2025-2026学年七年级数学上学期浙教版2024
期末解答压轴大题29道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上有两个长方形和，，，
点、、、都在效轴上点、点表示的数分别为、，且满足．长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时长方形以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，运动后的长方形分别记为长方形与长方形．
(1)点表示的数为______，点表示的数为______．
(2)当时，求的值．
(3)在运动过程中，两个长方形会出现重叠部分，设重叠部分的面积为．
①的最大值为______．持续的时间为______秒；
②当时，点所表示的数为______．
2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由．
(3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数．
3．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）一副三角尺按如图所示摆放，将三角尺绕点以每秒15°的速度顺时针旋转，同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，三角尺的直角边与重合时停止旋转，三角尺也停止旋转，设运动的时间为．
(1)用含的代数式表示：______；______；
(2)当为何值时，？
(3)下列三个问题，依次按易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题完成做答．
①当为何值时，与重合？
②当为何值时，？
③在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
(1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________．
(2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
5．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知甲，乙两地相距km，一辆轿车从甲地出发前往乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地．一辆货车与轿车同时出发，以km/h的速度沿同一条公路从乙地前往甲地，途经服务区时货车停车装货耗时分钟．待装货完毕，货车立即调整车速继续匀速前往甲地，最后与轿车同时到达甲地．如图是两车离乙地的距离(km)与货车行驶时间(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)轿车的速度是______km/h，______；
(2)在图中补全货车行驶过程的函数图象．
(3)在装货完毕后，货车与轿车何时相距km？
6．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线与直线相交于点C．
(1)求点A，C的坐标．
(2)现有一动点P沿折线以2个单位长度/秒的速度运动，运动时间为t秒．
①当为等腰三角形时，求出所有满足条件的t的值．
②如图2，已知x轴正半轴上有一动点Q，当点P在线段上运动时，连接，．作关于直线的对称图形，作关于直线的对称图形，射线交x轴于点M．当时，是否存在t的值，使恰好是直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的一条“型数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距26个单位长度．动点从点出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“型数轴”向点方向运动，从点到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．
(1)动点从点运动到点需要多少时间？
(2)、两点相遇时，求相遇时间是多少？
(3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等．
8．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上放置边长为2的正方形和边长为3的正方形．点表示的数为12，点位于原点处，点位于点处．正方形向右以1个单位/秒的速度运动，正方形以2个单位/秒的速度向左运动．相遇后正方形继续向右运动，正方形上的点A运动到点处后，正方形立即返回向右运动．设运动时间为（秒）．
(1)两正方形第一次相遇（即点A，重合）时，______，此时点A所表示的数为______；
(2)当正方形追上正方形（即点，第二次重合）时，求点表示的数；
(3)在整个运动过程中，当两正方形重叠部分面积为1时，请直接写出点A表示的数．
9．（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知是直线上的一点，是直角，平分．
【猜想】
如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表：
猜想与的数量关系．
【探究】
小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由．
【拓展】
将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒10度，旋转时间秒（），为的角平分线，当时，求的值．
10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于）
(1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°；
(2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）
(3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数．
11．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）根据表中的素材，完成下面的任务：
制作无盖长方体纸盒
素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板．
素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒：3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒．
问题解决
任务1 制作图3规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板可以做成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？
任务2 制作图3、图4规格的纸盒共11个 若有25张长方形纸板，怎样裁剪这些纸板能够恰好完成制作？
12．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，是内的一条射线，若或，则称为的比分线．
【概念初识】
（1） 若是的角平分线，则 ；
已知，是的比分线，则 ；
【概念理解】
（2）已知，，是的两条比分线，求的度数（用含的代数式表示）．
【概念应用】
（3）如图，已知是一个平角，是的比分线，且是一个锐角，射线，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度绕点逆时针旋转，且当射线首次与重合时同时停止运动，设运动时间为秒，当射线，，中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的比分线时，请直接写出t的值．
13．（24-25七年级上·浙江金华·期末）问题研究：
如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长．
拓展学习：
如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由．
类比学习
如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．
