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浙教版 九年级上册
期末压轴解答题35道【浙江期末真题汇编】
试卷分析
知识点分布
一、解答题 1 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；已知二次函数的函数值求自变量的值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移
2 0.4 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合
3 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；比较一次函数值的大小
4 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
5 0.4 投球问题(实际问题与二次函数)
6 0.4 待定系数法求二次函数解析式；投球问题(实际问题与二次函数)
7 0.4 与三角形中位线有关的证明；解直角三角形的相关计算；圆周角定理；用勾股定理解三角形
8 0.4 已知圆内接四边形求角度；利用垂径定理求值；半圆（直径）所对的圆周角是直角；根据矩形的性质与判定求面积
9 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形
10 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)；一次函数、二次函数图象综合判断；根据判别式判断一元二次方程根的情况
知识点分布
11 0.4 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形
12 0.4 圆与三角形的综合(圆的综合问题)
13 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值
14 0.4 相似三角形的判定与性质综合；证明某直线是圆的切线；特殊三角形的三角函数；利用菱形的性质求线段长
15 0.4 圆与三角形的综合(圆的综合问题)；利用垂径定理求值；相似三角形的判定与性质综合
16 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值
17 0.4 由平行截线求相关线段的长或比值；相似三角形实际应用
18 0.4 已知圆内接四边形求角度；用关系式表示变量间的关系；相似三角形的判定与性质综合；同弧或等弧所对的圆周角相等
19 0.4 等腰三角形的性质和判定；全等的性质和SAS综合（SAS）；圆周角定理；相似三角形的判定综合
20 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
知识点分布
21 0.4 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角
22 0.4 垂径定理的推论；已知圆内接四边形求角度；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理
23 0.4 相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知余弦求边长；用勾股定理解三角形
24 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
25 0.4 线段垂直平分线的判定；解直角三角形的相关计算；圆周角定理
26 0.4 待定系数法求二次函数解析式；图形问题(实际问题与二次函数)
27 0.4 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角
28 0.4 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；圆周角定理；黄金分割
知识点分布
29 0.4 利用弧、弦、圆心角的关系求证；相似三角形的判定与性质综合；同弧或等弧所对的圆周角相等；用勾股定理解三角形
30 0.4 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；喷水问题(实际问题与二次函数)
31 0.4 利用垂径定理求值；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
32 0.4 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形
33 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；一次函数、二次函数图象综合判断；待定系数法求二次函数解析式
34 0.4 解直角三角形的相关计算；利用垂径定理求值；圆周角定理；等边三角形的判定和性质
35 0.4 圆与三角形的综合(圆的综合问题)；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形2025-2026学年九年级数学上学期浙教版
期末压轴解答题35道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)
(2)或2
(3)
本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质．
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为，时，时，建立方程解题即可．
（1）解：由对称轴为直线，
则可设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得．
∴；
（2）解：点两次平移后坐标为，即，
由（1）可知．
两次平移后落在的图象上，
．
解得，．
（3）解：由（1）可知．
当时，
最大值与最小值的差为，
解得：不符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，
解得，（不符合题意，舍去）；
综上，n的取值范围为．
2．(1)见解析
(2)①；②
本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；
（1）先由，得到，再证明，即可得到；
（2）①当点，重合时，，则，根据，得到代入计算即可；
