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浙教版 九年级上册
期末压轴选填题40道【浙江期末真题汇编】
试卷分析
知识点分布
一、单选题
1 0.4 动点问题的函数图象；根据正方形的性质求线段长；相似三角形的判定与性质综合；图形运动问题(实际问题与二次函数)
2 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
3 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；重心的概念；相似三角形的判定与性质综合
4 0.4 等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；其他问题(实际问题与二次函数)
5 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号；根据二次函数的对称性求函数值；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
6 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；利用不等式求自变量或函数值的范围
7 0.4 相似三角形的判定与性质综合；折叠问题；等边三角形的性质
8 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合
9 0.4 全等三角形综合问题；以弦图为背景的计算题；相似三角形的判定与性质综合
10 0.4 圆的基本概念辨析；全等的性质和HL综合（HL）；用勾股定理解三角形
知识点分布
11 0.4 正多边形和圆的综合；相似三角形的判定与性质综合
12 0.4 不等式的性质；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形；线段垂直平分线的性质
13 0.4 相似三角形的判定与性质综合；面积问题(二次函数综合)
14 0.4 全等三角形综合问题；根据正方形的性质求线段长；相似三角形的判定与性质综合
15 0.4 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
16 0.4 等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质；角平分线的性质定理；用勾股定理解三角形
17 0.4 解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
18 0.4 根据旋转的性质求解；求角的正弦值；坐标系中的旋转；用勾股定理解三角形
19 0.4 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
知识点分布
二、填空题
20 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
21 0.4 利用垂径定理求值；相似三角形的判定与性质综合；根据等角对等边证明边相等；同弧或等弧所对的圆周角相等
22 0.4 圆的基本概念辨析；根据正方形的性质求线段长；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
23 0.4 根据二次函数图象确定相应方程根的情况；y=a（x-h） +k的图象和性质
24 0.4 含30度角的直角三角形；三角函数综合；折叠问题
25 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质
26 0.4 解直角三角形的相关计算；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；点与圆上一点的最值问题
27 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
28 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；由平行截线求相关线段的长或比值；折叠问题
29 0.4 利用垂径定理求解其他问题；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；切线的性质定理
30 0.4 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；等边三角形的判定和性质；根据特殊角三角函数值求角的度数
知识点分布
31 0.4 相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；切线的性质定理
32 0.4 解直角三角形的相关计算；三线合一；圆周角定理；其他问题(实际问题与二次函数)
33 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；根据旋转的性质求解；重心的有关性质；相似三角形的判定与性质综合
34 0.4 解直角三角形的相关计算；根据矩形的性质求面积；相似三角形——动点问题；点与圆上一点的最值问题
35 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；根据旋转的性质求解；解直角三角形的相关计算；求角的正切值
36 0.4 解直角三角形的相关计算；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理
37 0.4 求过圆内一点的最长弦；y=ax +bx+c的最值
38 0.4 根据旋转的性质求解；利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
39 0.4 圆的基本概念辨析；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
40 0.4 根据旋转的性质求解；根据正方形的性质求线段长；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形2025-2026学年九年级数学上学期浙教版
期末压轴选填题38道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D B D D C B D A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19
答案 D B C D B A D C D
1．D
首先得到的最大值为n，表示出，，证明出，得到，然后代入表示出，然后根据二次函数的性质求出，，即可判断A，B选项；然后将代入即可判断C选项；设，证明出，得到，然后表示出，得到t随y的增大而增大，然后结合当点E运动时，y从0增大到1，然后再减小到0，进而判断D选项．
解：∵设，，
∴的最大值为n，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
∵如图2是关于的函数图象，最高点为，
∴，
∴，故C错误；
∴，故A错误；
∴，
将代入得，，
∴点不在该函数图象上，故B错误；
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴t随y的增大而增大，
由图象得，，且当点E运动时，y从0增大到1，然后再减小到0，
∴当y取得最大值1时，t取得最大值为，
∴点的运动路径长为，故D正确．
故选：D．
此题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象和性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确分析图象．
2．B
本题主要考查二次函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，由图象可知：当时，，即，此时点A与点P重合，所以，然后可分当时，当时，进而得出二次函数解析式，最后问题可求解．
解：∵，，
∴，，
由图象可知：当时，，即，
此时点A与点P重合，所以，
当时，过点D作于点H，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该函数的对称轴为直线，
由小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，可知：M，N关于该函数的对称轴对称，
设点，则，
∴，
∴点R的横坐标为，即，
当时，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
解得：；
故选B．
3．D
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，重心的定义，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得都是的中线，则由三角形中位线定理可得，证明得到，设，则，设，则，证明求出a与b的关系即可得到答案．
