华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·嵊州期末） 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·北仑期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2025七上·平南期末）已知方程组，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025七下·麦积期中）已知，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2025七下·饶平期末） 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（ ）
A． B． C． D．
6．小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 12：00 13：00 14：30
碑上的数 是 一 个 两 位数，数字之和为 6 十位与个位数字与 12：00时所看到的正好颠倒了 比 12：00时看到的两位数中间多了个 0
则12：00时看到的两位数是( ).
A．24 B．42 C．51 D．15
7．（2025七下·余姚期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是( )
A． B．
C． D．
8．（2025七下·中山月考）方程是二元一次方程，请你推断m的值属于下列情况中的（ ）
A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是1 D．不可能是2
9．（2025七下·南充期中）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁
10．（2025七下·潮安月考）如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数多15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·余姚期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64。用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36。用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．50
12．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（ ）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2025七上·白云期末）若与是同类项，则 ， ．
14．（2025七下·衡阳期末）若关于x、y的方程2xa-1+3y=1是二元一次方程，那么a= .
15．（2025七下·余姚期末）若是方程组的解，则+b的值是 ．
16．某船在河中航行，已知顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h.若设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，则所列方程组为 .
三、解答题：本大题共8小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2025七上·永定期末）按要求解方程组．
（1）（代入法）；
（2）（加减法）
18．（2025七下·广东期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．
应用题：小东在某商场中看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元．由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台．空调两台，共花费7200元．求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？
解：设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得
19．（2025七上·兰州期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题．
20．如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按 an+b 的规律(n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数)转换后得到下一个圆圈中的数，求标注问号的圆圈中的数.
21． a1，a2，…，a2014是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若 问 中有多少个0
22．（2025七下·龙港期中）根据以下素材，探索解决任务.
购买方案的设计
素材1 2025年全运会乒乓球资格赛在浙江进行.某校30位同学计划利用周末时间去现场观看比赛，门票分为A、B、C三个档次，购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元；一张C档门票需要 80 元.
素材2 购票平台有优惠活动，每购买1张A档门票就赠送1张C档门票.
问题解决
任务1 求A档和 B档门票的价格.
任务2 初步统计，有8人购买A档门票，12人购买B档门票，其余同学购买C档门票，请计算票价需要多少元。
任务3 最终购买门票共花了3600元，且C档门票总数多于A档门票数。请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程。
23．（2024七下·开化期中）实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求：
（1），a的值．
（2）当速度时该物体的运动时间t．
24．（2024七下·义乌期末）根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根．
解决问题
任务要求 解决办法
任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根．
任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？
任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A：是二元一次方程，A正确；
B：只有一个未知数，是一元一次方程，B错误；
C：有三个未知数，不是二元一次方程，C错误；
D：中次数是2，不是一元一次方程，D错误.
故答案为：A .
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可．
2．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：2（x+y）=2m+4，
解得：x+y=m+2，
根据题意得：m+2=2，
解得：m=0．
故答案为：A.
【分析】将方程组中的两式相加可得x+y，进而求解m的值.
3．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①+②得：，
两边同时除以4得：，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：根据题意，把三个方程相加，得，
解得．
故答案为：B．
【分析】把三个方程相加，再整体思想求出即可．
5．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①移项得：y=2x-4
故答案为：D .
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组中方程的变形和等式的性质，熟知等式的性质是解题关键.
对于方程2x-y=4，根据等式的基本性质，要得到y的表达式，需要把-y移到等号右边，4移到等号左边，即进行移项操作，移项后可得y=2x-4，由此可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y
由题意可得：
解得：
∴12：00时看到的两位数是10y+x=51
故答案为：C
【分析】设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得， .
故答案为：C .
【分析】根据“ 45张铁皮 ”可得，根据 “一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒”可得，即可求得.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：方程可化为即，
因为这是二元一次方程，二元一次方程要求含两个未知数的项的系数都得符合“一次且系数不为 0”，所以 ，也就是 。
故答案为：D．
【分析】拿到 ，第一步先整理成标准形式，把含 的项合并，这样才能清楚看到 项的系数。接着根据定义，要保证有两个未知数，那 项的系数不能为 0 ，从而列出关于 的不等式，解出 的取值限制，就能判断选项．
9．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
把③代入②得：，
去分母得：，
解得：，
由③得：
则合作中出现错误的同学为丙；
故答案为：C
【分析】根据代入消元法观察四位同学的解题过程，找出合作中出现错误的同学即可．
10．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠ABD与∠DBC的度数分别为，，
根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】设∠ABD与∠DBC的度数分别为，，根据角之间的关系建立方程组即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1得，(a+b)2-4ab=(a-b)2=64，
即：a-b=8；
由图2得，(a+2b)2-8ab=(a-2b)2=36，
即：a-2b=6；
则，
解得：a=10，b=2，
由图3得，(a+3b)2-12ab=(a-3b)2=16，
即阴影部分的面积为16，
故答案为：B.
