课时1 三角函数的概念及三角恒等变换
[备考指南] 三角函数的概念、三角恒等变换是高考的两个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，转化与化归是研究三角恒等变换的重要法宝．
命题点1 三角函数的概念、诱导公式
【典例1】 (1)(2025·浙江金华二模)点A(2，1)绕原点O按逆时针方向旋转90°到达点B，则点B的坐标为( )
A．(1，2) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(－2，－1)
(2)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A．
B．
C．
D．
[听课记录]
反思领悟 三角函数的概念及应用
(1)已知角α终边上一点P的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角α的三角函数值．
(2)匀速圆周运动综合考查了三角函数的定义、三角函数的周期性、三角函数建模等知识．
1．(2025·北京东城一模)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是( )
A．sin(π＋α) B．cos (π－α)
C．sin 2α D．cos 2α
2．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3，4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则( )
A．cos (π＋α)＝
B．β＝2kπ＋＋2α(k∈Z)
C．tan β＝
D．角β的终边在第一象限
3．[教材延伸]在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r．我们规定：比值分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把y＝sec x，y＝csc x，y＝cot x分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的有________(填上所有正确的序号)．
①cot ＝1；
②sin α·csc α＝1；
③y＝sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；
④sec2α＋csc2α≥4；
⑤cot2α＝．
命题点2 三角恒等变换
【典例2】 (1)(2025·全国二卷)已知0＜α＜π，cos ＝，则sin ＝( )
A． B． C． D．
(2)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝( )
A． B． C．1 D．
(3)(2025·重庆模拟)设tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________．
[听课记录]
反思领悟 三角恒等变换的目的和策略
(1)目的：统一角、统一函数、统一结构．
(2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式．
1．(2025·江西模拟)的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
2．[教材母题改编]若钝角α满足＝2，则cos α的值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
3．(多选)(2025·浙江杭州模拟)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos (α＋β)＝－，则下列结论正确的是( )
A．cos 2α＝ B．sin α－cos α＝
C．sin (α＋β)＝ D．β－α＝
4．(2025·广东湛江一模)已知tan ＝，则sin ＝________．
单位圆与三角函数、向量数量积融合
高考数学常将单位圆与三角函数定义结合，考察角度坐标化；通过向量数量积(如推导两角差余弦公式)关联几何与代数，结合三角恒等变换(和差角、倍角公式)进行化简求值，综合命题注重知识交汇，如利用向量坐标运算结合单位圆性质解决三角恒等式证明或最值问题．
【典例3】 (多选)如图所示，已知角α，β的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则下列说法正确的是( )
A．∠BOC＝
B．·＋1＝||2
C．·＝||
D．点M的坐标为
[听课记录]
课时1 三角函数的概念及三角恒等变换
典例1 (1)B (2)ABD [(1)以原点O为角的顶点，x轴的非负半轴为角的始边，令角α的终边过点A，则α＋90°角的终边过点B(x，y)，且|OB|＝|OA|＝，于是sin α＝，cos α＝，y＝|OB|·sin(α＋90°)＝cos α＝2，x＝|OB|cos(α＋90°)＝－sin α＝－1，所以点B的坐标为(－1，2)．故选B．
(2)由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝，设t时刻Q与P重合，则5t－2t＝＋2kπ，
即t＝π，
此时点Qcos －＋5t，sin －＋5t，即Qcos π，sin π(k∈N)，
当k＝0时，Q，故A正确；
当k＝1时，Q，
即Q，故B正确；
当k＝2时，Q，
即Q，故D正确．
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合．故选ABD．]
考教衔接
1．C [由题意得sin α>0，cos α>0，
A选项，sin(π＋α)＝－sin α<0，A错误；
B选项，cos(π－α)＝－cos α<0，B错误；
C选项，sin 2α＝2sin αcos α>0，C正确；
D选项，cos 2α＝cos2α－sin2α，若α＝，
此时cos 2α＝0，D错误．故选C．]
2．ACD [因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
终边经过点P(－3，4)，
