2025-2026学年八年级数学上学期浙教版2024
期末压轴解答题36道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)①；②的值为或；
(2)的取值范围为．
本题考查的是一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式，函数过定点，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
（1）①利用待定系数法求解即可；
②求得，分当和时两种情况讨论，利用最大值和最小值的差是6，列式求解即可；
（2）根据当时，恒成立，求得，设，需对恒成立，分情况讨论即可求解．
（1）①解：∵该一次函数的表达式为，图象恒过定点，还经过，
∴，
解得，
∴该一次函数的表达式为；
②解：∵图象恒过定点，
∴，即，
∴，
当时，分两种情况讨论：
当时，随x的增大而增大，
当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
由题意得，
解得，此时；
当时，随x的增大而减小，
当时，有最大值为，
当时，有最小值为，
由题意得，
解得，此时；
故的值为或；
（2）解：∵图象恒过定点，
∴，即，
∴，
当时，恒成立，
即，整理得，
设，需对恒成立，
分情况讨论：
当，即时，
，满足条件；
当时：
若，即，则随x的增大而增大，不满足条件；
若，即，则随x的增大而减小，
此时，
要使恒成立，
∴，解得，
∴，
综上，的取值范围为．
2．(1)
(2)
(3)
本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
（1）1分钟时水淹没铁块，铁块高度即此时乙容器水深，得；
（2）分别设甲、乙水深的一次函数，代入点求解解析式，联立方程得水深相同时的时长为；
（3）先算甲容器总水量、倒水速度，再求乙容器底面积，最后算剩余水注入后乙、丙的水面高度为．
（1）解：由图可得，0到1分钟是水逐渐淹没铁块过程，
故当1分钟时，铁块高度为，
故答案为：8．
（2）由图象可得时，甲、乙两容器中水的深度相同，
设，
把，代入，得，
解得，
所以，
设，
把，代入，得，
解得，
所以，
令，得，解得，
所以当甲、乙两容器中水的深度相同时，注水时长为．
（3）解：由题图，得甲容器中初始水面高度为，
所以水的总体积为，
所以每分钟甲容器中的水倒出，
所以乙容器1～3分钟水的体积增加了，
因为乙容器 1～3 分钟水面升高了，
所以乙容器的底面积为．
因为丙容器的底面积为，
所以当水面为高时，丙容器中水的体积为，
此时甲容器中剩余的水的体积为，
所以将这部分水全注入乙、丙容器中水面高度．
故答案为：24．
3．(1)
(2)
(3)见解析
本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
（1）利用等边对等角和三角形的内角和定理求解即可；
（2）过A作于H，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，，设，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可；
（3）先结合（1）得，再根据，，故，又因为，，所以，，整理得，又因为，，故，即可作答．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过A作于H，如图1，
则，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
由得，
解得，即；
（3）证明：在上截取，连接，如图2，
由（1）得，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
4．(1)
(2)见解析
(3)是等腰直角三角形，理由见解析
（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论；
（3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论．
（1）解：是等腰直角三角形，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长至M，使，连接，
点B是的中点，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
（3）解：是等腰直角三角形，理由如下：
如图3，过点F作于点K，连接，
是等腰直角三角形，
，
在中，点H是的中点，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键．
5．（1）见解析；（2）见解析；（3）
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）作，交于，可证得，从而，
（2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，得出，在中，，进而得出，当重合时，取得最小值，即可得出结论；
（3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，过点作，交的延长线于点，作关于的对称点，连接，可得，当取得最小值时，取得最小值，由（2）可得时，取得最小值，是等边三角形，进而求得，，即可求解．
（1）证明：如图1，
作，交于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即是的中点；
（2）证明：如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴
∴
∴
在中，，
∴，即
当重合时，取得最小值， 即当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小．
（3）解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
∵中，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则
∴
∴
∴
∴
∴
作关于的对称点，连接，
∴，
∴
∴当取得最小值时，取得最小值，
由（2）可得时，取得最小值，
又∵
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
设
∴
解得：
∴
的最小值为：．
6．（1）①A；见解析；（2）①25；，见解析；（3）
本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键．
（1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解；
（2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解；
（3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解．
解：（1）①A；
②如图，即为所求．
（2）①中，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：25；