14．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若两个共顶点的角满足：一个角的大小为另一个角的5倍，则称这对角互为“和合角”．如图所示，已知直角三角板和直角三角板，，．将两块三角板摆放在一起，且点重合，，为的角平分线．请回答以下问题：
(1)如图1，点A和点E重合时．
①求的度数；
②图中是否存在“和合角”？若有，请直接写出，若没有，请说明理由．
(2)如图2，固定三角板的位置，将三角板绕着点按每秒3度的速度逆时针旋转一周，假设旋转的时间为．在整个过程中，是否存在某个时刻，使得和互为“和合角”？请求出对应的时刻．
15．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）在小学我们已经学习过三角形的三个内角和为，某校七年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】探究三角尺中的学问．
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．
探究三角尺中的学问
素材1 已知点C为直线上一点，，．
素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．
问题解决
任务1 问题1：如图1，如果，请写出图中所有与互余的角？
任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数；
任务3 问题3：如图3，探究当时，三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数（请直接写出结果）．
16．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知两点在数轴上所表示的数分别为，且满足．
(1)填空：_______，______；
(2)①问题探究：将一根木棒如图1所示放置在数轴上．将木棒沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为，由此可得这根木棒的长为_______个单位长度；
②方法迁移：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要34年才出生；你若是我现在这么大时，我就116岁啦！”求爷爷的年龄；
(3)在(2)①的条件下，现将木棒从某点处切断，切断后左边的木棒以每秒4个单位的速度往左移动，同时右边的木棒以每秒5个单位的速度往右移动，是否存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点？若存在，求出木棒切断处所表示的数；若不存在，请说明理由．
17．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名．
茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克．
两种茶叶的销售规格如下表：
狮峰龙井 梅坞龙井
装盒（克/盒） 125 250
售价（元/盒） 200 600
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？
(2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示）
(3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？
18．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒．
(1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．
(2)当为何值时，？
(3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．（24-25七年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务．
“数”说时钟
素材1 时钟在我们日常生活中时常可见．时钟表盘中的数字是均匀分布的，其中分针60分钟转动，时针60分钟转动．因此，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．定义：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如右图所示，即为某一时刻的钟面角，我们规定的度数在至之间．
素材2 当时钟显示时，钟面角为多少度呢？要解决这个问题，可以先考虑时，钟面角为，时针经过10分钟转了，分针经过10分钟转了，因此时，钟面角为．
素材3 作息时间表 第一节 第五节
第二节 第六节
大课间 眼保健操
第三节 第七节
眼保健操 体育活动
第四节 课后服务
解决问题
任务1 （1）求作息时间表中第三节课后开始做眼保健操时（即）钟面角的度数．
任务2 （2）根据素材3中作息时间表的安排，在第五节课（）时间段内，请问：上课铃声（即）响后几分钟时恰好存在钟面角为的情况？
任务3 （3）记钟面上刻度为3的点为，在作息时间表的第六节课时间段内，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，请直接写出此时对应的时刻．（结果用“几时几分”的形式表示）
20．（24-25七年级上·浙江金华·期末）账单中的数学
素材1：为了节能减排，居民电费采用阶梯电价的方式执行，下面是阶梯电价的划分方式和收费标准．
阶梯名称 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
年累计用电量（千瓦时） 以上
单价（元/千瓦时） 0.55 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.05元 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.35元
素材2：峰谷电是一种电价制度，峰谷电电价按照高峰和低谷时段分别计算．高峰时段（8：00到22：00）的电价为每千瓦时0.568元，低谷时段（22：00到次日8：00）的电价为每千瓦时0.288元．对于开通峰谷分时电价的居民用户，按照高峰和低谷的合计电量执行阶梯电价，第二阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.05元，第三阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.35元．
素材3：2024年文文家未开通峰谷电，图1，图2和图3是她家1月、2月和9月份电费账单部分信息．（温馨提醒：账单中合计金额指该月的电费，合计电量指该月的用电量．）
根据以上素材，解决下列问题：
(1)文文家2月份的电费是多少元？
(2)已知文文家前8个月累计用电2610千瓦时．
①文文家9月份的用电量是多少千瓦时？
②如果文文家9月份开通峰谷电，且峰电占9月份用电量的，那么开通峰谷电后9月份的电费是多少元？
③化化家前8个月累计用电量和文文家一样，若化化家9月份的用电量为千瓦时，其中峰用电量为千瓦时，当和满足什么关系时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等．
21．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”．
(1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”）
(2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整：
因为，
所以___________，___________，______________．
所以______________________，
所以是“好六数”
(3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除．
22．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒．
(1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）；
(2)当射线平分时，求的值．
(3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止．
①当时，求的值．
②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系．