所以OP＝5，sin α＝，cos α＝－，
所以cos(π＋α)＝－cos α＝，故A正确；
又sin 2α＝2sin αcos α＝2×，cos 2α＝cos2α－sin2α＝，
所以角2α的终边与单位圆的交点坐标为．
因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点坐标为，
所以tan β＝，且角β的终边在第一象限，故CD正确；
因为终边在直线y＝－x的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y＝－x对称，
所以＝kπ－ β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B错误．
故选ACD．]
3．②④⑤ [①cot＝－1，故错误；
②sin α·csc α＝sin α·＝1，故正确；
③y＝sec x＝，即cos x≠0，
有，故错误；
④sec2α＋csc2α＝≥4，故正确；
⑤cot 2α＝，tan 2α＝，
所以cot 2α＝，故正确．]
典例2 (1)D (2)A (3)－ [(1)cos α＝2cos2，
因为0<α<π，所以sin α＝，
所以sin(sin α－cos α)＝．
(2)由tan 2θ＝－4tan，
得 －2(tan θ＋1)2＝tan θ，
则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，因为θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－．故选A．
(3)因为tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7，所以tan α<0，tan β<0，
因为α，β∈，
所以α，β∈，
所以α＋β∈(－π，0)，
则tan(α＋β)＝，所以α＋β＝－．]
考教衔接
1．D [＝－2．故选D．]
2．C [法一：因为＝2，
则1＋sin α－cos α＝2(1＋sin α＋cos α)，
所以sin α＝－1－3cos α，由siα＋cos2α＝1，
得2(5cos α＋3)cos α＝0，
所以cos α＝0或cos α＝－，
又因为α为钝角，所以cos α＝－．
故选C．
法二：因为
＝＝2，
所以tan ＝2，tan ＝－1(舍去)，
所以cos α＝
＝．故选C．]
3．BD [由≤α≤π ≤2α≤2π，sin 2α＝≤2α≤π，即cos 2α＝－，故A错误；
由于≤2α≤π，所以≤α≤，
则有sin α≥≥cos α，
即sin α－cos α＝，故B正确；
因为≤α≤，π≤β≤≤α＋β≤2π，
又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝－
＝－，故C错误；
由sin(β－α)＝sin(α＋β－2α)
＝sin(α＋β)cos 2α－cos(α＋β)sin 2α
＝－，
因为≤α≤，π≤β≤≤β－α≤，
则β－α＝，故D正确．
故选BD．]
4． [tan，
即cos．
又cos2＝1，
所以cos2，
所以sin＝sin2α＋＋＝cos2α＋
＝cos
＝2cos2．]
典例3 ACD [对于A，因为M是AB的中点，且OA＝OB，所以∠BOC＝，故A正确；
对于B，由条件可知，A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，·＝cos βcos α＋sin βsin α＝cos(β－α)，·＋1＝cos(β－α)＋1＝2cos2，
|，
所以·|2，故B错误；
对于C，·|，故C正确；
对于D，xM＝(xA＋xB)＝(cos α＋cos β)＝ cos ＋cos
＝cos ·sin＝cos ·cos ，
yM＝(yA＋yB)＝(sin α＋sin β)，
所以点M的坐标为cos sin α＋sin β，故D正确．故选ACD．]
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专题一 三角函数与解三角形
提纲挈领——重构知识体系 整合必备知识
融会贯通——重视审题答题 升华学生思维
阅卷案例 四字解题
(2024·新高考Ⅰ卷T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 读 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c
想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式
算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积
思 转化与化归 函数与方程
规范解答
[解] (1)因为，
所以在△ABC中，由余弦定理的推论得
cos C＝＝＝，……………………………………………1分
………………………………2分
从而sin C＝，……………………………………………………………3分
又sin C＝cos B，所以cos B＝，………………………………………4分
……………………………5分
规范解答
(2)因为B＝，C＝，从而A＝π－＝，…………………………………………6分
所以sin A＝sin ＝sin ＝＝，……………………………7分
由正弦定理，得＝＝，………………………………………………………8分
从而a＝c＝c，b＝c＝c，……………………………………10分
所以S△ABC＝ab sin C＝c×c×＝c2，…………………………………11分
又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8，……………………………12分
所以c＝2．……………………………………………………………………………13分
满分心得
得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝，即得1分．
得关键分：解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分．
得计算分：计算准确是得满分的保证．
