华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．（2024七下·路桥期末）工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，
根据题意可得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，
∴a必须能被5整除，
∵只有265能被5整除，
∴a的值可能是265，
故答案为：B.
【分析】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，根据题意列出方程组求出m、n的值，再得到a必须能被5整除，最后分析求解即可.
2．（2024七下·广州期中）若，，…是从0，1，2这三个数中取值的一列数，，，则在，，…中，取值为2的个数为（ ）
A．909 B．506 C．510 D．520
【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设0有个，1有个，2有个，
由题意得，列出方程组
解得，
故取值为2的个数为520个；
故答案为：D．
【分析】先设0有个，1有个，2有个，根据题意列出方程组，求解即可．
3．（2024七下·日照期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将方程组变形为：，
∵关于x．y的方程组的解为，
∴，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴方程组的解是，
故答案为：B．
【分析】由题意，先将方程组变形为，再根据已知方程组的解可得关于x、y的方程组，解这个方程组即可．
4．（2024七下·临平期中）已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果.
5．（2024七下·宁波期中） 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据题意可得：
整理②得：
把①代入，并整理，可得
解得：a=6.
故大长方形周长为：2(8+6)=28.
故答案为：B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据图形：图2阴影的周长：图3阴影的周长=6：7，1个小长方形的长+2个小长方形的宽=8，据此列方程组，利用整体代入的思想解决问题.
6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）．
A．32元 B．33元 C．34元 D．35元
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别是x元、y元、z元，则有，②-①得x+3y=15. 而①式可变形为x+y+z+2(x+3y)=64，代入x+3y=15得x+y+z=34. 所以购买甲、乙、丙各1件，共需34元.
故答案为：C.
【分析】注意不需要求出x、y、z的具体值（实际也无法求出因为欠缺条件），根据题目所求，并运用整体代入的思维凑出题目所求的式子即可解答.
7．（2023七下·博罗期末）栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意设若设乌鸦有x只，树有y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】题目中若设乌鸦有x只，树有y棵，利用题中描述关系语句”三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树“分别列出方程：，从而联立方程组即可.
8．（2023七上·越秀期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵对于任意实数都成立，
∴，
∴为．
故答案为：B．
【分析】先根据定义求出ux+vy=u，uy+vx=v，又由对于任意实数u，v都成立，根据多项式相等的知识求出x=1，y=0，即可求解.
9．（2023七下·瓯海期中）已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，（方程①+）得：，将代入方程①得：，解得：.
①当时 ，，
，
∴当时 ，方程组的解也是方程 的解 ，∴结论①正确；
②∵，∴当时，，即，∴存在实数，使得；∴结论②正确；
③∵，∴不论取什么实数，的值始终不变 ，结论③正确；
④∵∴，解得：，结论④错误.
∴正确的结论有①②③.
故答案为：A.
【分析】解二元一次方程组，用含K的代数式表示出x，y的值.
①代入k=2，可得出3x+y=5；
②将x，y值相加，可得出当k=-3时，x+y=0；
③将x，y的值代入3x + 4y，可得出3x + 4y=2；
④结合2x +3y=3，可得出关于的一元一次方程，解之可得出k=-8.
10．（2025七下·台州期中） 对x、у定义一种新运算T，规定：T（x，y）=axy+bx-4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：T（0，1）=a×0×1+b×0-4=-4，若T（2，1）=2，T（-1，2）=-8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1） a=1，b=2；（2） 若T（m，n）=0，（n≠-2），则m=；（3）若T（m，n）=0，则m、n有且仅有3组整数解；（4） 若T（kx，y）=T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k=1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件T(2，1)=2，T(-1，2)=-8，列式为
， 解得，
故结论（1）正确。
由T(m，n)=0，得mn+2m-4=0，整理得m(n+2)=4，解得m =，
故结论（2）正确。
由mn+2m =4，当n=-2时方程无解，故n≠2。令m=，m和n均为整数，则n+2是4的因数。4的因数为1，2，4，因此：
n+2=1有 n=-1，m=4；
n+2=-1有 n=-3，m=-4；
n+2=2 有 n=0，m=2；
n+2=-2有 n=-4，m=-2；
n+2=4有 n=2，m=1；
n+2=-4 有 n=-6，m=-1。
共有6组整数解，故结论（3）错误。
由T(kx，y)=T(ky，x)，得：a ( k x ) y + b ( k x ) 4 = a ( k y ) x + b ( k y ) 4
代入a=1，b=2，得： kxy+2kx=kxy+2ky
化简得2k(x - y)=0。
因对任意x，y成立，故k=0。但题目要求k为常数，而k=0与b非零无关，但结论（4）中k=1不成立，
故结论（4）错误。
因此正确的是（1）（2）
故答案为：B.
