2025-2026学年人教版九年级数学上册期末综合检测练习卷（学生版+答案版）

人教版九年级数学上册期末综合检测练习卷
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题　共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．用配方法解方程x2－4x－7＝0，可变形为(　　)
A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝11
C．(x－2)2＝3 D．(x－2)2＝11
2．相同方向行驶的两辆汽车经过同一个“T”字路口时，可能向左转或向右转．如果这两种可能性大小相同，那么这两辆汽车经过该路口时，都向右转的概率是(　　)
A．
C．
3．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上(点P不与点A，B重合)，则∠APB的度数为(　　)
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
第3题图　　 　第4题图
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则的长为(　　)
A． B．
C． D．
5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放了1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4 400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，则所列方程正确的是(　　)
A．(1＋x)2＝4 400
B．(1＋x)2＝1.44
C．10 000(1＋x)2＝4 400
D．10 000(1＋2x)＝14 400
6．将抛物线y＝2(x－1)2－3向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线的解析式为(　　)
A．y＝2(x＋1)2＋2
B．y＝2(x－1)2＋2　
C．y＝2(x＋1)2－2
D．y＝2(x－1)2－2
7．直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx＋2在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为(　　)
A．30° B．35°
C．40° D．50°
9．如图，⊙O的直径AB＝20，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，且BE∶AE＝1∶4，则CD的长为(　　)
A．10 B．12
C．16 D．18
10．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是(　　)
A． B．
C． D．
11．扇子是夏天必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条AD的长为5 cm，贴纸的部分BD的长为10 cm．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，则纸扇贴纸部分的面积为(　　)
A．π cm2 B．π cm2
C．π cm2 D．100π cm2
12．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20 m的篱笆围成．已知墙长为15 m，若平行于墙的一边长不小于8 m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为(　　)
A．48 m2，37.5 m2
B．50 m2，32 m2
C．50 m2，37.5 m2
D．48 m2，32 m2
第Ⅱ卷(非选择题　共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0没有实数根，则k的取值范围是 ．
14．已知点P(－b，2)与点Q(3，2a)关于原点对称，则ab的值是 ．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C 作⊙O的切线交AB的延长线于点P．若∠P＝40°，则∠ADC的度数为 ．
16．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图，对称轴是直线x＝－1，则关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的根为 ．
17．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，并与⊙O的切线CD分别相交于点C，D．已知△PCD的周长等于10 cm，则PA＝ cm．
第17题图
第18题图
18．公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出了如图的示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C，D到地面的距离都是1.6 m，即BC＝OD＝1.6 m，AB＝1 m，AO＝5 m，则水柱的最大高度是
三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程演算步骤)
19．(8分)解方程：
(1)(x－1)(x＋3)＝12；
(2)4(x＋3)2＝25(x－2)2．
20．(8分)某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
(1)当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润；
(2)若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求汽车的售价．
21．(8分)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝4，弦AB⊥OC，劣弧所对的圆周角度数为60°，连接PB，BC．
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线．
22．(10分)如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是 上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
(1)当BC＝6时，求线段OD的长．
(2)△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
23．(10分)如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF．
(1)试判断△AEF的形状，并说明理由；
(2)若四边形AECF的面积为36，DE＝2，求EF的长．
24．(10分)在一个不透明的口袋里装有除颜色外其他无差别的黑、白两种颜色的球共5个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ，随机摸出一个球，摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；(均保留一位小数)
(2)试估算：口袋中有 个黑球，有 个白球；
(3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，两次摸到的球的颜色恰好相同的概率为多少？