②与之间的数量关系为，
理由如下：
，
，
,
．
（3）如图，连接，
N是中点，
设，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
7．(1)3
(2)15
(3)
本题主要考查了二次根式有意义的条件、不等式的性质、解不等式组、解分式方程等知识点，灵活运用相关运算方法成为解题的关键．
（1）先变形可得，设，再分、、三种情况解答，最后根据不等式的性质并结合题意即可解答；
（2）先解不等式可得、，则、，r、为正整数，消去k可得，则当时，，，据此即可解答；
（3）先分别解分式方程和不等式得到a的取值范围，然后再确定所有整数a的值，最后求和即可．
（1）解：
设，
当时，无意义，
当时，，最小值为3；
当时，，最小值为4．
的最小值是3．
当时，不等式恒成立，
的最大值是3，
（2）解：由得：①，
由得：②，
∵、都是正整数，
∴由①得，为正整数③，
由②得，为正整数④，
消去，得
当时，，
∴正整数的最小值为15．
（3）解：由关于的不等式组，可整理得，
该不等式组解集无解，
，即，
又，
∴且，即，
而关于的分式方程有负整数解
且为偶数，
且为偶数，
∴且为偶数且
，
∴符合条件的所有整数的和为．
8．(1)
(2)
(3)，即的长度不发生改变，是定值，为3
（1）作轴于点D，证明，可得，，再进一步求解即可；
（2）作，易证，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（3）如图，作轴于点E．证明，可得，．进一步证明，可得，可得，再进一步求解即可．
（1）解：作轴于点D，
∵ ，，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，．
∴ ，
∴ 点C的坐标为．
（2）解：如图，作于D．
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴B点坐标．
（3）解：的长度不发生改变．如图，作轴于点E．
∵ ，，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，．
∵ ，
∴ ．
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴ ，
∵ 点A的坐标为，
∴ ．
∴ ，即的长度不发生改变，是定值，为3．
此题是考查了坐标与图形、等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．
9．(1)①是；②或
(2)或
(3)
本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力．
（1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可；
（2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可；
（3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可．
（1）解：①∵点，
∴，
∵，
∴，
∴，
则是2的“等垂点”，
故答案为：是．
②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E，
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示：
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴，，，，
同理得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或．
（2）解：设
当时，如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即或，
∵点在上，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
当时，如图，过作轴于点，
同理可得或，
∵点在上，
∴或，
解得(舍)或，
∴．
综上所述：或．
（3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”，
∴直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴．
10．(1)见解析
(2)4
（1）由平行线的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，在中，由勾股定理得，得，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
11．(1)；；
(2)①；②；
(3)，．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键．
（1）由新定义求出函数表达式，即可求解；
（2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解；
②由的面积，即可求解；
（3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解．
（1）由新定义知，的解析式 ，
把点C的坐标代入上式得：，则，
故答案为：，；
（2）①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
则点D是两个函数的交点，即，则，即点；
②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：、，则
则的面积；
（3）设直线交y轴于点K，
当点M在点E的上方时，
过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，
过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H，
由直线的表达式知，，即，
∵，
则，则为等腰直角三角形，设点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即且，
解得：，，
即点，
由点D、N的坐标得，直线的表达式为：，
当在E下方时，
则直线和关于对称，则的表达式为：
综上所述，或．
12．(1)证明见解析
(2)①；②点坐标为，，
（1）根据等边三角形的性质得出，，即可求证；
（2）①由（1）可得，结合即可得出，由平角的定义可得，由三角形的内角和定理，等腰三角形的性质即可解答；
②当为等腰三角形时，存在三种情况：，，，利用勾股定理和面积法即可解答．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴；
（2）①由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴；
②过点作于点，
∵，，
∴，
由①得：，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∵是等边三角形，，，
∴，
∴，
当时，
如图，过点作，于点，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当时，