【分析】（1）（2）可以直接根据新运算 T（x，y）=axy+bx-4 代入计算即可判断正误；（3）可以根据（2）的结论，先确定4的因数有1，2，4，然后分6种情况分别计算出m和n的值，即可判断正误；（4）将a=1，b=2代入并变形，得到2k(x - y)=0，此时即可判断出k =1不成立。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．（2017七下·泗阳期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c=4. 2a+b+3c=5. 设s=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n． 则n-m的值为 .
【答案】-2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】已知，3a+2b+c=4①，2a+b+3c=5②，
②×2 ①得，a+5c=6，a=6 5c，
①×2 ②×3得，b 7c= 7，b=7c 7，
又已知a、b、c为非负实数，
所以，6 5c 0，7c 7 0，
可得， ，
S=5a+4b+7c=5×(6 5c)+4×(7c 7)+7c=10c+2，
所以10 10c 12，
12 10c+2=S 14，
即m=14，n=12，
n m= 2，
故答案为 2.
12．（2024七下·浙江期中）已知关于的二元一次方程组，的解为，则关于的二元一次方程组的解为
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组可变为，
令x+3=A，y-2=B，
则方程组可变为，
∴方程组的解为，
∴，
解得；
故答案为： .
【分析】将原方程整理，借助换元法得出，求解即可.
13．（2024七下·邕宁期中）已知关于、的二元一次方程组，则的值为 ．
【答案】-5
【知识点】解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：当x＞0，y＞0时，原方程组整理得
①＋②得y=4，
将y=4代入①得x=3，
∴x-2y=3-2×4=-5；
当x＞0，y＜0时，原方程组整理得
由②得x=-5，不符合题意；
当x＜0，y＞0时，原方程组整理得
将y=1代入②得x=-3，
∴x-2y=-3-2×1=-5；
当x＜0，y＜0时，原方程组整理得
由①得y=-1，不符合题意，
综上x-2y的值为-5.
故答案为：-5.
【分析】根据绝对值的性质分类讨论：当x＞0，y＞0时；当x＞0，y＜0时；当x＜0，y＞0时；当x＜0，y＜0时，分别根据绝对值的性质去绝对值符号整理方程组，再根据加减消元法或代入消元法分别解各个方程组，进而判断是否符合题意，最后将符合题意的x、y的值代入待求代数式计算即可.
14．一食堂需要购买盒子存放食物.盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如下表所示：
型号 A B
单个盒子容量 2 3
单价(元) 5 6
现有食物需要存放，且要求每个盒子都要装满.若型号盒子正做促销活动，购买三个及以上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需的最少费用为 元.
【答案】28
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解： 设购买x个A型号盒子，y个B型号盒子，
根据题意得：2x+3y=15，
∴y=5-x，
又x，y均为非负整数，
∴，，.
当时，所需费用为6×5=30（元）；
当时， 所需费用为5×3-4+6×3=29（元）；
当时， 所需费用为5×6-4+6×1=32（元）或5×3-4+5×3-4+6×1=28（元）．
∵28＜29＜30＜32，
∴购买盒子所需要最少费用为28元．
故答案为：28．
【分析】 设购买x个A型号盒子，y个B型号盒子，根据“购买的盒子正好可以存放15升食物”，列出二元一次方程，求出非负整数解，再求出取各对值所需费用，比较后得出结论．
15．（2025七下·越秀期中）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于，n的取值，下列说法：①的值一定是2；②若，则；③若，则；④若，则；正确的是 ．
【答案】①③④
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
，
，
，故①正确；
∵，
∴当时，，故②错误；
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，故④正确．
综上所述，正确的是①③④．
故答案为：①③④.
【分析】根据题干中的定义及计算方法可得，再求出，最后逐项分析判断即可.
16．（2025七下·义乌月考）如图，长方形ABCD的边，E是边BC上的一点，且，F，G分别是线段AB，CD上的动点，且，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部.记图中的阴影部分面积分别为，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，的值为 .
【答案】7或
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：①设，，并设.
∵，，
∴.
∵，，
∴，整理得.
∴，整理得。
∴，解得.
∴
；
②若，，并设，
同理有，整理得.
以及，整理得.
∴，解得.
∴
.
故答案为：7或.
【分析】题目只给出了“ 当四边形KILH的邻边比为3：4 ”，因此需要分两种情况讨论，即①设，；②，.另外为计算方便，设，从长、宽的角度得到关于x、k的二元一次方程组，即求出两种情况下的k值，然后代入 的表达式中计算即可.
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：整理原方程组得
①-②得4x=36，
∴x=9，
将x=9代入②得y=14，
∴该方程组得解为：；
（2）解：由|x-y|=x+y-2得x+y=|x+y|+2，
∵|x+y|≥0，
∴x+y≥0，
∴|x+y|=x+y①，
将①代入|x+y|=x+2得x+y=x+2，
解得y=2，
将y=2代入|x-y|=x+y-2，
得|x-2|=x，
∴x-2=x或x-2=-x，
方程x-2=x无解，
解x-2=-x得x=1，
∴原方程组得解为.