25．(12分)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于A，D两点，并经过点B，已知点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(8，6)．
(1)求二次函数的解析式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标及点D的坐标．
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
26．(12分)小星学习二次函数后，设计了一个建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为了更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其解析式为y＝－x2＋2bx＋b－1(b＞0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
人教版九年级数学上册期末综合检测练习卷
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题　共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．用配方法解方程x2－4x－7＝0，可变形为(　D　)
A．(x＋2)2＝3 B．(x＋2)2＝11
C．(x－2)2＝3 D．(x－2)2＝11
2．相同方向行驶的两辆汽车经过同一个“T”字路口时，可能向左转或向右转．如果这两种可能性大小相同，那么这两辆汽车经过该路口时，都向右转的概率是(　A　)
A．
C．
3．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上(点P不与点A，B重合)，则∠APB的度数为(　D　)
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
第3题图　　 　第4题图
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则的长为(　A　)
A． B．
C． D．
5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放了1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4 400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，则所列方程正确的是(　B　)
A．(1＋x)2＝4 400
B．(1＋x)2＝1.44
C．10 000(1＋x)2＝4 400
D．10 000(1＋2x)＝14 400
6．将抛物线y＝2(x－1)2－3向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线的解析式为(　A　)
A．y＝2(x＋1)2＋2
B．y＝2(x－1)2＋2　
C．y＝2(x＋1)2－2
D．y＝2(x－1)2－2
7．直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx＋2在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　B　)
8．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为(　C　)
A．30° B．35°
C．40° D．50°
9．如图，⊙O的直径AB＝20，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，且BE∶AE＝1∶4，则CD的长为(　C　)
A．10 B．12
C．16 D．18
10．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是(　B　)
A． B．
C． D．
11．扇子是夏天必备之物，纸扇在DE与BC之间糊有纸条，可以题字或者作画．如图，竹条AD的长为5 cm，贴纸的部分BD的长为10 cm．扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，则纸扇贴纸部分的面积为(　C　)
A．π cm2 B．π cm2
C．π cm2 D．100π cm2
12．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20 m的篱笆围成．已知墙长为15 m，若平行于墙的一边长不小于8 m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为(　C　)
A．48 m2，37.5 m2
B．50 m2，32 m2
C．50 m2，37.5 m2
D．48 m2，32 m2
第Ⅱ卷(非选择题　共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0没有实数根，则k的取值范围是 k＞1 ．
14．已知点P(－b，2)与点Q(3，2a)关于原点对称，则ab的值是 －1 ．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C 作⊙O的切线交AB的延长线于点P．若∠P＝40°，则∠ADC的度数为 115° ．
16．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图，对称轴是直线x＝－1，则关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的根为 x1＝1，x2＝－3 ．
17．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，并与⊙O的切线CD分别相交于点C，D．已知△PCD的周长等于10 cm，则PA＝ 5 cm．
第17题图
第18题图
18．公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出了如图的示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C，D到地面的距离都是1.6 m，即BC＝OD＝1.6 m，AB＝1 m，AO＝5 m，则水柱的最大高度是 m．
三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(8分)解方程：
(1)(x－1)(x＋3)＝12；
(2)4(x＋3)2＝25(x－2)2．
解：(1)整理方程，得x2＋2x－15＝0，
即(x＋5)(x－3)＝0，所以x1＝－5，x2＝3．
(2)原方程化为2(x＋3)＝±5(x－2)，
即2(x＋3)＝5(x－2)或2(x＋3)＝－5(x－2)，
所以x1＝，x2＝．
20．(8分)某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
(1)当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润；
(2)若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求汽车的售价．
解：(1)由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是×1＋8＝14(辆)，
此时，平均每周的销售利润是(22－15)×14＝98(万元)．