【分析】通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，设长方形的长为a，宽为b，由图1图2得出a、b的值，再根据图3求出(a+3b)2-12ab的值，即求出(a-3b)2的值即可.
12．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
13．【答案】2；
【知识点】二元一次方程组的其他应用；同类项的概念
【解析】【解答】解：由同类项的定义可知，
解得，
故答案为：，．
【分析】本题主要考查同类项的概念。根据定义，同类项需满足两个条件：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。解题时需根据同类项的定义建立方程，然后通过解方程得出结果。
14．【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的定义可知，两个未知数需满足“一次”的条件，可得a-1=1，
解得a=2，
故答案为：2.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程。
15．【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入可得，，
解得，，
∴ a+b=2.
故答案为：2 .
【分析】将方程组的解代入方程组求得a和b的值，再求和即可.
16．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，
∵逆水速度=船速-水速=x-y，顺水速度=船速+水速，
则根据“ 顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h ”知：
故答案为：.
【分析】根据“逆水速度=船速-水速=x-y，顺水速度=船速+水速”，结合题意列出方程组即可.
17．【答案】（1）解：，
由②，得③，
将③代入①，得，
解得：，
将代入②，得，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
②①，得，
解得：，
将代入②，得，
解得：，
∴原方程组的解为：.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用“代入消元法“解二元一次方程组，由②得③，把③代入①并解方程求出，然后把代入②并解方程求出，即可求解；
（2）利用“加减消元法”解二元一次方程组，由②①可求解出，然后把代入②并解方程求出，即可求解.
（1）解：，
由②得：③，
把③代入①得：，
∴，
解得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：，
②①得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为：；
18．【答案】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每合x元，空调每台y元，根据题意，得
解得
答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题是二元一次方程组在实际销售问题中的应用，解题关键在于根据已知方程组和题目背景，分析出被污染的条件（即空调的优惠信息 ），再通过建立方程组求解电视和空调 “五一” 前的价格。思路是先补全被污染的条件，再利用 “五一” 前总价和促销期花费这两个等量关系列方程组求解.
19．【答案】解：设有人，物价为钱，
由题意可得，，
解得，
答：有人，物价为钱．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设有人，物价为钱，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
20．【答案】解：由 题意可得：
解得：a=2，b=6，
∴转换规律为2n+6
当n=26时，2n+6=2×26+6=58
当n=58时，2n+6=2×58+6=122
∴标注问号的圆圈中的数为122
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【分析】根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
21．【答案】解：设0的个数为x，1的个数为y，则 1的个数为(y 69)，
由题意可得：
解得：
即a1，a2，…，a2014中 0 的个数为165
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】设0的个数为x，1的个数为y，则 1的个数为(y 69)，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
22．【答案】解：任务1：设档门票为元， 档门票为元。由题意得：
解得
答：A档门票为280元，档门票为180元。
任务2：8×280+12×180+2×80=4560元
任务3：设有A档门票有a人，B档门票有b人，C档门票有人，
由题意得
化简得
解得
①②③
三种购买方案如下
方案1：购买A门票10张，B门票0张，C门票10张；
方案2：购买A门票5张，B门票6张，C门票14张；
方案3；购买A门票0张，B门票12张，C门票18张
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设1张A档门票为元，1张B档门票为元，然后由 购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元； 分别列方程，组成方程组，解出此方程组，求出x、y的值即可.
（2）由已知：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票可知，送了8张C档门票。由（1）可知：1张A档门票为280元，1张B档门票为180元 ，一张C档门票需要 80 元. ，然后分别算出8张A档门票，12张B档门票，C档门票应该买30-8-12=10张，但是由于买A档送了8张所以只需购买2张C档门票即可。最后把这三类门票的总费用加起来即可.
（3）设有A档门票有a人，B档门票有b人，C档门票有人，由题意得 ，化简得： ，所以。由于a、b为正整数，所以求出方程的正整数解，即可得到购买方案.