【知识点】绝对值的非负性；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先将方程组整理成一般形式，然后利用加减消元法解方程组，由方程①-②消去y求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而得到方程组得解；
（2）由|x-y|=x+y-2得x+y=|x+y|+2，结合绝对值的非负性可得x+y≥0，则|x+y|=x+y①，将方程①代入|x+y|=x+2可求出y的值，进而把y的值代入|x-y|=x+y-2，可求出x的值，从而得到方程组得解.
18．某单位食堂重装升级，升级后菜品种变多，已知每个菜单价定为2元或4元或6元或8元或10元，因菜品尚未标价，就餐人员并不知每个菜的具体价格，每次取完餐付过钱，大家通过对比各自餐盘中与他人重复的菜，来计算每种菜的价格.
已知甲、乙、丙三人共同就餐，甲选了A，B，C三种菜共14元，乙选了C，D，E三种菜共16元，丙选了A，C，D三种菜共22元，付款时得知A的价格低于D，请确定A，B，C，D，E的单价.
【答案】解：设A，B，C，D，E的价格分别为a，b，c，d，e，则有
①+②得a+c+d+b+c+e=30，将③代入得22+b+c+e=30，则b+c+e=8，
因为b，c，e取值为2，4，6，8，10，
所以B，C，E三种菜价格应为2，2，4.
若E的价格为4元，则①中a+4=14，a=10；②中2+d+4=16，d=10；A与D价格相等，不合题意.
若B的价格为4元，则①中a+4+2=14，a=8；②中2+d+2=16，d=12，不合题意.
若C的价格为4元，则①中a+2+4=14，a=8；②中4+d+2=16，d=10；③中8+4+10=22，符合题意.
所以A，B，C，D，E价格分别为8元，2元，4元，10元，2元.
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【分析】设A，B，C，D，E的价格分别为a，b，c，d，e，根据题意建立方程组，解方程可得B，C，E三种菜价格应为2，2，4，分情况讨论：若E的价格为4元，若B的价格为4元，若C的价格为4元，再列式计算即可求出答案.
19．（2025七下·慈溪期末） 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.
（1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
【答案】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒.
（2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步
由题意可得
因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍，
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据“A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型机器人走m步，B型机器人走n步，根据总路程为30米（即3000厘米），可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出m，n的值，再将其代入（0.8m＋0.75n）中，即可求出结论．
20．（2025七下·瑞安期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示。如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式。
（1）填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人。（用含×的代数式表示，其中x为大于4的正整数）
（2）某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值。
（3）某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人。
【答案】（1）40；（8x-16）
（2）解：m列2层空心方阵人数：8m-16
n列3层空心方阵人数：8n-16+4(n-4)-4=12n-36.
根据题意可列出方程组，解得
（3）48
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）7列2层空心方阵中，外层有24人，第二层有16人，合共40人；
x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，合共人.
故答案为：40、；
（3）若排列成m列3层空心方阵，总人数为12m-36人；
若排列成n列4层空心方阵，总人数为人.
根据题意，有，整理得4n-3m=7（n＞4，m＞3）
当n=5时，m非整数；
当n=6时，m非整数；
当n=7时，m=7.
所以人.
即该代表队至少有48人.
故答案为：48.
【分析】（1）根据图片直接可直接计算7列2层空心方阵总人数；根据图片规律，可得到 x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，然后求和即可；
（2）根据题意列出关于m、n的二元一次方程组并解方程即可；
（3）可先分别表示出m列3层空心方阵、n列4层空心方阵的各自总人数表达式，然后根据条件建立并得到关于m，n的二元一次方程，然后根据m、n的实际意义、取值范围等，得出n的最小值（或m的最小值），然后代入计算出总人数即可.
21．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
【答案】（1）解： ∵ 关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：m=1.5；
（2）解： 方程组 ( a，b，c为常数，且)，解得：，，
所以x=y，所以关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据等解方程的意义求出x，从而可得y的值，代入方程组中第二个方程，求得m；
（2）解出方程组中的x与y，比较后得出结论.
22．（2024七下·吴兴期末） 根据以下素材， 探索完成任务.
如何合理搭配消费券
素材一 我市在 2024 年发放了如图所示的南太湖消费券。规定每人可领取一套消费券（共 4 张）：包含 型消费券（满 50 减 20 元） 1 张， 型消费券（满 100 减 30 元 ) 2 张， 型消费券（满 300 减 100 元） 1 张.
素材二 在此次活动中， 小明一家 4 人各领到了一套消费券. 某日小明一家在超市使用消费券共减了 420 元，请完成以下任务。
（1）若小明一家用了 2 张 型消费券， 2 张 型消费券， 则用了 张 型消费券， 此时实际消费最少为 元.
