦，是切线，，的大小是（　　）
A． B． C． D．
4．已知一组数据33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．定义新运算，对于任意实数，规定，若是关于的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
6．如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，矩形展牌的长、宽分别为和，展牌内四周有等宽边框，边框围成的矩形面积是展牌面积的四分之三、设边框宽为，则满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知直线与轴、轴分别交于，两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连接，．则面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，，，，过A，B，D三点的分别交，于点E，M，下列结论：①；②；③的直径为2；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④
二、填空题
10．方程的解是 ．
11．已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为 ．
12．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数为 h．
13．去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．每轮传染中平均每头患病猪传染了 头健康猪．
14．如图，内接于为的直径，是的中点．若，则的度数为 ．
15．如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个．
16．如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)．
(2)．
18．已知关于x的方程
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程有一个正实数根 且 ，求 m的值．
19．“一方有难，八方支援”，自新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，全国各地的医疗支援队不断集结，陆续前往湖北支援，全国人民众志成城，纷纷慷慨解囊通过捐款支援武汉．小亮和小华想通过网络捐款平台进行资助，以表达自己的爱心，经了解相关捐款信息得知，现网络捐款平台提供四种捐助方式，即“微信支付”、“支付宝”、“ 支付”、“银联支付”．假设小亮和小华通过这四种捐助方式进行捐款的可能性相同．
(1)求小亮选择“微信支付”捐款的概率．
(2)请用列表或画树状图法，求小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的概率．
20．如图， 是的直径，是的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点，
(1)求证：为的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）
21．体育课进行小组跳绳比赛，在规定时间内两个小组每名同学跳绳次数情况记录如下表：
两个小组的跳绳成绩单位：次
组别 1号 2号 3号 4号 5号 6号 平均数 中位数 方差
甲 96 92 88 94 101 81 92 93 _______
乙 95 96 87 93 94 _______ 93 _______
(1)根据所给数据填写上表：
(2)请分别解释甲组中两个“92”的实际意义．
(3)如果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93次，小明认为乙组的平均数和方差都不会发生改变．你认为小明的说法对吗？请说出你的理由．
22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为“倍根方程”．研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为，因此，所以有；令“”，即时，方程为“倍根方程”．
根据所获信息解决下列问题：
(1)以下方程为“倍根方程”的是______；（写序号）
①，②；
(2)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(3)若在一次函数的图象上，且关于的一元二次方程是“倍根方程”，求此“倍根方程”．
23．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为．
(1)求桥拱的半径；
(2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
24．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴的对称图形；
(2)画出将绕原点O顺时针旋转得到的；
(3)求出（2）中点A所经过的路径长．（结果保留）
25．今年以来四川把家电以旧换新作为惠民生的重要举措，截至10月24日全省家电补贴金额15亿元．某商家在“双十一购物节”对某款冰箱实行降价促销．经市场调研发现，该款冰箱原销售单价为4500元时，平均每月能售出10台；如果售价每降价100元，那么平均每月可多售出2台．
(1)设每台冰箱降价x元，那么平均每月销售量为 （用含x的代数式表示）；
(2)已知购进这款冰箱的单价是3000元，商家决定每台冰箱降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台冰箱可获得元的补贴．若商家所获的总利润为27000元，求m的值．
26．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”．
(1)如图①，矩形是的内接四边形，与___________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）；
(2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：；
(3)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D B C A C C A D
1．B
【分析】本题考查了负数的概念，概率的知识．掌握概率的知识是关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用负数的个数除以数据总数即可求得答案．
【详解】解：、、、这四个数字中负数有和共2个，
