重点培优练3 平面向量数量积的最值与范围问题
1．(2025·山西太原模拟)四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足||＝4，则||的最大值是( )
A．1＋ B．－1
C．2－1 D．2＋1
2．已知|a－b|＝3，|a|＝2|b|，则cos 〈a，a－b〉的最小值为( )
A． B． C． D．1
3．(2025·北京西城一模)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点，A，B为两个固定顶点，则·的最大值为( )
A．44 B．48 C．72 D．76
4．设a，b是非零向量，且|a＋b|＝1，|4a－b|＝2，则|a＋2b|的最大值为( )
A． B． C． D．
5．如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点．若＝x＋y，则2x＋2y的最大值为( )
A． B．2 C． D．1
6．(多选)(2025·山东潍坊二模)已知向量a，b，c为平面向量，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，|c－a|＝，则下列说法中正确的是( )
A．1≤|c|≤
B．(c－a)·(c－b)的最大值为
C．－1≤b·c≤1
D．若c＝λa＋μb，则λ＋μ的最小值为1－
7．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O，且两端点M，N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则·的最小值为________．
重点培优练3
1．D [根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设P(x，y)，A(0，0)，B(4，0)，C(4，4)，D(0，4)．
所以＝(x，y)，＝(x－4，y)，＝(x－4，y－4)，＝(x，y－4)，
所以＝(4x－8，4y－8)，
因为||
＝＝4，
即(x－2)2＋(y－2)2＝1，
故点P在以点(2，2)为圆心，半径为1的圆周上运动，
所以||的最大值为＋1．
故选D．]
2．C [由|a－b|＝3，|a|＝2|b|可得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5|b|2－2a·b＝9，
所以a·b＝|b|2－．因此a·(a－b)＝a2－a·b＝|a|2－|b|2＋＝4|b|2－|b|2＋|b|2＋，
所以cos〈a，a－b〉＝|b|＋，
显然|b|>0，所以|b|＋
≥2，当且仅当|b|＝时，等号成立．
此时cos〈a，a－b〉的最小值为．
故选C．]
3．B [设点P(x，y)，正六边形的边长为4，建立如图平面直角坐标系，
所以A(－8，0)，B(8，0)，所以＝(－8－x，－y)，＝(8－x，－y)，
所以·＝－(8＋x)(8－x)＋y2＝x2＋y2－64，
设点P(x，y)到原点的距离为d，则·－64，由图可知，离原点最远的正六边形顶点为最外围的顶点，如图，可取P(8，4)，
所以|2－64＝64＋48－64＝48，即·的最大值为48．故选B．]
4．C [由题意得|a＋2b|＝(a＋b)－(4a－b)≤|a＋b|＋|4a－b|＝，
当a＋b和4a－b方向相反时等号成立，
若a，b不共线，则设a＋b＝λ(4a－b)，则无解；
故此时a，b共线，设b＝ka，
则由|a＋b|＝1，|4a－b|＝2可得
|(k＋1)a|＝1，|(4－k)a|＝2，
则|4－k|＝2|k＋1|，两边平方解得k＝或k＝－6，
当k＝时，a＋b和4a－b方向相同，舍去，故k＝－6，
即得|a|＝，|b|＝，此时|a＋2b|的最大值为．故选C．]
5．A [法一：(坐标法)以O为坐标原点，过点O平行于AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得A－1，－，B1，－，C 0，，
点P在以点O为圆心，为半径的圆上，
所以可设Pcos θ，sin θ，0≤θ<2π，
则＝cos θ＋1，sin θ＋，＝(2，0)，＝(1，，可得2x＋y＝cos θ＋1，sin θ＋，∴2x＋2y＝cos θ＋1＋sin θ＋sinθ＋＋，∵0≤θ<2π，∴≤θ＋，
∴当θ＝时，2x＋2y的最大值为．故选A．
法二：(等和线法)如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1．
因为BC∥EF，所以设＝k，则k∈，
所以＝λ＋μ＝λk＋μk，所以x＝λk，y＝μk，
所以2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k∈．故选A．]
6．BCD [对于A，设a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，根据|c－a|＝，
即(x－1)2＋y2＝，是圆心为(1，0)，半径为的圆，又|c|＝的几何意义为原点到圆(x－1)2＋y2＝上点(x，y)的距离，则≤|c|≤，故A错误；
对于B，(c－a)·(c－b)＝(x－1)x＋y(y－2)＝x2－x＋y2－2y＝＋(y－1)2－，则转化为求圆(x－1)2＋y2＝，
为2－＝2－，故B正确；
对于C，b·c＝2y，因为－，故－1≤b·c≤1，故C正确；
对于D，因为(x－1)2＋y2＝，故x＝＋1，y＝，
又因为c＝λa＋μb，故λ＝x，μ＝，
λ＋μ＝cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中tan φ＝2)，