②与交于点，连接，证明四边形是矩形，得到，，再根据勾股定理计算得到．
（1）证明：∵在和中，，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（2）解：①∵，点，重合，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，即，
∴；
②与交于点，连接，
∵，，，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，
由（1）可得，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
3．(1)
(2)①，②或
本题考查了一次函数和二次函数的增减性以及最值问题，熟练掌握一次函数和二次函数图象的性质，并且进行分类讨论是解题的关键．
（1）分析函数的增减性，结合自变量的取值范围，分析什么时候取最大值和最小值，即可求解．
（2）①先求出与t的关系式为，可知当的值最大时，，求出x的取值范围，结合二次函数的性质，即可求解；②根据t在不同范围内，分为四种情况，分别讨论出函数什么时候取最大值和最小值，即可求解．
（1）解：，
随x的增大而增大，
则当时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为，
．
（2）解：①根据题意可知，
当的值最大时，，
，
函数开口向下，对称轴为直线，
则当时，函数有最大值为，
当时，函数有最小值为，
．
②可知函数开口向下，对称轴为直线，
第一种情况，当时，
可知时，函数有最大值，时，函数有最小值，
，解得；
第二种情况，当时，
可知时，函数有最大值，时，函数有最小值，
，解得或，
，
不合题意，舍去；
第三种情况，当时，
可知时，函数有最大值，时，函数有最小值，
，解得，
，
不合题意，舍去；
第四种情况，当时，
可知时，函数有最大值，时，函数有最小值，
，解得；
综上所述，或．
4．(1)，，
(2)①所有符合要求的y的值为或；②．
本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式中解方程或方程组即可；
（2）①把问题转化为经过点或且平行于x轴的直线，据此求解即可；
②可求，分三种情况讨论，结合图象即可求解．
（1）解：∵，，
∴将，和，分别代入，
得：，
解得：；
∵，
∴将，代入，
得，
解得：，
故答案为：，，；
（2）解：①由（1）得，
当时，，顶点坐标为；
当时，，即点坐标为；
如图，当经过点或且平行于x轴的直线，每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，
∴所有符合要求的y的值为或；
②∵，，且P在Q的左侧，
∴，解得，
解方程得或，
解方程得或，
解方程得，
解方程得，
∵，
∴，
分情况讨论，
当时，则，
∴，
由图象得，当时取得最大值，为，
当时取得最小值，为，
∴
，不是定值，不符合题意；
当时，则，
∴，
由图象得，
当时取得最大值，为，当时取得最小值，为，
∴，是定值，符合题意；
当时，则，
∴，
由图象得，当时取得最大值，为，
当时取得最小值，为，
∴，不是定值，不符合题意；
综上，．
5．任务：；
任务：米；
任务：．
本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式解答．
任务：由表格中的数据可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入解析式可得：，解方程求出的值即可；
任务：把代入关于的函数表达式，可得，解方程，可得：水火箭飞行的水平距离为米；
任务：当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，所以可得发射台高度的取值范围为．
解：任务：
二次函数经过点，，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
关于的函数表达式为：；
任务2：，
，
，
整理得：，
当水火箭落地（高度为）时，，
解得：（不合题意，舍去），，
答：水火箭飞行的水平距离为米；
任务：设的长度为，
水火箭的抛物线解析式为，
当抛物线经过点时，
，
点的坐标为，
，
解得：，
当抛物线经过点时，
，，
，
点的坐标为，
，
解得：，
水火箭落到内（包括端点，），
，
，
答：发射台高度的取值范围为：．
6．(1)
(2)火球不会落在城墙内
本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键．
（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式；
（2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可．
（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线方程为，
由于抛物线过原点，
则，
解得，
因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：火球不会落在城墙内，理由如下：
城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米，
则石块发射距离的范围为，
当时，，
当时，，
由于石块高度均高于城墙，
因此，火球不会落在城墙内．
7．(1)见解析
(2)；
(3)①；②见解析
（1）证明是的中位线，求得，推出，即可证明结论成立；
（2）设，则，利用勾股定理列式计算求得，，再证明，同理求得，则，根据，代入数据即可求解；
（3）①证明，求得，利用勾股定理求得，再求得，在中，利用正弦函数的定义即可求解；
②利用倒推法结合完全平方公式即可证明结论成立．
（1）证明：∵，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，则，
∴；
（3）①解：∵，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴；
②证明：要证明，
则要证明，
即要证明，
∵，
∴，即成立，
∴成立．
本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
8．(1)A；
(2)是等腰直角三角形，圆内接矩形的最大面积是；
(3)矩形面积的最大值为，矩形的周长．