23．（24-25七年级上·浙江金华·期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒．
(1)若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分；
(2)若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动．
①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由；
②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？
24．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，已知线段在同一平面内，且，．
(1)若平分，求的度数；
(2)在（1）条件下，若也平分，求的度数；
(3)若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，则经过多少时间，与第一次垂直．
25．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部．
(1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转．
①多少秒时？
②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由．
26．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
素材一：如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
素材二：动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时，速度变为初始速度的；当运动到点B与点C之间时，速度变为初始速度的3倍；经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决：
(1)动点P从点A运动至点B需要________秒；
(2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
(3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间．
27．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且．
(1)当时，是的平分线吗？试说明理由．
(2)若，．
①求的度数．
②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围．
28．（25-26七年级上·浙江·期末）如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为秒，问：
(1)动点P从点A运动至D点需要时间为______秒；
(2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数；
(3)当Q点到达终点A后，立即调头加速去追P，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q追上点P时，求出它们在数轴上对应的数．
29．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，从左到右，在每个小格子都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．
9 & # x 2 ．．．
(1)可求得_____；第2019个格子中的数为_____；
(2)判断：前个格子中所填整数之和是否可能为2023，若能，求出的值；若不能，请说明理由；
(3)如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的的和可以通过计算：得到，若为前4个格子中的任意两个数，求所有的的和．
30．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点A进行如下操作：先把点A向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，此时所得数对应的点为，则称点为点A的“倍联动点”（a、b均为正整数）．例如，点A表示的数为2，当，时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当，时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题：
(1)已知点B表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是________．
(2)若点C的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点C表示的数．
(3)已知数轴上两点M、N表示的数分别为m、，且点N为点M的“k倍联动点”（k为正整数）．点P从点M出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若任何一个时刻，点P的其中一个“6倍联动点”与点Q之间的距离始终为3，求k的值．(共5张PPT)
浙教版 2024七年级上册
期末解答压轴大题30道
试卷分析
知识点分布
1 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；用数轴上的点表示有理数；绝对值非负性
2 0.4 折叠问题；几何图形中角度计算问题；几何问题(一元一次方程的应用)
3 0.4 根据旋转的性质求解；几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算
4 0.4 线段n等分点的有关计算；数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）；几何问题(一元一次方程的应用)
5 0.4 行程问题(一次函数的实际应用)；求一次函数解析式；从函数的图象获取信息
6 0.4 勾股定理与折叠问题；等腰三角形的性质和判定；一次函数与几何综合；已知两点坐标求两点距离；两直线的交点与二元一次方程组的解；根据平行线判定与性质证明；求一次函数自变量或函数值
7 0.4 数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）；几何问题(一元一次方程的应用)
8 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；用数轴上的点表示有理数；数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）
9 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算
10 0.4 几何图形中角度计算问题；角n等分线的有关计算
知识点分布
11 0.4 配套问题(一元一次方程的应用)
12 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题
13 0.4 线段之间的数量关系；几何图形中角度计算问题；线段的和与差
14 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算
15 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；三角板中角度计算问题；角平分线的有关计算
16 0.4 有理数四则混合运算的实际应用；数轴上两点之间的距离；绝对值非负性；几何问题(二元一次方程组的应用)；用数轴上的点表示有理数
17 0.4 销售盈亏(一元一次方程的应用)
18 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）；整式的加减运算
19 0.4 钟面角；几何问题(一元一次方程的应用)；角平分线的有关计算
20 0.4 列代数式；有理数四则混合运算的实际应用；有理数乘法的实际应用；有理数减法的实际应用
知识点分布
21 0.4 有理数四则混合运算；整式加减的应用
22 0.4 几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题
23 0.4 根据旋转的性质求解；几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算