故当sin(θ＋φ)＝－1时，λ＋μ取最小值1－，故D正确．故选BCD．]
7.0 [
连接PO，可得·＝()·()＝，
显然当最大，即||取得最大值2时，·取得最小值0．]
1/3培优课3 平面向量数量积的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围是高考的热点与难点问题，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用．
类型1 向量系数的最值、范围
【典例1】 (1)(2025·湖南长沙模拟)已知G是△ABC的重心，过点G作一条直线与边AB，AC分别交于点E，F(点E，F与所在边的端点均不重合)，设＝x＝y，则的最小值是( )
A．1 B． C．2 D．4
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A．[－1，3] B．[－1，5]
C．[－7，3] D．[5，7]
[听课记录]
反思领悟 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a＝λb(b≠0)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，O，B，C三点不共线，则A，B，C三点共线 λ＋μ＝1．
1．(1)(2025·江苏黄前高级中学月考)在△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且＝x＋y，则x2＋y2的最小值是( )
A． B． C．1 D．2
(2)(2025·广西柳州三模)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝3，P为△ABC内一点，且AP＝1．若＝λ＋μ，则2λ＋3μ的最大值为________．
类型2 求向量模、夹角的最值(范围)
【典例2】 (1)(2025·江苏南通模拟)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，若|a＋b|>1，|a－b|>1，则θ的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最小值是( )
A． B．
C． D．1
[听课记录]
反思领悟
1．求模的范围或最值的常见方法
(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题．
(2)数形结合．
(3)坐标法．
2．求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系．
2．(1)若|a|＝2，|a－b|＝1，则|b|的最大值为( )
A．3 B．5 C．3 D．2
(2)在平行四边形ABCD中，＝，λ∈[，3]，则cos ∠BAD的取值范围是( )
A． B．
C． D．
类型3 求向量数量积的最值(范围)
【典例3】 (1)在边长为2的正方形ABCD中，动点P，Q在线段BD上，且|PQ|＝2，则·的最小值为( )
A．2 B． C．1 D．
[听课记录]
(2)已知D，E分别是等边△ABC的边AB，AC的中点，DE＝1，点P在线段DE上移动(含端点)，则·的范围是________．
[听课记录]
反思领悟 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
(3)转化：利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
3．(1)已知P是边长为2的等边△ABC的内部(不包括边界)的一个点，则·的取值范围为( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(0，4) D．(2，4)
(2)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是________．
培优课3 平面向量数量积的最值与范围问题
典例1 (1)B (2)A [(1)如图，取BC中点D，则，
，
∵E，G，F三点共线，∴＝1，即x＋y＝3，
∴(x＋y)×(2＋2)＝，
当且仅当x＝y＝时，取等号．
即．
故选B．
(2)∵非零向量a，b的夹角为θ，
若|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝2×1×cos θ＝2cos θ，
∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得13－λ2＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立，
∵cos θ∈[－1，1]，
∴
解得－1≤λ≤3．]
考教衔接
1．(1)A (2) [(1)由D是AC的中点得，
因为B，H，D三点共线，所以x＋2y＝1(x>0，y>0)，
所以x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5，
故x2＋y2的最小值为，故选A．
(2)如图，因为∠A＝90°，所以以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，3)，
设∠PAB＝θ，
则θ∈，
过点P作x轴的垂线，垂足为Q，
则AQ＝cos θ，PQ＝sin θ，
所以P(cos θ，sin θ)，
所以＝(cos θ，sin θ)，＝(2，0)，＝(0，3)，
因为＝λ＋μ，所以(cos θ，sin θ)＝(2λ，3μ)，
所以2λ＝cos θ，3μ＝sin θ，
则2λ＋3μ＝sin θ＋cos θ＝，
因为θ∈，
所以θ＋，