解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，
∵G是的重心，
∴都是的中线，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：D．
4．B
本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断B；求出航行10分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D．
解：∵在该函数图象上，
∴当时，，即或（舍去）；
∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，
∵二次函数的最低点B的坐标为，
∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里，
∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，
如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示，
过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里，
∴由勾股定理得，即，故A说法错误；
当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，
∴海里，
∴，
∴点在函数图象上，故B说法正确；
设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则，
∴是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
∴船行速度为海里/小时，故C说法错误；
由点B的坐标可知，对称轴为直线，
∴由对称性可知点在函数图象上，
∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，
∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误；
故选：B．
5．D
本题考查根据函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
由抛物线开口方向，顶点坐标，与y轴的交点位置可判断①；根据二次函数图象的平移，得出的顶点在x轴下方，可判断②；根据抛物线与轴的另一个交点在点和之间，将代入，可判断③；分在对称轴左侧或右侧两种情况，可判断④．
解：抛物线开口向下，
，
顶点为，
对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴，
，
，故①错误；
向下平移m个单位长度时，新图象的解析式为，
顶点为，
时，新图象的顶点在x轴下方，新图象与x轴没有交点，
没有实数根，故②正确；
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
时，，
，
，故③正确；
抛物线开口向下，和，且，对称轴为直线，
在对称轴左侧，在对称轴左侧或右侧，
当在对称轴左侧时，
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，，
；
当在对称轴右侧时，
关于对称轴的对称点为，
，
，故④错误，
综上可知，正确的是②③，
故选：D．
6．D
由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围．
本题考查了二次函数的增减性，解不等式，熟练掌握性质是解题的关键．
解：∵点在函数图象上，且，
∴ ，
解得；
∵ 函数开口向上，对称轴，
∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大，
∵，
且，
∴范围内，处取得最大值，
∴ ；
∵点也在函数图象上，且，
∴ ，
由恒成立，得，
化简得，即，
解得或，
结合点A存在条件，
∴ 或；
故选：D．
7．C
设，则，
证明，列比例式解答即可．
本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和解方程是解题的关键．
解：∵等边三角形，
∴，，
∵沿着折叠，使点恰好落在边上点处，，，
根据折叠的性质，得，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴
∴，
解得，
故选：C．
8．B
本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
由等腰直角三角形的性质可得，再证明，得到，，进而可证明，得到，即可求解．
解：，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
9．D
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，理解全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
过点作于点，设，，，依题意得，，，，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，，则，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，再证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，进而得，据此即可得出答案．
解：过点作于点，如图所示：
设，，，
依题意得：，，，，，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
若要求出的面积，只需知道的面积即可．
故选：D．
10．A
本题考查了圆的相关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是运用平方差公式进行化简计算．
设圆心为O，连接，则，则，那么，那么，再化简变形得到，即可求解．
解：如图，设圆心为O，连接，则，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴由勾股定理得：，
则
，
故选：A．
11．D
本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，连接，．首先证明，设，，利用相似三角形的性质求出可得结论．解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题．
解：如图，连接，．
正十边形内接于，
，，
，
，
，
，，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
（负根已经舍去），
，，
．
故选：D．
12．B
本题主要考查了正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、不等式的性质等知识点，掌握不等式的性质是解题的关键．
正方形的性质可得，如图：过Q作于E，设，（），则，，，进而得到；再运用勾股定理可得；设，则，可得，然后根据不等式的性质可得，即的最大值为，进一步求得的最大值即可．
解：∵正方形的边长为4，
∴，
如图：过Q作于E，设，（），则，，
∵的中垂线交，
∴，
∵，
∴，整理得：，
设，则，
∴，
∴的最大值为，
∴的最大值为．
故选B．
13．C
先将转化为，再过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点P坐标表示出即可解决问题．
解：由题知，，
如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，
∵轴，
∴，
∴．
令，则有，解得，
∴，
∴．
将代入，得：，
∴点C的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
∴直线的函数解析式为．
∵，
令点P坐标为，
则，
∴
∴，
则，
∴，
则当时，有最大值为：，
即的最大值为．
故选：C．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与x轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
14．D
设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解．
解：如图，过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H，
在正方形和正方形中，
，，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15．B
由四边形是矩形，，得出，设，，证明用含的式子表示，再根据，推出，，，最后利用勾股定理求出和的长，代入矩形面积计算即可.
