广东省汕头市2025-2026学年上学期高三期末数学试卷（无答案）

汕头市2025—2026学年度普通高中毕业班教学质量监测
数学
注意事项：
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置。
选择题的作答：每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
非选择题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数的共轭复数是
A． B．
C． D．
2. 已知，，则
A． B．
C． D．
3. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是
A．解释变量和响应变量线性相关
B．相关系数
C．决定系数
D．残差平方和等于1
4. 的展开式的中间一项是
A．20 B．
C． D．
5. 已知、是异面直线，设平面满足，且，则这样的
A．不存在 B．有且仅有1个
C．有且仅有2个 D．有无数多个
6. 已知，，则的取值范围是
A． B．
C． D．
7．已知是椭圆上一点，且在轴上方，、分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为
A． B．
C． D．
8．设，满足，，则的值为
A．0 B．1
C．．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设、是平面内相交的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为．若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即．设，，则
A．
B．
C．在上的投影向量的坐标为
D．
10．已知函数，函数是奇函数，则
A．
B．有两个零点
C．不等式的解集为
D．曲线在点处的切线与曲线有三个公共点
11．在正三棱柱中，、分别是侧棱、上的点，，则
A．平面与平面的夹角的余弦值为
B．直线与平面所成角的正切值为
C．在侧棱上存在唯一的一点，使
D．若棱柱的外接球半径，则
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某水果店店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：
　　　　83 96 107 91 70 75 94 80 80 100 75 99 117 89 74
　　　　94 84 85 101 87 93 85 107 99 55 97 86 84 85 104
店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(即100天中，约有80天可以满足顾客需求)，则每天估计应该进________kg苹果．
13．以双曲线上一点为圆心的圆与轴相切于双曲线的一个焦点，且与轴相交于、两点，若为正三角形，则双曲线的离心率是________．
14．把1到37这37个整数排成一个数列，其前项和为，已知，且对于任意的，，都有能被整除，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%．
　（1）从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由；
　（2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．
　（3）根据上述结果，能得出什么结论？
16．（15分）
已知函数．
　（1）求在上的单调递增区间；
　（2）设、、分别是内角、、的对边，若，，成等比数列，求证：，，成等比数列，并求公比的取值范围．
17． （15分）
已知抛物线，过的焦点作直线交于、两点，直线（为的顶点）交的准线于点．
（1） 求证：；
（2） 求的最小值．
18． （17分）
已知矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，如图所示．
（1） 证明：不存在某个位置，使；
（2） 设点为线段的中点，
①判断线段的长是否为定值，并说明理由；
②当平面与平面的夹角为时，求异面直线与所成角的余弦值．
19． （17分）
某些函数如和的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方．这个性质可表示为：设是定义在区间上的函数，则对于上的任意、与任意，总有成立．
（1） 设，求证：；
（2） 设，求证：；
（3） 某同学研究发现，若函数在上存在导函数，则上述性质的充要条件为在上递增，求证：，其中、均为正数．