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4.3.2 等比数列的前n项和
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学习目标
1.探究并掌握等比数列前n项和的公式
2.会用等比数列前n项和公式解决一些与前n项和有关计算问题
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前n项和有关的实际关系
4.掌握等比数列前n项和的性质
学习重点
学习难点
等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法、等比数列的前n项和的性质和应用
等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法
新课导入
国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
新课学习
让我们一起来分析一下，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.
一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？
有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了.
等差数列、等比数列公式对照
等差数列的前n项和的性质
例题来了
解：
解：
证明：
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
O
M
N
P
分析：可以利用数列表示各正方体的面积，根据条件可知，这是一个等比数列
解：
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列，因此，可以利用等差教列、等比数列的知识进行计算.
解：
解：
等比数列前n项和有关基本量的运算的一般方法
1.等比数列求和公式的选择
2.注意公比
错位相减的步骤、注意事项
3.用错位相减法的注意事项
（1）注意解题“3关键”
（2）谨防解题“2失误”
①两式相减时最后一项后因没有对应项而忘记变好.
②对相减后的和式的结构认识模糊，错位中间的n-1项和当作n项和.
裂项相消法
裂项相消法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之消去一些项，最后达到求和的目的.
裂项相消法常用裂项公式:
课堂巩固
B
C
C
B
A
C
62
24
1.等比数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和公式的应用
总结一下
THANKS
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5.1.2 导数的概念及其几何意义
学习目标
1.理解平均变化率、瞬时变化率的求法
2.理解瞬时变化率、瞬时变化率的概念以及它们之间的关系
3.掌握导数的概念及其几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点的导数
学习重点
学习难点
平均变化率、瞬时变化率的概念及其求法、导数的概念及其利用导数概念求导数、导数几何意义的应用
平均变化率、瞬时变化率的概念以及两者之间的关系的理解、导数概念的理解、导数的几何意义
新课导入
在上节课的学习中，我们研究了平均速度和瞬时速度的物理问题，以及割线斜率和切线斜率的几何问题，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，这节课我们就来探究一下平均变化率、导数的概念及其几何意义.
新课学均变化率的概念
瞬时变化率（导数）的概念
例题来了
解：
解：
解：
思考一下
O
x0
x0+ Δx
f (x0)
x
y
f (x0+ Δx)
f (x0+ Δx) – f (x0)
P0
P
T
Δx
y = f (x)
继续观察上图，可以发现点 P0 处的切线 P0T 比任何一条割线都更贴近点 P0 附近的曲线.如图，将点 P0 附近的曲线不断放大，可以发现点 P0 附近的曲线越来接近于直线.因此，在点 P0 附近，曲线 y = f (x) 可以用点 P0 处的切线 P0T 近似代替.
P0
T
P0
T
P0
T
对函数几何意义的理解
解：
解：
导函数的概念
求平均变化率的方法步骤
通常用“两步”法,一作查，二作商，即
课堂巩固
A
A
D
B
D
18
总结一下
1.平均变化率的概念
2.瞬时变化率（导数）的概念
3.导数的几何意义
4.导数的概念
“THANK YOU”
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4.2.2 等差数列的前n项公式
人教A版（2019）选择性必修二
学习目标
1.探索并掌握等差数列前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题
3.会利用等差数列的前n项和公式研究等差数列的最值
学习重点
学习难点
等差数列前n项和的推导以及等差数列前n项和的应用
等差数列前n项和公式以及应用、等差数列前n项和公式与二次函数的关系、等差数列前n项和的最值问题
新课导入
据说，200多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：
1+2+3+...+100=
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，高斯给出了下面的答案
高斯的算法解决了求等差数列
前100项的问题
新课学习
将上述推广到一般，可以得到
等差数列前n项和公式
思考：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
例题来了
解：
解：
例3 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.
