2025年秋季人教版九年级上册数学期末模拟卷（含答案）

人教版九年级上册数学
期末自编模拟测试题（1）
考试时间:120分钟 满分120分
班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________
一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．
A. B. C. D.
2.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.下列一元二次方程中，有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
5.关于的方程有实数解,则整数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6.已知关于的二次三项式的部分对应值如表：
据此可估计关于的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.把方程配方，化成的形式可以为（ ）
A. B. C. D.
8.某电影上映以来，全国票房连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入达亿元，将增长率记作，则方程可以列为（ ）
A. B. C. D.
9.已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
10.关于的方程有两个实数根，，满足，则的值为（ ）
A. B. C.或 D.或
二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
11.将一元二次方程化为一般形式为________．
12.若是方程的一个根，则代数式的值为_______．
13.观察表格，一元二次方程最精确的一个近似解是_____（精确到）．
14.若（、为实数），则的最小值为____________．
已知线段的长为，以为边在的下方作正方形．取边上一点，以为边在的上方作正方形．过作，垂足为点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则的长为 ．
16.对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．若，是方程的两根，则的值为_______________．
三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）
17.(6分) 解方程：
（1）；
（2）．
18.（6分）已知关于 的方程有实数根，求的取值范围．
19.(6分) 已知关于的方程．
（1）当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根．
（2）当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
20.（7分）先化简，再求值：，其中是方程的根．
21.(8分) 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶．
（1）每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是 元（用含的代数式表示）；
（2）平均每周的销售量（顶）与降价（元）之间的函数关系式是 ；
（3）若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
22.(8分) 已知关于的一元二次方程.
（1）当取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
（2）若方程的两根都是正数，求的取值范围；
（3）设，是这个方程的两个实根，且，求的值．
23.(9分) 【探究与应用】
公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方
程．
【观察与分析】小张在解方程时，他的解答过程如下：
解：，，，（第一步）
．（第二步）
方程有两个不相等的实数根
（第三步）
，．（第四步）
【思考与应用】
（1）小张的解答过程是否正确？
（2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程．
24.(10分) 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使
式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法
是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如，求代数式的最小值：
当时，有最小值．
【直接应用】
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________．
（2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？
【知识迁移】
（3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙
足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？
25.(12分) 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“正值”．把该代数式的最大正值与最小正值的差称为“正域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于；当时，代数式的值等于．我们就称和都是这个代数式的正值，正域值为．
（1）代数式的正值是_____；
（2）判断代数式是否存在正值，若有，请求出代数式的正值；若没有，则说明理由；
（3）①若关于的代数式的正域值为，求的值；
②若关于的代数式的正域值为正整数，求整数的值．
参考答案
一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.C 2. 3.． 4.. 5.D
6.． 7.． 8.． 9.B 10.
二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）
11. 12.6 13.
14.3 15.． 16.．
三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）
17.(6分)
解：（1）
解得:；
或
解得：．
18.（6分）
解：根据题意得当时，，
解得 且，
当时，方程为：为一元一次方程，有实数根，
综上可得： ．
19.(6分)
解：（1）原方程为一元一次方程，
，
解得：．
原方程为一元二次方程，
，
解得：，
该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
20.（7分）
解：原式
又因为为的根
所以
所以
所以原式
21.(8分)
解：（1）进价为每顶元，原售价为每顶元，每顶头盔降价元后，每顶
头盔的利润是元；
故此题答案为：；
（2）根据题意得：，故此题答案为：；
（3）根据题意得：，解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：每顶头盔应降价元．
22.(8分)
解：（1）∵ ，
∴ 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）设，是这个方程的两个实根，则，，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，解得，
∴ 方程的两根都是正数，的取值范围是：；
（3）∵ ，，
，
，
．
23.(9分)
解：（1），即，
，，，即小张在第一步就出现解答错误；
小张的解答过程不正确．
解：小张的解答过程从第一步开始出错了，
正确的解答过程如下：
解：原方程化为
，，，
方程有两个不相等的实数根
，
，．
24.(10分)
解：（1），
，
即在横线上添上一个常数项为，
故答案为：；
代数式有最小值，
，
当时，有最小值，
当时，代数式有最小值，这个最小值是．
设垂直于墙的一边长为米，
即米，米，
则围成的生物园的面积为
，
，
，
，
当时，围成的生物园最大面积为．
(12分)
解：（1），则，即，解得或，
故答案为：或；
（2）无正值，理由如下：
令，则，
，
方程无解，
代数式无正值；
（3）①正域值为，说明“正值”只有个（最大、最小正值相等）．
令，整理得，
方程有两个相等的实数根，故，
，
化简得，即，
解得；
②令，
则
设两根为，
则
正域值为：，
先将化简：
，
由于正域值为正整数，且为整数，
或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，舍去，
因此整数的值为．
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