本题考查了圆内接四边形，矩形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可；
（2）连接，作，，可知是直径，则，根据矩形的性质可知，即当面积最大时，矩形面积最大，由，，，可知面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，即可得到的形状；
（3）过作于于，判定四边形是矩形，得到，由垂径定理推出，求出的面积，得到，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，进而根据矩形的性质及勾股定理作答即可．
（1）解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形；
即甲正确，乙错误．
故选：A；
（2）解：如图，已知矩形内接于圆O，连接，作，，
∵，
∴是直径，
∴，
∴
∵矩形，
∴，
即当面积最大时，矩形面积最大，
∵，，，
∴面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，
∵，，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：过作于于，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
∴的面积，
∵矩形的面积，
∴，
∴当的面积最大时，矩形的面积最大，
为两圆的半径，值恒定，以为底时，的高，
∴当时，的面积最大，
此时，，，
当时，的面积，
，
，
，
∴此时矩形的周长．
9．(1)见解析
(2)①2；②
（1）根据圆周角定理，等腰三角形的判定证明即可；
（2）①过点作交于点G，利用平行线分线段成比例，解答即可；
②根据平行线分线段成比例定理，计算得到，不妨设，则，根据勾股定理，得，求得，，过点C作于点K，利用直角三角形的面积性质解答即可．
本题考查了圆的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解方程，熟练掌握圆的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）①解：过点作交于点G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∵，，
∴，
不妨设，则，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
解得，负值舍去；
∴，，
过点C作于点K，
则，
∴，
∴．
10．(1)见解析
(2)
(3)
本题考查了新定义，涉及二次函数的图象与性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，一元二次方程的根的判别式等知识点．
（1）联立两个函数解析式，得到一元二次方程，再由根的判别式判断一元二次方程根的情况，即可判断两个函数图像是否有交点，即可证明；
（2）过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象与两点，由题意得，则，再利用二次函数的性质求解最值；
（3）由题意得，则，则当时，取得最大值，此时，，则，由题意得有三个整数值，即为，故，再解不等式即可求解．
（1）证明：由题意得，，
则，
整理得，
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴这两个函数图像有2个交点，
∴函数与是“关联函数”；
（2）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，
由题意得，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值为，
∴“关联函数”与的“最优关联距离”为；
（3）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，
由题意得，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
当时，；
，
∴
∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，
∴有三个整数值，即为，
∴，
解得，
∴若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，则．
11．(1)见解析
(2)①；②
(3)
本题考查圆的综合应用，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用同弧所对的圆周角相等得到，通过等量代换证明即可；
（2）①过点作交延长线于点，连接，设圆的半径为，证明四边形是矩形得到，再求出，最后根据正切的定义可得答案；②设圆的半径为，则，，过点作于点，则，结合，推导出，，即可得到；
（3）连接，证明和，推导与的关系即可．
（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）解：①如图2所示，过点作交的延长线于点，连接，
设圆的半径为，
是等腰直角三角形，且，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴
四边形是矩形，
，
∴，
；
②设圆的半径为，则，
∴，
∵，
∴；
如图2所示，过点作于点，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
；
（3）解：如图所示，连接，
是直径，
，
，
，
；
∵，
∴
∵，
，
，
，
．
12．(1)
(2)①，②的最大值为10
(3)
本题考查圆周角定理，等边三角形的性质和30°角的直角三角形的性质，根据60°角构造等边三角形从而将线段进行转化是解题关键．
（1）根据圆内接四边形的性质求解即可；
（2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可；
②利用60°角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可；
（3）延长，，构造直角三角形，利用60°，30°角，找到线段之间的联系即可．
（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，作于点E，
则，，
∴，
∴，
∴，