23．【答案】（1）解：∵时，速度；当时，速度，
∴，
解得；
答：
（2）解：由（1）得，
当时，，
解得．
答： t ＝7.2.
【知识点】解二元一次方程组；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）将函数值代入到函数表达式中即可．
24．【答案】任务1：解：方法①：60÷8=7…4，即当只裁剪8dm长的用料时，最多可裁剪7根；
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，即当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料5根；
方法③：（60-2×20）÷8=2…4，即当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料2根；
故答案为：7，5，2.
任务2：解：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
故方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根；
任务3：解：根据题意：需制作围栏：（副）
即的横杠：（根）
的竖杠：（根）
的竖杠：（根）
长的围栏材料无剩余裁剪时：，即，
，
为正整数，
，
长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料，
长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠，
需要长的围栏材料无剩余裁剪（根）
则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根）
还需要的竖杠（根）
（根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根，
共需要长的围栏材料（根）
剩余材料为：，
至少所需要费用：（元）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠，根据“余料作废”取整数即可求解 ；
任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
任务3：根据题意先计算出所需不同尺寸的横杠，竖杠的数量，根据“每根60dm的材料恰好可裁下2根16dm、a根8dm、b根10dm的用料（无剩余） ”列出方程，确定出正整数解a与b的值，再根据题意求出剩余材料，以及费用即可求解.
1 / 1华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·嵊州期末） 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A：是二元一次方程，A正确；
B：只有一个未知数，是一元一次方程，B错误；
C：有三个未知数，不是二元一次方程，C错误；
D：中次数是2，不是一元一次方程，D错误.
故答案为：A .
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可．
2．（2025七下·北仑期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：2（x+y）=2m+4，
解得：x+y=m+2，
根据题意得：m+2=2，
解得：m=0．
故答案为：A.
【分析】将方程组中的两式相加可得x+y，进而求解m的值.
3．（2025七上·平南期末）已知方程组，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①+②得：，
两边同时除以4得：，
故答案为：B．
【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
4．（2025七下·麦积期中）已知，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：根据题意，把三个方程相加，得，
解得．
故答案为：B．
【分析】把三个方程相加，再整体思想求出即可．
5．（2025七下·饶平期末） 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①移项得：y=2x-4
故答案为：D .
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组中方程的变形和等式的性质，熟知等式的性质是解题关键.
对于方程2x-y=4，根据等式的基本性质，要得到y的表达式，需要把-y移到等号右边，4移到等号左边，即进行移项操作，移项后可得y=2x-4，由此可得出答案.
6．小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 12：00 13：00 14：30
碑上的数 是 一 个 两 位数，数字之和为 6 十位与个位数字与 12：00时所看到的正好颠倒了 比 12：00时看到的两位数中间多了个 0
则12：00时看到的两位数是( ).
A．24 B．42 C．51 D．15
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y
由题意可得：
解得：
∴12：00时看到的两位数是10y+x=51
故答案为：C
【分析】设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
7．（2025七下·余姚期末）某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可得， .
故答案为：C .
【分析】根据“ 45张铁皮 ”可得，根据 “一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒”可得，即可求得.
8．（2025七下·中山月考）方程是二元一次方程，请你推断m的值属于下列情况中的（ ）
A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是1 D．不可能是2
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：方程可化为即，
因为这是二元一次方程，二元一次方程要求含两个未知数的项的系数都得符合“一次且系数不为 0”，所以 ，也就是 。
故答案为：D．
【分析】拿到 ，第一步先整理成标准形式，把含 的项合并，这样才能清楚看到 项的系数。接着根据定义，要保证有两个未知数，那 项的系数不能为 0 ，从而列出关于 的不等式，解出 的取值限制，就能判断选项．
9．（2025七下·南充期中）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
把③代入②得：，
去分母得：，
解得：，
由③得：
则合作中出现错误的同学为丙；
故答案为：C
【分析】根据代入消元法观察四位同学的解题过程，找出合作中出现错误的同学即可．
10．（2025七下·潮安月考）如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数多15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设∠ABD与∠DBC的度数分别为，，
根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】设∠ABD与∠DBC的度数分别为，，根据角之间的关系建立方程组即可求出答案.
11．（2025七下·余姚期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64。用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36。用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．50
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1得，(a+b)2-4ab=(a-b)2=64，
即：a-b=8；
由图2得，(a+2b)2-8ab=(a-2b)2=36，
即：a-2b=6；
则，
解得：a=10，b=2，
由图3得，(a+3b)2-12ab=(a-3b)2=16，
即阴影部分的面积为16，
故答案为：B.