所以当θ＋，即θ＝时，2λ＋3μ有最大值为．]
典例2 (1)D (2)B [(1)因为a与b均为单位向量，其夹角为θ，
由|a＋b|>1，可得(a＋b)2>1，所以a2＋2a·b＋b2>1，
所以a·b>－，所以cos θ>－，
由|a－b|>1，可得(a－b)2>1，所以a2－2a·b＋b2>1，
所以a·b<，所以cos θ<，
所以－所以θ的取值范围是．故选D．
(2)建立坐标系，以向量a，b的角平分线所在的直线为x轴，使得a，b的坐标分别为．设c的坐标为(x，y)，因为(a－c)·(b－c)＝0，所以－x，－y·－x，－－y＝0，化简得为半径的圆，则|c|的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆心到原点的距离为．
故选B．]
考教衔接
2．(1)A (2)A [(1)法一：设a与a－b的夹角为θ．因为|b|＝|(a－b)－a|，
得|b|2＝|(a－b)－a|2＝(a－b)2－2(a－b)·a＋a2＝|a－b|2－2|a－b|·|a|cos θ＋|a|2＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ，
当cos θ＝－1时，|b|2有最大值9，|b|的最大值为3．故选A．
法二：因为|a|＝2，如图，设a＝，b＝，
由|a－b|＝1知，点B在以A为圆心，1为半径的圆上，
当点B与O，A在一条直线上，位于图中B'位置时，|b|的最大值为3．
故选A．
(2)设与＝e1，与＝e2，与＝e3，由题意，得e1＋3e2＝λe3，
所以(e1＋3e2)2＝λ2＋6e1·e2＋9＝λ2，
所以1＋6×1×1×cos∠BAD＋9＝λ2，
所以cos∠BAD＝，
因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]，
所以，
即cos∠BAD∈．
故选A．]
典例3 (1)C (2)[1，3] [(1)法一(极化恒等式法)：设PQ的中点为M，
则·＝()·()＝|2－1≥2－1＝1(当M为BD中点时取等号)．
法二(坐标法)：建立平面直角坐标系如图所示．设P(a，2－a)，
因为在边长为2的正方形ABCD中，动点P，Q在线段BD上，且|PQ|＝2，所以Q(a＋，2－－a)，a∈[0，2－]，
所以·＝(a，2－a)·(a＋，2－－a)
＝a(a＋)＋(2－a)(2－－a)
＝2a2－(4－2)a＋4－2
＝2＋1，
所以当a＝·有最小值1．故选C．
(2)由题意，·|·||·cos ∠PBC，
易知DE为△ABC的中位线，且DE＝1，所以△ABC的边长为2，结合投影可知，||·cos ∠PBC∈·∈[1，3]．]
考教衔接
3．(1)C (2)[39，55] [(1)因为P是边长为2的等边△ABC的内部(不包括边界)的一个点，
由图象知，||·cos〈〉＝|AD|∈(0，2)，
所以·|·||·cos〈〉∈(0，4)．故选C．
(2)由向量极化恒等式知，
·＝()·()＝||2－9．
又△ABC是边长为8的等边三角形，
所以当点P位于点A或点C时，||取最大值8．
当点P位于AC的中点时，||取最小值，
即|，
所以||的取值范围为[4，8]，
所以·的取值范围为[39，55]．]
1/4(共60张PPT)
专题一
三角函数与解三角形
培优课3 平面向量数量积的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围是高考的热点与难点问题，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用．
√
类型1 向量系数的最值、范围
【典例1】 (1)(2025·湖南长沙模拟)已知G是△ABC的重心，过点G作一条直线与边AB，AC分别交于点E，f (点E，F与所在边的端点均不重合)，设＝x＝y，则的最小值是( )
A．1 B． C．2 D．4
√
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A．[－1，3] B．[－1，5]
C．[－7，3] D．[5，7]
(1)B (2)A [(1)如图，取BC中点D，则＝＝，＝＝＝，
∵E，G，F三点共线，∴＝1，即x＋y＝3，
∴＝(x＋y)＝×(2＋2)＝，
当且仅当x＝y＝时，取等号．
即的最小值是．故选B．
(2)∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝2×1×cos θ＝2cos θ，
∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得13－λ2＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立，
∵cos θ∈[－1，1]，∴
解得－1≤λ≤3．]
反思领悟 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a＝λb(b≠0)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，O，B，C三点不共线，则A，B，C三点共线 λ＋μ＝1．
√
1．(1)(2025·江苏黄前高级中学月考)在△ABC中，D是AC的中点，H在BD上，且＝x＋y，则x2＋y2的最小值是( )
A． B． C．1 D．2
(2)(2025·广西柳州三模)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝3，P为△ABC内一点，且AP＝1．若＝λ＋μ，则2λ＋3μ的最大值为________．
(1)A (2) [(1)由D是AC的中点得＝2，所以＝x＋y＝x＋2y，
