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第十八章 勾股定理
18.1 勾股定理（1）
知识领航
1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
2．关于勾股定理的证明方法有很多．赵爽的证法是一种面积证法，其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。
聚焦
【例】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
分析：面积法验证勾股定理关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形，正方形，梯形)的面积之和等于另一些特殊图形的面积，从而达到验证的目的．
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．还有一个直角梯形，其面积为(a＋b)(a＋b)．
由图形可知： (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ab＋c2
整理得(a＋b)2＝2ab＋c2， a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2， ∴ a2＋b2＝c2 .
由此得到勾股定理．
这正是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法．
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仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 下列说法正确的是（ ）
A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2
2. △ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（ ）
A． B. C. D.
3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
4．在中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c= ；
（2）如果a=6，b=8，则c= ；
（3）如果a=5，b=12，则c= ；
(4) 如果a=15，b=20，则c= .
5．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
综合运用
认真解答，一定要细心哟！
6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.
7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.
8．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是.” 还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何 为什么
（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受 (用一句话表示)
9．蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
拓广创新
试一试，你一定能成功哟！
10．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.
答案：18．1 勾股定理（1）
1.D 2.B 3.C 4.5; 10; 13; 25 5.169 6.中空正方形的面积为，也可表示为，∴=，整理得. 7.100m2 8.（1）分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为.（2）略 9.28cm 10．∵ 四边形BCC′D′为直角梯形，∴S梯形BCC′D′=(BC+C′D′)·BD′=.∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′， ∴∠BAC=∠BAC′. ∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°. ∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′= ab+c2+ab=. ∴=. ∴a2+b2=c2.
第5题图
S1
S2
S3
3m
4m
20m
D
A
C
C
B
A
D
B
C
D
A
C＇
B＇
a
b
c
D＇
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18.1 勾股定理（2）
知识领航
1．在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形.
2.勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．
聚焦
【例】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离．
解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，
走了12千米，即OA=12．
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，
走了5千米，即OB=5．
在Rt△OAB中，AB2=122十52＝169，∴AB=13，
因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．
∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．
答：上午10：00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系．
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仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（ ）
A. 4cm B. cm C. 6cm D. cm
2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )
A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米
4． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
5. 在△ABC中，∠C＝90°，（1）已知 a＝2.4，b＝3.2，则c＝ ；（2）已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于 ；（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝ .
6. 一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝ .
8. 等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 .
9. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
10．一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm．你认为小明能拿进屋吗？ ．
综合运用
认真解答，一定要细心哟！
11．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱
13．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
14．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗？
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试一试，你一定能成功哟！
15．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.
18．1 勾股定理（2）
1.C 2.C 3.D 4.10 5.4; 60; 3 6.25cm 7.13cm 8.6cm, 24cm2
9.6, 8, 10 10.能 11.5; 4; 3 12.612元 13.5s 14.BC=72km,这辆小汽车超速了 15. h=170cm
O
A
B
第4题图
5m
13m
A
小汽车
小汽车
B
C
观测点
120
90
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八年级数学第十八章18.1水平测试
一、试试你的身手（每小题3分，共24分）
1．在Rt△ABC中，∠A＝90°，则△ABC三边满足的关系式为 ．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a=6，b=8，则c= ．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a∶b=3∶4，c=20，则a= ，b= ．
4．在直角三角形中，两直角边的平方都是200，则斜边长为 ．
5．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩正上方4 800米处，过了10秒，飞机距离这个男孩头顶5 000米，则飞机每小时飞行 千米．
6．如图1所示，正方形的面积为 ．
7．某等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为 ．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=5，c=13，则△ABC的面积为 ．
二、相信你的选择（每小题3分，共18分）
1．边长为2的等边三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．1
2．直角三角形三边长为x，3，4，则x的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高CD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图2，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠B=20°，∠A=70°，AB=130m，BC=120m，若每天凿隧道5m，则把隧道凿通需（ ）
A．10天 B．9天 C．8天 D．11天
5．如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC＝（ ）
A．4 B． C． D．4
6．小明用电脑把四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形如图4所示，如果大正方形的面积为13，中间小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边长为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
三、挑战你的技能（共44分）
1．(10分)如图5，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，求CD的长．
2．（10分）如图6所示，小刚想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，小刚算了算就知道了旗杆的高度．你知道他是怎样算出来的吗？试试吧，相信你一定能行．
3．（12分）已知等腰三角形的底边为2，面积为2，求其腰长．