由垂径定理，得，
∴；
②连接，延长至点F，使得，则，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
由①，得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当为所在圆直径时，的长最大，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，即为最大值，
∴的最大值为10；
（3）解：如图，延长，，交于点G，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴．
13．(1)①；②
(2)5
本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键．
（1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可；
②先求出，再根据可得，由此求解即可；
（2）将二次函数转化为顶点式为，对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，当时，函数在区间上单调递减，最大值为，最小值为，根据题意列方程求解，当时，再分和两种情况讨论最小值，由此求解即可．
（1）解：①若，则，
则二次函数的顶点坐标为；
故答案为：；
②，
，
，，
，
，
即；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
在中
①当时，
时，最大值为，
时，最小值为，
，
，（舍去），
②当时，即时，
时，最大值为，
时，最小值为，
此时，不符合题意；
③当时，
时，最大值为，
时，最小值为，
，
（舍去），（舍去），
综上所述，．
14．(1)证明见详解
(2)的长为
本题主要考查圆的切线判定、相似三角形，构造合适的辅助线是解题的关键．
（1）首先根据题意已知圆心和直线则构造垂线证半径，因此构造合适的辅助线，证明，得到，即可证明是的切线；
（2）首先构造合适的辅助线，引入，此时再通过求得的长即可得到的长．
（1）证明：如图，过点O作于点M，
∵是菱形的对角线，
∴，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∵为的半径，且，
∴是的切线；
（2）解：如图，过A作于点N，
∵G是的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故：的长为．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)
本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键．
（1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；；
（2）根据题意证得，再证得即可得到结论；
（3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长．
（1）解：连接，
∵为的直径，弦，
∴，
∴，
∴
∵
∴
（2），
，
（3）连接，
，
，
，
∴，设，
解得：
16．(1)；
(2)a的值为或；
(3)见解析．
（）利用表格数据以及待定系数法求解即可；
（）由表可知，抛物线经过两点，进而得到抛物线的对称轴为直线,则，即，再分和两种情况解答即可；
（）利用二次函数的解析式求出，结合二次函数的对称轴进而得到，利用一次函数的性质即可求证；
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
（1）解：由题意得：
∴
∴二次函数的表达式为：.
（2）解：由题意得到：二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数，
∵当时，y有最小值为，
①当时，当时，函数值取最小，
∴
∴，
②当时，当或时，函数值取最小，
∴
∴，
综上所述，a的值为或，
（3）证明：由（2）知：二次函数的对称轴为直线，
∴
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∴.
17．(1)，
(2)
(3)
本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解；
（2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解；
（3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解．
（1）解：∵，点为中点时，
∴，
由题意可得：，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
如图，连接，
，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②
本题考查了圆周角相等，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定；
（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的性质可得，等量代换即可得证；
（2）根据圆内接四边形对角互补，邻补角的定义得出，结合（1）的结论，即可证明；
（3）①根据轴对称的性质可得，，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
②由①可得，得出，则，设，则，证明得出，则，根据，得出
（1）证明：∵，
∴
∵
∴
∴．
（2）证明：∵四边形是圆内接四边形，
∴
又∵
∴
又．
∴．
（3）①∵点，关于对称，，，
∴，
又∵．
∴
∴
∵
∴
即，解得：，
∵
∴
∴即
解得：；
②由①可得，
∵
∴
∴，则
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
设，则，
∴，
∵，
∴
∴即
∴，
∴
∵
∴
∴，
∴
∴
19．(1)
(2)
(3)
（1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，进而得到为等边三角形，利用等式的性质即可得出结论；