解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
设，，
∵，，且这四个三角形均为直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵，，，
∴ ，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故选：．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，锐角三函数，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
16．A
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为点；过点作延长线的垂线，垂足为点，利用三角形外角的性质求出的度数，从而求出，为等腰直角三角形，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可推出，设，根据等腰三角形的性质和勾股定理将用含的代数式表示出来，从而得到，最后在中利用勾股定理，得到关于的方程，并将它代入即可求得答案．
解：过点作，垂足为点；过点作延长线的垂线，垂足为点，如图，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
；
设，
在中，，
，
，，
，
，
在中，，
，，，
，
，
；
故选：A．
17．D
根据题意，连接，根据等腰三角形的性质，三线合一，则，，，根据，可得，根据等量代换，全等三角形的判定和性质，则，推出为等腰直角三角形，根据三角形的外角和，得到，延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，得到，即，根据相似三角形的判定和性质，勾股定理，得到，最后，，求出；再根据，即可．
解：连接，
∵是等腰直角三角形，点为斜边的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
延长至点，使得，连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：D．
本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用．
18．C
本题主要考查了坐标与图形．熟练掌握旋转性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键．
如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T．求出，，得，，根据，得，即得结论．
解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
19．D
将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上，设上升的高度为h，过点B作于点F，过作于点E，于点G，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得．
解：将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上，
设上升的高度为h，
过点B作于点F，过作于点E，于点G，
则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵于点B，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．或或
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
过点C作于点D，先求出，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理得，则，然后在中，再由勾股定理可求出的长．根根据可知有以下两种情况：①当时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，，先由△的面积公式求出，证明△和△相似，利用相似三角形的性质求出，进而得由勾股定理可求出，再证明△和△相似，利用相似三角形的性质可求出，然据此可得的长；②当时，过点作于点，则，进而可证明，则，，由①可知，由此可得的长；③当时，过点作于点于点，过点作于点，由①可知：，，，，，在△中，由勾股定理得，证明△和△相似，再由相似三角形的性质得，进而得，综上所述即可得出答案．
是△的一个外角，
，
当点在射线上，△的一个内角与相等时，有以下两种情况：
①当时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图2所示：
，
由（1）可知：，，，，，
，
由△的面积公式得：，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
在△和△中，
，，
△△，
，
，
，
，
；
②当时，过点作于点，如图3所示：
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
由①可知：，
，
③当时，过点作于点于点，过点作于点，如图4所示：
由①可知：，，，，，
在△中，由勾股定理得：，
，，
△△，
，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为或或．
故答案为：或或．
21．/
本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质与判定，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，延长交于点H，连接，由垂径定理可得，则；可证明，得到；设，，则，证明，得到，则可求出，据此可得答案．
解：如图所示，延长交于点H，连接，
∵，是的直径，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴可设
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
22．
本题主要考查垂径定理、圆的基本性质、正方形的性质及勾股定理，熟练掌握垂径定理、圆的基本性质、正方形的性质及勾股定理是解题的关键；连接，过点O作于点G，由题意易得，，则有，设，则有，然后根据勾股定理可得，则有，进而问题可求解．
解：连接，过点O作于点G，如图所示：
由题意得：，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则有，
∵，
∴，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
23．
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．方程的解即为二次函数的图象与直线交点的横坐标．已知两函数图象交于点，可先求出的值，再利用二次函数的对称性求得另一个解．
解：∵二次函数与的图象交于点，
∴且，
两式相减得，
∵，
∴，
即，
解得，
∵方程的解是函数的图象与直线交点的横坐标，已知一个交点为，
且二次函数的对称轴为直线，
∴点关于二次函数对称轴的对称点为，
∴另一个交点为．
故方程的解为．
故答案为：．
24．2