1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！
2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略．
课时1 三角函数的概念及三角恒等变换
[备考指南] 三角函数的概念、三角恒等变换是高考的两个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，转化与化归是研究三角恒等变换的重要法宝．
√
命题点1 三角函数的概念、诱导公式
【典例1】 (1)(2025·浙江金华二模)点A(2，1)绕原点O按逆时针方向旋转90°到达点B，则点B的坐标为( )
A．(1，2) B．(－1，2)
C．(－2，1) D．(－2，－1)
√
(2)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为
2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A． B．
C． D．
√
√
(1)B (2)ABD [(1)以原点O为角的顶点，x轴的非负半轴为角的始边，令角α的终边过点A，则α＋90°角的终边过点B(x，y)，且|OB|＝|OA|＝＝，
于是sin α＝，cos α＝，y＝|OB|sin (α＋90°)＝cos α＝2，
x＝|OB|cos (α＋90°)＝－sin α＝－1，所以点B的坐标为(－1，2)．故选B．
(2)由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝，设t时刻Q与P重合，则5t－2t＝＋2kπ，
即t＝π，
此时点Q，
即Q(k∈N)，
当k＝0时，Q，故A正确；
当k＝1时，Q，
即Q，故B正确；
当k＝2时，Q，
即Q，故D正确．
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合．故选ABD．]
反思领悟 三角函数的概念及应用
(1)已知角α终边上一点P的坐标，利用三角函数的定义，可以求出角α的三角函数值．
(2)匀速圆周运动综合考查了三角函数的定义、三角函数的周期性、三角函数建模等知识．
√
1．(2025·北京东城一模)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是( )
A．sin(π＋α) B．cos (π－α)
C．sin 2α D．cos 2α
C [由题意得sin α>0，cos α>0，
A选项，sin(π＋α)＝－sin α<0，A错误；
B选项，cos (π－α)＝－cos α<0，B错误；
C选项，sin 2α＝2sin αcos α>0，C正确；
D选项，cos 2α＝cos2α－sin2α，若α＝，
此时cos2α＝0，D错误．故选C．]
√
2．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，P(－3，4)为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，则( )
A．cos (π＋α)＝
B．β＝2kπ＋＋2α(k∈Z)
C．tan β＝
D．角β的终边在第一象限
√
√
ACD [因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，4)，
所以OP＝5，sin α＝，cos α＝－，
所以cos (π＋α)＝－cos α＝，故A正确；
又sin 2α＝2sin αcos α＝2×＝－，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，
所以角2α的终边与单位圆的交点坐标为．
因为角β的终边与角2α的终边关于直线y＝－x对称，所以角β的终边与单位圆的交点坐标为，所以tanβ＝，且角β的终边在第一象限，故CD正确；
因为终边在直线y＝－x的角为kπ－，k∈Z，角2α的终边与角β的终边关于y＝－x对称，
所以＝kπ－ β＝2kπ－－2α(k∈Z)，故B错误．故选ACD．]
3．[教材延伸]在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r．我们规定：比值分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作
sec α，csc α，cot α，把y＝sec x，y＝csc x，y＝cot x分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的有________(填上所有正确的序号)．
①cot ＝1；②sin α·csc α＝1；③y＝sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}；④sec2α＋csc2α≥4；⑤cot2α＝．
②④⑤
②④⑤ [①cot ＝＝－1，故错误；
②sin α·csc α＝sin α·＝1，故正确；
③y＝sec x＝，即cos x≠0，
有，故错误；
④sec2α＋csc2α＝＝＝≥4，故正确；
⑤cot2α＝，tan 2α＝，
所以cot2α＝，故正确．]
√
【教用·备选题】
1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A． B． C． D．1
B [由O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，
因为cos 2α＝2cos2α－1＝2·－1＝，解得a2＝，即|a|＝，
所以|a－b|＝|a－2a|＝．
故选B．]
√
2．(2025·山东青岛一模)在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1 rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动．A，B分别以A0(0，1)，B0(2，0)为起点同时开始运动，经过t s后，动点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋x2的最小值为( )