（3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，利用平行四边形的判定与性质得到，设，则，利用等腰三角形的性质和矩形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理得到，化简，令的系数为0，即可得出结论．
（1）连接，，如图，
，，
，
的半径为，
，
在中，
．
（2）在上截取，连接，如图，
和所对的弧都是，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
即．
（3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，如图，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
对于的任意长度，都有的值是一个定值，
的值与无关，
，
（不合题意，舍去）或，
对于的任意长度，都有的值是一个定值，的值为．
本题主要考查圆的有关性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形、相似三角形来求解线段长度、角度以及参数值．
20．(1)
(2)
(3)或3
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、新定义，分类求解是解题的关键．
（1）把代入解析式计算即可求解；
（2）设点，则平移后点的坐标为：，将该点的坐标代入即可求解；
（3）由抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍得到方程且，即可得到，再根据与的位置关系分情况讨论分别求最小值即可．
（1）解：∵拋物线经过，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：设点，则平移后点的坐标为：，
将该点的坐标代入得：，
解得：，
则点的坐标为：；
（3）解：存在，
理由：
一个点的纵坐标是横坐标的三倍的点所在图形解析式为：，
得方程组，，整理得：，
∵抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，
∴，即
∴，
当时，，当时，，当时，，
当，即时，在范围内随的增大而减小，则函数在时取得最小值，即，解得或（舍去）；
当，即时，则函数在顶点时取得最小值，即（舍去）；
当，即时，则函数在时取得最小值，即则或（舍去）；
综上，或3．
21．(1)
(2)
(3)
（1）连接并延长，交于点H，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接并延长，交于点H，交于点F，连接，利用（1）的结论和直角三角形的边角关系定理得到，设，则，利用勾股定理求得a值；利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论；
（3）连接并延长交于点G，设，则，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理和勾股定理列出关于k的方程，解方程求得k值，再利用三角形的面积公式和勾股定理解答即可得出结论．
（1）解：（1）连接并延长，交于点H，如图，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）连接并延长，交于点H，交于点F，连接，如图，
由（1）知：，
，
，
为的直径，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（3）连接并延长交于点G，如图，
，
设，则，，
，
，
，
弦经过圆心O，
为的直径，
，
，
，
，
，
的直径为10，
，，，
，，
，
，
或
经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去，
，
，
，
，
，
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)①；②
（1）如图，连接，利用垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理的推论得到，再利用圆内接四边形的性质得到，从而得到结论；
（2）①如图，连接，易得，根据，推出，证明经过点O， 即重合，为圆的直径，证明，即可得出结果 ；②连接，表示出，证明，推出，，，，再证明，得到，，进而得到，解方程结合题意取值即可．
（1）证明：如图，连接，
是的直径，弦，
，
，
，
点、、、在上，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴经过点O，
∴重合，即为圆的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵的半径r，，
∴，
∵是的直径，弦，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意：，
∴，
∴的半径为．
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)见解析
(2)
(3)
（1）连结，由是直径，得，由AG⊥FC，得，则，而，，即可根据证明，得；
（2）延长，交于点，可证明，再结合（1）得，，，则，，，由得即，再由勾股定理得，即，求得，，所以，，由勾股定理得，再根据即可得解；
（3）由（2）可得，，，根据勾股定理得到，，得到，代入．
（1）解：连结，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长，交于点，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，即，
在中，，即，
解得，，（负数已舍去）
∴，，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)或
本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的性质，得出对称轴为直线是解题的关键．
（1）先确定二次函数图象与轴的交点坐标为，然后利用抛物线的对称性确定对称轴，进一步求得a的值，从而求得函数的解析式;
（2）由（1）可知二次函数图象的对称轴为直线，则,故，由于，所以在中，当时的函数值最小，即，解得
（3）分两种情况，根据二次函数的对称性和增减性得出故的不等式或不等式组，求解即可．
（1）解：当时，，
∴与轴的交点坐标为，
∵的图象经过点