（2）若小明一家用 8 张 型的消费券消费，已知 型比 型的消费券多 1 张， 求 型的消费券各多少张
（3）若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费， 请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小， 并求出此时实际最小消费金额.
【答案】（1）6；880
（2）解：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，
由题意可得20(x+1)+30x+100(7-2x)=420，
解得x=2．
∴A型的消费券3张，B型的消费券2张，则C型的消费券3张
（3）解：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，
①、型：．
，
，都是正整数，，，
无解；
②、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
③、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务一：用型的消费券数量为：，
满减前至少消费（元），
实际消费最少为（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则求解；
任务一：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解即可；
任务一：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，分类讨论，①、型：；②、型：；③、型：，分别列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解．
23．（2024七下·长兴月考）问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
（1）设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1）；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得．
（3）解：方程组可化为，
关于x，y的二元一次方程组的解为，
，．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，
【分析】（1）设，，利用换元法求出，得出关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（2）利用换元法将原方程组变形，求出，得到关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（3）方程组中的两个方程两边同时除以5，将方程组变形，然后利用换元法得出，再进一步解方程组即可．
24．已知关于 的方程组 ， 其中 是实数．
（1） 若 ， 求 的值．
（2） 若方程组的解也是方程 的一个解， 求 的值．
（3） 求 为何值时， 代数式 的值与 的取值无关， 始终是一个定值，求出这个定值．
【答案】（1）解：∵x=y，x-y=2a+1，
∴2a+1=0，
∴a=-.
（2）解：
①×3+②，得：x=3a-1，
把x=3a-1代入①得：y=a-2.
∴方程组的解是：，
把代入x-5y=3，得3a-1-5a+10=3，
解得：a=3.
∴（a-4）2023=（3-4）2023=-1.
（3）解：∵x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
∴当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
当k=6时，x2-kxy+9y2=x2-6xy+9y2=（x-3y）2，
∵，
∴x-3y=3a-1-3（a-2）=5，
∴（x-3y）2=52=25.
∴此时定值为25.
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由x=y，x-y=2a+1，可以求出2a+1=0，a=-.
（2）把a看作是数字，解方程组得：，然后把代入x-5y=3，得3a-1-5a+10=3，解得：a=3.再把a=3代入代数式（a-4）2023求出值即可.
（3）通过观察分析可知，当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，所以当k=6时，x2-kxy+9y2=x2-6xy+9y2=（x-3y）2。因为，所以可得x-3y=3a-1-3（a-2）=5，所以（x-3y）2=52=25.所以此时定值为25.
25．（2024七下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位：元/千瓦时
用电分档 分时电价
高峰电价 低谷电价
第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288
第二档 年用电千瓦时部分 b c
第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588
注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．
老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．
（1）求表格中a的值．
数学思考：
（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．
（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．
【答案】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，
，
解得，，
；
（2）由题意得：，
解得：，
答：，；
（3）（千瓦时）．
（元．
答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．
建议是：节约用电，减小高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据题意列出一元一次方程，求解即可；
（2）根据点点和芳芳家的用电情况，列出二元一次方程组求解即可；
（3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，最多需要的电费高峰电价，可知需要节约用电，尽量控制高峰用电．
26．（2023七下·惠阳期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
【答案】（1）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
．
、为正整数，
为的倍数，
又，
满足条件的为：，，，．
答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，由示意图可知一个竖式纸箱需要一张正方形纸板，4张长方形纸板，一个横式纸箱需要2张正方形纸板，3张长方形纸板，根据正方形纸板1000张可列出方程x+2y=1000，再根据长方形纸板2000张可列出方程4x+3y=2000，联立方程组解得x、y的值；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据正方形纸板80张，长方形纸板a张列出方程组，再利用加减消元法消去m用a表示出n，然后由n、a的取值范围得到a的值.
1 / 1华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试培优卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
1．（2024七下·路桥期末）工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 的值可能是（ ）
A．272 B．265 C．254 D．232
2．（2024七下·广州期中）若，，…是从0，1，2这三个数中取值的一列数，，，则在，，…中，取值为2的个数为（ ）
A．909 B．506 C．510 D．520
3．（2024七下·日照期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·临平期中）已知关于和的方程组（为常数），下列结论正确的个数为（ ）
①无论取何值，都有；②若，则
③方程组有非负整数解时，；④若和互为相反数，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024七下·宁波期中） 把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A．29 B．28 C．27 D．26
6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（ ）．
A．32元 B．33元 C．34元 D．35元
7．（2023七下·博罗期末）栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？歌谣大意是：一群乌鸦落在一片树上，如果三个乌鸦落在一棵树上，那么就有五个乌鸦没有树可落；如果五个乌鸦落在一棵树上，那么就有一棵树没有落乌鸦，请问乌鸦和树各多少？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七上·越秀期中）对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为( )
A． B． C． D．
9．（2023七下·瓯海期中）已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
10．（2025七下·台州期中） 对x、у定义一种新运算T，规定：T（x，y）=axy+bx-4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：T（0，1）=a×0×1+b×0-4=-4，若T（2，1）=2，T（-1，2）=-8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1） a=1，b=2；（2） 若T（m，n）=0，（n≠-2），则m=；（3）若T（m，n）=0，则m、n有且仅有3组整数解；（4） 若T（kx，y）=T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k=1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。
11．（2017七下·泗阳期末）已知非负数a，b，c满足条件3a+2b+c=4. 2a+b+3c=5. 设s=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n． 则n-m的值为 .