【分析】通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，设长方形的长为a，宽为b，由图1图2得出a、b的值，再根据图3求出(a+3b)2-12ab的值，即求出(a-3b)2的值即可.
12．（2025七下·宁海期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（ ）
①（a-b）2=4； ②ab=15；③a2+b2=34； ④a2-b2=21.
A．①②③ B．0①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：小正方形边长为，面积为4，故有，①正确.
大正方形边长为，面积为64，故有.
因为a、b必然为正数，且已知，于是有，解得.
所以，②正确；
，③正确；
，③不正确.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件、图片，可得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b具体值并验证各结论即可.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2025七上·白云期末）若与是同类项，则 ， ．
【答案】2；
【知识点】二元一次方程组的其他应用；同类项的概念
【解析】【解答】解：由同类项的定义可知，
解得，
故答案为：，．
【分析】本题主要考查同类项的概念。根据定义，同类项需满足两个条件：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。解题时需根据同类项的定义建立方程，然后通过解方程得出结果。
14．（2025七下·衡阳期末）若关于x、y的方程2xa-1+3y=1是二元一次方程，那么a= .
【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的定义可知，两个未知数需满足“一次”的条件，可得a-1=1，
解得a=2，
故答案为：2.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程。
15．（2025七下·余姚期末）若是方程组的解，则+b的值是 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入可得，，
解得，，
∴ a+b=2.
故答案为：2 .
【分析】将方程组的解代入方程组求得a和b的值，再求和即可.
16．某船在河中航行，已知顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h.若设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，则所列方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，
∵逆水速度=船速-水速=x-y，顺水速度=船速+水速，
则根据“ 顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h ”知：
故答案为：.
【分析】根据“逆水速度=船速-水速=x-y，顺水速度=船速+水速”，结合题意列出方程组即可.
三、解答题：本大题共8小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2025七上·永定期末）按要求解方程组．
（1）（代入法）；
（2）（加减法）
【答案】（1）解：，
由②，得③，
将③代入①，得，
解得：，
将代入②，得，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
②①，得，
解得：，
将代入②，得，
解得：，
∴原方程组的解为：.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用“代入消元法“解二元一次方程组，由②得③，把③代入①并解方程求出，然后把代入②并解方程求出，即可求解；
（2）利用“加减消元法”解二元一次方程组，由②①可求解出，然后把代入②并解方程求出，即可求解.
（1）解：，
由②得：③，
把③代入①得：，
∴，
解得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：，
②①得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为：；
18．（2025七下·广东期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题．
应用题：小东在某商场中看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元．由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台．空调两台，共花费7200元．求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？
解：设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得
【答案】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每合x元，空调每台y元，根据题意，得
解得
答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题是二元一次方程组在实际销售问题中的应用，解题关键在于根据已知方程组和题目背景，分析出被污染的条件（即空调的优惠信息 ），再通过建立方程组求解电视和空调 “五一” 前的价格。思路是先补全被污染的条件，再利用 “五一” 前总价和促销期花费这两个等量关系列方程组求解.
19．（2025七上·兰州期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》章记载了一道数学问题：“今有共买物，人出六，盈二；人出五，不足三．问人数、物价各几何？译文：“今有人合伙购物，每人出6钱，会多出2钱；每人出5钱，又差3钱，问人数、物价各多少？”请利用方程解答上述问题．
【答案】解：设有人，物价为钱，
由题意可得，，
解得，
答：有人，物价为钱．
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设有人，物价为钱，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
20．如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按 an+b 的规律(n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数)转换后得到下一个圆圈中的数，求标注问号的圆圈中的数.
【答案】解：由 题意可得：
解得：a=2，b=6，
∴转换规律为2n+6
当n=26时，2n+6=2×26+6=58
当n=58时，2n+6=2×58+6=122
∴标注问号的圆圈中的数为122
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【分析】根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
21． a1，a2，…，a2014是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若 问 中有多少个0
【答案】解：设0的个数为x，1的个数为y，则 1的个数为(y 69)，
由题意可得：
解得：
即a1，a2，…，a2014中 0 的个数为165
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】设0的个数为x，1的个数为y，则 1的个数为(y 69)，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
22．（2025七下·龙港期中）根据以下素材，探索解决任务.
购买方案的设计
素材1 2025年全运会乒乓球资格赛在浙江进行.某校30位同学计划利用周末时间去现场观看比赛，门票分为A、B、C三个档次，购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元；一张C档门票需要 80 元.