过点作，于点，，过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，
过点作，于点，，连接交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴为的中垂线，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∴．
综上所述，点坐标为，，．
本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线和运用分类讨论的思想是解题的关键．
13．（1）；（2）点的坐标为（2，0）；（3）
本题主要考查了新定义、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴交点问题等内容，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据“倍差函数”的定义解答即可；
（2）先确定点、的坐标，再根据互为相反数的定义解答即可；
（3）先确定、的坐标，进而画出，结合函数图象求出临界值，即可得出答案．
解：（1），
；
（2）点在函数的图象上，
点的坐标为，
点的坐标为，
与点的纵坐标的和为，
，
解得：，
点的坐标为；
（3）由（2）可得：点的坐标为，
直线的表达式为：，
当时，，
点的坐标为：，
，，
设直线的表达式为，
，
解得：，
直线的表达式为：，
直线与有交点，结合图形可得直线与线段有交点即可，
，
解得，
即的取值范围为．
14．(1)小轿车的速度为：，大客车的速度为：；
(2)，两车出发小时后相遇，此时两车距离甲地；
(3)小时或小时或小时
本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
(1)分别根据速度路程时间计算即可；
(2)根据路程速度时间分别写出线段、所在直线的函数关系式，列关于和的二元一次方程组并求解，从而得到点的坐标并写出其实际意义即可；
(3)根据路程速度时间分别写出线段所在直线的函数关系式，按照的取值范围，当两车相距列关于的方程并求解即可．
（1）解：由图象可得，
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：．
（2）解：线段所在直线的函数关系式为，
线段所在直线的函数关系式为，
根据题意，得，
解得，
点的坐标为，其实际意义表示小轿车于出发后小时在从乙地返回甲地的途中与大客车相遇，此时两车距离甲地．
（3）解：所在直线的函数关系式为，
小轿车离开甲地的路程与时间的函数关系式为
，
当，两车相距时，得，解得；
当，两车相距时，得，解得(舍去)；
当，两车相距时，得，解得或；
∴出发后经过或或两车相距．
15．（1）见解析；（2）①；②
（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得
（2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得．
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵是等边三角形，
∴，
过点D作，交于点G，
则，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接并延长，交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键．
16．(1)
(2)k的取值范围为
(3)存在，点Q的坐标为或
（1）分别把代入函数解析式，解方程，进一步得出结果；
（2）求出，根据恰好落在的内部得出不等式组，求解即可；
（3）可推出，，进而得出，从而得出轴，从而得出，求得直线的解析式后，代入求得的值，进而得出结果；当点在轴上时，可求得点，，求得直线直线的解析式后，与直线的解析式联立成方程组，进一步得出结果．
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解法，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
17．（1）①证明见解析；②；（2）
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）①由可证，可得；
②由全等三角形的性质可得，，由可证，可得，即可求解；
（2）先证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，可得，，即可求解．
（1）①证明：，
，
，
，
．
在和中，
②，
．
由①得，，
．
，
．
．
，
；
（2）解：延长，交于点，过点作于，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
．
18．(1)
(2)①见解析，②见解析．
本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可．
（2）①将进行变形，结合即可解决问题．
②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可．
（1）解：当，时，
，，
所以，
整理得，，
所以．
（2）①证明：由得，
，．
因为，
所以，
整理得，．
因为为正数，
所以，
所以，
即，
所以．
②解：由得，
．
又因为，，
所以，
即，
整理得，．
因为为正数，
所以．
又因为，
所以．
19．(1)
(2)见解析
(3)32或128
（1）过点作轴，证明，即可得出结果；
（2）过点作轴，由（1）可知，，进而得到，证明，即可得证；
（3）分点三点共线，，三种情况进行讨论求解即可．
（1）解：过点作轴，则：，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作轴，则，
由（1）可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）①当三点共线时，如图，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，过点作轴，过点作，则：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
③当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，在轴上，
不存在，不符合题意；
故不存在为等腰三角形，且；
综上：或128．
本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
20．(1)①证明见解析；②
(2)
(3)
（）①由等边三角形的性质可得，，进而即可求证；②由全等三角形的性质得，进而可得，即可得，再根据直角三角形的性质即可求解；
（）证明可得，进而由（）可得，即得点为的中点，据此即可求解；
（）过作交的延长线于，过作于，由直角三角形的性质可得，再证明，得到，进而可得，设，，可得，，即可得，最后代入计算即可求解；