因为B，H，D三点共线，所以x＋2y＝1(x>0，y>0)，
所以x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝＋，
故x2＋y2的最小值为，故选A．
(2)如图，因为∠A＝90°，所以以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，3)，
设∠PAB＝θ，则θ∈，
过点P作x轴的垂线，垂足为Q，
则AQ＝cos θ，PQ＝sin θ，所以P(cos θ，sin θ)，
所以＝(cos θ，sin θ)，＝(2，0)，＝(0，3)，
因为＝λ＋μ，所以(cos θ，sin θ)＝(2λ，3μ)，
所以2λ＝cos θ，3μ＝sin θ，
则2λ＋3μ＝sin θ＋cos θ＝sin ，
因为θ∈，
所以θ＋∈，
所以当θ＋＝，即θ＝时，2λ＋3μ有最大值为．]
【教用·备选题】
(1)(2025·广东深圳一模)设点A(－2，0)，B，C(0，1)，若动点P满足||＝2||，且＝λ＋μ，则λ＋2μ的最大值为________．
(2)如图，点C在半径为1，圆心角为的扇形OAB的上运动．已知＝x＋y，则当∠AOC＝时，
x＋y＝________；x＋y的最大值为________．
2
(1) (2) 2 [(1)设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝，由||＝2||，得＝2，整理，得x2＋y2＝1，
又＝(x＋2，y)，＝＝(2，1)，
代入＝λ＋μ，得
有x＋y＋2＝λ＋3μ＝(λ＋2μ)，所以λ＋2μ＝(x＋y＋2)，
由1＝x2＋y2≥2xy，得xy≤，
所以(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≤1＋1＝2，
得x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立，
所以λ＋2μ＝(x＋y＋2)≤＋2)＝．
即λ＋2μ的最大值为．
(2)以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O作OA的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B＝(1，0)，＝，
当∠AOC＝时，C，
则＝，
由＝x＋y，
得＝x(1，0)＋y，
即解得
故x＋y＝．
设∠AOC＝α，
则＝(cos α，sin α)，
由＝x＋y，
得(cos α，sin α)＝x(1，0)＋y，
即解得
故x＋y＝cos α＋sin α＝2sin ，
由于0≤α≤，所以≤α＋，故当α＝时，2sin 取最大值为2，即x＋y的最大值为2．]
√
类型2 求向量模、夹角的最值(范围)
【典例2】 (1)(2025·江苏南通模拟)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，若|a＋b|>1，|a－b|>1，则θ的取值范围是( )
A． B．
C． D．
√
(2)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最小值是( )
A． B．
C． D．1
(1)D (2)B [(1)因为a与b均为单位向量，其夹角为θ，
由|a＋b|>1，可得(a＋b)2>1，所以a2＋2a·b＋b2>1，
所以a·b>－，所以cos θ>－，
由|a－b|>1，可得(a－b)2>1，所以a2－2a·b＋b2>1，
所以a·b<，所以cos θ<，
所以－所以θ的取值范围是．故选D．
(2)建立坐标系，以向量a，b的角平分线所在的直线为x轴，
使得a，b的坐标分别为．
设c的坐标为(x，y)，因为(a－c)·(b－c)＝0，
所以·＝0，
化简得＋y2＝，表示以点为圆心，为半径的圆，则|c|的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为．故选B．]
反思领悟
1．求模的范围或最值的常见方法
(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题．
(2)数形结合．
(3)坐标法．
2．求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系．
√
2．(1)若|a|＝2，|a－b|＝1，则|b|的最大值为( )
A．3 B．5 C．3 D．2
(2)在平行四边形ABCD中，＝，λ∈[，3]，
则cos ∠BAD的取值范围是( )
A． B．
C． D．
√
(1)A (2)A [(1)法一：设a与a－b的夹角为θ．因为|b|＝|(a－b)－a|，得|b|2＝|(a－b)－a|2＝(a－b)2－2(a－b)·a＋a2＝|a－b|2－2|a－b|·|a|cos θ＋|a|2＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ，
当cos θ＝－1时，|b|2有最大值9，|b|的最大值为3．故选A．
法二：因为|a|＝2，如图，设a＝，b＝，
由|a－b|＝1知，点B在以A为圆心，1为半径的圆上，
当点B与O，A在一条直线上，位于图中B′位置时，|b|的最大值为3．
故选A．
(2)设与同方向的单位向量＝，与同方向的单位向量＝，与同方向的单位向量＝，由题意，得＋3e2＝λe3，
所以＋3e2)2＝，即＝，
所以1＋6×1×1×cos ∠BAD＋9＝λ2，
所以cos ∠BAD＝，因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]，
所以∈，即cos ∠BAD∈．故选A．]
√
【教用·备选题】
