嘉峪关市金科辅导学校高三1月月考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 嘉峪关市金科辅导学校高三1月月考数学试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 46.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 00:00:00 | ||
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文档简介
嘉峪关市金科辅导学校高三1月月考数学试卷
注意事项：
1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；主观题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3. 本试卷命题范围：集合与逻辑、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知全集 ，集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
已知 中，，，，则 （ ）
A. B. C. D.
若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
设 是两个不同平面， 是直线且 ，则 “” 是 “” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知等差数列 中，，其前 项和为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
已知函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
已知向量 ，，，则（ ）
A. B. C. D.
已知函数 ，则（ ）
A. 是奇函数 B. C. 在区间 上单调递减 D. 有且仅有两个零点
在矩形 中，，，以对角线 为折痕将 进行翻折，折后为 ，连接 得到三棱锥 。在翻折过程中（ ）
A. 三棱锥 体积的最大值为
B. 点 都在同一球面上
C. 存在点 在某一位置时，可使
D. 当 时，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
若正实数 满足 ，则 的最小值为 。
已知正项等比数列 满足 ，且 ，则公比为 。
在圆内接梯形 中，，，，，则该梯形外接圆的半径为 。
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
（13 分）
已知函数 ，且 。
（1）求 的值；
（2）求 在区间 上的值域。
（15 分）
中，角 所对的边分别为 ，。
（1）求函数 的最大值及对应的 值；
（2）若 ，求 的周长。
（15 分）
在数列 中，。
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 。
（17 分）
如图，在直三棱柱 中，， 为 的中点，。
（1）证明：；
（2）求二面角 的余弦值。
（17 分）
已知函数 。
（1）求 的极值；
（2）若 。
(ⅰ) 求 的取值范围；
(ⅱ) 比较 () 与 的大小，并说明理由。
2025.12 高三月考数学试卷标准答案解析
一、 单项选择题（每题 5 分，共 40 分）
答案：A
集合 。全集 ，，则 。。
答案：D
。则共轭复数 。
答案：A
余弦定理 。故 。
答案：B
底面半径 。体积 。
答案：B
若 ，且 ，则必有 （必要性成立）；若 且 ， 与 可能相交（充分性不成立）。
答案：B
等差数列中 。。
答案：C
。在 处切线斜率 。由切线方程 知 。点为 ，代入 。
答案：A
由条件整理得 。由于 为锐角，。。
二、 多项选择题（每题 6 分，共 18 分）
答案：BD
，，故 B 正确。验证 选项成立。
答案：AC
，为奇函数，A 对。，在 处为 ，在 内 恒成立，单调递减，C 对。
答案：BCD
矩形四个顶点共球，翻折后仍共球，B 对。翻折至平面 平面 时体积最大，需通过几何计算验证 A 错误（最大值为 ）。
三、 填空题（每题 5 分，共 15 分）
答案：4
。，等号在 时取得。
答案：1/2
由 （正项数列），得 或基于 代入 。解得 （舍负），则 ，。
答案：
在梯形中由余弦定理求得对角线 。外接圆半径 。
四、 解答题（共 77 分）
(13 分)
。由 得 。
，导数 。 时减， 时增。。值域为 。
(15 分)
，当 时，， 最大值为 。
由 及范围得 。由正弦定理及 结合 求得 。周长为 。
(15 分)
由题意可得：
又 ，
故数列是首项为，公比为的等比数列。
∴
即
(2) 求数列的前项和
由(1)知 ，
∴
∴ 数列的前项和
分别计算各部分和：
合并得
(15 分)
(1) 证明：
在直三棱柱 中，侧棱 平面 。因为 平面 ，所以 。已知 ，且 ，由于 和 都在平面 内，所以 平面 。因为 平面 ，根据线面垂直的定义，必有 。
（2）求二面角 的余弦值
1. 建立空间直角坐标系：
以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系。
由 可得 。
各点坐标：。
2. 求平面的法向量：
平面 ：，。
设其法向量为 ，则有 。
取 ，则 ，故 。
平面 ：该平面即侧面 ，其法向量明显为 轴方向，即 。
3. 计算余弦值：
。
由于二面角 为锐角，其余弦值为 。
19.(ⅰ) 求 的取值范围
将 代入得：
整理得：
设 ，。
我们需要满足 在 上恒成立。
。
* 情况 1：若 ，即 ：
当 时，，则 。
此时 ，函数 在 上单调递增。
又因为当 时，。
由于 递增，所以 恒成立。
故 符合题意。
* 情况 2：若 ，即 ：
令 ，得 ，即 。
由于 ，则 ，所以 ，即 。
当 时，， 在该区间单调递减。
则当 时，，这与 恒成立矛盾。
故 不符合题意。
的取值范围是 。
(ⅱ)
设 。
要比较 与 ，即比较 与 的大小。
令 ，设 ，。则 。
代入
。
我们需要比较 与 的大小（因为 ）。
设 ，。
。
当 时，，故 ， 单调递增。
则 。
所以 。
由此可知 。
则 。
由于 ，则 。
故 。
2
注意事项：
1. 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；主观题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3. 本试卷命题范围：集合与逻辑、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知全集 ，集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