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）①证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
∴点为的中点，
∴，
∴；
（3）解：过作交的延长线于，过作于，
∵，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
21．(1)详见解析
(2)；存在，
本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，三角形面积等知识，解题的关键是读懂题意，理解“中根三角形”和的“中根线”的定义．
（1）作的中线，由是等边三角形，可求出，，故，从而为“中根三角形”；
（2）①过B作于K，根据为的“中根线”， ，可得，，又，，知，故，可求出，从而；
②当时，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，则，，过点D作于点H，由的面积可得．根据垂线段最短可得，而当有且只有一个点C落在直线上时，，得到，即可求解．当时，同理可求解．
（1）证明：作的中线，如图：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为“中根三角形”；
（2）解：①过B作于K，如图：
∵为的“中根线”，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为的中线，
∴，
∴的面积为；
②存在，理由如下：
当时，如图：
设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，
令，则，解得，
∴，
令，则，
∴，
∴，，，
过点D作于点H，
∴，
即，
∴．
∵为的“中根线”，，
∴，
∵点C落在直线上，
∴由垂线段最短可得，
∴当有且只有一个点C落在直线上时，，
∴，
∴．
当时，如图：
同理可得．
综上所述，当时，有且只有一个点落在直线上．
22．(1)，
(2)，理由见解析
(3)或
（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率；
（2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论；
（3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案．
（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，
由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜；
（2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下：
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
类蔬菜的单位面积产量为：（千克），
，
，
，
又，，
，
，
，
答：类蔬菜的单位面积产量大；
（3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），
由题意得：
，
解得：，
，为整数，且为正整数，
或，
的值为或．
本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键．
23．(1)圆圆的说法正确，理由见解析
(2)见解析
(3)
（1）先证明，结合，与角的和差运算可得结论；
（2）如图1，过作于，证明，，可得，从而可得结论；
（3）如图2，取的中点，连接，可得，证明，，可得，进一步解答即可.
（1）解：圆圆的说法正确，理由如下：
由作图可得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴圆圆的说法正确；
（2）解：如图1，过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，取的中点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
24．(1)
(2)
(3)点坐标为
（1）过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，可证得，从而得出，，进一步得出结果；
（2）可表示出平移后坐标为，坐标为，将点代入，求得m的值，进一步得出结果；
（3）作轴于S，作，交于T，可推出，从而得出，进而得出T点坐标，从而求得的解析式，进一步得出结果；延长至，使，连接，可推出，从而得出，进一步得出结果．
（1）解：如图1，
过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为，
∵过，
∴，
∴，
∴坐标为，坐标为，
设的解析式为，
∴可得，解得，
∴直线的解析式：；
（3）解：如图，
作轴于S，作，交于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理（1）得，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
∴直线的解析式为，
由，可得，
∴，
延长至，使，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴根据中点坐标公式可得：，
∴，
综上所述：点坐标为．
本题考查了求一次函数的解析式，函数图像的交点与方程组之间的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是具备较强的计算能力．
25．（1）；（2）；（3）
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由勾股定理即可求解；
（2）先确定出是中垂线（三线合一），则，那么由等边对等角以及三角形内角和定可求；
（3）先证明 ，则，继而可得，则，设，由勾股定理得：，解得：（舍负），则，那么在中， ，过点E作于点，求出高，即可求解面积．
解：（1）在中，
正方形的面积为，正方形的面积为．
；
（2）等腰和等腰，
是中垂线（三线合一）
；
；
；
（3）解：和是等边三角形
，
，
∴，
设，
由勾股定理得：，
解得：（舍负）
∴在中，，
，
在中， ，
过点E作于点，
∵等边，
∴，
∴，
等边三角形的面积：．
26．(1)
(2)详见解析
(3)
因式分解结合非负性，得到，结合，进行求解即可；
如图2中，连接只要证明，即可解决问题；
结论：如图3中，作交于点，则只要证明即可．
（1）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解得，
故答案为：；
（2）证明：如图2中，连接
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
；
（3）解：结论：
理由：如图3中，作交OB于点，
，
，
，
，
同理，
，
由（2）知：，
即
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，因式分解，平行线的判定和性质等知识，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.