解：
O
n
Sn
解：
法1：
法2：
思考：在例4中，当d=-3.5时，数列的前n项和有最值吗？
结论
等差数列前n项和的常用性质
等差数列前n项和的最值求解的常用方法
方法一：通项公式法：其基本思想是通过通项公式求出符号变化的项，从而求得和的最值；
方法二：前n项和法：其基本思想是利用前n项和公式的二次函数特性，借助抛物线的图象求最值．
等差数列求和的方法：
1.倒序相加
倒序相加法适用于与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和的数列，其解题步骤：（1）将原数列倒序排列；（2）将倒序数列与原数列相加；（3）求和．
2.裂项相消
（2）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
3.并项求和
（1）并项求和法是通过合并数列的项，转化为常见的数列求和，从而达到求和目的的方法．在利用并项求和法时，要注意数列并项以后的项数以及并项时有没有无法合并的项，例如在利用并项求和法求 S n时，有时要对n 为奇数，n 为偶数分类讨论．另外并项求和法尤其适用于摆动数列的求和；
（2）分组求和法是通过把一个数列通过适当整理，转化为n个易于求和的数列，从而达到求和目的的方法．在利用分组求和法求数列前n项和时，要注意观察数列的通项，分析清楚怎样整理分组较好.
课堂巩固
B
D
B
D
A
C
70
4
总结一下
等差数列前n项和公式
THANKS
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4.1 数列的概念
人教A版（2019）选择性必修二
学习目标
1.了解数列的概念、表示方法以及数列的分类
2.通过函数思想研究数列的概念
3.理解数列通项公式的意义，了解数列的递推公式
4.了解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式
学习重点
数列的概念和表示方法、数列的通项公式以及递推公式的应用，由数列的前n项和求通项公式
学习难点
数列通项公式的理解和应用、数列递推公式的认识及应用、有由数列的前n项和求通项公式
新课导入
根据下面的例子，理解数列的概念.
情境 1：王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高. 将这些身高数据 (单位：cm) 依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，
145，153，158，160，162，163，165，168. ①
记录王芳第i岁时的身高为hi,我们发现hi中的i反映了身高从岁数1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第一排的数，h2=87是排在第二排的数等等，它们不可以交换顺序，所以①是具有确定顺序的一列数.
情境 2：在两河流域发掘的一块泥版 (编号 K90，约产生于公元前 7 世纪) 上，有一列依次表示一个月中从第 1 天到第 15 天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
144，160，176，192，208，224，240. ②
记第i天月亮可见部分的数为si，s1=5是排列在第一位的数，s2是排列在第二位的数，...，它们之间不可以交互位置，所以，②也是具有顺序的一列数.
思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有顺序的一列数吗？
结论
新课学习
数列的相关概念及分类
数列有限的数列叫做有穷数列，数列无限的数列叫做无穷数列
数列的符号表示
从函数角度看数列
1.数列与函数的关系
2.数列的函数表示法及性质
（1）列表法和图象法
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.
1
2
3
4
5
6
7
20
40
60
80
100
120
140
0
n
an
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
160
180
列表法
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
an 75 87 96 103 110 116 120 128 138 145 153 158 160 162 163 165 168
图象法
（2）数列的单调性
与函数类似，可以定义数列的单调性，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
数列的通项公式
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例题来了
解：
解：
解：
解：
解：
例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.
解：
数列的递推公式
若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式. 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.
解：
由题意可知，
数列的前n项和
1.数列的前n项和的定义
2.数列的前n项和公式
思考一下
结论
拓展：
根据所给数列前几项求其通向公式的方法
1.仔细观察分析、抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：
（1）分数中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；
（3）拆分后各项的特征；（4）各项的符号特征等.
2.如果所给数列的前几项特征不明显，可以对数列的部分项进行变形，变形后再寻找规律求通项公式.
3.根据数列的前几项写出数列的一个通向公式利用了不完全归纳法，它蕴含了从特征到一般的思想，由不完全归纳法得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号的变化，可用(-1)n或（-1）n+1来调整.