素材2 购票平台有优惠活动，每购买1张A档门票就赠送1张C档门票.
问题解决
任务1 求A档和 B档门票的价格.
任务2 初步统计，有8人购买A档门票，12人购买B档门票，其余同学购买C档门票，请计算票价需要多少元。
任务3 最终购买门票共花了3600元，且C档门票总数多于A档门票数。请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程。
【答案】解：任务1：设档门票为元， 档门票为元。由题意得：
解得
答：A档门票为280元，档门票为180元。
任务2：8×280+12×180+2×80=4560元
任务3：设有A档门票有a人，B档门票有b人，C档门票有人，
由题意得
化简得
解得
①②③
三种购买方案如下
方案1：购买A门票10张，B门票0张，C门票10张；
方案2：购买A门票5张，B门票6张，C门票14张；
方案3；购买A门票0张，B门票12张，C门票18张
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设1张A档门票为元，1张B档门票为元，然后由 购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元； 分别列方程，组成方程组，解出此方程组，求出x、y的值即可.
（2）由已知：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票可知，送了8张C档门票。由（1）可知：1张A档门票为280元，1张B档门票为180元 ，一张C档门票需要 80 元. ，然后分别算出8张A档门票，12张B档门票，C档门票应该买30-8-12=10张，但是由于买A档送了8张所以只需购买2张C档门票即可。最后把这三类门票的总费用加起来即可.
（3）设有A档门票有a人，B档门票有b人，C档门票有人，由题意得 ，化简得： ，所以。由于a、b为正整数，所以求出方程的正整数解，即可得到购买方案.
23．（2024七下·开化期中）实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求：
（1），a的值．
（2）当速度时该物体的运动时间t．
【答案】（1）解：∵时，速度；当时，速度，
∴，
解得；
答：
（2）解：由（1）得，
当时，，
解得．
答： t ＝7.2.
【知识点】解二元一次方程组；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可；
（2）将函数值代入到函数表达式中即可．
24．（2024七下·义乌期末）根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地，已知围栏的横杠长为，竖杠长为，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成．
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏，已知这种规格的围栏材料每根长为，价格为50元/根．
解决问题
任务要求 解决办法
任务1 一根长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废） 方法①：当只裁剪长的用料时，最多可裁剪______根． 方法②：当先裁剪下1根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根． 方法③：当先裁剪下2根长的用料时，余下部分最多能裁剪长的用料______根．
任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为（即需要制作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）． 劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务，请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？
任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根调整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根调整为每根（其它三根竖杠长度不变）． 若要搭建任务2中所需的围栏长度（），每根的材料恰好可裁下2根、a根、b根的用料（无剩余）或者若干根的用料（可剩余）．问：购买的材料至少需要多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度，（剩余材料不可拼接）
【答案】任务1：解：方法①：60÷8=7…4，即当只裁剪8dm长的用料时，最多可裁剪7根；
方法②：（60-20）÷8=40÷8=5，即当先裁剪下1根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料5根；
方法③：（60-2×20）÷8=2…4，即当先裁剪下2根20dm长的用料时，余下部分最多能裁剪8dm长的用料2根；
故答案为：7，5，2.
任务2：解：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，依据题意得：
，解得：．
故方法②的裁剪6根，方法③的裁剪5根；
任务3：解：根据题意：需制作围栏：（副）
即的横杠：（根）
的竖杠：（根）
的竖杠：（根）
长的围栏材料无剩余裁剪时：，即，
，
为正整数，
，
长的围栏材料无剩余裁剪可裁剪下2根、1根、2根的用料，
长的围栏材料有剩余裁剪时：（根），即可裁剪7根的竖杠，
需要长的围栏材料无剩余裁剪（根）
则的竖杠有：（根），的竖杠有：（根）
还需要的竖杠（根）
（根），则长的围栏材料有剩余裁剪3根，
共需要长的围栏材料（根）
剩余材料为：，
至少所需要费用：（元）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠，根据“余料作废”取整数即可求解 ；
任务2：设方法②需裁剪x根，方法③需裁剪y根，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
任务3：根据题意先计算出所需不同尺寸的横杠，竖杠的数量，根据“每根60dm的材料恰好可裁下2根16dm、a根8dm、b根10dm的用料（无剩余） ”列出方程，确定出正整数解a与b的值，再根据题意求出剩余材料，以及费用即可求解.
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