课时2 三角函数的图象和性质
[备考指南] 三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法．
命题点1 三角函数的图象与解析式
【典例1】 (1)(2025·湖北七市州二模)函数f(x)＝sin (4x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，其图象关于y轴对称，则φ＝( )
A．－ B．－ C． D．
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________．
[听课记录]
反思领悟 由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由 T＝，可得ω＝．
(3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
1．(多选)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则( )
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f(x)的图象关于点对称
2．(2025·浙南名校联盟)将函数g(x)＝cos (ω∈N*)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，若f(x)在上只有一个极大值点，则ω的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
命题点2 三角函数的性质及应用
【典例2】 (1)(多选)(2025·苏锡常镇二模)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋|sin x－cos x|，则( )
A．f(x)的图象关于点(π，0)对称
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最小值为－2
D．f(x)＝在[0，2π]上有四个不同的实数解
(2)(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ＜π)，f(0)＝．
①求φ；
②设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
[听课记录]
反思领悟 研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解．
1．(2025·广东一模)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)在区间上单调递减，且x＝和分别是函数y＝f(x)图象的对称轴和对称中心，则f＝( )
A．1 B． C． D．
2．函数f(x)＝cos sin x的最小正周期和最大值分别为( )
A．，1 B．
C．π， D．2π，
3．(多选)(2025·浙江湖州二模)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，则( )
A．f(x)的最大值是
B．f(x)在上单调递增
C．f＝f(x)
D．f(x)在[0，π]上有两个零点
三角函数的图象和性质与函数、导数融合
高考考查重点包括三个方面：利用导数分析三角函数的单调性、极值及图象切线问题；结合参数讨论周期性、对称性对复合函数零点或方程解的影响；以实际应用为背景构建三角函数模型，通过导数优化求解最值或动态变化规律，综合考查数形结合及转化能力．
【典例3】 (多选)(2025·陕西咸阳二模)已知f(x)＝－sin 2ωx＋cos2ωx－(ω>0)与函数g(x)＝tanx的周期相同，则下列说法正确的是( )
A．f(x)在区间上单调递减
B．f(x)在区间上只有1个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴
D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线
[听课记录]
课时2 三角函数的图象和性质
典例1 (1)B (2)－ [(1)把函数y＝sin(4x＋φ)个单位长度，
所得图象对应的函数是y＝sin4x－＋φ－<φ<，且它是偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，又因为－<φ<，所以φ＝－．故选B．
(2)设A，B，
由可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，
ωx2＋φ－，
即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．
因为f＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．
所以f(x)＝sin＝sin4x－＋kπ(k∈Z)，
所以f或f＝－sin4x－，
又因为f<0，
所以f(x)＝sin，
所以f．]
考教衔接
1．BD [由题图可得故A错误；
由题图可知，f(x)的最小正周期T＝，则ω＝4，B正确；
由题图可知，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，
所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z．
又0<φ<，所以φ＝，C错误；
由上述可得f(x)＝2cos＋1．
令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z．
当k＝0时，f(x)的图象的一个对称中心为点，D正确．故选BD．]
2．B [由题可知f(x)＝2cos(ω∈N*)，
当0若f(x)在上只有一个极大值点，
则由y＝2cos x的图象可得2π<ωπ＋≤4π，
解得<ω≤，因为ω∈N*，所以ω的最大值为3．故选B．]
3．(－2，－] [由f(x)的部分图象，可得A＝1．
由题图可知点在f(x)的图象上，则sin＝1，sin，