24 0.4 钟面角；几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题
25 0.4 三角板中角度计算问题；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算
26 0.4 用数轴上的点表示有理数；数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）
27 0.4 几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算；同(等)角的余(补)角相等的应用
28 0.4 行程问题(一元一次方程的应用)；用数轴上的点表示有理数；动点问题（一元一次方程的应用）
29 0.4 数字类规律探索
30 0.4 数轴上点的平移（动点问题）；数轴上两点之间的距离；动点问题（一元一次方程的应用）2025-2026学年七年级数学上学期浙教版2024
期末解答压轴大题29道【浙江期末真题汇编】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)，
(2)或
(3)①，；②或
本题考查数轴上点的运动，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，解题关键是表示出运动后点表示的数．
（1）根据绝对值的非负性即可得解即可求解；
（2）根据题意，由建立方程，求解即可得出答案；
（3）①分别求得点与点重合、点与点重合所需时间，求出两个时间差即可；②分两种情况：当点在线段上，当点在线段上，根据题意建立方程求解即可得出答案．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∵，
∴，
∴，，
∴点表示的数为，点表示的数为．
（2）解：∵点表示的数为，点表示的数为，
∴秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，
∵，
∴，
解得：或，
∴的值为或；
（3）①由题意得：当长方形完全落在长方形上时，重叠部分的面积最大，最大面积为长方形的面积，为，
秒后，点表示的数为，点表示的数为，
当点与点重合时：，
解得：，
∵点表示的数为：，点表示的数为：，
∴点与点重合时有，
解得，
∵（秒），
∴的最大值为，持续的时间为秒，
故答案为：， ；
②由，得重叠部分面积为，
当点在线段上，且时，即，
∴，
解得，
∴表示的数为，
当点在线段上，且时，即，
∴，
解得，
∴表示的数为，
故答案为或；
2．(1)
(2)
(3)或或
本题考查折叠的性质，角的和差，一元一次方程的应用，掌握分类讨论是解题的关键．
（1）根据折叠的性质解题即可；
（2）根据折叠的性质计算即可解题；
（3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题．
（1）解：由折叠可得：，，
∴；
（2）解：，理由为：
由折叠可得：，，
∴，
∴；
（3）如图1所示，由折叠可得：，，
∴
，
当时，，
解得；
如图3，，
当时，，
解得：；
如图4所示，，
当时，，
解得：；
综上所述，的度数为或或时，和中，当其中一个角是另一个角的3倍时．
3．(1)，
(2)或
(3)① ② ③或或，理由见解析
本题考查旋转求角度问题，涉及三角板、旋转性质、平角定义、角平分线定义及角的和差倍分关系等知识，根据题意，数形结合表示出各角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
（1）由旋转性质，三角板特征，数形结合列式求解即可得到答案；
（2）根据题意，分类讨论：①与重合前；②与重合后两种情况，数形结合，列方程求解即可得到答案；
（3）①数形结合，由平角为列方程求解即可得到答案；②数形结合，由后角度之间的和差关系列方程求解即可得到答案；③根据题意，分类讨论：i：当射线是由射线、射线的角平分线时；ii：当射线是由射线、射线的角平分线时；iii：当射线是由射线、射线的角平分线时；数形结合，由角平分线定义及平角为列方程求解即可得到答案．
（1）解：三角尺是等腰直角三角形，且绕点以每秒15°的速度顺时针旋转，
；
三角尺是含的直角三角形，且绕点以每秒的速度逆时针旋转，
；
故答案为：，；
（2）解：①如图所示：
∵，，，，
∴，解得；
②如图所示：
∵，，，，
∴，解得，
∴综上所述，当为或时，；
（3）解：①∵与重合，如图所示：
∴，
∵，，
∴，解得，
∴当为时，与重合；
②当时，如图所示：
∴，
i：∵，
∴，解得；
ii：∵，
∴，解得，
∵与重合时，三角尺停止旋转，
∴，
∴不符合题意，舍去，
综上所述，当为时，；
③i：当射线是由射线、射线的角平分线时，如图所示：
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得；
ii：当射线是由射线、射线的角平分线时，如图所示：
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得；
iii：当射线是由射线、射线的角平分线时，如图所示：
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得；
综上所述，的值为或或．
4．(1)3
(2)①当为或时，点是线段的三等分点；②的值为或或
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键．
（1）由，，可得出的长度；
（2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可．
（1）∵，，
∴
故答案为：3；
（2）由题意可得：，
∴，
点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
5．(1)，
(2)见解析
(3)当时间为h或h时两车相距km
本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是解题的关键．
（1）根据速度路程时间可以求出轿车的速度，根据路程速度时间可以求出a的值；
（2）根据题意直接补充图象即可；
（3）利用待定系数法分别求出当时轿车和货车与的函数关系式，根据两车之间的距离列绝对值方程并求解即可．
（1）解：轿车的速度是（km/h），,
故答案为：；；
（2）解：补全货车行驶过程的函数图象如图：
（3）解：（h），
点的坐标为，
设货车在段与的函数关系式为（、为常数，且），
将，和，代入，
得，解得，
货车在段与的函数关系式为；
当时，设轿车与的函数关系式为（、为常数，且），
将，和，代入，
得，解得，
；
当时，设轿车与的函数关系式为（、为常数，且），
将，和，代入，
得，解得，
；
综上，轿车y与x的函数关系式为；
当时，当货车与轿车何时相距km时，，
经整理，得，即或，解得或（不符合题意，舍去）；
当时，当货车与轿车何时相距km时，，
经整理，得，即或，解得（符合题意，舍去）或；
综上，或，
∴在装货完毕后，货车与轿车在h或h时相距km．
6．(1)；
(2)①或6或或12；②或
（1）利用函数关系式，求出点A、C的坐标即可；
（2）①根据两点间距离公式求出，，，分四种情况进行讨论：当点P运动到点C时，当点P在上运动，时，当点P在上运动，时，当点P在上运动，时，分别画出图形，求出结果即可；
②根据折叠说明，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
（1）解：把代入得：
，
解得：，
∴；
联立，
解得：，
∴．
（2）解：把代入得：，
∴，
∴，
，
；
①当点P运动到点C时，如图所示：
此时，为等腰三角形，
∴；
当点P在上运动，时，如图所示：
此时为等腰三角形，
∴；
当点P在上运动，时，过点O作于点D，如图所示：
此时为等腰三角形，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴
∴；
当点P在上运动，时，如图所示：
此时为等腰三角形，
；
综上分析可知，或6或或12．
②当时，如图所示：
设交y轴于点N，交y轴于点E，
根据折叠可知，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∵，，
∴，
设，则，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴；
当时，如图所示：
∵，
∴轴，
∵，点P在y轴上，
∴此时点在y轴上，
∵关于直线的对称图形，
∴此时轴，
∴，
∴；
根据折叠可知：，
∵，
∴；