12．（2024七下·浙江期中）已知关于的二元一次方程组，的解为，则关于的二元一次方程组的解为
13．（2024七下·邕宁期中）已知关于、的二元一次方程组，则的值为 ．
14．一食堂需要购买盒子存放食物.盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如下表所示：
型号 A B
单个盒子容量 2 3
单价(元) 5 6
现有食物需要存放，且要求每个盒子都要装满.若型号盒子正做促销活动，购买三个及以上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需的最少费用为 元.
15．（2025七下·越秀期中）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，对于，n的取值，下列说法：①的值一定是2；②若，则；③若，则；④若，则；正确的是 ．
16．（2025七下·义乌月考）如图，长方形ABCD的边，E是边BC上的一点，且，F，G分别是线段AB，CD上的动点，且，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部.记图中的阴影部分面积分别为，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，的值为 .
三、解答题：本大题共10个小题，共102分。
17．解下列方程组：
（1）
（2）
18．某单位食堂重装升级，升级后菜品种变多，已知每个菜单价定为2元或4元或6元或8元或10元，因菜品尚未标价，就餐人员并不知每个菜的具体价格，每次取完餐付过钱，大家通过对比各自餐盘中与他人重复的菜，来计算每种菜的价格.
已知甲、乙、丙三人共同就餐，甲选了A，B，C三种菜共14元，乙选了C，D，E三种菜共16元，丙选了A，C，D三种菜共22元，付款时得知A的价格低于D，请确定A，B，C，D，E的单价.
19．（2025七下·慈溪期末） 某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走.在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒.
（1） 求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
（2） 已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
20．（2025七下·瑞安期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示。如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式。
（1）填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人。（用含×的代数式表示，其中x为大于4的正整数）
（2）某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值。
（3）某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人。
21．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
22．（2024七下·吴兴期末） 根据以下素材， 探索完成任务.
如何合理搭配消费券
素材一 我市在 2024 年发放了如图所示的南太湖消费券。规定每人可领取一套消费券（共 4 张）：包含 型消费券（满 50 减 20 元） 1 张， 型消费券（满 100 减 30 元 ) 2 张， 型消费券（满 300 减 100 元） 1 张.
素材二 在此次活动中， 小明一家 4 人各领到了一套消费券. 某日小明一家在超市使用消费券共减了 420 元，请完成以下任务。
（1）若小明一家用了 2 张 型消费券， 2 张 型消费券， 则用了 张 型消费券， 此时实际消费最少为 元.
（2）若小明一家用 8 张 型的消费券消费，已知 型比 型的消费券多 1 张， 求 型的消费券各多少张
（3）若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费， 请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小， 并求出此时实际最小消费金额.
23．（2024七下·长兴月考）问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
（1）设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
24．已知关于 的方程组 ， 其中 是实数．
（1） 若 ， 求 的值．
（2） 若方程组的解也是方程 的一个解， 求 的值．
（3） 求 为何值时， 代数式 的值与 的取值无关， 始终是一个定值，求出这个定值．
25．（2024七下·拱墅期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位：元/千瓦时
用电分档 分时电价
高峰电价 低谷电价
第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288
第二档 年用电千瓦时部分 b c
第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588
注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．
老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．
（1）求表格中a的值．
数学思考：
（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．
（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．
26．（2023七下·惠阳期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，
根据题意可得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，
∴a必须能被5整除，
∵只有265能被5整除，
∴a的值可能是265，
故答案为：B.
【分析】设工人师傅用图1中的100块正方形瓷砖和a块长方形瓷砖可拼成图2中的甲种图形m个，乙种图形n个，瓷砖恰好用完，根据题意列出方程组求出m、n的值，再得到a必须能被5整除，最后分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设0有个，1有个，2有个，
由题意得，列出方程组
解得，
故取值为2的个数为520个；
故答案为：D．
【分析】先设0有个，1有个，2有个，根据题意列出方程组，求解即可．
3．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将方程组变形为：，
∵关于x．y的方程组的解为，
∴，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴方程组的解是，
故答案为：B．
【分析】由题意，先将方程组变形为，再根据已知方程组的解可得关于x、y的方程组，解这个方程组即可．
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将（2）式乘以3并与（1）式相加得2x-y+3(2x+y)=3k-2+3(4-k)得8x+2y=10即有4x+y=5，故①正确；当k=1时，2x-y=1，2x+y=3，可得x=y=1，故(2x-1)y=1，故②正确；(1)+(2)得4x=2k+2，x=≥0，即有k≥-1，将x代入(1)式得y=3-2k≥0，t得k≤，故-1≤k≤，故③错误；当x、y互为相反数时，x+y=0，即有+3-2k=0得k=，故④正确.