27．(1)见详解
(2)
（1）首先根据角平分线的定义求得，进而可得，再证明，即可证明结论；
（2）过点C作于点，于点H，证明四边形是正方形，结合角平分的性质定理可得，设，证明，易得，进而可得；由（1）可知，是直角三角形，由勾股定理解得；在中，由勾股定理得，易知；证明，易得，故，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案．
（1）证明：在中，，
，
和的角平分线相交于点C，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
是直角三角形，
又，
∴，
∴，
是等腰直角三角形；
（2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示，
，
四边形是矩形，
平分，，，，
，
矩形是正方形，且，
设，
在和中，
，
，
，
，
由（1）可知，是直角三角形，且，
∵，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
．
本题主要考查了角平分线的性质定理、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质定理并正确作出辅助线是解题关键．
28．
先利用等腰直角三角形的性质得到，再根据折叠的性质得到，，得到是的垂直平分线；设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到的长；过作交于点，先证明是等腰直角三角形，得到，设，在中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到的长；最后利用即可得出答案．
解：等腰中，，，
，，
点恰好落在的中点处，
，
，
由折叠的性质可得，，，
是的垂直平分线，
，，
；
设，则，
在中，，即，
解得：，
；
如图，过作交于点，则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
；
．
折痕的长度为．
本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、折叠的性质、勾股定理、二次根式的计算，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生．
29．（1）；②；（2），理由见解析；（3）或．
（1）①证明，可得，从而证明,
②根据可得，即可证明；
（2）取中点G，连接，利用证明，得到，可得；
（3）分两种情况：当点E在线段上时或当点E在延长线上时，取的中点H，连接，同（2）证明，得到，从而求解．
解：（1）①如图1，∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
故答案为：．
②∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）．理由是：
取中点G，连接，如图2，
∵点G是斜边中点，
∴，
∵，，点D为的中点，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接，
当，，时，
，此时F在的延长线上，
同（2）可得：，
∴，
∵，，
∴，
当点E在延长线上时，如图4，
同理可得：；
综上：的长为或．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
30．(1)
(2)见解析
(3)
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，得到，于是得到；
根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到；
作交于点，连接，由，得到，，求得，得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，根据勾股定理即可得到结论．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴≌，
∴；
（3）解：作交于点，连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴≌，
∴，，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴．
31．(1)，
(2)点P的坐标为：或
(3)B′或，
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、一次函数的图象和性质、图形的翻折等，分类求解是解题的关键．
（1）由，得出，利用含角的直角三角形的性质可得，则，可得点，利用待定系数法即可求解；
（2）设点，根据两点间距离公式可得，，，当为斜边时，利用勾股定理列出等式即可求解；当或为斜边时，同理可解；
（3）当点P的坐标为时，作轴于，根据折叠性质得出，，根据三角形内角和定理及平角的定义得出，利用含角的直角三角形的性质即可求出坐标，当点P的坐标为时，可求出直线解析式为，利用面积法可得，设，利用两点间距离公式可求出，可得点坐标，利用中点坐标公式即可求出坐标，综上即可得答案．
（1），
解：∵，则，，
∴，
∴，则点，
设直线的表达式为，
∴，
解得：
∴直线的表达式为：，
故答案为：，；
（2）设点，
由点A、B、P的坐标得，，，，
当为斜边时，则，
解得：（舍去）或，
∴点；
当为斜边时，,
解得，
∴点P，
当为斜边时，
解得：（舍去），
综上，点P的坐标为：或；
（3）当点P的坐标为时，如图，作轴于，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，，
∴，
如图，当点P的坐标为时，则，
设直线解析式为，与交于点，
∴，
解得：，直线解析式为，
由折叠性质可知：垂直平分，
∵，
∴，
解得：，
设，
∴，
解得：，
∴点，
由中点坐标公式得：点，
综上，B′或．
32．(1)，
(2)见解析
(3)或
（1）根据题意得，，进而可得，即可解答；
（2）根据题意得，平分，平分，所以可求得，即，再结合可得，进而证得；
（3）求出直线的解析式为，设，则，根据的面积是的面积的倍列出关于的等式，解出即可．
（1）解：现将点向右平移个单位得到点，
，，
，且，
，
故答案为：，；
（2）证明：，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
将点向下平移个单位到点，
，
的面积是的面积的倍，
，
解得：或．
本题考查了平移的规律、角平分线的定义、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
33．(1)见解析
(2)①；②
(3)见解析
（1）作的垂直平分线，以点C为圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点P，P即为所求作
（2）①根据已知得，，，根据，，得，即得②根据已知得，，，根据，得，得，即得；
（3）将沿翻折，得，得四边形是正方形，根据，得，得，得，得，可得是等边三角形，证明，得，即得点为等腰的“双合点”．
（1）如图，点P即是
（2）解：①∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，∴，
②∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：将沿翻折，得，
则，
∴，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点为等腰的“双合点”．
本题主要考查发新定义——等腰三角形的“双合点”．熟练掌握新定义，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，正方形判定和性质，等边三角形判定和性质，是解题的关键．
34．(1)①；②或或
(2)
（1）①分别令，求得，，勾股定理求得，进而根据，即可求解；
②设，则，则，勾股定理建立方程得出，进而分类讨论，即可求解；
（2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，证明得出，进而可得当在上时，取得最小值；设，根据勾股定理求得，进而求得的解析式为，设，则，，根据得出，则，再求得的解析式为，令，即可求解．