综上分析可知，或．
本题主要考查了一次函数的综合应用，折叠的性质，求两条直线的交点坐标，勾股定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，两点间距离公式，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，并注意进行分类讨论．
7．(1)；
(2)；
(3)，，11，14．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握．
（1）根据时间，分段求出每段折线上的时间再求和即可；
（2）先判断点P与点Q在线段OB上相遇，再根据等量关系建立一元一次方程求解即可；
（3）根据、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等可以判断时间相等，分别讨论并建立一元一次方程，求解即可．
（1）动点从点运动到点需要：；
（2）由题意可得点Q运动到点B需要8秒，此时点行走的路为：，即此时点P在线段OB上，
所以点P与点Q在线段OB上相遇，
由题意可得方程：，
解得：，
所以、两点经过秒相遇；
（3）①在上，在上，
，
②在上，在上，
，
③在上，在上，
，
④在上，在上，
，无解
⑤在上，在上，
，
综上，，，11，14
8．(1)秒；
(2)用时8秒，点表示的数为8
(3)5或或7或15
（1）根据题意列出关于t的方程，解方程即可；
（2）先求出点A运动到点处时，，正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动后，表示出，，根据此时，得出，求出结果即可；
（3）分四种情况进行讨论：正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段上，正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段左侧，正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段上，正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段右侧，分别画出图形，求出结果即可．
（1）解：正方形向右以1个单位/秒的速度运动，正方形以2个单位/秒的速度向左运动时，，，两正方形第一次相遇（即点A，重合）时，，
即，
，
此时点A所表示的数为；
（2）解：正方形以2个单位/秒的速度向左运动，点A运动到点处后，正方形立即返回向右运动，
点A运动到点处时，，
正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动后，，，当正方形追上正方形（即点，第二次重合）时，，
，
此时，点表示的数为8；
（3）解：如图1，
正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段上，两正方形重叠部分面积为1时，，，，
∵，，
，
∴，
解得：，
此时，；
如图2，
正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段左侧，两正方形重叠部分面积为1时，，，，
∵，，
，
∴，
解得：，
此时，；
如图3，
正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段上，两正方形重叠部分面积为1时，，，，，
∵，，
，
∴，
解得：，
此时，；
如图4，
正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段右侧，两正方形重叠部分面积为1时，，，，
∵，，
，
∴，
解得：，
此时，；
综上所述，在整个运动过程中，当两正方形重叠部分面积为1时，点A表示的数为5或或7或15．
本题主要考查了用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
9．猜想：；探究：符合，理由见解析；拓展：的值为3或15
猜想：由角平分线的定义结合角的和差运算可得，而，从而可得结论；
探究：设，则，由角平分线可得，再结合角的和差运算可得结论；
拓展：分两种情况讨论：①当时，，则，②当时，，则，再建立方程求解即可．
解：猜想：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
探究：符合，理由如下：如图，
设，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
拓展：①当时，，则，
∵为的角平分线，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
②当时，，则，
∵为的角平分线，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为3或15．
本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，熟练的利用方程解决问题是解本题的关键．
10．(1)100
(2)，
(3)
本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据可得答案；
（2）先分别表示出，，然后根据，求解即可；
（3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可．
（1）∵，，
∴，
∴
；
故答案为：100；
（2）如图，
∵，，，
∴，，
∵，，
∴，；
（3）①当时，如图，
∵，
∴，，
∵，，
∴
；
②当时，如图，
∵，
∴，
，
∴
．
综上所述：的度数为．
11．任务1：用18张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，用3张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，可以做成的无盖纸盒数最多，最多为9个；
任务2：当裁剪长方形的纸张的数量为20，裁剪小正方形的纸张数量为5时，恰好完成制作
本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
任务1：设用张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，则用张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，根据4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒，列出方程进行求解即可；
任务2：设制作图3规格的纸盒为个，则制作图4规格的纸盒为个，根据纸张共25张，列出方程进行求解即可．
任务1：设用张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，则用张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，
由题意，得：，
解得：，
∴，
∴可以裁剪小正方形的个数为：，
∴用18张长方形纸板按图1所示的方法裁剪，用3张长方形纸板按图2所示的方法裁剪，可以做成的无盖纸盒数最多，最多为9个；
任务2：设制作图3规格的纸盒为个，则制作图4规格的纸盒为个，由题意，得：
，
解得：，
∴裁剪小正方形的纸张数量为： ，裁剪长方形的纸张的数量为：；
答：当裁剪长方形的纸张的数量为20，裁剪小正方形的纸张数量为5时，恰好完成制作．
12．（）；或；（）；（）的值为或或．
（）由是的角平分线，则，从而求解；
分当和当两种情况分析即可；
（）由，是的两条比分线，则，，根据定义则有，，然后用角度和差即可求解；
（）由在内部时，即，当，当，由在内部时，即，当，当四种情况分析即可；
本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，角度的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：（）∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：；
当，
∵，
∴，
∴，
∴；
当，
∵，
∴，
∴，
综上可知：或，
故答案为：或；
（）∵，是的两条比分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（）解：∵是的比分线，且是一个锐角，
∴，
∵是一个平角，
∴，
∴，
∵射线，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度绕点逆时针旋转，