应用数列的通向公式求解或判断项的方法
1.如果已知数列的通项公式，只要将相应的序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．如果不知数列的通项公式，可先求出数列的通项公式，再求指定项．
2.判断某数是否为数列中的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n的值为正整数，则该数是数列中的项，否则该数不是数列中的项．
3.判断某个区间内数列有几项，只需在此区间内列出关于n的不等式（组），进而求得n的取值范围，若取值范围内有正整数，则区间内有数列的项，有几个正整数便有几项，否则没有.
应用数列的通向公式求解或判断项的方法
应用递推公式求数列的项的方法
1.应用递推公式求数列的项时，如果项的序号较小，一般直接代入递推公式求解；
2.应用递推公式求数列的项时，如果项的序号较大，一般先根据递推公式写出数列的前几项，进而发现数列的周期，然后利用周期求项．
解：
判断函数单调性的方法
3.函数法：因为数列的图象是相应函数图象上的一系列孤立的点，所以可通过判断相应函数的单调性，进而判断出数列的单调性.
解：
求数列中最大（最小）值问题的两种方法
1.构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值
解：
由递推公式求通项公式的常用方法
1.归纳法.根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.
2.迭代法、累加法或累乘法
课堂巩固
D
A
C
B
B
3
总结一下
1.数列的相关概念及分类
2.数列的符号表示
3.从函数角度看数列
4.数列的通项公式
5.数列的递推公式
6.数列的前n项和
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5.1.1 变换率问题
人教A版（2019）选择性必修二
1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.
2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.
学习目标
割线与切线的斜率
学习重点
学习难点
瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法.
在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题.
新课导入
一.平均速度
新课学习
运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段的运动得越来越慢，在下降阶段的运动越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间的平均速度近似地描述他的运动状态.
思考一下
结论
瞬时速度的概念
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
思考：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗？
二.瞬时速度
为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
结论
思考一下
结论
思考一下
三.割线与切线的斜率
T
o
1
2
1
2
3
x
y
P0
P
1.切线的定义
2.割线与切线的斜率
（1）切线的斜率
（2）切线的斜率
O
1
(1，h(1))
t
h
(1+Δt，h(1+Δt))
h(t) = – 4.9t2+4.8t+11
C
课堂巩固
B
B
C
D
1
1. 平均速度
2. 瞬时速度
3. 抛物线切线与割线的斜率
总结一下
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5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 导数的四则运算法则
学习目标
1.能根据导数的定义求函数的导数
2.会使用导数公式表
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数
学习重点
导数公式表及导数四则运算法则的识记以及能利用给出的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
学习难点
导数公示表和导数除法法则的识记以及求简单函数的导数
新课导入
由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的．在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的．由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的"运算法则"，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数．本节我们就来研究这些问题．
新课学习
x
y
O
y＝c
x
y
O
y＝x
基本初等函数的导数
例题来了
解：
解：
函数和、差的求导法则
导数和（差）求导法的推广：
解：
函数积、商的求导法则
导数四则运算总结
几点说明：
2.函数商的求导法则用文字语言叙述为两个函数的商的导数，等于分子函数的导数乘上分母函数，减去分子函数乘上分母函数的导数，所得差除以分母函数的平方.
解：
解：
课堂巩固
B
B
B
D
B
-1
总结一下
1.基本初等函数的导数公式
2. 函数和、差的求导法则
3. 函数积、商的求导法则
教学完毕·感谢(共35张PPT)
4.2.1 等差数列的概念
人教A版（2019）选择性必修第二册
学习目标
1.理解等差数列的概念和通项公式，了解等差中项的概念
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差数列，并解决相应的问题
3.能通过等差数列的概念、通项公式和图象，认识等差数列的性质
学习重点
学习难点
等差数列、等差中项的概念、等差数列的通项公式、等差数列的性质、等差数列的性质
等差数列概念的理解、通项公式的推导和识记、等差数列通项公式及性质的应用
新课导入
观察下面几个问题中的数列，你能发现什么取值规律？
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81.①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48.②
3. 测量某地垂直地面方向上海拔500 m以下的大气温度，得到从距离地面20 m起每升高100 m处的大气温度（单位：℃）依次为
25，24，23，22，21.③
结论
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 数列②~④也有这样的取值规律.