故答案为：C.
【分析】①式中直接消去k便可得结果；而②可直接代入求解x和y的便可验证；③④可直接求出x和y的表达式，便可直接验证结果.
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据题意可得：
整理②得：
把①代入，并整理，可得
解得：a=6.
故大长方形周长为：2(8+6)=28.
故答案为：B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为a，根据图形：图2阴影的周长：图3阴影的周长=6：7，1个小长方形的长+2个小长方形的宽=8，据此列方程组，利用整体代入的思想解决问题.
6．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别是x元、y元、z元，则有，②-①得x+3y=15. 而①式可变形为x+y+z+2(x+3y)=64，代入x+3y=15得x+y+z=34. 所以购买甲、乙、丙各1件，共需34元.
故答案为：C.
【分析】注意不需要求出x、y、z的具体值（实际也无法求出因为欠缺条件），根据题目所求，并运用整体代入的思维凑出题目所求的式子即可解答.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意设若设乌鸦有x只，树有y棵，则可列出方程组为：
故答案为：D.
【分析】题目中若设乌鸦有x只，树有y棵，利用题中描述关系语句”三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树“分别列出方程：，从而联立方程组即可.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵对于任意实数都成立，
∴，
∴为．
故答案为：B．
【分析】先根据定义求出ux+vy=u，uy+vx=v，又由对于任意实数u，v都成立，根据多项式相等的知识求出x=1，y=0，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，（方程①+）得：，将代入方程①得：，解得：.
①当时 ，，
，
∴当时 ，方程组的解也是方程 的解 ，∴结论①正确；
②∵，∴当时，，即，∴存在实数，使得；∴结论②正确；
③∵，∴不论取什么实数，的值始终不变 ，结论③正确；
④∵∴，解得：，结论④错误.
∴正确的结论有①②③.
故答案为：A.
【分析】解二元一次方程组，用含K的代数式表示出x，y的值.
①代入k=2，可得出3x+y=5；
②将x，y值相加，可得出当k=-3时，x+y=0；
③将x，y的值代入3x + 4y，可得出3x + 4y=2；
④结合2x +3y=3，可得出关于的一元一次方程，解之可得出k=-8.
10．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件T(2，1)=2，T(-1，2)=-8，列式为
， 解得，
故结论（1）正确。
由T(m，n)=0，得mn+2m-4=0，整理得m(n+2)=4，解得m =，
故结论（2）正确。
由mn+2m =4，当n=-2时方程无解，故n≠2。令m=，m和n均为整数，则n+2是4的因数。4的因数为1，2，4，因此：
n+2=1有 n=-1，m=4；
n+2=-1有 n=-3，m=-4；
n+2=2 有 n=0，m=2；
n+2=-2有 n=-4，m=-2；
n+2=4有 n=2，m=1；
n+2=-4 有 n=-6，m=-1。
共有6组整数解，故结论（3）错误。
由T(kx，y)=T(ky，x)，得：a ( k x ) y + b ( k x ) 4 = a ( k y ) x + b ( k y ) 4
代入a=1，b=2，得： kxy+2kx=kxy+2ky
化简得2k(x - y)=0。
因对任意x，y成立，故k=0。但题目要求k为常数，而k=0与b非零无关，但结论（4）中k=1不成立，
故结论（4）错误。
因此正确的是（1）（2）
故答案为：B.
【分析】（1）（2）可以直接根据新运算 T（x，y）=axy+bx-4 代入计算即可判断正误；（3）可以根据（2）的结论，先确定4的因数有1，2，4，然后分6种情况分别计算出m和n的值，即可判断正误；（4）将a=1，b=2代入并变形，得到2k(x - y)=0，此时即可判断出k =1不成立。
11．【答案】-2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】已知，3a+2b+c=4①，2a+b+3c=5②，
②×2 ①得，a+5c=6，a=6 5c，
①×2 ②×3得，b 7c= 7，b=7c 7，
又已知a、b、c为非负实数，
所以，6 5c 0，7c 7 0，
可得， ，
S=5a+4b+7c=5×(6 5c)+4×(7c 7)+7c=10c+2，
所以10 10c 12，
12 10c+2=S 14，
即m=14，n=12，
n m= 2，
故答案为 2.
12．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组可变为，
令x+3=A，y-2=B，
则方程组可变为，
∴方程组的解为，
∴，
解得；
故答案为： .
【分析】将原方程整理，借助换元法得出，求解即可.