4．（12分）八（1）班学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹杆插到离湖边1米远的水底，只见竹杆高出水面0.2米，把竹杆的顶端拉向湖边（底端没动），杆顶和湖沿的水面刚为平齐，求湖水的深度和竹杆的长？（设竹竿一端刚好和湖底接触）
四、拓广探索（14分）
如图7所示，仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
，；，；，，……
（1）请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
（2）求出S12+S22+S32+S42+S52+…+S102的值．
1．如图1，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC，BD的长分别为500米和700米，且CD＝500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走多少米？
2．如图2（1），是小红用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，如图2（2）是以c为直角边的等腰直角三角形，她想将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，可以吗？
（1）如果能，请你画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？
（2）用这个图形证明勾股定理．
（3）假设图2（1）中的图有若干个，你能运用（1）中所示的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）
参考答案：
一、1． 2．10 3．12，16 4．20 5．504
6．74 7．16 8．30
二、1~3．BCA 4~6．ABC
三、1．13
2．12米
3．
4．湖水的深度为2.4米，竹竿的长度为2.6米．
四、（1），；
（2）
备选题
1．1300米
2．（1）如图，它是直角梯形；
（2）证明略；
（3）能拼出证明勾股定理的图形．如图所示（答案不惟一）
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18.2 勾股定理的逆定理（1）
知识领航
1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2. 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.
3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.
4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.
聚焦
【例】如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.
解：连接AC，在Rt△ABC中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.
在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
而 AB2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.
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1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2. 三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b2
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A B C D
综合运用
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6. 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.
7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
8. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
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9. 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（其中m，n为正整数，且m＞n）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下表，通过表格，你会发现勾股数有哪些规律？请查阅有关资料，相信你将有更多收获.
1 2 3 4 5 6 …
2
3
4
5
6
… … … … … … … …
答案18.2 勾股定理的逆定理（1）
1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.24m2 7.符合 8.由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，∵AE2= EF2 +AF2，∴△AEF是直角三角形 . 9.略
A
D
C
B
F
E
A
C
B
D
勾
股
数
n
m
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18.1 勾股定理（3）
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1．利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点．
2．领会和掌握数形结合的数学思想方法.
聚焦
【例】右图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A、B、C、D、E、F得线段AB、BC、CD、DE、EF、FA，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？并在数轴上作出表示、、、、的点.
解：如图，AB2=AF2+BF2=22+12=5，
BC2=32+42=25，
CD2=12+32=10，DE=3，
EF2=ED2+DF2=32+42=25，FA=2.
∴BC、DE、EF、FA的长是有理数，AB、CD的长度是无理数.
在数轴上作出表示、、、、的点如右图所示.
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1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 如图所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜a＜c
3．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.
5．在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要 分的时间.
6．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：
OA2 OA3 OA4 OA5 OA6 OA7 OA8
综合运用
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7．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.
8．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.
9．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少
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10．已知：正方形的边长为1.（1）如图（a），可以计算出正方形的对角线长为.如图（b）,求两个并排成的矩形的对角线的长.n个呢？（2）若把（c）（d）两图拼成如下“L”形，
过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB=，求DA的长度.
18．1 勾股定理（3）
1.C 2.B 3.12cm 4.49 5.12 6.依次填
7．略 8.7.5尺 9.分三种情况讨论，最短距离是5cm 10.（1），；（2）
_
D
_
F
_
A
C
_
B
E
A
B
C
D
7cm
A
B
C
第2题图
第1题图
第4题图
第6题图
Dˊ
A
B
C
D
Aˊ
Bˊ
Cˊ
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18.2 勾股定理的逆定理（2）
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1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．
2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.
e线聚焦
【例】如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.
解：设MN交AC于E，则∠BEC=900.
又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.
又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE，
则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，
∴CE=. ÷≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）.
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.
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1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )
A.7,24,25 B.3,4,5 C.3,4,5 D.4,7,8
2．在下列说法中是错误的（ ）
A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.
C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.
3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）
A．2，4，8 B.4,8,10 C.6,8,10 D.8,10,12
4．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .
5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 .
6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .
综合运用
认真解答，一定要细心哟！
7．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.
8．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
9．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
拓广创新
试一试，你一定能成功哟！
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
A
M
E
N
C
B
D
B
C
A
B
12 5
C 路、 D..13 D A
B
A
C
D
.
A
C
P
B
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