由五点作图法可得ω×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，ω×＋φ＝2π－＋2kπ，k∈Z，又ω>0，|φ|<，解得ω＝，φ＝，
则f(x)＝sin．
将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin2x＋的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin的图象．
作出函数g(x)的部分图象如图所示，
根据函数g(x)的图象知，
当－2即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．]
典例2 (1)BD [法一：f(0)＝2，f(2π)＝2，f(2π)＋f(0)≠0，
则f(x)的图象不可能关于点(π，0)对称，A错误；
y1＝sin x＋cos x的周期为2π，y2＝|sin x－cos x|的周期为π，
则f(x)＝y1＋y2的周期为2π，B正确；
当0≤x≤时，f(x)＝2cos x，当π时，f(x)＝2sin x；当f(x)＝在[0，2π]上有4个根，C错误，D正确．故选BD．
法二：易知f(x)可化简为f(x)＝2max{sin x，cos x}，作出y＝2sin x和y＝2cos x的图象，取位于上方的部分即可，
可知A错误，B正确，C错误．
至于D，计算知2sin x与2cos x在(0，π)内的交点坐标为<2，所以f(x)的图象与直线y＝在[0，2π]内有四个交点，D正确．]
(2)解：①因为f(0)＝cos φ＝，且0≤φ<π，所以φ＝．
②g(x)＝f(x)＋f
＝cos＋cos 2x
＝cos 2xcos ＋cos 2x
＝sin 2x
＝
＝．
因为余弦函数y＝cos的值域是[－1，1]，那么函数y＝的值域就是[－]，所以g(x)的值域为[－]．
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
考教衔接
1．B [由题意，函数f(x)的最小正周期T满足，即T＝π，所以T＝＝π，则ω＝2．
因为直线x＝是函数y＝f(x)图象的对称轴，所以2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
解得φ＝＋kπ，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝．
所以f(x)＝2sin，则f．故选B．]
2．C [f(x)＝cossin x·(cos x－sin x)＝
＝
＝，
故f(x)的最小正周期T＝＝π，最大值为．故选C．]
3．AC [对于A，由于f(x)＝sin x＋cos x＝，且f，所以f(x)的最大值是，故A正确；
对于B，因为f，所以f(x)在上不是单调递增的，故B错误；
对于C，由于f(x)＝sin x＋cos x＝，故fsin＝sin－x＝sinπ－＋x＝sin ＋x＝f(x)，故C正确；
对于D，若f(x)＝0，则＝0，即sin＝0，可得x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)在[0，π]上恰有1个零点x＝，故D错误．故选AC．]
典例3 ABD [f(x)＝－sin 2ωx＋cos2ωx－sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
因为函数g(x)＝tan x的最小正周期为π，
所以＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝sin．
对于A，当x∈时，
可得2x＋，
由正弦函数y＝sin u的性质，可得y＝f(x)在上单调递减，所以A正确；
对于B，当x∈时，可得2x＋，
由正弦函数y＝sin u的性质，可得y＝f(x)在上只有1个极值点，
由2x＋，解得x＝，即x＝为函数f(x)在上的唯一极值点，所以B正确；
对于C，当x＝时，2x＋＝4π，f＝0，
所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，所以C错误；
对于D，由y'＝2cos＝－1，
得cos，
则2x＋＋2kπ或2x＋＋2kπ，k∈Z，
可得x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，x＝0，f(0)＝，所以切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x，所以D正确．故选ABD．]
1/3(共79张PPT)
专题一
三角函数与解三角形
课时2 三角函数的图象和性质
[备考指南] 三角函数的图象和性质常常与三角恒等变换交汇命题，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，难度为中等或偏下，其中数形结合是研究三角函数性质的重要方法．
√
命题点1 三角函数的图象与解析式
【典例1】 (1)(2025·湖北七市州二模)函数f (x)＝sin (4x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，其图象关于y轴对称，则φ＝( )
A．－ B．－ C． D．
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
－
(1)B (2)－ [(1)把函数y＝sin (4x＋φ)的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数是y＝sin ，且它是偶函数，
所以－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，
又因为－<φ<，所以φ＝－．故选B．
(2)设A，B，由＝可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，
ωx2＋φ－＝＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．
因为f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．