A．－3 B．－2 C．－ D．－1
C [由三角函数的定义可知，
y1＝sin ＝cos 2t，x2＝2cos t，
则y1＋x2＝cos 2t＋2cos t＝2cos2t＋2cost－1，
因为2cos2t＋2cost－1＝2－≥－，其中－1≤cos t≤1，当且仅当cos t＝－时，等号成立，故y1＋x2的最小值为－．故选C．]
3．(2025·河北保定一模)设α是第二象限角，P(x，1)为其终边上一点，且cos α＝x，则tan α＝________．
－ [由题意可知，cos α＝＝x，
因为x≠0，所以＝2，x＝±．
又α是第二象限角，所以x＝－，
所以tan α＝＝＝－．]
－
√
命题点2 三角恒等变换
【典例2】 (1)(2025·全国二卷)已知0＜α＜π，cos ＝，则sin ＝( )
A． B． C． D．
(2)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝( )
A． B． C．1 D．
√
(3)(2025·重庆模拟)设tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________．
(1)D (2)A (3)－ [(1)cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sinα＝，所以sin ＝(sin α－cos α)＝＝．
－
(2)由tan 2θ＝－4tan ，
得＝(tan θ＋1)2＝tan θ，
则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因为θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
所以＝＝＝＝．故选A．
(3)因为tan α，tan β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7，
所以tan α<0，tan β<0，
因为α，β∈，所以α，β∈，
所以α＋β∈(－π，0)，
则tan (α＋β)＝＝＝，
所以α＋β＝－．]
√
【教用·备选题】
(2025·河北沧州模拟)已知0<α<，0<β<，且cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝－，则tan 2α＝( )
A． B． C． D．
D [已知0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π．
因为cos (α＋β)＝>0，所以0<α＋β<．
所以sin (α＋β)＝＝＝，
即tan(α＋β)＝＝＝．
已知0<α<，0<β<，所以－<α－β<．
因为sin (α－β)＝－<0，所以－<α－β<0．
所以cos (α－β)＝＝＝，
即tan(α－β)＝＝＝－．
因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，所以
tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝＝＝．故选D．]
反思领悟 三角恒等变换的目的和策略
(1)目的：统一角、统一函数、统一结构．
(2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式．
√
1．(2025·江西模拟)的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
D [＝＝＝－2．故选D．]
√
2．[教材母题改编]若钝角α满足＝2，则cos α的值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
C [法一：因为＝2，
则1＋sin α－cos α＝2(1＋sin α＋cos α)，
所以sin α＝－1－3cos α，由sin2α＋cos2α＝1，
得2(5cosα＋3)cos α＝0，所以cos α＝0或cos α＝－，
又因为α为钝角，所以cos α＝－．故选C．
法二：因为＝＝2，所以tan＝2，tan ＝－1(舍去)，
所以cos α＝＝＝－．故选C．]
√
3．(多选)(2025·浙江杭州模拟)已知≤α≤π，π≤β≤，sin2α＝，cos (α＋β)＝－，则下列结论正确的是( )
A．cos 2α＝ B．sin α－cos α＝
C．sin (α＋β)＝ D．β－α＝
√
BD [由≤α≤π ≤2α≤2π，sin 2α＝，所以≤2α≤π，即cos 2α＝－，故A错误；
由于≤2α≤π，所以≤α≤，则有sin α≥≥cos α，即sin α－cos α＝＝＝＝，故B正确；
因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，
又因为cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝－＝
－＝－，故C错误；
由sin(β－α)＝sin (α＋β－2α)＝sin (α＋β)cos 2α－cos (α＋β)sin 2α
＝－＝＝，
因为≤α≤，π≤β≤，所以≤β－α≤，
则β－α＝，故D正确．故选BD．]
4．(2025·广东湛江一模)已知tan ＝，则sin ＝____．
[tan ＝＝，即cos ＝3sin ．
又cos2＋sin2＝1，所以cos2＝，所以sin＝sin ＝cos ＝cos ＝2cos2－1＝．]
√
【教用·备选题】
1．(2024·全国甲卷)已知，则tan ＝( )
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
B [因为＝，
所以＝，解得tan α＝1－，
所以tan ＝＝2－1．
故选B．]
√
2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( )
A．－3m B．－ C． D．3m
A [因为cos (α＋β)＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m．
故选A．]
√