新课学习
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.例如，数列①的公差d=5 .
注意:等差数列定义中强调作查的顺序，即从第2项起，每一项一定是与它的前一项作差，而不是后一项作差.
等差中项
任意两个实数都有等差数列
等差数列的通项公式
思考：如何根据等差数列的定义推导它的通项公式？
注意：由等差数列的通项公式可知，等差数列中的任一项均可用首项和公差表示出来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差数列的首项和公差称为等差数列的基本量．
等差数列与一次函数的关系
思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
类别 等差数列 一次函数
解析式
不同点
相同点 an = kn + b (k ≠ 0，n∈N+)
f (x) = kx + b (k ≠ 0)
① 定义域为N+；
② 图象是一系列孤立的点
① 定义域为R；
② 图象是一条直线
等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式；
等差数列的图象是相应的一次函数上的一系列孤立的点.
等差数列与一次函数的异同点
等差数列的常用性质的总结
1.在一个等差数列中，中间的每一项（既不是首项，也不是末项）都是它的前一项与后一项的等差中项；
3.在一个等差数列中，抽取间隔相等的项组成的新数列仍成等差数列；
4.在一个等差数列中，若d>0，则该数列为递增数列，若d=0，则该数列为常数列，若d<0，则该数列为递减数列；
等差数列的常用性质的总结
例题来了
解：
分析:先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401能否使这个方程有正整数解.
解：
解：
拓展
1.等差数列的判断方法
要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或者中项法
含参的等差数列的判定和证明方法
方法一： 判定或证明递推关系式或通项含参数的等差数列问题，可先假设参数存在，利用数列的特殊项（一般选择下标数较小的项，如a1,a2,a3等）成等差数列，构造关于参数的方程．若关于参数的方程无解，则不存在参数使数列成等差数列；若参数的值存在，则将参数值求出后再代入递推关系式中证明．
方法二：根据定义法，等差中项或通项公式法转化为关于n的等式的恒成立问题．通过对应系数相等建立方程，若方程有解，则存在参数使数列成等差数列；若方程无解，则不存在参数使数列成等差数列．
等差数列项的常见设法
应用等差数列通项公式的思路方法及注意事项
课堂巩固
A
B
A
C
A
24
总结一下
1.等差数列的概念
2.等差中项的概念
3.等差数列的通项公式
4.等差数列与一次函数的关系
THANKS
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4.4 数学归纳法
人教A版（2019）选择性必修一
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3.明确数列问题解决的重要方法
学习目标
1.了解数学归纳法原理
学习重点
数学归纳法的基本原理、数学归纳法的步骤、用数学归纳法证明一些简单的数学命题
学习难点
数学归纳法的原理以及用数学归纳法证明命题
新课导入
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列的通项公式等，但没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数n有关的命题，怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？本节课我们就来学习一种重要的证明方法——数学归纳法.
新课学习
1.寻找证明方法的必要性
我们从n=5开始往下验证,
2.寻求证明方法
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有多少块骨牌,都能全部倒下.
可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个
（1）第一个骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
推理的一般结论：
3.数学归纳法原理
数学归纳法中的两个步骤之间的关系：
例题来了
证明：
证明：
解：
解：
解法1：
下面用数学归纳法证明这个猜想.
解法2：
用数学归纳法证明恒等式的思路方法及注意事项
用数学归纳法证明不等式的思路方法及注意事项
（1）在应用归纳假设证明的过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明.