所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)，
所以f ＝sin 或f ＝－sin ，又因为f <0，所以f (x)＝sin ，
所以f ＝sin ＝－．]
反思领悟 由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由T＝，可得ω＝．
(3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
√
【教用·备选题】
[教材母题改编]要得到y＝cos 的图象，只需将y＝cos 3x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
C [因为y＝cos ＝cos ，
所以为了得到y＝cos 的图象，只需将函数y＝cos 3x的图象向左平移个单位长度．故选C．]
√
1．(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则( )
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f (x)的图象关于点对称
√
BD [由题图可得解得故A错误；
由题图可知，f (x)的最小正周期T＝＝，所以＝，则ω＝4，B正确；
由题图可知，直线x＝＝是函数f (x)图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z．
又0<φ<，所以φ＝，C错误；
由上述可得f (x)＝2cos ＋1．
令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z．
当k＝0时，f (x)的图象的一个对称中心为点，D正确．故选BD．]
√
2．(2025·浙南名校联盟)将函数g(x)＝cos (ω∈N*)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数
f (x)的图象，若f (x)在上只有一个极大值点，则ω的最大值为
( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B [由题可知f (x)＝2cos (ω∈N*)，
当0若f (x)在上只有一个极大值点，
则由y＝2cos x的图象可得2π<ωπ＋≤4π，
解得<ω≤，因为ω∈N*，所以ω的最大值为3．故选B．]
3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为____________．
(－2，－]
(－2，－] [由f (x)的部分图象，可得A＝1．
由题图可知点在f (x)的图象上，
则sin ＝1，sin ＝－，
由五点作图法可得ω×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，ω×＋φ＝2π－＋2kπ，k∈Z，又ω＞0，|φ|＜，解得ω＝，φ＝，
则f (x)＝sin ．
将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象．
作出函数g(x)的部分图象如图所示，
根据函数g(x)的图象知，
当－2＜m≤－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点，
即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．]
√
【教用·备选题】
1．(2023·全国甲卷)函数y＝f (x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f (x)的图象与直线y＝x－的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [将函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象，所以f (x)＝
－sin 2x，而直线y＝x－显然过与(1，0)两点，
作出曲线y＝f与直线y＝x－的部分大致图象如图所示．
所以由图象可知，y＝f的图象与直线y＝x－的交点个数为3．]
2．已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为________．
2
2 [由题图可知，T＝＝(T为f (x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f (x)＝2cos ，所以f ＝
2 cos ＝2cos ＝2cos ＝1，f ＝2cos ＝2cos ＝0，所以＞0，即(f (x)－1)f (x)＞0，可得f (x)＞1或f (x)＜0，所以cos ＞或cos ＜0．当x＝1时，2x－＝2－∈，cos ∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos ＜0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2．]
√
命题点2 三角函数的性质及应用
【典例2】 (1)(多选)(2025·苏锡常镇二模)已知函数f (x)＝sin x＋cos x＋|sin x－cos x|，则( )
A．f (x)的图象关于点(π，0)对称
B．f (x)的最小正周期为2π
C．f (x)的最小值为－2
D．f (x)＝在[0，2π]上有四个不同的实数解
√
(2)(2025·全国二卷)已知函数f (x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ＜π)，f (0)＝．
①求φ；
②设函数g(x)＝f (x)＋f ，求g(x)的值域和单调区间．
(1)BD [法一：f (0)＝2，f (2π)＝2，f (2π)＋f (0)≠0，
则f (x)的图象不可能关于点(π，0)对称，A错误；
y1＝sin x＋cos x的周期为2π，y2＝|sin x－cos x|的周期为π，
则f (x)＝y1＋y2的周期为2π，B正确；
当0≤x≤时，f (x)＝2cos x，当＜x≤π时，f (x)＝2sin x；当＜x≤2π时，f (x)＝2cos x，f (x)min＝－，