过点D作于点E，延长交于点F，则点F是点D的对称点，根据直角三角形的性质，解直角三角形，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可．
此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，直角三角形的性质，解直角三角形，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，灵活运用含有角的直角三角形性质及是解决问题的关键．
解：过点D作于点E，延长交于点F，
点F是点D的对称点，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质，得，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
25．4
由对称轴过点可得对称轴为，即，从而得到；点 在一次函数上，代入得，即在二次函数上，代入得 ；将代入后化简得；所求表达式可化为 ，故结果为4．
本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与一次函数的交点意义，求代数式的值，熟练掌握对称轴的应用，交点的意义是解题的关键．
解：二次函数 （）的对称轴方程为；
∵ 对称轴过点，
∴ ，即 ；
点 在一次函数上，
∴ ，即；
∵ 点在二次函数上，
∴ ，
即；
将代入上式，得，
，
，
将代入得，，
∴ ，
故答案为：4．
26．/
本题考查勾股定理，解直角三角形，定弦定角求点圆最值，通过直角找到点Q的运动轨迹是解题关键．
根据，可知点Q在以为直径的圆上，再利用点圆最值求出的最小值即可．
解：∵，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上，记该圆圆心为D，
如图，当点Q在上时最小，连接，
∵为直径，
∴，
∴，，
∴，即半径为3，
∴，
∴，
故答案为：．
27． 或
（1）过点C作于点D，先求出，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理得，则，然后在中，再由勾股定理可求出的长；
（2）根据可知有以下两种情况：①当时，过点A作于点K，过点B作，交的延长线于点H，则，，先由的面积公式求出，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，进而得由勾股定理可求出，再证明和相似，利用相似三角形的性质可求出，然据此可得的长；②当时，过点B作于点H，则，进而可证明，则，，由①可知，由此可得EF的长综上所述即可得出答案．
解：（1）过点C作于点D，如图1所示：
在中，，，，
由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：；
（2）是的一个外角，
，
当点F在射线上，的一个内角与相等时，有以下两种情况：
①当时，过点A作于点K，过点B作，交的延长线于点H，如图2所示：
，
由（1）可知：，，，，，
，
由的面积公式得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在和中，
，，
，
，
，
，
，
；
②当时，过点B作于点H，如图3所示：
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
由①可知：，
综上所述：的长为或
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点
28．
由折叠的性质可得垂直平分线段，，即，由题意可得，推出，进而可得，由中位线定理可得，设，则，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解．
解：∵将沿直线翻折得到，
∴垂直平分线段，
∴，
∵为上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
29．
连接，延长交于H，由切线的性质推出半径，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由圆周角定理得到，因此，由补角的性质推出，判定，推 ，求出，得到，即可求出的值．
解：连接，延长交于H，
∵切于点，
∴半径，
∵，
∴，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三 角形的性质，关键是判定．
30．1或2或
本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，特殊角度三角函数，根据得到，再以为边构造等边三角形，根据和在等边三角形上找对应的点即可．
解：如图，取中点，沿翻折，点对应点，取中点，连接，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴由翻折可得，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，取中点，取中点，
∴，
∴，
∵现将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，，
∴点分别与、、重合，
当点与点重合时，，
∴点与点重合时，，
∴点与点重合时，，
故答案为：1或2或．
31．
本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作圆O的直径，连接，证明，同理，连接，，是的角平分线，是的切线，得，证明，对应边成比例得，证明，求出，再证明，求出，进而可得BC．
解：如图，作圆O的直径，连接，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，，
连接，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
32．8
记的圆心为，连接，过点E作于点F， 先根据圆周角定理和三线合一得到，则，设，那么，由建立方程求出，再求出点的坐标，即可求出抛物线解析式，继而可求解与y轴交点坐标．
解：记的圆心为，连接，过点E作于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴
解得：，
∴，
∴，
∴，
将代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
当，
∴，
故答案为：8．
本题考查了二次函数与圆的综合问题，解直角三角形，涉及待定系数法求函数解析式，圆周角定理，两点之间距离公式，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于圆周角的运用．
33．
重心是三角形三条中线的交点，根据点是的重心，可知，所以可得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，根据旋转的性质可证、根据对顶角相等可得，从而可证，根据相似三角形的性质可得的值．
解：点是的重心，
，，
又在中，，
，
，
，
由旋转可知：，，，
又，
，
，
由旋转可知：，
，
，
，
，
又，
，
．
故答案为： ．
本题考查了三角形重心的性质、直角三角形的性质、三角形相似的判定和性质、旋转的性质，解决全题的关键是利用重心的定义和旋转的性质找到边之间的关系．
34．