∴，，
∵当射线首次与重合时同时停止运动，
∴，
由在内部时，即，
∴，，
如图，当，
∴，解得：，
如图，当，
∴，解得：，
由在内部时，即，
∴，，
如图，当，
∴，解得：，
当，
∴，解得：（舍去），
综上可知：当射线，，中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的比分线时，的值为或或．
13．（1）15；（2）的长不会发生变化，；（3）（度）
本题考查了线段的和差倍分与角的和差倍分，掌握相关计算技巧是解题的关键．
（1）根据，将问题转化为求，即求即可；
（2）根据，将问题转化为求，即求即可；
（3）设（度），根据，将问题转化为求，即可求解．
解：（1）∵点、分别是线段的中点，
，
，
，
，
；
（2）∵点、分别是线段的中点，
，
，
，
的长不会发生变化；
（3）设（度），则度，度；
，
则度，度，
则度．
14．(1)①；②存在，与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角”
(2)存在，t的值为20或90或114
本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键．
（1）①分别求出和的度数，即可求解；
②先求出的度数，即可求解；
（2）分两种情况，由“和合角”的定义列出方程可求解．
（1）解：①，，，为的角平分线．
，，
，
；
②存在，理由如下：
，，
，
∵，为的角平分线，
∴，
与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角”；
（2）解：如图3，当在的右侧时，
和互为“和合角”，
，
旋转角度为，
，
如图4，当在的左侧时，
和互为“和合角”，
或，
旋转角度为或，
或，
综上所述：的值为20或90或114．
15．任务1：图中所有与互余的角有：，；任务2：；任务3：另一条直角边与边的夹角可能是，，，．
本题主要考查余角和补角定义及三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握三角板的各个角度，以及正确画出图形，具有分类讨论的思想．
任务1：利用直角三角形两锐角之和为直角及平角的定义来解题；
任务2：设，通过角的和差关系列出方程求解即可；
任务3：根据题意，画出图形，分四种情况进行分类讨论即可．
解：任务1：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴与互余的角有：，；
任务2：∵，
∴设，，
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
即，
解得，
∴，
∴；
任务3：分四种情况讨论：
①当与边的夹角为，且在下方时，如图1：
（图1）
∵，，
∴，
∵，
∴；
②当与边的夹角为，且在上方时，如图2：
（图2）
∵，，，
∴；
③当与边的夹角为时，且在下方时，如图3：
（图3）
∵，，
∴，
∵，
∴；
④当与边的夹角为时，且在上方时，如图4：
（图4）
∵，，，
∴；
综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是，，，．
16．(1)，
(2)①；②爷爷的年龄是岁
(3)存在某一时刻，M和N刚好是两段木棒的中点，木棒切断处所表示的数为
本题考查二元一次方程组的应用，数轴上两点距离，有理数的混合运算，数形结合是解题的关键．
（1）由绝对值和平方的非负性可得，；
（2）①求出，可得，即这根木棒的长为个单位长度；
②仿照“问题探究”列式计算可得爷爷的年龄是岁；
（3）设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒，求出表示的数为，表示的数为，根据和刚好是两段木棒的中点列方程组可解得答案．
（1）解：，
，，
，；
故答案为：，；
（2）①由（1）知，，
根据题意可得，即这根木棒的长为个单位长度；
故答案为：；
②岁，
爷爷的年龄是岁；
（3）存在某一时刻，和刚好是两段木棒的中点，理由如下：
设木棒切断处所表示的数为，两段木棒运动的时间为秒，
表示的数为，表示的数为，
可得，解得，
木棒切断处所表示的数为．
17．(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克
(2)
(3)240
本题主要考查了一元一次方程的应用，
对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解；
对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可；
对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可.
（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得
，
解得，
∴（千克）．
答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克；
（2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得
，
解得．
答：销售“狮峰龙井”茶叶盒；
（3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）．
设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得
，
解得，
答：第一次销售“狮峰龙井”240盒．
18．(1)；10
(2)或时，
(3)存在，当时，其值为定值，此定值为360
（1）根据数轴上两点间的距离可求出点B表示的数，然后根据相反数的定义即可求出点A表示的数；
（2）根据数轴上两点间的距离求出，，然后根据得出关于t的方程，然后解方程即可；
（3）根据数轴上两点间的距离求出，，，代入化简得，然后分，，三种情况讨论即可．
（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且，
点B表示的数是，
又点A，B表示的数互为相反数，
点A表示的数是，
故答案为：，10；
（2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10，
，，
，
，
或．
答：或时，．
（3）解：，，，，
，，，
．
当时，其值为，
当时，其值为360，
当时，其值为，
当时，其值为定值，此定值为360．
本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等，弄清并表示线段的长是解题的关键．
19．（1）
（2）分钟或分钟
（3）时分或时分
本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题），角平分线的有关计算等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
（1）依题意直接列式可得，计算可得答案；
（2）设上课铃声响后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，分两种情形构建方程求解即可；
（3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（），然后分三种情况讨论：①当为和所成角的平分线时；②当为和所成角的平分线时；③当为和所成角的平分线时；分别列方程求解即可．
解：（1）时钟面角的度数为：
；
（2）设上课铃声响后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，则：
，
解得：，
（分）；
或，
解得：，
（分）；
答：上课铃声响后经过分钟或分钟时恰好存在钟面角为的情况；
（3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（），
分三种情况讨论：
①当为和所成角的平分线时，
，
解得：（不符合题意，故舍去）；
②当为和所成角的平分线时，
，
解得：；
③当为和所成角的平分线时，
，
解得：；
综上，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，此时对应的时刻为时分或时分．
20．(1)132元
(2)①400千瓦时；②211.7元；③
本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合运算，以及简单的应用题，明确每个阶段的电量是本题解题的关键.