归纳—猜想—证明的关键点
归纳—猜想—证明是考查的重点题型，其解题步骤是通过特例求值，然后根据所求结果猜想出一个一般性的结论，再用证明方法给出严格证明，其解题关键有两点：其一是归纳猜想的结论一定要有一般性和准确性，这就需要我们多通过几个特例求值，多求得几个结果，这样猜想的结论才有一般性和准确性，其二是证明，由于证明方法较多，并且猜想的结论可能是等式、不等式等多种情况，所以证明过程要针对题目情况给出相应的解决措施．
例题来了
C
C
D
B
总结一下
1.数学归纳原理
2.数学归纳法的应用
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5.3.2 函数的极值与最大（小）值
人教A版（2019）选择性必修二
学习目标
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上的多项式最大值、最小值
3.体会导数单调性、极值、最大（小）值的关系
学习重点
学习难点
利用导数求函数的极值、最值
含参问题、恒成立问题、用导数解决函数与方程问题
新课导入
O
a
b
t
h
h (a) = 0
单调递增
h (t) > 0
单调递减
h (t) < 0
新课学习
如图，函数 y = f (x) 在 x = a，b，c，d，e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y = f (x) 在这些点的导数值 f (x) 分别是多少？在这些点附近，y = f (x) 的导数的正负性有什么规律？
O
a
b
x
y
c
e
d
y = f (x)
函数极值的概念
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
对函数极值的理解
（1）极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较，它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．
（2）一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．（如图）
O
x
y
（3）函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
（5）单调函数一定没有极值．
例题来了
解：
O
– 2
x
y
2
函数图象
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
思考一下
结论
函数的最大（小）值
O
a
b
x
y
x1
y = f (x)
x2
x3
x4
x5
x6
O
a
b
x
y
y = f (x)
最大值是 f (b)
最小值是 f (a)
O
a
b
x
y
x1
y = g(x)
x2
x3
x4
x5
最大值是 g(x3)
最小值是 g(x4)
小结：如果在区间 [a，b] 上函数 y = f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
解：
O
3
x
y
4
1
2
求函数最值的方法步骤
函数的最值与极值的区别和联系
（1）函数的最大值、最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．
（2）函数的极值可以有多个，但函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个．
（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值．
用函数最值证明不等式
解：
O
1
x
y
f (x) = (x+1)ex
1
-2
-1
-1
解：
课堂巩固
B
C
C
C
C
总结一下
1. 极值的概念
2. 求函数的极值的方法
3.函数的最值
4.求函数最值的方法步骤
5.画函数的大致图象的步骤
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感谢您的聆听！(共43张PPT)
4.3.1 等比数列的概念
人教A版（2019）选择性必修第二册
学习目标
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的实际问题
3.体会等比数列与指数函数的关系
4.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质
学习重点
学习难点
等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式、等比数列的性质、等比数列的应用
等比数列的运算、等比数列的性质和应用
新课导入
我们知道，等差数列的特征是从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数值是值得研究的？
新课学习
我们看下面几个问题中的数列
问题：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.
等差数列的概念
注意：
1.等比数列定义中要注意比的顺序，即从第2项起，每一项一定是与它的前一项作比；
2.等比数列定义中同一个常数中的同一个非常重要，切记不可丢掉；
3.公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数；
4.等比数列中各项均不能为0；
5.等比数列的符号表示
等比数列的定义是判断、证明一个数列是等比数列的重要依据
等比中项
注意：
1.两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数；
3.应用等比中项法也可以判断、证明一个数列是等比数列：
等比数列的通项公式
等比数列与指数函数的关系
例题来了
解：
解法1：
解法2：
解：
解：
解：
证明：
解：
拓展：
判定数列是等比数列的常用方法
应用等比数列的性质解题的注意事项
（2）等比数列的性质的应用不可强求，若题目不可应用等比数列的性质，可通过基本量法求解.
（3）应用等比数列的通项公式列方程（组），若同时应用等比数列的性质，有时会起到事半功倍的效果.