3．(2025·江西九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)＝，
tan α·tan β＝，则α＋β＝( )
A． B． C． D．
A [因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，
所以 解得
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝．故选A．]
√
4．(多选)(2025·浙江丽水模拟)如图所示，在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点．若点A的横坐标为，点B的纵坐标为，则下列结论正确的是( )
A．tan β＝－4 B．sin (α＋β)＝
C．tan (β－α)＝ D．cos (2α－β)＝
√
√
ACD [依题意，α为锐角，即0<α<，β为钝角，即<β<π，xA＝，
yA＝＝，A，所以cos α＝，sin α＝，
tan α＝，yB＝，xB＝－＝－，cos β＝－，sin β＝，所以tan β＝－4，A选项正确；
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，
B选项错误；
tan (β－α)＝
＝＝＝，C选项正确；
cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β
＝(cos2α－sin2α)cosβ＋2sin αcos αsin β
＝＋2×＝＝，D选项正确．故选ACD．]
5．(2025·北京朝阳一模)已知sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，则cos (α－β)＝( )
A．－ B． C． D．1
√
B [由sin α＋sin β＝0，cos α＋cos β＝，
得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝3，
整理得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝3，
所以cos(α－β)＝．故选B．]
6．(2025·湖北八市模拟)若tan α＝1，则＝____．
1 [由题意可得，＝
＝＝＝1．]
1
高考数学常将单位圆与三角函数定义结合，考察角度坐标化；通过向量数量积(如推导两角差余弦公式)关联几何与代数，结合三角恒等变换(和差角、倍角公式)进行化简求值，综合命题注重知识交汇，如利用向量坐标运算结合单位圆性质解决三角恒等式证明或最值问题．
单位圆与三角函数、向量数量积融合
【典例3】 (多选)如图所示，已知角α，β的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则下列说法正确的是( )
A．∠BOC＝
B．·＋1＝||2
C．·＝||
D．点M的坐标为
√
√
√
ACD [对于A，因为M是AB的中点，且OA＝OB，所以∠BOC＝∠BOA＝，故A正确；
对于B，由条件可知，A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，·＝cos βcos α＋sin βsin α＝cos (β－α)，
·＋1＝cos (β－α)＋1＝＝||2cos2∠BOC＝cos2，
所以·＋1≠||2，故B错误；
对于C，·＝||||cos∠AOC＝cos ＝||，故C正确；
对于D，xM＝(xA＋xB)＝(cos α＋cos β)＝
＝
＝cos cos ＝cos cos ，yM＝(yA＋yB)＝(sin α＋sin β)，
所以点M的坐标为，故D正确．故选ACD．]
√
【教用·备选题】
(多选)已知点O为平面直角坐标系原点，角α，β的终边分别与以O为圆心的单位圆交于A，B两点，若sin α>0，β为第四象限角，且cos β＝，则
( )
A．·＝cos (α＋β)
B．当|AB|＝时，·＝－1
C．||的最大值为2
D．当||＝1时，cos α－sin α＝
√
CD [易知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，
·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)，故A错误；
当||＝时，⊥，∴·＝0，故B错误；
由于sin α>0，故AB过原点时，||最大且最大值为2，故C正确；
∵cos β＝，且β为第四象限角，∴sin β＝－．
∵||＝1，∴∠AOB＝，即α－β＝＋2kπ，k∈Z，∴cos α－
sin α＝－2sin ＝－2sin (β＋2kπ)＝－2sin β＝，故D正确．故选CD．]
课后限时练1 三角函数的概念及三角恒等变换
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
1．(2025·山西晋城二模)已知α∈sin α＝tan α，则
cos 2α＝( )
A． B． C．－ D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C [由sin α＝tan α，得sin α＝．
又α∈，则sin α>0，
所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
2．[教材母题改编]若tanα＋tan β＝tan αtan β，则α＋β的值可能为( )
A． B． C．－ D．－
A [由题意得tan (α＋β)＝＝，
所以α＋β＝＋kπ(k∈Z)，所以α＋β的值可能为．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
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7
9
10
3．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与圆O交于点P(7)．若点P沿着圆O的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点Q，则cos ∠QOx＝( )