∴抛物线的对称轴为直线
∴
∵
∴，
∴二次函数的解析式为，
（2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵，当时，的最小值为，
∴当时，，
解得：，
（3）∵抛物线对称轴为直线，
∴关于对称轴对称的点为，
∵，
∴，
当时，二次函数图象开口向上，
若对于，总有，
∴，
解得：，
∴的取值范围为，
当时，二次函数图象开口向下，
若对于，总有，
∴或，
解得：或，
∴的取值范围为，
综上所述，a的取值范围为或．
25．(1)
(2)见解析
(3)
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形．
（1）作射线，交于，连接，，根据，，得出，，由得出，由得出，从而得出，进一步得出结果；
（2）作射线，交于，连接，连接，，由（1）知：是的垂直平分线，可推出，进一步得出结论；
（3）作射线，交于，交于，连接，连接，，可推出，从而得出，设，则，，，从而得出，进一步得出结果．
（1）解：如图1，
作射线，交于，连接，，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）证明：如图2，
作射线，交于，连接，连接，，，
由（1）知，，是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
∴垂直平分，
，
；
（3）解：如图3，
作射线，交于，交于，连接，连接，，
由（1）（2）知，
，，，，
，
，
，
设，则，，，
，，
．
26．(1)
(2)米
（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式．
（2）根据题意，两立柱间的距离为，则，，把代入解析式，再计算的值，解答即可．
本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．，，．
∴，，，，
故抛物线的对称轴为，
则，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，
∴，
解得，
故抛物线的解析式为：．
（2）解：根据题意，两立柱间的距离为，
则，，
把代入解析式，
得，
故．
故立柱的长度为米．
27．(1)见详解
(2)①见详解；②
（1）由为直径，于点H，得，所以，，由圆周角定理得，则问题可求证；
（2）①由，得，而，所以，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证；
②作于点L，由，且，得，则，设，由，得，则，然后根据三角函数可进行求解．
（1）证明：∵为直径，于点H，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②解：如图2，作于点L，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，此题综合性质强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
28．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
（1）利用两角相等即可证得；
（2）连结，利用角平分线的定义和相似三角形的性质证出角相等，再加上公共边即可证得，进而即可得解；
（3）分①当和②当时，两种情况讨论即可得解．
（1）解： ，
.
，
；
（2）解：连结．
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连结．
，
，
，
，，
，
，
，
，
①当时，
是的黄金分割点，
，
，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，
解得．
．
②当时，
是的黄金分割点，
，即，
，
，
，
在上截取，则有，
，
，
，即
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
，
，
.
综上所述，或．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，黄金分割比，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）证明，得出；
（2）先证，得到，再根据，证出，，即可得证；
（3）连接 ，作，证明，得出，得出，设，得出，根据勾股定理得出，求出（舍去），设，根据勾股定理得出．根据，得出，求出t即可．
（1）解：， ，
，
，
，
∵，
，
．
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接 ，作，
，
，
∴，
，
又，
，
，
，
设，
，
在中，，
，
解得：（舍去），
，
设，
在 中，
．
，
，
解得 （舍去），
的长为 ．
本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
30．探索：①；②；应用：；拓展：4
本题考查的是二次函数的应用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形等，理解题意，数形结合是解题的关键．
探索：①由题意即可求解；
②设直线l和x轴的夹角为β，由直线l的表达式知，，则，即可求解；
应用：设N横坐标为a，由，即可求解；
拓展：过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，此时最大，即最大，即可求解．
解：探索：
①由题意得：；
故答案为：；
②设直线l和x轴的夹角为，
由直线l的表达式知：，
则，
即，
故答案为：；
应用：
∵草坪倾斜角为，
∴解析式为：，
设N横坐标为a，
则，
当时，最大，；
∵，
∴此时最大，；
拓展：
∵圆弧与y轴相切，
∴圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，
此时最大，即最大，，
则，
则．
31．(1)见解析
(2)①见解析，②
（1）连接，则，由，，由切线的性质得，则，而，则，所以；
（2）①连接，由，，证明，得，则，由，得，可证明，则，所以；
②连接、，则，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，求得，再证明，得，则，所以，则，由，求得，则，所以，则.