连接交于点M，取中点，连接，证明，推出，即得到点M为定点，由，得到点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，由勾股定理求出，在求出，由，求出，进而求出，利用勾股定理即可求出，进而得解．
解：连接交于点M，取中点，连接，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即得到点M为定点，
∵，
∴，
∴点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，
当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
本题考查了两动点连线经过定点的问题与圆中最值问题，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线构造相似三角形，找到点G的运动轨迹是解题的关键．
35．
本题考查了二次函数的图象、勾股定理、旋转及全等三角形，灵活运用以上知识点是解题的关键．
根据题意画出函数图象和旋转后的图象，由旋转的性质构造全等三角形，将转化成全等三角形的对应线段进行求值，最后利用及勾股定理列出方程即可求解．
解：由题意知，“4蛋型”抛物线的解析式为，，如图：
设旋转前在原图象的处，连接、、、、，与交于点，
由旋转的性质知，≌，，
∴，，
过点作轴，过点作轴，
则，且，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴
解得：，
由图知，
∴，
∴，，，
，
∴．
故答案为： ．
36．/
延长至点，过点作，连接、．易证，推出，进而得到，证明，根据，，，求出，即可解答．
解：如图，延长至点，过点作，连接、．
∵内接于，，
∴是的直径，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，点E为中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即
∴，
故答案为：．
本题考查圆周角，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
37．
本题考查了圆的性质，二次函数的性质，设交于点，根据三角形的面积公式可得，根据的最大值为，进而根据二次函数的性质，求得最值，即可求解．
解：如图所示，设交于点，
设，
∵是等腰直角三角形，垂直平分，则，
∴
∴当且为直径时，面积的最大值为
故答案为：．
38．或或
如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，由在菱形和垂直可得，得到四边形为矩形，推出，，再旋转可证明，得到，，再证明，得到，即可得到、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线，最后根据点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上分情况讨论，分别求解即可．
解：如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，
∵在菱形中，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴∥，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵点、、都在直线上，
∴、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线，
∵点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上，
∴当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，此时在处，在处，此时；
当点的对应点恰好落在菱形的边和所在直线时，此时在处，连接，则，，可得，由可得是等腰直角三角形，即在处，此时；
当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵中，，
∴，，
∴，
解得，
综上所述，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为或或；
故答案为：或或．
本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是确定点的运动轨迹．
39． 8
连接交于点，过点作，由两次勾股定理得，解得，设，则，则，由得到解得：，则半径；由，得到，则，那么，而，则，则，由菱形的对称性可知：，则，即可求解．
解：连接交于点，过点作，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
设，则，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴半径；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由菱形的对称性可知：，
∴，
∴，
故答案为：8，．
本题考查了圆的概念，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键．
40．
过作于点，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，又四边形是正方形，可得，，通过同角的余角相等得，即可证明，根据性质得，过作交于点，设与交于点，再证明，则，由勾股定理得出，最后代入即可求解．
解：如图，过作于点，过作于点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过作交于点，
∴，
∴，
∴，
设与交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，同角的余角相等，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．2025-2026学年九年级数学上学期浙教版
期末压轴选填题38道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，正方形中，点从点出发沿向终点运动，连接，过作的垂线交于点，连接交的延长线于点．设，．如图2是关于的函数图象，最高点为．下列选项正确的是（ ）
A． B．点在该函数图象上
C． D．点的运动路径长为
2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）数学探究课上，小明用画图软件画出了图1所示的，其中，，小明将点D固定在边上，构造动点P，使点P从点A开始沿折线A→B→C运动，到达点C后停止．连接，令为y，点P的运动路程为x，画图软件生成图2所示的y关于x的函数图象，由图象可知点T的纵坐标为12．小明在图2的坐标系中画了一条与x轴平行的直线，且该直线与函数图象的三个交点M，N，R之间满足，则这三个点的纵坐标n的值为（ ）
A．5 B．5.25 C．5.5 D．6
3．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（ ）
A．
B．点在函数图象上
C．船行速度为25海里/小时
D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时