(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)若平面向量a，b，c满足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，则a，b夹角的取值范围是________．
(1)C (2) [(1)可设e＝(1，0)，a＝(x，y)，
则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)
＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
则1≤x≤5，－2≤y≤2，
|a＋e|＝＝，
当x＝5时，取得最大值6，
即|a＋e|的最大值为6．
(2)设c＝(2，0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a与b的夹角为θ，则a·c＝2x1＝2 x1＝1，
b·c＝2x2＝6 x2＝3，
∴a＝(1，y1)，b＝(3，y2)，
a·b＝3＋y1y2＝2 y1y2＝－1 y2＝－，
∴cos θ＝＝＝＝，
当且仅当y1＝±时，等号成立，
显然cos θ＞0，即0＜cos θ≤，
∵0≤θ≤π，∴≤θ＜，
因此，a，b夹角的取值范围是．]
√
类型3 求向量数量积的最值(范围)
【典例3】 (1)在边长为2的正方形ABCD中，动点P，Q在线段BD上，且|PQ|＝2，则·的最小值为( )
A．2 B． C．1 D．
(2)已知D，E分别是等边△ABC的边AB，AC的中点，DE＝1，点P在线段DE上移动(含端点)，则·的范围是________．
[1，3]
(1)C (2)[1，3] [(1)法一(极化恒等式法)：设PQ的中点为M，
则·＝()·()＝－＝||2－1≥2－1＝1(当M为BD中点时取等号)．
法二(坐标法)：建立平面直角坐标系如图所示．
设P(a，2－a)，
因为在边长为2的正方形ABCD中，动点P，Q在线段BD上，且|PQ|＝2，所以Q(a＋，2－－a)，a∈[0，2－]，
所以·＝(a，2－a)·(a＋，2－－a)
＝a(a＋)＋(2－a)(2－－a)
＝2a2－(4－2)a＋4－2＝2＋1，
所以当a＝时，·有最小值1．故选C．
(2)由题意，·＝||·||·cos ∠PBC，
易知DE为△ABC的中位线，且DE＝1，所以△ABC的边长为2，结合投影可知，||·cos ∠PBC∈，故·∈[1，3]．]
【教用·备选题】
(2025·宁夏一模)窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则·的最小值为( )
A． B．0
C．－2 D．－4
√
C [设〈〉＝θ，
则·＝||·||cos θ，结合数量积的几何意义可知，当点P在GH上运动时，||cos θ最小，所以·的最小值为2×2×＝－2．]
反思领悟 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
(3)转化：利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
√
3．(1)已知P是边长为2的等边△ABC的内部(不包括边界)的一个点，则·的取值范围为( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(0，4) D．(2，4)
(2)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，
则·的取值范围是________．
[39，55]
(1)C (2)[39，55] [(1)因为P是边长为2的等边△ABC的内部(不包括边界)的一个点，由图象知，||·cos 〈〉＝|AD|∈(0，2)，
所以·＝||·||·cos 〈〉∈(0，4)．故选C．
(2)由向量极化恒等式知，
·＝()·()＝||2－||2＝||2－9．
又△ABC是边长为8的等边三角形，
所以当点P位于点A或点C时，||取最大值8．
当点P位于AC的中点时，||取最小值，
即||min＝8sin ＝4，
所以||的取值范围为[4，8]，
所以·的取值范围为[39，55]．]
重点培优练3 平面向量数量积的最值与范围问题
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
1．(2025·山西太原模拟)四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足||＝4，则||的最大值是( )
A．1＋ B．－1
C．2－1 D．2＋1
题号
1
3
5
2
4
6
7
D [根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设P(x，y)，A(0，0)，B(4，0)，C(4，4)，D(0，4)．
所以＝(x，y)，＝(x－4，y)，＝(x－4，y－4)，＝(x，y－4)，
所以＝(4x－8，4y－8)，
因为||
＝＝4，
即(x－2)2＋(y－2)2＝1，
故点P在以点(2，2)为圆心，半径为1的圆周上运动，
所以||的最大值为＋1＝2＋1．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
2．已知|a－b|＝3，|a|＝2|b|，则cos 〈a，a－b〉的最小值为( )
A． B． C． D．1
题号
1
3
5
2
4
6
7
C [由|a－b|＝3，|a|＝2|b|可得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5|b|2－2a·b＝9，所以a·b＝|b|2－．因此a·(a－b)＝a2－a·b＝|a|2－|b|2＋＝4|b|2－|b|2＋＝|b|2＋，