（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
本题考查了一次函数，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；熟练掌握以上知识是解题的关键．
35．(1)见解析
(2)的长为3；
(3)线段的长为．
（1）延长至D，使，连接．求得，利用勾股定理求得，利用边边边即可证明，从而得到；
（2）先证，得出，再由等腰直角三角形的性质得，，则，然后由勾股定理求出，即可得出答案；
（3）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，，先求出，，则，再证，得出，然后证，由等腰三角形的性质得出，最后由含角的直角三角形性质和勾股定理计算，即可得出答案．
（1）证明：如图，延长至D，使，连接．
∵（已知），，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以；
（2）解：和都是等腰直角三角形，，
，，，
即，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为3；
（3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，
，，
，，
，，
，
，
，
即，
同理，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
线段的长为．
本题全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
36．(1)
(2)
(3)
由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；
过点作于点，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求得，由等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理即可求出的长度；
过点作于点，构造，设，利用可证得，利用勾股定理可建立关于的方程，解方程即可求得的长，进而可求得的长．
（1）解：是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
设，
在中，，
，
，
在等边三角形中，，，
又，
，
又，，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的解法，三角形外角的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2025-2026学年八年级数学上学期浙教版2024
期末压轴解答题36道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）一次函数的图象恒过定点．
(1)①若图象还经过，求该一次函数的表达式．
②若当时，一次函数的最大值和最小值的差是6．求的值．
(2)对于一次函数当时，恒成立，求的取值范围．
2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度h（厘米）与注水时间t（分）之间的关系如图2所示．请结合图像提供的信息，解答下列问题．
(1)乙容器中铁块的高度是 ．
(2)当甲、乙两容器中水的深度相同时，求注水时长．
(3)若甲容器的底面积为，丙容器的底面积为，则a的值为 ．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，，点是上一点，且，点为延长线上一点，且，设．
(1)用含的代数式表示的度数；
(2)求的长；
(3)如图2，在延长线上有一点，满足，连接，与交于点，在上取点F，使，求证：．
4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G．
(1)求的度数．
(2)当点B是的中点时，求证：．
(3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由．
5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）综合实践
【活动交流】数学活动课上，周老师让学生用一段绳子(无弹性)沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．
如图1，第一次拉成折线，且，第二次拉成折线，探究绳子两个端点之间距离的变化情况．
周老师和同学们在探究时，有如下交流：
小明：两种不同位置，绳子的两个端点的距离不一样，即．
小聪：我发现问题可抽象为：如图，在中，，在和延长线上分别取点，，若，则．
小颖：小聪，在探究你的问题的过程中，我发现点是中点．
周老师：小聪发现的结论是正确的，当绳子两端到角顶点距离相等时，绳子两端距离最小．
结合上述师生的交流完成下面任务：
【探究论证】
（1）如图2，请你证明小颖发现的结论；
（2）如图2，请你证明小聪发现的结论；
【创新应用】
（3）如图3，中，，，，点，，分别在边，，上，若，求的最小值．
6．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点．
（1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________
②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹）
【综合应用】
（2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E
①若，，则___________
②请写出于之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示）
7．（24-25八年级上·浙江·期末）计算题
(1)当时，不等式恒成立，求实数m的最大值．
(2)已知有正整数k，使得关于n的不等式组成立，求正整数n的最小值．
(3)如果关于x的分式方程有负整数解，且关于y的不等式组无解，求符合条件的所有整数a的和．
8．（24-25八年级上·浙江·期末）在等腰直角三角形中，，，点A，B分别在坐标轴上．
(1)如图①，若 ，，求点C的坐标．
(2)如图②，若点C的横坐标为2，求点B的坐标．
(3)如图③，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，连接交 y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的长；若变化，求出的取值范围．
9．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
(1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ．
(2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标．
(3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点D作，交的延长线于点E，连接，若，求的长．
11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、．
(1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______．
(2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
①求出点坐标；
②求出的面积．
(3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式．
12．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等边三角形的边，各取一点，，使，，相交于点．
(1)求证：；
(2)如图，平面内存在一点，满足．
①求的度数；
②如图，以所在的直线为轴，过点垂直所在的直线为轴建立直角坐标系，连接，且．当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
13．（24-25八年级上·浙江·期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