已知 中，，，，则 （ ）
A. B. C. D.
若圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
设 是两个不同平面， 是直线且 ，则 “” 是 “” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知等差数列 中，，其前 项和为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
已知函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
已知向量 ，，，则（ ）
A. B. C. D.
已知函数 ，则（ ）
A. 是奇函数 B. C. 在区间 上单调递减 D. 有且仅有两个零点
在矩形 中，，，以对角线 为折痕将 进行翻折，折后为 ，连接 得到三棱锥 。在翻折过程中（ ）
A. 三棱锥 体积的最大值为
B. 点 都在同一球面上
C. 存在点 在某一位置时，可使
D. 当 时，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
若正实数 满足 ，则 的最小值为 。
已知正项等比数列 满足 ，且 ，则公比为 。
在圆内接梯形 中，，，，，则该梯形外接圆的半径为 。
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
（13 分）
已知函数 ，且 。
（1）求 的值；
（2）求 在区间 上的值域。
（15 分）
中，角 所对的边分别为 ，。
（1）求函数 的最大值及对应的 值；
（2）若 ，求 的周长。
（15 分）
在数列 中，。
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 。
（17 分）
如图，在直三棱柱 中，， 为 的中点，。
（1）证明：；
（2）求二面角 的余弦值。
（17 分）
已知函数 。
（1）求 的极值；
（2）若 。
(ⅰ) 求 的取值范围；
(ⅱ) 比较 () 与 的大小，并说明理由。
2025.12 高三月考数学试卷标准答案解析
一、 单项选择题（每题 5 分，共 40 分）
答案：A
集合 。全集 ，，则 。。
答案：D
。则共轭复数 。
答案：A
余弦定理 。故 。
答案：B
底面半径 。体积 。
答案：B
若 ，且 ，则必有 （必要性成立）；若 且 ， 与 可能相交（充分性不成立）。
答案：B
等差数列中 。。
答案：C
。在 处切线斜率 。由切线方程 知 。点为 ，代入 。
答案：A
由条件整理得 。由于 为锐角，。。
二、 多项选择题（每题 6 分，共 18 分）
答案：BD
，，故 B 正确。验证 选项成立。
答案：AC
，为奇函数，A 对。，在 处为 ，在 内 恒成立，单调递减，C 对。
答案：BCD
矩形四个顶点共球，翻折后仍共球，B 对。翻折至平面 平面 时体积最大，需通过几何计算验证 A 错误（最大值为 ）。
三、 填空题（每题 5 分，共 15 分）
答案：4
。，等号在 时取得。
答案：1/2
由 （正项数列），得 或基于 代入 。解得 （舍负），则 ，。
答案：
在梯形中由余弦定理求得对角线 。外接圆半径 。
四、 解答题（共 77 分）
(13 分)
。由 得 。
，导数 。 时减， 时增。。值域为 。
(15 分)
，当 时，， 最大值为 。
由 及范围得 。由正弦定理及 结合 求得 。周长为 。
(15 分)
由题意可得：
又 ，
故数列是首项为，公比为的等比数列。
∴
即
(2) 求数列的前项和
由(1)知 ，
∴
∴ 数列的前项和
分别计算各部分和：
合并得
(15 分)
(1) 证明：
在直三棱柱 中，侧棱 平面 。因为 平面 ，所以 。已知 ，且 ，由于 和 都在平面 内，所以 平面 。因为 平面 ，根据线面垂直的定义，必有 。
（2）求二面角 的余弦值
1. 建立空间直角坐标系：
以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系。
由 可得 。
各点坐标：。
2. 求平面的法向量：
平面 ：，。
设其法向量为 ，则有 。
取 ，则 ，故 。
平面 ：该平面即侧面 ，其法向量明显为 轴方向，即 。
3. 计算余弦值：
。
由于二面角 为锐角，其余弦值为 。
19.(ⅰ) 求 的取值范围
将 代入得：
整理得：
设 ，。
我们需要满足 在 上恒成立。
。
* 情况 1：若 ，即 ：
当 时，，则 。
此时 ，函数 在 上单调递增。
又因为当 时，。
由于 递增，所以 恒成立。
故 符合题意。
* 情况 2：若 ，即 ：
令 ，得 ，即 。
由于 ，则 ，所以 ，即 。
当 时，， 在该区间单调递减。
则当 时，，这与 恒成立矛盾。
故 不符合题意。
的取值范围是 。
(ⅱ)
设 。
要比较 与 ，即比较 与 的大小。
令 ，设 ，。则 。
代入
。
我们需要比较 与 的大小（因为 ）。
设 ，。
。
当 时，，故 ， 单调递增。
则 。
所以 。
由此可知 。
则 。
由于 ，则 。
故 。
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