13．【答案】-5
【知识点】解二元一次方程组；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：当x＞0，y＞0时，原方程组整理得
①＋②得y=4，
将y=4代入①得x=3，
∴x-2y=3-2×4=-5；
当x＞0，y＜0时，原方程组整理得
由②得x=-5，不符合题意；
当x＜0，y＞0时，原方程组整理得
将y=1代入②得x=-3，
∴x-2y=-3-2×1=-5；
当x＜0，y＜0时，原方程组整理得
由①得y=-1，不符合题意，
综上x-2y的值为-5.
故答案为：-5.
【分析】根据绝对值的性质分类讨论：当x＞0，y＞0时；当x＞0，y＜0时；当x＜0，y＞0时；当x＜0，y＜0时，分别根据绝对值的性质去绝对值符号整理方程组，再根据加减消元法或代入消元法分别解各个方程组，进而判断是否符合题意，最后将符合题意的x、y的值代入待求代数式计算即可.
14．【答案】28
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解： 设购买x个A型号盒子，y个B型号盒子，
根据题意得：2x+3y=15，
∴y=5-x，
又x，y均为非负整数，
∴，，.
当时，所需费用为6×5=30（元）；
当时， 所需费用为5×3-4+6×3=29（元）；
当时， 所需费用为5×6-4+6×1=32（元）或5×3-4+5×3-4+6×1=28（元）．
∵28＜29＜30＜32，
∴购买盒子所需要最少费用为28元．
故答案为：28．
【分析】 设购买x个A型号盒子，y个B型号盒子，根据“购买的盒子正好可以存放15升食物”，列出二元一次方程，求出非负整数解，再求出取各对值所需费用，比较后得出结论．
15．【答案】①③④
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
，
，
，故①正确；
∵，
∴当时，，故②错误；
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，故④正确．
综上所述，正确的是①③④．
故答案为：①③④.
【分析】根据题干中的定义及计算方法可得，再求出，最后逐项分析判断即可.
16．【答案】7或
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：①设，，并设.
∵，，
∴.
∵，，
∴，整理得.
∴，整理得。
∴，解得.
∴
；
②若，，并设，
同理有，整理得.
以及，整理得.
∴，解得.
∴
.
故答案为：7或.
【分析】题目只给出了“ 当四边形KILH的邻边比为3：4 ”，因此需要分两种情况讨论，即①设，；②，.另外为计算方便，设，从长、宽的角度得到关于x、k的二元一次方程组，即求出两种情况下的k值，然后代入 的表达式中计算即可.
17．【答案】（1）解：整理原方程组得
①-②得4x=36，
∴x=9，
将x=9代入②得y=14，
∴该方程组得解为：；
（2）解：由|x-y|=x+y-2得x+y=|x+y|+2，
∵|x+y|≥0，
∴x+y≥0，
∴|x+y|=x+y①，
将①代入|x+y|=x+2得x+y=x+2，
解得y=2，
将y=2代入|x-y|=x+y-2，
得|x-2|=x，
∴x-2=x或x-2=-x，
方程x-2=x无解，
解x-2=-x得x=1，
∴原方程组得解为.
【知识点】绝对值的非负性；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先将方程组整理成一般形式，然后利用加减消元法解方程组，由方程①-②消去y求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而得到方程组得解；
（2）由|x-y|=x+y-2得x+y=|x+y|+2，结合绝对值的非负性可得x+y≥0，则|x+y|=x+y①，将方程①代入|x+y|=x+2可求出y的值，进而把y的值代入|x-y|=x+y-2，可求出x的值，从而得到方程组得解.
18．【答案】解：设A，B，C，D，E的价格分别为a，b，c，d，e，则有
①+②得a+c+d+b+c+e=30，将③代入得22+b+c+e=30，则b+c+e=8，
因为b，c，e取值为2，4，6，8，10，
所以B，C，E三种菜价格应为2，2，4.
若E的价格为4元，则①中a+4=14，a=10；②中2+d+4=16，d=10；A与D价格相等，不合题意.
若B的价格为4元，则①中a+4+2=14，a=8；②中2+d+2=16，d=12，不合题意.
若C的价格为4元，则①中a+2+4=14，a=8；②中4+d+2=16，d=10；③中8+4+10=22，符合题意.
所以A，B，C，D，E价格分别为8元，2元，4元，10元，2元.
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【分析】设A，B，C，D，E的价格分别为a，b，c，d，e，根据题意建立方程组，解方程可得B，C，E三种菜价格应为2，2，4，分情况讨论：若E的价格为4元，若B的价格为4元，若C的价格为4元，再列式计算即可求出答案.
19．【答案】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要0.8秒，B型机器人走一步需要0.75秒.
（2）解：设 A 型机器人走了 m 步，B 型机器人走了 n 步
由题意可得
因为 m、n 为正整数，n 为 15 的整数倍，
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
当
完成接力任务的时间为 秒
答：完成接力任务的时间可能为 32.85 秒，33.7 秒，34.55 秒.