从、、、这四个数字中任取一个数，取出的数为负数的概率是，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．移项后用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴或
∴
故选D
3．B
【分析】本题主要考查了圆切线的定义，等边对等角，连接，则，根据角的和差关系即可得出，再根据等边对等角可得出．
【详解】解：连接，
∵是切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义，观察数据，出现次数最多的是47，据此解答即可．
【详解】解：A、平均数是一组数据总和除以总数，跟被涂污数字有关，故A不符合题意；
B、中位数是将一组数据按照一定顺序排列后，取最中间这个数或最中间两个数的平均数，跟被涂污数字有关，故B不符合题意；
C、数据中出现次数最多的数是47，即众数是47，与被涂污数字无关；
D、方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数，跟被涂污数字有关，故D不符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据新定义得到，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：根据题意得，
整理得，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，弦于点，
，
在中，，
，
，
．
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意表示出边框围成的矩形的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程．
【详解】解：设边框宽为，
所以整个挂画的长为，宽为，
根据题意，得：，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了一次函数的性质，过圆上一点最值，显然该三角形的底边不变，高为P点到直线距离，其最大值为圆心直线的距离加上半径，面积的最大值可求．
【详解】解：由直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，
令，则，
令，则，
∴，，
∴，，
∴在中，，
P点所在圆的圆心为，半径为2，
∴，
如图，连接，设点C到直线的距离为h，
∴，
∴，
所以点P到直线的距离最大值为，
故面积的最大值是．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、圆心角、弦及弧之间的关系、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识．连接，根据圆周角定理的推论可判定四边形是矩形，进一步可判断①；在①的基础上可判定四边形是平行四边形，进而得，即可判断②；易证，，再利用角的关系可得，继而可判断④；由题设条件求不出的直径，故可判断③．
【详解】解：连接，
∵，
∴为圆的直径，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直径，
∴，
∴，
∴，故④正确；
由题设条件求不出的直径，所以③错误；
故答案为①②④．
10．
【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，根据题方程意向后分解因式化为积的形式，利用两数相乘为0，两因式中至少有一个为0来解即可．
【详解】解：将原方程移项得：，
提取公因式得：，
∴，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴且，
∴，
故答案为：．
12．8
【分析】本题考查了众数的概念：众数是一组数据中出现次数最多的数．据此解答即可．
【详解】解：根据众数的定义可知，一组数据中出现次数最多的数是众数，从统计图可知，出现次数最多的是8时，即众数是8；
故答案为：8．
13．7
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均每头患病猪传染了x头健康猪，则第一轮传染后有头猪被感染，第二轮又要感染头猪，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每头患病猪传染了x头健康猪，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
∴每轮传染中平均每头患病猪传染了7头健康猪，
故答案为：7．
14．/10度
【分析】本题考查了圆周角的计算，熟练运用等弧所对圆周角相等、利用垂径定理得出点F是弧的中点是解题关键．连接，设交于点D，先求出，再求出，，再利用三角形外角定理即可求解．
【详解】
连接，设交于点D
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴点F是弧的中点，
∴
∴，
是的外角
故答案为．
15．2
【分析】本题考查已知概率求数量，根据指针指向红色的概率，求出涂上红色的小扇形的个数即可．
【详解】解：由题意，得：涂上红色的小扇形有（个）；
故答案为：2．
16．
【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵是的内切圆，
∴分别与相切于点，
∴四边形是正方形，
设的半径为，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，解得：，
∵是的内切圆，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）先移项，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）求出的值，再代入公式求出即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
∴，
∴，
18．(1)见解析
(2)８
【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
（1）根据根的判别式先求出“”的值，再判断即可；
（2）根据根与系数的关系得出由得求出，从而得出，再根据列方程求解即可．
【详解】（1）证明：
，
所以，方程总有实数根；
（2）解：由题意得，
又∵，
∴
∴，
∴
又，
∴，
整理得，，
解得，，，
当时，
∴不符合题意；
当时，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点，通过列表法或树状图法确定所有结果数和满足题意的结果数是解答本题的关键．
（1）直接根据概率公式即可解答；