A． B． C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
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8
7
9
10
B [因为角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与圆O交于点P(7)，所以圆O半径r＝＝10，所以sin α＝，cos α＝，因为点P沿着圆O的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点Q，所以∠POQ＝＝，所以cos ∠QOx＝cos (∠POQ＋α)＝cos ＝cos cos α－sin sin α
＝＝＝．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
4．(2025·浙江杭州二模)若sin x＋cos x＝2sin α，sin x cos x＝sin2β，则( )
A．4cos22α＝cos22β B．cos22α＝4cos22β
C．4cos2α＝cos 2β D．cos 2α＝4cos 2β
题号
1
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10
A [将sin x＋cos x＝2sin α，平方得1＋2sin x cos x＝4sin2α，
结合sinx cos x＝sin2β可得1＋2sin2β＝4sin2α，
即1＋2sin2β－4sin2α＝0，
即2cos2α－cos 2β＝2(1－2sin2α)－(1－2sin2β)＝1＋2sin2β－4sin2α＝0，即2cos2α＝cos 2β，故C，D错误；
又4cos22α－cos22β＝(2cos2α－cos 2β)(2cos 2α＋cos 2β)
＝(1－4sin2α＋2sin2β)(2cos2α＋cos 2β)＝0，故A正确，B错误．故选A．]
题号
1
3
5
2
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10
5．(2025·江西六校二模)已知sin ＝＋cos α，则cos ＝
( )
A．－ B． C．－ D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B [因为sin ＝＋cos α，
则sin α＋cos α＝＋cos α，
即sin α－cos α＝，所以sin ＝，
则cos ＝cos 2
＝1－2sin2＝1－2×＝．
故选B．]
题号
1
3
5
2
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9
10
√
6．(多选)(2025·河北邯郸模拟)已知tan＝，则( )
A．tan ＝3 B．tan α＝
C．sin 2α＝ D．1＋cos α＝2sin α
√
√
题号
1
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2
4
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10
ACD [∵tan ＝＝3，∴选项A正确；
∵tan α＝＝，∴选项B错误；
∵sin2α＝2sin αcos α＝＝＝，∴选项C正确；
∵＝＝tan＝，
∴1＋cos α＝2sin α，∴选项D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
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10
7．[教材母题改编]已知sin ＝，且0 [∵0又sin ＝>0，∴cos ＝＝．
∵sin＝sin ＝cos ＝，
题号
1
3
5
2
4
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9
10
cos ＝cos
＝－cos ＝－，
∴sin －cos ＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
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8．(2025·河北石家庄一模)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(cos θ，2sin θ)，且cos α＝，则cos 2θ＝________．
－ [由三角函数的定义得，
cos α＝＝，平方得cos2α＝＝，所以tan2θ＝2，
所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－．]
－
题号
1
3
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9．(2025·北京高考)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，写出满足条件的一组α＝________，β＝________．
(答案不唯一) [因为sin (α＋β)＝sin (α－β)，所以sin αcos β＋cos αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos αsin β＝0①，又cos (α＋β)≠cos (α－β)，即cos αcos β－sin αsin β≠cos αcos β＋sin αsin β，即sin αsin β≠0②，结合①②得cos α＝0，且sin α≠0，sin β≠0，故可取α＝β＝．]
题号
1
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10．(2025·辽宁二模)已知α，β均为锐角，sin (α－β)＝，tan α
tan β＝2，则cos (α－β)＝________，cos (2α＋2β)＝________．
－ [因为α，β均为锐角，所以0<α<，0<β<，则－<α－β<，又因为sin ＝，
所以cos (α－β)＝＝＝；
－
题号
