辽宁省沈阳市2025-2026学年上学期高二期末数学试卷（含答案）

高二年级数学试卷
时间：120分钟
分数：150分
试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1－11题58分）
第二部分：非选择题型（12－19题92分）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
2. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
A. B.
C.2 D.
3. 今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有
A.210种 B.162种 C.720种 D.840种
4. 在多项式的展开式中，系数和为64，则展开式中含项的系数为
A.26 B.18 C.12 D.9
5. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
B. 已知向量，，则在上的投影向量为
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D. 点关于平面对称的点的坐标是
6. 已知为椭圆 的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为棱和的中点，以为原点，，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是平面的一个法向量
C. 直线与平面夹角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
8. 已知双曲线 的左焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，并与双曲线交于点，且有，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共小题，每小题分，共分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分）
9. 下列有关说法错误的是（ ）
A. 在 展开式中无常数项
B. 除以的余数为
C. 已知 ，则的取值为.
D．甲、乙、丙、丁4个人到3个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去，则不同的安排方法有36种
10. 已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．直线与抛物线相切
C．已知点，则的周长最小值为
D．若，则的面积为
11．如图，已知正方体的棱长为2，是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C．若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
D．若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 直线与圆交于两点，，则弦长的最小值是 _________.
13．如图，在平行六面体中，
，，，则直线与直线所成角的余弦值为_________.
14. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是________.
四、解答题（共77分）
15.（13分）已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.
（1）求展开式的所有二项式系数之和；
（2）求的值；
（3）判断的展开式中第几项系数的绝对值最大.
16.（15分）16. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，，，，.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）若点在上，且.
（i）当时，求到平面的距离；
（ⅱ）是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
17.（15分）已知椭圆：上的点到其右焦点的最大距离为3．
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点（异于，）．
① 若的面积为，求直线的方程；
② 若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
18.（17分）如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点，分别是棱，的中点，点在棱上，且．
（1） 若，证明：平面；
（2） 当异面直线与所成角为时，求实数的值；
（3） 求平面与平面夹角余弦值的取值范围．
19.（17分）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为．
（1） 求双曲线的方程；
（2） 过点作直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值；
（3） 设定点，过点的直线交双曲线于，两点，，不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围．
高二年级数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
答案 C A A B B B C A ABC BCD AF
12.
13.
14.
15.（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以n=10，
所以展开式的所有二项式系数之和为210=1024 3
（2）令x=0，得a0=(0-2)10=1024.
令x=13，得a0+a13+a232+ +a10310=3×13-210=1，
所以a13+a232+ +a10310=-1023 7
（3）(3x+2)10展开式的通项Tr+1=C10r310-rxr210-r.
由{C10r310 r×2r≥C10r+139 r×2r+1,C10r310 r×2r≥C10r 1311 r×2r 1得175≤r≤225.
因为r为整数，所以r=4，所以(3x-2)10的展开式中
第5项系数的绝对值最大 13
16.（1）由平面平面，平面平面，平面，
得平面.
因为，，平面，所以，.
又四边形 为直角梯形且 ，
则 ，故 ，， 两两垂直．
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，，，，，
所以 ，，，
显然 是平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，，从而 ，
所以 ，，
所以平面 PBC 与平面 PAD 夹角的余弦值为 33 5
（2）因为 ，所以 ，，，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令y2=-1，则x2=1，z2=λ1-λ，从而n=1,-1,λ1-λ 8
（i）当时，，，
从而P到平面AEC的距离为d=|PA·n||n|=11+1+14=23 10
（ii）假设存在满足题意，与平面所成角为，
则，．
化简得，解得或．
故存在λ=12或112，使得PD与平面AEC所成角的正弦值为1515 15
17.（1）椭圆上的点到其右焦点的最大距离为，
，，故，
，，
∴椭圆C的方程为x24+y23=1； 3
（2）
①设过点的直线方程为，点，，
联立，得，
则， 则
，
又点到直线的距离，
令S=12|MN|d=12·12(m2+1)3m2+4·31+m2=181+m23m2+4=15， 6
化简整理得
，，
， 解得，
∴直线l的方程为3x±6y-3=0． 8
②由①知，，，，
直线，直线，
联立直线，，整理得，
由①知y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，∴my1y2=32(y1+y2)， 11
，
即，解得，
∴ 点P在直线x=4上． 15
18.（1）如图，连接，交于，连接，则为的中点，又为的中点，所以；
当时，为的中点，又为的中点，所以；
所以GF∥OE，又GF 平面BDE，OE 平面BDE，所以GF∥平面BDE； 4
（2）如图，连接，由正四棱锥可知，，两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以，，，所以，，，
所以，；
因为异面直线与所成角为，所以，解得，
实数λ的值为12； 8
（3）由（2）知，
，，，，，
所以；
设平面的一个法向量为，则
，即，取，则，，所以；
设平面的一个法向量为，则
，即，取，则，，所以
n=(1+λ,λ-1,1-λ)； 12
设平面与平面的夹角为，
则cosθ=|cos m，n |=|m·n||m||n|=|1+λ+1-λ|2(1+λ)2+2(1-λ)2=23λ2-2λ+3， 15
因为，所以函数，
所以，
即平面BDE与平面PDG夹角余弦值的取值范围是22,32 17
19.（1）因为双曲线 的实轴长为，故，
而双曲线的渐近线为，
故右焦点到渐近线的距离为，
故双曲线的方程为：x2-y23=1 3
（2）显然直线与轴不垂直，设：，，，
由双曲线的对称性知的中点为，故，
联立
故，
由于，均在双曲线右支，故，故，
而，
代入韦达定理得SPAB=12m2+11-3m20≤m2<13， 7
令，则，
易知在上为减函数，则当时，，
综上，PAB的面积的最小值为12 9
（3）不妨设，，，
若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，，与条件矛盾，
所以可设直线的方程为，且，
联立，消可得，
方程的判别式
，
所以，
所以，，
所以，
，
，................................
12
，
所以
所以
所以，
因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值，
所以tx0-1=0，故x0=1t， 15
故为定值，
所以，
因为或，，，
所以或，存在双曲线上的点满足，
使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为，
所以t的范围为(-1,0)∪(0,1) 17