(2)设每辆汽车降价x万元．
根据题意，得(25－x－15)(8＋2x)＝90，
解得x1＝1，x2＝5．
当x＝1时，销售量为8＋2×1＝10(辆)；
当x＝5时，销售量为8＋2×5＝18(辆)．
为了尽快减少库存，则x＝5，此时汽车的售价为25－5＝20(万元/辆)．
所以汽车的售价为20万元/辆．
21．(8分)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝4，弦AB⊥OC，劣弧所对的圆周角度数为60°，连接PB，BC．
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线．
(1)解：如图，连接OB，OA．
∵弦AB⊥OC，劣弧所对的圆周角度数为60°，
∴∠AOB＝120°．
∴∠BOC＝60°．
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形．
∴BC＝OC＝4．
(2)证明：∵OC＝CP，BC＝OC，
∴BC＝CP．∴∠CBP＝∠CPB．
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°．
∴∠BCP＝120°，∠CBP＝∠CPB＝30°．
∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°．
∴OB⊥BP．
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线．
22．(10分)如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是 上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．
(1)当BC＝6时，求线段OD的长．
(2)△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵OD⊥BC，
∴BD＝BC＝×6＝3．
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4．
(2)存在，DE的长度保持不变．
如图，连接AB．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5．
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝AB＝．
∴DE的长度保持不变．
23．(10分)如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF．
(1)试判断△AEF的形状，并说明理由；
(2)若四边形AECF的面积为36，DE＝2，求EF的长．
解：(1)△AEF是等腰直角三角形．理由如下：
∵把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置，
∴△ABF≌△ADE．
∴AF＝AE，∠FAB＝∠DAE．
∴∠FAE＝∠DAB＝90°．
∴△AEF是等腰直角三角形．
(2)∵四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，
∴正方形ABCD的面积为36．
∴AD＝6．
在Rt△ADE中，∵AD＝6，DE＝2，
∴AF＝AE＝＝2．
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝＝4．
24．(10分)在一个不透明的口袋里装有除颜色外其他无差别的黑、白两种颜色的球共5个．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 ，随机摸出一个球，摸到白球的概率是 0.6 ，摸到黑球的概率是 0.4 ；(均保留一位小数)
(2)试估算：口袋中有 2 个黑球，有 3 个白球；
(3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，两次摸到的球的颜色恰好相同的概率为多少？
解：(3)画树状图如图．
共有25种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色恰好相同的结果有13种，
∴P(两次摸到的球的颜色恰好相同)＝．
25．(12分)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于A，D两点，并经过点B，已知点A的坐标是(2，0)，点B的坐标是(8，6)．
(1)求二次函数的解析式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标及点D的坐标．
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将A(2，0)，B(8，6)代入y＝x2＋bx＋c，
得
解得
∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋6．
(2)∵y＝x2－4x＋6＝(x－4)2－2，
∴二次函数图象的顶点坐标为(4，－2)．
当y＝0时，有x2－4x＋6＝0，
解得x1＝2，x2＝6，
∴点D的坐标为(6，0)．
(3)存在．如图，连接CA．
∵点C在二次函数图象的对称轴x＝4上，
∴xC＝4，CA＝CD．
∴△CBD的周长为CD＋CB＋BD＝CA＋CB＋BD．
当A，C，B三点共线时，CA＋CB的长最小．
∵BD是定值，∴当A，C，B三点共线时，△CBD的周长最小．
设直线AB的函数解析式为y＝mx＋n．
把A(2，0)，B(8，6)代入y＝mx＋n，
得解得
∴直线AB的函数解析式为y＝x－2．
当x＝4时，y＝x－2＝4－2＝2．
∴当点C的坐标为(4，2)时，△CBD的周长最小．
26．(12分)小星学习二次函数后，设计了一个建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为了更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其解析式为y＝－x2＋2bx＋b－1(b＞0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋9．
把点A的坐标(3，0)代入，得9a＋9＝0，
解得a＝－1．
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋9．
(2)如图，作点A关于y轴的对称点A′(－3，0)，连接A′B交OC于点P，点P即为所求．
把x＝1代入y＝－x2＋9，得y＝8，
∴点B的坐标为(1，8)．
设直线A′B的解析式为y＝kx＋m．
∴解得
∴直线A′B的解析式为y＝2x＋6．
令x＝0，得y＝6，
∴点P的坐标为(0，6)．
(3)y＝－x2＋2bx＋b－1＝－(x－b)2＋b2＋b－1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为(b，b2＋b－1)．
当0＜b≤4时，得－62＋12b＋b－1≥9，解得b≥．∴≤b≤4．
当4＜b＜6时，
由b－4＞6－b，得b＞5，
∴－42＋8b＋b－1≥9，解得b≥．
∴5＜b＜6．
由b－4≤6－b，得b≤5，
∴－62＋12b＋b－1≥9，解得b≥．
∴4＜b≤5．
∴当4＜b＜6时，都成立．
当b≥6时，得－42＋8b＋b－1≥9，解得b≥，
∴b≥6时，都成立．
综上所述，b的取值范围为b≥．
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