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10
由tanαtan β＝＝2，
得sin αsin β＝2cos αcos β，
又cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
所以sin αsin β＝，cos αcos β＝，
则cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＝－，
所以cos (2α＋2β)＝2cos2(α＋β)－1＝2×－1＝－．]
谢 谢！课后限时练1 三角函数的概念及三角恒等变换
1．(2025·山西晋城二模)已知α∈sin α＝tan α，则cos 2α＝( )
A． B． C．－ D．－
2．[教材母题改编]若tan α＋tan β＝tan α·tan β，则α＋β的值可能为( )
A． B． C．－ D．－
3．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与圆O交于点．若点P沿着圆O的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点Q，则cos ∠QOx＝( )
A． B． C． D．
4．(2025·浙江杭州二模)若sin x＋cos x＝2sin α，sin x cos x＝sin2β，则( )
A．4cos22α＝cos22β B．cos22α＝4cos22β
C．4cos2α＝cos 2β D．cos 2α＝4cos 2β
5．(2025·江西六校二模)已知sin ＋cos α，则cos ＝( )
A．－ B． C．－ D．
6．(多选)(2025·河北邯郸模拟)已知tan ，则( )
A．tan ＝3 B．tan α＝
C．sin 2α＝ D．1＋cos α＝2sin α
7．[教材母题改编]已知sin ，且0
8．(2025·河北石家庄一模)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(cos θ，2sin θ)，且cos α＝，则cos 2θ＝________．
9．(2025·北京高考)已知α，β∈[0，2π]，且sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，写出满足条件的一组α＝________，β＝________．
10．(2025·辽宁二模)已知α，β均为锐角，sin (α－β)＝，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝________，cos (2α＋2β)＝________．
课后限时练1
1．C [由sin α＝tan α，得sin α＝．
又α∈，则sin α>0，
所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－．故选C．]
2．A [由题意得tan(α＋β)＝，所以α＋β＝＋kπ(k∈Z)，所以α＋β的值可能为．故选A．]
3．B [因为角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与圆O交于点P(7)，所以圆O半径r＝＝10，所以sin α＝，cos α＝，
因为点P沿着圆O的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点Q，所以∠POQ＝，所以cos ∠QOx＝cos(∠POQ＋α)＝cos＋α
＝cos cos α－sin sin α
＝．故选B．]
4．A [将sin x＋cos x＝2sin α，
平方得1＋2sin xcos x＝4sin2α，
结合sin xcos x＝sin2β可得1＋2sin2β＝4sin2α，即1＋2sin2β－4sin2α＝0，
即2cos 2α－cos 2β＝2(1－2sin2α)－(1－2sin2β)＝1＋2sin2β－4sin2α＝0，
即2cos 2α＝cos 2β，故C，D错误；
又4cos22α－cos22β
＝(2cos 2α－cos 2β)(2cos 2α＋cos 2β)
＝(1－4sin2α＋2sin2β)(2cos 2α＋cos 2β)＝0，故A正确，B错误．故选A．]
5．B [因为sin＋cos α，
则sin α＋cos α＝＋cos α，
即sin α－cos α＝，
所以sin，
则cos．
故选B．]
6．ACD [∵tan＝3，∴选项A正确；
∵tan α＝，∴选项B错误；
∵sin 2α＝2sin αcos α＝，∴选项C正确；
∵，∴1＋cos α＝2sin α，∴选项D正确．
故选ACD．]
7． [∵0又sin>0，
∴cos
＝．
∵sin，
cos
＝－cos，
∴sin．]
8．－ [由三角函数的定义得，
cos α＝，平方得cos2α＝，所以tan2θ＝2，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝．]
9． (答案不唯一) [因为sin(α＋β)＝sin(α－β)，所以sin αcos β＋cos αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos αsin β＝0①，又cos(α＋β)≠cos(α－β)，即cos αcos β－sin αsin β≠cos αcos β＋sin αsin β，
即sin αsin β≠0②，结合①②得cos α＝0，且sin α≠0，sin β≠0，故可取α＝β＝．]
10． － [因为α，β均为锐角，所以0<α<，0<β<，则－<α－β<，又因为sin，
所以cos(α－β)＝；
由tan αtan β＝＝2，得sin αsin β＝2cos αcos β，
又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
所以sin αsin β＝，cos αcos β＝，
则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
所以cos(2α＋2β)＝2cos2(α＋β)－1＝2×．]
1/2