（2）画出树状图，确定所有结果数和满足题意的结果数，然后再根据概率公式即可解答．
【详解】（1）解∶P(小亮选择“微信支付”捐款)
（2）解：记“微信支付”为A， “支付宝”为B， “支付”为C， “银联支付”为 D．根据题意，画树状图如图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的结果有2 种，
∴P(小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”)
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，直角三角形斜边中线的性质，扇形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）利用等边对等角证明，，推出，即可证明为的切线；
（2）作于点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质及垂径定理求出、的长，结合求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：作于点F，连接，
∵，
∴，
∴是斜边的中线
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∵过圆心，，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)第一个92表示：甲组2号同学在规定时间内跳绳的次数为92次；第二个92表示：甲组6位同学在规定时间内跳绳的平均次数为92次
(3)不对，理由见解析
【分析】本题考查统计综合，涉及中位数定义与求法、平均数求法、方差求法及利用方差作决策等知识，熟练掌握相关统计量的定义及求法是解决问题的关键．
（1）根据方差，平均数和中位数的概念求解即可；
（2）根据表格中数据和平均数的意义求解即可；
（3）根据平均数的意义和方差的计算方法求解即可．
【详解】（1）乙组6号的成绩为，
乙组从小到大排列为87，93，93，94，95，96
∴中位线为
填表如下：
组别 1号 2号 3号 4号 5号 6号 平均数 中位数 方差
甲 96 92 88 94 101 81 92 93
乙 95 96 87 93 94 93 93
（2）甲组中第一个92表示：甲组2号同学在规定时间内跳绳的次数为92次；
第二个92表示：甲组6位同学在规定时间内跳绳的平均次数为92次；
（3）不对，理由如下：
∵乙组的平均数为93，
∴若果乙组中再增加一名学生，且他在规定时间内的跳绳次数为93次，
∴平均数不会变化；
增加一名学生后的
∴方差会发生改变．
22．(1)②
(2)0
(3)
【分析】（1）据倍根方程定义判断即可；
（2）根据是倍根方程，且，得到或，从而得到或，进而得到；
（3）根据题干信息得出，根据在一次函数的图象上，得出，求出m、n的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：①，
，
，，
∴方程不是倍根方程；
②，
，，
∴方程是倍根方程；
（2）解：由得：
，，
∵方程是倍根方程，
∴或，
∴或，
∴或，
∴；
（3）解：∵关于的一元二次方程是“倍根方程”，
∴根据题意得：，
∴，
∵在一次函数的图象上，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴此倍根方程为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
23．(1)
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．
（1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出；
（2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解．
【详解】（1）解：如图半径，，
设桥拱的半径是，
，
，
拱高为，
，
，
，
，
桥拱的半径是；
（2）解：不需要采取紧急措施，理由如下：
如图，连接，
，
，
，
，
，
不需要采取紧急措施．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查的是作图轴对称和旋转变换，以及弧长的计算，熟知图形轴对称和旋转的性质和熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；
（3）先求出的长度，再根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：如图，即为所求作：
（3）解：由上图得，
∴点A所经过的路径长为．
25．(1)
(2)m的值为10
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据每台冰箱的利润×每天售出的冰箱台数补贴=总利润列方程求解即可．
【详解】（1）解：设每台冰箱降价x元，那么平均每月销售量为（台），
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，每台冰箱降价元，销售量为台，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
答：m的值为10．
26．(1)（或）
(2)见解析
(3)
【分析】本题属于圆的综合题，主要全等三角形判定与性质，垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形．
（1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答；
（2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明；
（3）利用（2）中规律得到，，再设，半径为r，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：连接，如图①，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵矩形是的内接四边形，
∴是直径，
∴与或是一组“勾股弦”，
故答案为：（或）；
（2）证明：∵，，
∴，，，，
∵、是的一组“勾股弦”，
∴，
∴，即，
∵，
∴，，
在和中
，
∴；
（3）解：解：连接，，如图③，
∵N、Q分别为、的中点，
∴，，，，
∵、是的一组“勾股弦”，
∴由（2）可得，，
∵，
∴设，半径为r，则，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
∵，
∴，
∴．
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