（1）先计算出二月份的用电量，再根据电费单价电量计算即可；
（2）①先计算用满第一阶段的电量所需费用，从而求出第二阶段所用费用，再除以单价即为用电量；
②计算出峰电和谷电的电量，根据其单价计算费用，再加上第二阶段额外的费用；
③两种方式阶段价格增加的单价相同，所以不需要考虑阶梯价，根据电费相同列出a，b的等式，化简即可．
（1）解：二月用电量为：(千瓦时)，
∴二月的电费为：(元)；
（2）解：①9月用满第一阶梯电量需要电费：，
∴第二阶段电费为：(元)，
∴第二阶段用电量为：(千瓦时)，
∴九月份用电量为：(千瓦时)；
②峰电用电量为：(千瓦时)，
谷电用电量为：(千瓦时)，
∴九月份的电费是：(元)；
③∵是否开通峰谷电，阶梯价上涨相同，
∴不需要考虑阶梯价，
∴当时，开通和不开通峰谷电电费相同，
即时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等．
21．(1)不是；
(2)，，7；，6；
(3)见解析
本题考查了整式的加减运算，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义“好六数”，仿照示例，即可判断352不是“好六数”；
（2）按照“好六数”的定义，根据证明过程，填写完整步骤即可；
（3）仿照第（2）题的过程，得到，即可证明能被3整除．
（1）解：，，
不是“好六数”，
故答案为：不是；
（2）解：因为，
所以，，，
所以，
所以是“好六数”，
故答案为：，，7；，6；
（3）解：，
的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4，
是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，
，，
，
是“好六数”，
，
即，
，
且为正整数，
为正整数，
能被3整除．
22．(1)
(2)21
(3)①10.8或54；②
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示相关角的度数．
（1）由，求出，，故当射线位于射线的左侧时，，
（2）根据得：，即可解得的值为21；
（3）①当到达所在的位置前，，当到达所在的位置后，，解方程可得答案；
②分两种情况可求得．
（1）解：，
，
，
，
，
根据题意，，
当射线位于射线的左侧时，，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得，
的值为21；
（3）解：由题意可得，
①当到达所在的位置前，，
解得；
当到达所在的位置后，，
解得；
的值为10.8或54；
②当与重合时，，
，
此时与重合；
当到达所在的位置前，，，
；
当到达所在的位置后，，，
；
综上所述，．
23．(1)
(2)①不是的平分线，理由见解析；②或或
（1）旋转后，旋转角等于，根据平分求出，然后根据平角定义列方程求解即可；
（2）①求出旋转后的度数，即可判断；
②分平分，平分，平分三种情况讨论即可．
（1）解：如图，
∵平分，
∴，
∵旋转，
∴，
根据题意，得，
解得，
即三角板旋转秒时，平分，
故答案为：；
（2）解：①不是的平分线，
理由：当时，如图，
此时，，
∴，
∴不是的平分线；
②当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
综上，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角．
本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，明确题意，合理分类讨论，画出旋转后的图形是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（3）根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了角的平分线的定义，角的和差计算，解方程，熟练掌握角的平分线，解方程是解题的关键．
（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：根据题意，得时针每分钟转过，分针每分钟转过，
设转动，两个指针第一次垂直，根据题意，得，
解得．
故经过，与第一次垂直．
25．(1)平分，理由见解析
(2)①20秒或200秒，②
本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义．
（1）由，结合，从而可得答案．
（2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论．
（1）解：平分，理由如下：
，
，
，
，
平分．
（2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时，
，
，
若，则，
，
，
每秒旋转，
∴秒时；
当、在直线的两侧时，如图，
，
若，
则，
，
旋转角，
每秒旋转，
∴秒时，
综上，20秒或200秒时．
②，
，
即，
，
．
26．(1)15
(2)
(3)13秒或17秒
（1）根据题意，得，速度为3个单位长度，时间；得，速度为个单位长度，时间；计算解答即可；
（2）根据题意，动点P在点B和点C之间运动时间为，速度为个单位长度，此时运动路程为个单位长度，点P表示的数为，解答即可；
（3）当点P在之间运动时，，不符合题意；当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时点P表示的数为，根据题意，得，解答即可；当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，此时不符合题意；
当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，此时点P表示的数为，得，解答即可．
本题考查了数轴上点表示数，数轴上两点间的距离，解一元一次方程，分类思想，熟练掌握解方程，数轴上两点间距离是解题的关键．
（1）解：根据题意，得，速度为3个单位长度，
故运动时间；
又，速度为个单位长度，
故时间；
故，
故答案为：15；
（2）解：根据题意，动点P在点B和点C之间运动时间为，速度为个单位长度，此时运动路程为个单位长度，
故点P表示的数为，且在B，C之间运动时间为，此时，
故答案为：；
（3）解：由题意得，
当点P在之间运动时，，不符合题意；
当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，
此时运动路程为，此时点P表示的数为，，,
根据题意，得，
解得，符合题意；
当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，
此时，此时不符合题意；
当点P在之间运动时，设运动时间为t，此时，此时点P表示的数为，，,
根据题意，得，
解得，符合题意；
故点P运动13秒或17秒时，满足