（1）求函数的“倍差函数”的表达式；
（2）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标；
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，，．若直线与有交点，求的取值范围．
14．（24-25八年级上·浙江·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：
(1)分别求出小轿车和大客车速度；
(2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义；
(3)求出发后经过多少小时两车相距？
15．（24-25八年级上·浙江台州·期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
16．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
(1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）．
(2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
(3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】
（1）如图1，已知和均为等腰三角形且，
①连接，求证：．
②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长．
【学以致用】
（2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长．
18．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，．
(1)当，时，请用含的式子表示；
(2)已知，，满足；
①求证：；
②若，求的取值范围．
19．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形．
(1)如图1，当点是的中点时，求点的坐标．
(2)如图2，当点在上移动时，连结，交轴于点．求证：．
(3)点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，求的面积．
20．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等边中，点在边、上，且，连接、交于点．
(1)①求证：≌；
②过点作，请直接写出线段与的数量关系_______．
(2)如图，连接，当时，请求出线段与的数量关系．
(3)如图，延长到点，当，时，则______．
21．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．
(1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”．
(2)已知为的“中根线”，．
如图2，若，求的面积；
如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
22．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）．
(1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？
(2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由．
(3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值．
23．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践
如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点．
观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法．
(1)圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确？请说明理由．
(2)方方说：“若，则．”请你证明结论．
(3)小明说：“给出条件，就可以确定的度数．”请你直接写出的度数．
24．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接．
(1)求点A的坐标；
(2)如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标．
25．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：已知在中，．
【基础】（1）如图1，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形的面积为9，正方形的面积为16，求的长；
【变式】（2）如图2，分别以为边向外作等腰和等腰，连结．若，求的度数；
【拓展】（3）如图3，以为边向形外作等边三角形，以为边向上作等边三角形，连结．若，求等边三角形的面积．
26．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且
(1)直接写出，的值，______，______；
(2)若G与A重合（如图2），求证：；
(3)若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系．
27．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点
(1)求证：是等腰直角三角形．
(2)若，，求的长．
28．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，，点D和E分别是和上的两点，连接，将沿折叠得到，点恰好落在的中点处，与交于点F，求折痕的长度．
29．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【探究发现】
（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，，那么．
①的度数为________；
②线段、、之间满足的数量关系为________．
【应用类比】
（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别是边、上的两点，若满足，试探究线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，中，，，点为的中点，、分别是直线、上的两点，若满足，，请求出的长．
30．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图1，在中，，，点在边上，点在边的延长线上，且．
(1)设，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)如图2，过点作，交于点，求证：．
(3)如图3，在边上取点，使，作交的延长线于点，若，，求的长．
31．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点．
(1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______．
(2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标．
(3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标．
32．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．现将点向右平移个单位得到点，，且，连接交轴于点．
(1)如图，点，的坐标分别为______，______；
(2)如图，与的角平分线相交于点，，垂足为点，求证：；
(3)如图，点是线段上一动点，设其横坐标为，将点向下平移个单位到点，连接、、，当的面积是的面积的倍时，求的值．
33．（24-25八年级上·浙江台州·期末）在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”．