f (x)＝在[0，2π]上有4个根，C错误，D正确．故选BD．
法二：易知f (x)可化简为f (x)＝2max{sin x，cos x}，作出y＝2sin x和y＝2cos x的图象，取位于上方的部分即可，
可知A错误，B正确，C错误．
至于D，计算知2sin x与2cos x在(0，π)内的交点坐标为，而＜＜2，所以f (x)的图象与直线y＝在[0，2π]内有四个交点，D正确．]
(2)[解] ①因为f (0)＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝．
②g(x)＝f (x)＋f
＝cos ＋cos 2x
＝cos 2x cos －sin 2x sin ＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝
＝cos ．
因为余弦函数y＝cos 的值域是[－1，1]，那么函数y＝
cos 的值域就是[－]，所以g(x)的值域为[－]．
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
反思领悟 研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解．
【教用·备选题】
(2023·四省联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ．
(1)求y＝f (x)图象的一条对称轴；
(2)若f ＝，求φ．
[解] (1)因为函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，所以函数f (x)的最小正周期T≥2×＝．
又因为f ＝f ，且＝＜T，
所以直线x＝，即x＝为y＝f (x)图象的一条对称轴．
(2)由(1)知T≥，故ω＝≤3，
由ω∈N*，得ω＝1，2或3．
由x＝为f (x)＝sin (ωx＋φ)的图象的一条对称轴，得ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z．
因为f ＝，
所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z，
若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，则ω＝π，k1，k2∈Z，
即ω＝，k1，k2∈Z，
不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2或3．
若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，则ω＝－π，k1，k3∈Z，
即ω＝－，k1，k3∈Z，
不存在整数k1，k3，使得ω＝1或3．
当k1＝2k3＋1时，ω＝2．
此时φ＝＋2k3π，k3∈Z，由|φ|<，得φ＝．
1．(2025·广东一模)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)在区间上单调递减，且x＝和分别是函数y＝f (x)图象的对称轴和对称中心，则f＝( )
A．1 B． C． D．
√
B [由题意，函数f (x)的最小正周期T满足＝＝，即T＝π，所以T＝＝π，则ω＝2．
因为直线x＝是函数y＝f (x)图象的对称轴，所以2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
解得φ＝＋kπ，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ＝．
所以f (x)＝2sin ，
则f ＝2sin ＝．故选B．]
√
2．函数f (x)＝cos sin x的最小正周期和最大值分别为( )
A．，1 B．
C．π， D．2π，
C [f (x)＝cos sin x＝sin x(cos x－sin x)＝
＝＝sin ，
故f (x)的最小正周期T＝＝π，最大值为．故选C．]
√
3．(多选)(2025·浙江湖州二模)已知函数f (x)＝sin x＋cos x，则( )
A．f (x)的最大值是
B．f (x)在上单调递增
C．F ＝f (x)
D．f (x)在[0，π]上有两个零点
√
AC [对于A，由于f (x)＝sin x＋cos x＝·sin ，且
f ＝，所以f (x)的最大值是，故A正确；
对于B，因为f ＝>＝f ，所以f (x)在上不是单调递增的，故B错误；
对于C，由于f (x)＝sin x＋cos x＝sin ，故f ＝
sin ＝sin ＝sin ＝
sin ＝f (x)，故C正确；
对于D，若f (x)＝0，则sin ＝0，
即sin ＝0，可得x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，所以f (x)在[0，π]上恰有1个零点x＝，故D错误．故选AC．]
√
【教用·备选题】
1．(2025·郑州模拟)若x1＝，x2＝是函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B． C．1 D．
A [∵x1＝，x2＝是函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，
∴T＝2＝π＝，∴ω＝2，故选A．]
√
2．(2025·重庆模拟)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在上是减函数的是( )
A．y＝|cos x|
B．y＝sin x cos x
C．y＝sin 2x－cos 2x
D．y＝|tan x|
D [对于A选项，因为|cos (x＋π)|＝|－cos x|＝|cos x|，作出函数y＝|cos x|的图象如图所示：
由图可知，函数y＝|cos x|的最小正周期为π，
当＜x＜π时，y＝|cos x|＝－cos x，则函数y＝|cos x|在上单调递增，A不满足条件；
对于B选项，函数y＝sin x cos x＝sin 2x的最小正周期T＝＝π，
且当＜x＜π时，π＜2x＜2π，所以函数y＝sin 2x在上不单调，B不满足条件；