所以cos 〈a，a－b〉＝＝＝|b|＋，
显然|b|>0，所以|b|＋≥2＝，当且仅当|b|＝时，等号成立．
此时cos 〈a，a－b〉的最小值为．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
3．(2025·北京西城一模)蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点，A，B为两个固定顶点，则·的最大值为( )
A．44 B．48 C．72 D．76
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
B [设点P(x，y)，正六边形的边长为4，建立如图平面直角坐标系，
所以A(－8，0)，B(8，0)，所以＝(－8－x，－y)，＝(8－x，－y)，
所以·＝－(8＋x)(8－x)＋y2＝x2＋y2－64，
设点P(x，y)到原点的距离为d，则·的最大值为，由图可知，离原点最远的正六边形顶点为最外围的顶点，如图，可取P(8，4)，
所以＝||2－64＝64＋48－64＝48，
即·的最大值为48．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
4．设a，b是非零向量，且|a＋b|＝1，|4a－b|＝2，则|a＋2b|的最大值为( )
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
C [由题意得|a＋2b|＝|a＋b|＋|4a－b|＝，当a＋b和4a－b方向相反时等号成立，
若a，b不共线，则设a＋b＝λ(4a－b)，则无解；
故此时a，b共线，设b＝ka，
则由|a＋b|＝1，|4a－b|＝2可得|(k＋1)a|＝1，|(4－k)a|＝2，
则|4－k|＝2|k＋1|，两边平方解得k＝或k＝－6，当k＝时，a＋b和4a－b方向相同，舍去，故k＝－6，即得|a|＝，|b|＝，此时|a＋2b|的最大值为．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
√
5．如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点．若＝x＋y，则2x＋2y的最大值为( )
A． B．2 C． D．1
题号
1
3
5
2
4
6
7
A [法一：(坐标法)以点O为坐标原点，过点O平行于AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得A，B，C，
点P在以点O为圆心，为半径的圆上，
所以可设P，0≤θ＜2π，
则＝＝(2，0)，＝(1，)，由＝x＋y，可得2x＋y＝cos θ＋1，y＝sin θ＋，
∴2x＋2y＝cos θ＋1＋sin θ＋＝sin ，∵0≤θ＜2π，∴≤θ＋＜，
∴当θ＝时，2x＋2y的最大值为．故选A．
题号
1
3
5
2
4
6
7
法二：(等和线法)如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1．
因为BC∥EF，所以设＝＝k，则k∈，所以＝k＝k＝λ＋μ＝λk＋μk，所以x＝λk，y＝μk，所以2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k∈．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
题号
1
3
5
2
4
6
7
6．(多选)(2025·山东潍坊二模)已知向量a，b，c为平面向量，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，|c－a|＝，则下列说法中正确的是( )
A．1≤|c|≤
B．(c－a)·(c－b)的最大值为
C．－1≤b·c≤1
D．若c＝λa＋μb，则λ＋μ的最小值为1－
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
7
BCD [对于A，设a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，根据|c－a|＝有＝，
即(x－1)2＋y2＝，是圆心为(1，0)，半径为的圆，又|c|＝的几何意义为原点到圆(x－1)2＋y2＝上点(x，y)的距离，则≤|c|≤，故A错误；
题号
1
3
5
2
4
6
7
对于B，(c－a)·(c－b)＝(x－1)x＋y(y－2)＝x2－x＋y2－2y＝＋(y－1)2－，则转化为求圆(x－1)2＋y2＝上的点到点的距离最大值的平方再减去，为－＝－＝，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
7
对于C，b·c＝2y，因为－≤y≤，故－1≤b·c≤1，故C正确；
对于D，因为(x－1)2＋y2＝，故x＝＋1，y＝，又因为c＝λa＋μb，故λ＝x，μ＝，
λ＋μ＝＋1＋＝＋1＝sin (θ＋φ)＋1(其中tan φ＝2)，
故当sin (θ＋φ)＝－1时，λ＋μ取最小值1－，故D正确．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
7
7．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O，且两端点M，N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则·的最小值为________．
0
题号
1
3
5
2
4
6
7
0 [连接PO，可得·＝()·()＝－＝4－，
显然当最大，即||取得最大值2时，·取得最小值0．]
谢 谢！