(1)如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”（保留作图痕迹）；
(2)在等腰中，，
①如图3，当“双合点”恰好在边上时，且满足，求度数；②当“双合点”在边的延长线上时，则___________；
(3)如图4，在等腰中，，，为内一点，连接，，当时，求证：点为等腰的“双合点”．
34．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点．
(1)若．
①求的长．
②若是等腰三角形，求点的坐标．
(2)连接，若，当最小时，求点的坐标．
35．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究．
【情景再现】
已知，如图1，在和中，，，．
下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程．
证明：如图1，延长至D，使，连接．
因为（已知），，
所以
所以（全等三角形的对应边相等）．
…
所以
所以
【实践解决】
(1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整；
(2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长；
(3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长．
36．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点．
(1)求的度数．
(2)若，，求的长．
(3)如图，连结，若，，求的长．(共6张PPT)
浙教版2024 八年级上册
期末压轴解答题36 道【浙江期末真题汇编】试卷分析
知识点分布
一、解答题 1 0.4 求一次函数解析式；已知函数经过的象限求参数范围；根据一次函数增减性求参数
2 0.4 圆柱的体积；其他问题(一次函数的实际应用)；从函数的图象获取信息；求一次函数解析式
3 0.4 全等三角形综合问题；三线合一；三角形内角和定理的应用；用勾股定理解三角形；等边对等角
4 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的判定和性质；直角三角形的两个锐角互余
5 0.4 全等三角形综合问题；含30度角的直角三角形；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
6 0.4 垂心；根据三角形中线求面积；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用
7 0.4 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式组的整数解；根据分式方程解的情况求值；不等式的性质
8 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；写出直角坐标系中点的坐标；等腰三角形的定义
9 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用勾股定理的逆定理求解
10 0.4 证明四边形是菱形；斜边的中线等于斜边的一半；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长；利用菱形的性质证明；等腰三角形的性质和判定；角平分线的有关计算；利用平行四边形性质和判定证明
知识点分布
11 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
12 0.4 等边三角形的性质；坐标与图形综合；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
13 0.4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集；求一次函数解析式；一次函数与几何综合
14 0.4 行程问题(一次函数的实际应用)
15 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的判定和性质；线段垂直平分线的性质
16 0.4 两直线的交点与二元一次方程组的解；求一次函数解析式；根据等边对等角证明；坐标与图形变化——轴对称
17 0.4 全等三角形综合问题；含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的判定和性质
18 0.4 代入消元法；求一元一次不等式的解集；分式加减乘除混合运算；完全平方公式分解因式
19 0.4 等腰三角形的性质和判定；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；坐标与图形综合
知识点分布
20 0.4 含30度角的直角三角形；全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边三角形的性质
21 0.4 一次函数与几何综合；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
22 0.4 不等式的性质；分式方程和差倍分问题；几何问题(一元一次方程的应用)；异分母分式加减法；列代数式
23 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；等腰三角形的性质和判定；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边对等角；三线合一
24 0.4 等腰三角形的性质和判定；一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
25 0.4 含30度角的直角三角形；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
26 0.4 等腰三角形的性质和判定；全等的性质和SAS综合（SAS）；完全平方公式分解因式；三角形内角和定理的应用
27 0.4 等腰三角形的性质和判定；全等的性质和HL综合（HL）；根据正方形的性质与判定求线段长；角平分线的性质定理
28 0.4 二次根式的应用；等腰三角形的性质和判定；折叠问题；用勾股定理解三角形
29 0.4 全等三角形综合问题；斜边的中线等于斜边的一半；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的判定和性质
30 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
知识点分布
31 0.4 一次函数与几何综合；折叠问题；已知两点坐标求两点距离；根据成轴对称图形的特征进行求解；图形上与已知两点构成直角三角形的点；求一次函数解析式；用勾股定理解三角形；已知直线与坐标轴交点求方程的解
32 0.4 由平移方式确定点的坐标；求一次函数解析式；根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算
33 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；根据正方形的性质与判定证明；作已知线段的垂直平分线；根据成轴对称图形的特征进行求解；作等腰三角形(尺规作图)；等边三角形的判定和性质；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角
34 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的定义；用勾股定理解三角形
35 0.4 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质和判定；全等的性质和SAS综合（SAS）；用勾股定理解三角形；全等的性质和SSS综合（SSS）
36 0.4 全等三角形综合问题；含30度角的直角三角形；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形；解一元二次方程——直接开平方法；全等的性质和SAS综合（SAS）；三角形的外角的定义及性质；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