27．(1)是的平分线，理由见解析
(2)①；②或或
此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
（1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案；
（2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案．
（1）解：是的平分线，理由如下：
∵为直线上一点，且．
∴，，
∵，
∴，
∴是的平分线；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
②∵，
∴，，
当时，与重合，
∴当时，绕着点O逆时针方向旋转，绕点O顺时针旋转，在的内部，是固定值，
当时，与重合，，
；
∴当时，如图，绕点O逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，
此时，
，
∴，
∴此时的大小发生改变；
当时，与重合，，
∴当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同，
∴的大小不变，
∴此时的值不变；
当时，与重合，
∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在外部，和都逐渐减小，因此的值逐渐变小；
当时，与重合，停止旋转，在内部，
，
∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在内部，是固定值；
当时，与重合，
∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在内部，是固定值；
当时，与重合，停止旋转，
∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在外部，和都逐渐变大，逐渐变大；
综上所述，当为固定值时，或或．
28．(1)19
(2)动点P在数轴上所对应的数为或
(3)它们在数轴上对应的数是38
此题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识，解题的关键是用含t的代数式表示动点在“水平路线”和“上坡路段”、“下坡路段”上运动的距离．
（1）先计算出线段、、的长，再根据点P在“水平路线”上的速度、在“上坡路段”的速度求出点P从点A到点D所需要的时间；
（2）由题意可知，点P在“上坡路段”的速度为1个单位长度/秒，点Q在“下坡路段”的速度为4个单位长度/秒，P、Q两点到原点O的距离相同分为两种情况，一是P、Q两点重合，二是P、Q两点分别在原点O的两侧，列方程求出t的值，再计算出点P对应的数即可；
（3）先计算出点Q到点A需要秒，点Q调头后在“水平路线”上的速度为3个单位/秒，在“上坡路段”上的速度为2个单位/秒，再计算出点Q从出发到返回点C共需要秒，根据点Q追上点P时它们在射线上运动的距离相等列方程求出t的值，再计算出它们对应的数即可．
（1）解：由题意可知，，，，，，
∴（秒），（秒），（秒），
∴点P从点A到点B需要5秒，从B到点C需要10秒，从点C到点D需要4秒，
（秒），
∴动点P从点A运动至D点需要19秒．
故答案为：19．
（2）解：点P从A到点B需要5秒，点Q从点D到点C需要4秒，点Q从点C到点B需要秒，由题意可知，点P在“上坡路段”的速度为1个单位长度/秒，点Q在“下坡路段”的速度为4个单位长度/秒，
当P、Q两点重合时，P、Q两点到原点O的距离相同，
则，
解得，经检验，符合题意，
∴，
此时动点P对应的数是；
当点P、Q在原点O的两侧，且P、Q两点到原点O的距离相同，
则，
解得，经检验，符合题意，
∴，
此时动点P对应的数是，
综上所述，动点P在数轴上所对应的数为或．
（3）解：（秒），
∴点Q到点A需要秒，
由题意可知，点Q调头后在“水平路线”上的速度为3个单位/秒，在“上坡路段”上的速度为2个单位/秒，
，，
点Q调头加速后从点A到点B需要秒，从点B到点C需要5秒，
（秒），
∴点Q从出发到返回点C共需要秒，
当点Q追上点P时，则，
解得，
∴，
∴它们在数轴上对应的数是38．
29．(1)9；2
(2)可能，，理由见解析
(3)104
本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）设从左往右第6个数字为a，第7个数字为b，第8个数字为c，根据题意可得，则可推出这列数字每3个数字为一个循环，每个循环内的数字依次为，据此可得答案；
（2）求出每个循环内三个数字的和，进而可得前个数字之和为，据此可得答案；
（3）根据（1）可得前4个格子中的数，再根据所有的和的计算公式求解即可．
（1）解：设从左往右第6个数字为a，第7个数字为b，第8个数字为c，
∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴，
∴，
∴这一列数字为，
∴这列数字每3个数字为一个循环，每个循环内的数字依次为，
∵，
∴第2019个格子中的数为2；
（2）解：可能，此时，理由如下：
由（1）知这列数字每3个数字为一个循环，每个循环内的数字依次为，
∴每个循环内的三个数字之和为，
∵前个数字之和为，
∴前1214个数字之和为，
∴当时，前m个数字之和为2023，
∴前个格子中所填整数之和可能为2023，此时；
（3）解：由（1）可知前四个格子中的数分别为，
，
∴所有的的和为104．
30．(1)1或4
(2)4或
(3)9或3
（1）选取合适的和的值，根据新定义的意义计算即可；
（2）求得相应的的值，进而选取合适的和的值代入即可求得点表示的数；
（3）易得点和点表示的数，进而得到点表示的数，根据点与点之间的距离始终为3，判断出k的取值和无关，即可确定对应的和的值，根据点为点的“倍联动点”进行整理即可得到的值．
（1）解：设点表示的数为，则点的倍联动点表示的数为，
根据“倍联动点”的定义，，∵a、均为正整数，
∴和，
当时，点的“2倍联动点”表示的数为；
当时，点的“2倍联动点”表示的数为，
∴点的“2倍联动点”表示的数是1或4，
故答案为：1或4；
（2）解：设点表示的数是，由“ab倍联动点”的定义可得，
∴，
∵，且均为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，代入，无解，
答：点表示的数为4或；
（3）解：设运动时间为秒，则点表示的数是，点表示的数是，
点为点的6倍联动点，，
∴若点表示的数为，则，
∵等式左边的式子的值与有关，
∴不符合题意；
若点表示的数为，则
或，
或，
∵点为点的“倍联动点”，即且，
当时，可得，
∴
当时，可得，
∴；
若点表示的数为，则，
∵等式左边的式子的值与有关，
∴不符合题意；
若点表示的数为，则，
∵等式左边的式子的值与有关，
∴不符合题意；
综上所述，的值为9或3．
本题考查一元一次方程的应用，理解新定义的意义并能根据新定义得到解决问题的相等关系是解决本题的关键．