（1）证明：如图1，连接，则，
∵于点，交于点，
∴，，
∴，
∴与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：如图2，连接，
，，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
；
②解：如图3，连接、，
是的直径，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边的面积为．
本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
32．(1)见解析
(2)①7；②
（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到再利用等量代换得到，即可证明是的切线；
（2）①连结，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据 求解，即可解题；
②过点D作于H，连结，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，， 连结，证明，利用相似三角形性质求解即可．
（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①在中，，，，如图2， 连结，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
则，
解得，
，
，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
②过点D作于H，连结，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
连结，
，
，
，
，
，
．
本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形性质和判定，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
33．(1)
(2)或
(3)或
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由函数的图象经过和两点，从而，且，进而求出，后可以判断得解；
（2）依据题意，当时，函数为，从而可得对称轴是直线，则顶点为，，结合顶点坐标始终在直线的下方，可得，进而求出的范围；
（3）依据题意，当，时，函数为，从而，结合，故，进而或，最后计算可以判断得解．
（1）解：函数的图象经过和两点，
，且．
，．
二次函数的表达式为．
故答案为：．
（2）解：由题意，当时，函数为．
对称轴是直线．
顶点为，．
又顶点坐标始终在直线的下方，
．
．
或．
（3）解：由题意，当，时，函数为．
．
又，
．
．
或．
或．
34．(1)
(2)见解析
(3)
本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，圆内接四边形，正确做出辅助线是解题的关键．
（1）连接，证明为等边三角形，即可解答；
（2）连接，得到，利用角度转换即可解答；
（3）过点作的垂线段，交于点，根据（2）中结论可得，利用三角函数和勾股定理可得，即可解答．
（1）解：如图，连接，
为半径的中点，，
，
为等边三角形，
，
；
（2）证明：如图，连接，
，是的直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
；
（3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，连接，
根据（2）中可得，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
在中，，
在中，，
35．(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
连结，根据可知是直径，从而可得，根据可得，所以可证，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等可证；
利用勾股定理可以求出，设，则，可得，，则有，根据圆内接四边形对角互补可得，所以可证，根据相似三角形对应边成比例可得，解方程求出，根据可求结果；
根据可证，根据圆内接四边形的性质和平行线的性质可证，根据等角对等边可证，设，，则有，整理可得．
（1）证明：如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：．
理由如下，
由、得：，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．
本题主要考查了圆周角定理、圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系．2025-2026学年九年级数学上学期浙教版
期末压轴解答题35道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向下平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图1，中，，线段在内部，在的右侧作，，且，，，的延长线相交于点．
(1)求证：．
(2)当，时；
①如图2，点，重合时，求的长．
②当时，求的长．
3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）当关于的函数在范围内有最大值和最小值时，我们将最大值与最小值的差记为．
(1)若，求的值．
(2)若；
①若点，均在该函数的图象上，当的值最大时，求的值．
②当时，请直接写出的值．
4．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）小吴利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入x的值为时，输出y的值为；输入x的值为1时，输出y的值为1；输入x的值为6时，输出y的值为3．
(1)根据题意，填空：______，______,______．
(2)小吴在平面直角坐标系中画出了函数y关于x的大致图象，如图2所示．
①若关于每一个输出的y值，可以找到两个不同的x的值与其对应，求出所有符合要求的y的值．
②若在函数图象上有P,Q两点（P在Q的左侧）．P的横坐标为t，Q的横坐标为．小吴对P,Q之间（含P,Q两点）的图象进行了研究，当此函数的最大值m与最小值n的差是一个定值时，请直接写出t的取值范围．
5．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集水火箭相对于出发点的水平距离（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，并确定函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间/s 0 2 4 6 8 ．．．
飞行高度/m 0 10 16 18 16 ．．．
【建立模型】任务1：求关于的函数表达式．
【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离．
任务3：当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围．
6．（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题：
小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米．
问题解决：
(1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由．
7．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图1，在中，，为的直径，连接并延长至点D，使得．连接并延长交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点P，若，，求的长度；
(3)如图3，连接，分别交，于点Q，M，过点M作于点N．若，．
①用含有a，b的代数式表示；
②求证：．
8．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形．
乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形．
(1)判断甲乙两位同学的结论（ ）
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．两位同学都正确 D．两位同学都错误
(2)如图1，的半径为3，矩形内接于圆O．丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大．以下是他的证明思路：
矩形面积最大 → 面积最大 → 当是______三角形时，面积最大 → 圆内接矩形是正方形
根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少？
(3)如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，，，矩形的两边和分别为同心圆的两条弦．请你求出矩形面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少？
9．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图1，已知是的直径，四边形内接于，其对角线交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，交于点，若．
①求的值；
②过点作交的延长线于点，若的半径为5，求的面积．