对于C选项，函数y＝sin 2x－cos 2x＝sin 的最小正周期T＝＝π，
当＜x＜π时，＜2x－＜，则函数y＝sin 在上不单调，C不满足条件；
对于D选项，因为|tan (x＋π)|＝|tan x|，作出函数y＝|tan x|的图象如图所示：
由图可知，函数y＝|tan x|的最小正周期为π，
且当＜x＜π时，y＝|tan x|＝－tan x，故函数y＝|tan x|在上单调递减，D满足条件．
故选D．]
√
3．(2025·广东梅州模拟)函数f (x)＝在(0，π)内的值域为( )
A． B．
C． D．
B [令t＝cos x，则y＝，t∈(－1，1)，
则y2＝，令m＝t＋3，m∈(2，4)，则t2＝(m－3)2，
所以y2＝＝－8＋6－1，<<，
由二次函数的性质可得当＝，取得最大值y2＝，
又y>0，所以y∈．
故选B．]
4．[高考真题改编]已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，若＝1，f ＝0，且f (x)在区间上单调，则ω＝________．
[设函数 f (x) 的周期为T，由＝1，f ＝0，结合正弦函数图象的特征可知，
＝ ＝，k∈N．
故T＝＝，所以ω＝(1＋2k)，k∈N．
又因为f (x) 在区间上单调，
所以<，故 T>，所以 > k<3，k∈N．
由f ＝0，得 sin ＝0，
即＋φ＝nπ(n∈Z)且0<φ<，
所以，当k＝0 时，ω＝，φ＝－＋nπ(n∈Z)，φ>或φ<0，舍．
当k＝1 时，ω＝，φ＝－＋nπ(n∈Z)，φ＝ ，符合条件．
当k＝2时，ω＝，φ＝－＋nπ(n∈Z)，φ>或φ<0，舍．
所以ω＝，φ＝．]
高考考查重点包括三个方面：利用导数分析三角函数的单调性、极值及图象切线问题；结合参数讨论周期性、对称性对复合函数零点或方程解的影响；以实际应用为背景构建三角函数模型，通过导数优化求解最值或动态变化规律，综合考查数形结合及转化能力．
三角函数的图象和性质与函数、导数融合
√
【典例3】 (多选)(2025·陕西咸阳二模)已知f (x)＝－sin 2ωx＋cos2ωx－(ω>0)与函数g(x)＝tanx的周期相同，则下列说法正确的是( )
A．f (x)在区间上单调递减
B．f (x)在区间上只有1个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f (x)的对称轴
D．直线y＝－x是曲线y＝f (x)的切线
√
√
ABD [f (x)＝－sin 2ωx＋cos2ωx－＝－sin2ωx＋cos 2ωx＝sin ，
因为函数g(x)＝tan x的最小正周期为π，
所以＝π，所以ω＝1，所以f (x)＝sin ．
对于A，当x∈时，
可得2x＋∈ ，
由正弦函数y＝sin u的性质，可得y＝f (x)在上单调递减，所以A正确；
对于B，当x∈时，可得2x＋∈，
由正弦函数y＝sin u的性质，可得y＝f (x)在上只有1个极值点，
由2x＋＝，解得x＝，即x＝为函数f (x)在上的唯一极值点，所以B正确；
对于C，当x＝时，2x＋＝4π，f＝0，
所以直线x＝不是曲线y＝f (x)的对称轴，所以C错误；
对于D，由y′＝2cos ＝－1，
得cos ＝－，
则2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
可得x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，x＝0，f (0)＝，即函数的一个切点坐标为，
所以切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x，所以D正确．故选ABD．]
【教用·备选题】
(2025·北京海淀一模)如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮A和转轮B组成，B的圆心固定在转轮A上的点Q处，某个座椅固定在转轮B上的点M处．A的半径为10米，B的半径为5米，A的圆心P距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，A与B分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，A旋转一周用时π分钟，B旋转一周用时分钟．当Q在P正下方且M在Q正下方时，开始计时，设在第t分钟M距离地面的竖直高度为h(t)米．给出下列四个结论：
①h＝25；
②h(t)的最大值是35；
③M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；
④存在t0∈(0，π)，使得t＝t0时M到P的距离等于15米．
其中所有正确结论的序号为________．
①③
①③ [转轮A与转轮B分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，A旋转一周用时π分钟，B旋转一周用时分钟，可得最小正周期TA＝π，TB＝，所以ωA＝＝2，ωB＝＝4，
又A的半径为10米，A的圆心P距离地面竖直高度为20米，
所以第t分钟，Q点距离地面的高度f (t)＝20－10cos 2t，
第t分钟，M距离地面的竖直高度h(t)＝f (t)－5cos 4t＝20－10cos 2t－5cos 4t，
化简得h(t)＝－10cos22t－10cos2t＋25＝－10＋，
所以h＝－10＋＝25，故①正确；
当cos 2t＋＝0，即cos 2t＝－时，h(t)有最大值，为，故②错误；
若M到P的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需4t＝2t＋2kπ，k∈N t＝kπ，k∈N，
所以不存在t0∈(0，π)，使得t＝t0时M到P的距离等于15米，故④错误；
因为A旋转一周用时π分钟，B旋转一周用时分钟，所以可得点Q在圆周上的速度为＝20，同理可得点M在圆周上的速度为＝20，所以点M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确．]
课后限时练2 三角函数的图象和性质
√