课堂巩固
D
A
A
D
C
A
总结一下
1.等比数列的概念
2.等比中项
3.等比数列的通项公式
4.等比数列与指数函数的关系
THANKS
感谢同学们的观看(共26张PPT)
5.2.3 简单复合函数的导数
人教A版（2019）选择性必修二
学习目标
能求简单复合函数的导数
学习重点
复合函数导数的求法
学习难点
求复合函数的导数
新课导入
新课学习
复合函数的概念
对于复合函数概念的理解要注意以下两点
复合函数的求导法则
对复合函数求导法则要注意的三点
2.我们把复合函数这种求导法则称为“链式法则”
例题来了
解：
解：
求复合函数的导数的步骤
求复合函数的导数的方法
1.选取适当的中间变量，使构成复合函数的基本初等函数符号导数公式中函数结构
2.从外到内，依次求每一层的导数
3.把中间变量转化成自变量的表达式
课堂巩固
D
A
C
A
A
D
0
谢谢大家观看
●
●
●
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三
●d
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●
%
单
氧
必
复
复
高
岗
演
方
高
询
八
70
8
s(共40张PPT)
5.3.1 函数的单调性
人教A版（2019）选择性必修二
学习目标
1.理解可导函数的单调性与其导数的关系
2.能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间
3.能够利用函数的单调性解决有关问题，如证明不等式、求参数范围等
4.体会导数法判断函数的单调性的优越性
利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间
证明不等式及逆向求参问题
学习重点
学习难点
新课导入
我们复习一下高一学习的函数单调性的概念，
在本章的学习中，我们学习了导数的概念及其运算，那么导数与函数的单调性之间有什么关系呢，能否用导数更加精准地研究函数的单调性呢，带着问题开始本节课的学习吧.
新课学习
O
a
t
h
b
h(t) = – 4.9t2+4.8t+11
（1）
O
a
t
v
b
v(t) = – 9.8t + 4.8
（2）
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
结论
观察图(1)、(2)可得：
① 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加，即 h(t) 单调递增；相应地，v(t) = h′(t) > 0；
② 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少，即 h (t) 单调递减；相应地，v(t) = h′(t) < 0.
对于高台跳水问题，可以发现：
①当 t∈(0，a) 时，h′(t) > 0，函数 h(t) 的图象是“上升” 的，函数 h(t) 在(0，a) 上单调递增；
② 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少，即 h (t) 单调递减；相应地，v(t) = h′(t) < 0.
这种情况是都具有一般性呢？
观察下面的函数，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
x
y
O
y = x
x
y
O
y = x2
y = x3
x
y
O
x
y
O
（1）
（2）
（3）
（4）
x
y
O
y = f (x)
(x0，f (x0))
(x1，f (x1))
在 x = x0 处，f ′(x0) > 0，切线是“左下右上”的上升式，函数 f (x) 的图象也是上升的，即函数 f (x) 在 x = x0 附近单调递增；
在 x = x1 处，f ′(x1) < 0，切线是“左上右下”的下降式，函数 f (x) 的图象也是下降的，即函数 f (x) 在 x = x1 附近单调递减.
函数的单调性与导数的关系
例题来了
解：
y = x3 + 3x
x
y
O
（1）
x
y
O
（3）
1
1
解：
x
y
O
y = f (x)
1
4
结论
解：
x
y
O
函数快慢与导数的关系
x
y
O
y = ln x
y = x3
x
y
O
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
函数值增减快慢与导数的关系
函数 f (x) 的图象 f ′(x) 的变化规律 函数值变化规律
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
f ′(x) > 0 且越来越大
函数值增加得越来越快
f ′(x) > 0 且越来越小
函数值增加得越来越慢
f ′(x) < 0 且越来越小
函数值增加得越来越快
f ′(x) < 0 且越来越大
函数值增加得越来越慢
解：
x
y
O
C2
C1
1
课堂巩固
A
A
C
C
D
e
总结一下
1.函数的单调性与导数的关系.
2.三次函数的单调性.
3.函数的变化快慢与导数的关系.
感谢您的
聆听