10．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”．
根据以上信息，完成下列问题：
(1)证明：函数与是“关联函数”；
(2)求“关联函数”与的“最优关联距离”；
(3)若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值．
11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以的直角边为直径画，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结．
(1)求证：．
(2)如图2，当是等腰直角三角形时．
①求的正切值；②求的值．
(3)若，设，求关于的函数表达式．
12．（25-26九年级上·浙江·期末）如图，四边形为的内接四边形，且．
(1)求的度数．
(2)若的半径为5．
①如图2，连结，求的长．
②如图3，连结，若平分，求的最大值．
(3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系．
13．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为．
(1)若，
①直接写出二次函数的顶点坐标______；
②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围；
(2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值．
14．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，在菱形中，O是对角线上一点（），，垂足为E，以为半径的分别交于点H，交的延长线于点F，与交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若G是的中点，，，求的长．
15．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点．
(1)求证：．
(2)如图2，若，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，已知，，求的长．
16．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）设二次函数（，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若时，求二次函数的表达式；
(2)当时，y有最小值为，求a的值；
(3)若，求证：．
17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，．
(1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长．
(2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示）
(3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
18．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形是圆内接四边形，连结，交于点，过点作交的延长线于点．
【认识图形】
（1）求证：．
（2）求证：．
【探索关系】
（3）当点，关于对称时．
①若，，求的长．
②记，，直接写出关于的函数表达式．
19．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，点是上的一个动点．
(1)如图1，若的半径为，，求的长．
(2)如图2，连接，．若，求的度数．
(3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值．
20．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（是常数，且）．
(1)若拋物线经过，求二次函数解析式．
(2)在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该拋物线上，求点的坐标．
(3)若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）是等腰的外接圆，，的直径为10，点D是弧上的一点，连接，过点A作于点
(1)如图1，若点D在上，，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)在（1）的条件下，若，求．
(3)若弦经过圆心O，连接，且，求的长．
22．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，已知是⊙O的直径，弦于点E，G是上的一点，连结交于点H，，的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)①连结，若，求的值；
②连结，若，，，求⊙O的半径r．
23．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，以底边为直径作，分别交边、于点、，点在直径下方的圆弧上，连结，，过点作交的延长线于点，已知．
(1)证明：；
(2)当，时，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的值．
24．（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点．
(1)若，求二次函数的解析式；
(2)若，当时，的最小值为，求的值；
(3)已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围．
25．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形内接于，，于点．
(1)直接写出的值为 ；
(2)求证： ；
(3)若，求的值．
26．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．
(1)求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）；
(2)现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度．
27．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）四边形内接于，为直径，连结，过A作于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点，连结，且；
①求证：；
②若，，求的长．
28．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，点是的黄金分割点，求的度数．
29．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，．
(1)求证：．
(2)如图2，若点为的中点，求证：．
(3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长．
30．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离．
【探索】
①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则_____．（用含的代数式表示）
②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则_____．
【应用】
如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值．
【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？
31．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，是的直径，弦于点，是延长线上一点，过点作的切线，为切点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若．
①求证：；
②如图3，连接，，若四边形是平行四边形，，求平行四边形的面积．
32．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)如图2，过点B作的平行线交于点E．
①求的长；
②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值．
33．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）．
(1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________．
(2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由．
(3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围．
34．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点．连结，．
(1)若为半径的中点．求的度数．
(2)连结．求证：．
(3)若，，的半径为3．求弦的长．
35．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，，点分别在边上，且．经过点的分别交边于点，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)如图，连结，若，请直接写出的值．