1．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为( )
A． B． C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
7
题号
1
3
5
2
4
6
7
B [令x－＝，k∈Z，得x＝，k∈Z，故y＝2tan 的图象的对称中心为点，k∈Z．因为a＞0，所以当k＝0时，a取得最小值．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
2．(2025·天津高考)已知f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且x＝为f (x)图象的一条对称轴，点是f (x)图象的一个对称中心，当x∈时，f (x)的最小值为( )
A．－ B．－ C．－1 D．0
题号
1
3
5
2
4
6
7
A [因为f (x)在上单调递增且x＝为f (x)图象的一条对称轴，所以，f ＝sin ＝1，得0＜ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z)①．因为点是f (x)图象的一个对称中心，所以f＝sin ＝0，得ω＋φ＝k2π(k2∈Z)②，由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0＜ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π＜φ＜π，所以φ＝，故f (x)＝sin ．当x∈时，2x＋∈，所以f (x)的最小值为f ＝sin ＝－．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
3．(2025·江苏南通二模)将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到的图象与函数g(x)＝cos 的图象重合，则ω的最小值为( )
A．2 B．3 C．6 D．9
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
B [将f (x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到y＝
sin ＝sin ＝cos 的图象，
则＝＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω>0，
所以ω的最小值为3．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
4．(多选)(2025·河南六市二模)已知如图是函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象，则( )
A．f (x)的图象关于点中心对称
B．f (x)在(－1，2)上单调递增
C．f (x)在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1
D．f (x)的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
BCD [由题图可得f (0)＝2cos φ＝1，即cos φ＝，而－<φ<0，可得φ＝－，又∵f ＝0，即2cos ＝0，
可得－ω－＝－＋2kπ，k∈Z，可得ω＝－6k，k∈Z，
又∵>0－，且ω>0，即>，即0<ω<，可得ω＝，
∴f (x)＝2cos ．
对于选项A，∵＝≠＋kπ，k∈Z，
∴点不是函数图象的对称中心，故A错误；
对于选项B，∵x∈(－1，2)，可得x－∈ (－π，0)，∴函数在(－1，2)上单调递增，故B正确；
对于选项C，f ′(x)＝－sin ，f ′(0)＝，
则f (x)在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，故C正确；
对于选项D，将f (x)的图象向左平移个单位长度后，
可得g(x)＝2cos ＝2cos x的图象，则g(x)为偶函数，故D正确．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
题号
1
3
5
2
4
6
7
5．[教材母题改编]函数f (x)＝－3cos 的单调递增区间为________________________．
，k∈Z [求函数f (x)＝－3cos 的单调递增区间，即求函数g(x)＝3cos 的单调递减区间，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z．]
，k∈Z
题号
1
3
5
2
4
6
7
6．(2025·湖南岳阳二模)将函数f (x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域是________．
题号
1
3
5
2
4
6
7
[依题意，g(x)＝f
＝sin ＝sin ，
当x∈时，2x＋∈，
－≤sin ≤1，
所以g(x)在区间上的值域为．]
7．[教材母题改编](2025·连云港校级模拟)如图，已知AOB是半径为1，圆心角为θ的扇形，P是扇形弧上的动点，记∠AOP＝α．
(1)请用θ，α来表示平行四边形OCPQ的面积．
(2)若θ＝．
①求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；
②记＝x＋y(其中x，y∈R)，求x＋2y的取值范围．
题号
1
3
5
2
4
6
7
题号
1
3
5
2
4
6
7
[解] (1)过点P作OA的垂线，垂足为D，
在Rt△PDO中，|PD|＝sin α，|OD|＝cos α，
在Rt△PDC中，|PD|＝|CD|tan θ，
则|CD|＝＝，
所以|OC|＝|OD|－|CD|＝cos α－，
所以S平行四边形OCPQ＝|OC|×|PD|＝·sin α＝sin 2α－α<θ)．
(2)①若θ＝，由题意可得0<α<，所以平行四边形OCPQ的面积
S(α)＝sin 2α－sin2α＝sin2α－＝sin ．
由于<2α＋<，故当2α＋＝，即α＝时，
S(α)取得最大值，为．
②根据题意，建立如图所示的坐标系，