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据“A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型机器人走m步，B型机器人走n步，根据总路程为30米（即3000厘米），可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出m，n的值，再将其代入（0.8m＋0.75n）中，即可求出结论．
20．【答案】（1）40；（8x-16）
（2）解：m列2层空心方阵人数：8m-16
n列3层空心方阵人数：8n-16+4(n-4)-4=12n-36.
根据题意可列出方程组，解得
（3）48
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）7列2层空心方阵中，外层有24人，第二层有16人，合共40人；
x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，合共人.
故答案为：40、；
（3）若排列成m列3层空心方阵，总人数为12m-36人；
若排列成n列4层空心方阵，总人数为人.
根据题意，有，整理得4n-3m=7（n＞4，m＞3）
当n=5时，m非整数；
当n=6时，m非整数；
当n=7时，m=7.
所以人.
即该代表队至少有48人.
故答案为：48.
【分析】（1）根据图片直接可直接计算7列2层空心方阵总人数；根据图片规律，可得到 x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，然后求和即可；
（2）根据题意列出关于m、n的二元一次方程组并解方程即可；
（3）可先分别表示出m列3层空心方阵、n列4层空心方阵的各自总人数表达式，然后根据条件建立并得到关于m，n的二元一次方程，然后根据m、n的实际意义、取值范围等，得出n的最小值（或m的最小值），然后代入计算出总人数即可.
21．【答案】（1）解： ∵ 关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：m=1.5；
（2）解： 方程组 ( a，b，c为常数，且)，解得：，，
所以x=y，所以关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据等解方程的意义求出x，从而可得y的值，代入方程组中第二个方程，求得m；
（2）解出方程组中的x与y，比较后得出结论.
22．【答案】（1）6；880
（2）解：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，
由题意可得20(x+1)+30x+100(7-2x)=420，
解得x=2．
∴A型的消费券3张，B型的消费券2张，则C型的消费券3张
（3）解：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，
①、型：．
，
，都是正整数，，，
无解；
②、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
③、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务一：用型的消费券数量为：，
满减前至少消费（元），
实际消费最少为（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则求解；
任务一：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解即可；
任务一：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，分类讨论，①、型：；②、型：；③、型：，分别列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解．
23．【答案】（1）；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得．
（3）解：方程组可化为，
关于x，y的二元一次方程组的解为，
，．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，
【分析】（1）设，，利用换元法求出，得出关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（2）利用换元法将原方程组变形，求出，得到关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（3）方程组中的两个方程两边同时除以5，将方程组变形，然后利用换元法得出，再进一步解方程组即可．
24．【答案】（1）解：∵x=y，x-y=2a+1，
∴2a+1=0，
∴a=-.
（2）解：
①×3+②，得：x=3a-1，
把x=3a-1代入①得：y=a-2.
∴方程组的解是：，
把代入x-5y=3，得3a-1-5a+10=3，
解得：a=3.
∴（a-4）2023=（3-4）2023=-1.
（3）解：∵x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
∴当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
当k=6时，x2-kxy+9y2=x2-6xy+9y2=（x-3y）2，
∵，
∴x-3y=3a-1-3（a-2）=5，
∴（x-3y）2=52=25.
∴此时定值为25.
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由x=y，x-y=2a+1，可以求出2a+1=0，a=-.
（2）把a看作是数字，解方程组得：，然后把代入x-5y=3，得3a-1-5a+10=3，解得：a=3.再把a=3代入代数式（a-4）2023求出值即可.
（3）通过观察分析可知，当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，所以当k=6时，x2-kxy+9y2=x2-6xy+9y2=（x-3y）2。因为，所以可得x-3y=3a-1-3（a-2）=5，所以（x-3y）2=52=25.所以此时定值为25.
25．【答案】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，
，
解得，，
；
（2）由题意得：，
解得：，
答：，；
（3）（千瓦时）．
（元．
答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．
建议是：节约用电，减小高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据题意列出一元一次方程，求解即可；
（2）根据点点和芳芳家的用电情况，列出二元一次方程组求解即可；
（3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，最多需要的电费高峰电价，可知需要节约用电，尽量控制高峰用电．
26．【答案】（1）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
．
、为正整数，
为的倍数，
又，
满足条件的为：，，，．
答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，由示意图可知一个竖式纸箱需要一张正方形纸板，4张长方形纸板，一个横式纸箱需要2张正方形纸板，3张长方形纸板，根据正方形纸板1000张可列出方程x+2y=1000，再根据长方形纸板2000张可列出方程4x+3y=2000，联立方程组解得x、y的值；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据正方形纸板80张，长方形纸板a张列出方程组，再利用加减消元法消去m用a表示出n，然后由n、a的取值范围得到a的值.
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