5．（25-26九年级上·浙江·期末）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有.正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
6．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
7．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在与中，，，连接，，若，，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．
9．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形连结并延长，交于点，交于点连结，，若要求出的面积，只需知道（ ）
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．的面积
10．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，在直线上，，，且过点，，三点的圆的圆心在直线上．若，，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
13．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
15．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在一次课题学习中，某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连结，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知，，．则的面积为（ ）．
A．9 B．10 C． D．
17．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
18．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕着原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在y轴上，则点到y轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
19．（24-25九年级上·浙江温州·期末）图1是捣谷物的“碓”，图2是其示意图，O为转动支点，于点B，与水平线夹角，，，．当点C绕点O旋转下落到上时，点A上升（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
20．（25-26九年级上·浙江·期末）在中，，斜边上一点满足，连结，点是射线上的点，连结的一个内角与相等，则的长为 ．
21．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是的直径，点在半圆上，过点作于点，点是上一点（不与，重合），连接，，与相交于点，平分交于点，若，则的值为 ．
22．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在正方形中，以边上的点O为圆心，的长为半径画弧，分别与边，交于点E，F．若，则的值为 ．
23．（25-26九年级上·浙江台州·期末）若二次函数（a，k为常数）与的图象交于点，则关于x 的方程的解为 ．
24．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接．若，则的长度是 ．
25．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）二次函数图象的对称轴过点，该函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是 ．
26．（25-26九年级上·浙江·期末）如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为 ．
27．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）在中，，，斜边上一点E满足，连结．
（1）的长为 ．
（2）点F是射线上的点，连结，的一个内角与相等，则的长为 ．
28．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则 ．若，则 ．
29．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，切于点，在上取一点，使，连结并延长交于点，过点作交于点，连结，当时，的值为 ．
30．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当时，的长为 ．
31．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为 ．
32．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在电磁场中，带电粒子的运动是一个复杂而迷人的物理现象，在如图所示的平面直角坐标系中，x轴上方区域存在沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．一个带电粒子从A处射出，先沿抛物线运动至点，再沿运动至点．已知点的坐标为，，则的长为 ．
33．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好为的重心，与相交于点，则的值为 ．
34．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ．
35．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，我们称为“m蛋型”抛物线，如：称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转度，A旋转后的对应点为，过作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于，若，则的值是 ．
36．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，，，点E为中点，连结，点F为线段上一点且满足，若，则 ．
37．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，以弦为直角边作等腰直角，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为，则当弦长度变化时，面积的最大值为 ．
38．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为 ．
39．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，在菱形中，以对角线上一点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，，连结并延长交于点．若，，则半径长为 ； ．
40．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 ．