题号
1
3
5
2
4
6
7
则A(1，0)，B，即B，又∠POC＝α，
则＝(cos α，sin α)，＝(1，0)，＝，因为＝x＋y，
即(cos α，sin α)＝(x，0)＋，
则cos α＝x＋y，sin α＝y，
解得x＝－sin α＋cos α，y＝sin α，
题号
1
3
5
2
4
6
7
所以x＋2y＝sin α＋cos α＝2sin ，
由点P是弧上一动点，则0<α<，
则<α＋<，
所以所以x＋2y的取值范围为(1，2)．
题号
1
3
5
2
4
6
7
谢 谢！课后限时练2 三角函数的图象和性质
1．(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为( )
A． B． C． D．
2．(2025·天津高考)已知f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)在上单调递增，且x＝为f(x)图象的一条对称轴，点是f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为( )
A．－ B．－ C．－1 D．0
3．(2025·江苏南通二模)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到的图象与函数g(x)＝cos 的图象重合，则ω的最小值为( )
A．2 B．3 C．6 D．9
4．(多选)(2025·河南六市二模)已知如图是函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象，则( )
A．f(x)的图象关于点中心对称
B．f(x)在(－1，2)上单调递增
C．f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1
D．f(x)的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象
5．[教材母题改编]函数f(x)＝－3cos 的单调递增区间为________．
6．(2025·湖南岳阳二模)将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域是________．
7．[教材母题改编](2025·连云港校级模拟)如图，已知AOB是半径为1，圆心角为θ的扇形，P是扇形弧上的动点，记∠AOP＝α．
(1)请用θ，α来表示平行四边形OCPQ的面积．
(2)若θ＝．
①求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；
②记＝x＋y(其中x，y∈R)，求x＋2y的取值范围．
课后限时练2
1．B [令x－，k∈Z，得x＝，k∈Z，故y＝2tan，k∈Z．因为a>0，所以当k＝0时，a取得最小值．故选B．]
2．A [因为f(x)在上单调递增且x＝为f(x)图象的一条对称轴，所以，f＝sinω＋φ＝1，得0<ω≤2，且ω＋φ＝＋2k1π(k1∈Z)①．因为点是f(x)图象的一个对称中心，所以f＝0，得ω＋φ＝k2π(k2∈Z)②，由①②得ω＝－2＋4(k2－2k1)(k1，k2∈Z)，结合0<ω≤2，得ω＝2，则φ＝＋2k1π(k1∈Z)，又－π<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝sin．当x∈时，2x＋，所以f(x)的最小值为f．故选A．]
3．B [将f(x)＝sin个单位长度，得到y＝sinωx＋＋＝sinωx＋＝cosωx＋的图象，则＋2kπ，k∈Z，所以ω＝3＋12k，k∈Z，又ω>0，
所以ω的最小值为3．故选B．]
4．BCD [由题图可得f(0)＝2cos φ＝1，即cos φ＝，
而－<φ<0，可得φ＝－，
又∵f＝0，
即2cos＝0，
可得－ω－＋2kπ，k∈Z，
可得ω＝－6k，k∈Z，
又∵，且ω>0，即，即0<ω<，可得ω＝，∴f(x)＝2cos．
对于选项A，∵＋kπ，k∈Z，
∴点不是函数图象的对称中心，故A错误；
对于选项B，∵x∈(－1，2)，可得 (－π，0)，
∴函数在(－1，2)上单调递增，故B正确；
对于选项C，f'(x)＝－sin，f'(0)＝，
则f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，故C正确；
对于选项D，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，
可得g(x)＝2cos×x＋－＝2cos x的图象，则g(x)为偶函数，故D正确．故选BCD．]
5．，k∈Z [求函数f(x)＝－3cos的单调递增区间，即求函数g(x)＝3cos的单调递减区间，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为kπ－，kπ＋，k∈Z．]
6． [依题意，g(x)＝fx＋＝sin2x＋
＝sin2x＋，
当x∈时，2x＋，－≤1，
所以g(x)在区间．]
7．解：(1)过点P作OA的垂线，垂足为D，
在Rt△PDO中，|PD|＝sin α，|OD|＝cos α，
在Rt△PDC中，|PD|＝|CD|tan θ，
则|CD|＝，
所以|OC|＝|OD|－|CD|＝cos α－，
所以S平行四边形OCPQ＝|OC|×|PD|＝cos α－sin α＝sin 2α－(0<α<θ)．
(2)①若θ＝，由题意可得0<α<，
所以平行四边形OCPQ的面积
S(α)＝sin 2α－sin2α＝sin 2α－．
由于<2α＋，
故当2α＋，即α＝时，S(α)取得最大值，为．
②根据题意，建立如图所示的坐标系，
则A(1，0)，
Bcos ，sin ，
即B，
又∠POC＝α，
则＝(cos α，sin α)，＝(1，0)，＝，因为，
即(cos α，sin α)＝(x，0)＋y，y，
则cos α＝x＋y，sin α＝y，
解得x＝－sin α＋cos α，y＝sin α，
所以x＋2y＝sin α＋cos α＝2sinα＋，
由点P是弧上一动点，则0<α<，
则<α＋，
所以<1，即x＋2y∈(1，2)，所以x＋2y的取值范围为(1，2)．
1/2
