2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 193.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-18 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l1：ax＋3y＋a2－5＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，若两条直线平行，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．3 D．－1或3
2．若直线4x＋3y－12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以AB为直径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－3x－4y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋3x＋4y＝0
D．x2＋y2＋4x＋3y＝0
3．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝
B．＝＋2＋3
C．＝＋＋
D．＝＋＋
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠CAA1＝∠BAA1＝60°，则异面直线BC1与AB1 所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
6．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝( )
A．－ B．
C． D．－
7．设A是抛物线C：y2＝－4x上的动点，B是圆M：(x＋8)2＋y2＝1上的动点，则|AB|的最小值为( )
A．－1 B．4－1
C．2－1 D．27
8．已知过点P(1，3)的直线l被圆(x－2)2＋y2＝4截得的弦长为2，则直线l的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－15＝0
C．3x＋4y－15＝0或x＝1
D．4x＋3y－13＝0或x＝1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆C1：x2＋y2＝9，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝9，且C1与C2交于P，Q两点，则下列结论正确的是( )
A．圆C1与圆C2关于直线PQ对称
B．线段PQ所在直线的方程为6x－8y－7＝0
C．圆C1与圆C2的公切线方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
D．若A，B分别是C1与C2上的动点，则|AB|的最大值为11
10．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，长方体的高为2，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列结论正确的是( )
A．EF⊥A1D
B．EF∥BD1
C．异面直线EF与CD所成角的余弦值为
D．平面EAC与平面ACD的夹角的正切值为
11．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且|PF1|＝|PF2|，cos ∠PF2F1＝，则下列结论正确的是( )
A．椭圆E的离心率为
B．椭圆E的离心率为
C．PF1⊥PF2
D．若△PF1F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝________．
13．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则＝________
14．已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C相交于A，B两点，且|AB|＝10．若线段AB的中点的横坐标为3，则p＝________；直线l的斜率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知空间中三点A(m，－1，2)，B(3，1，－4)，C(1，n，－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求m＋n的值；
(2)若n＝0，且的夹角是钝角，求实数m的取值范围．
16．(15分)已知圆C经过点A(0，2)和点B(1，3)，且圆心C在直线x－y－1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若线段DE的端点D的坐标是(4，3)，端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．
17．(15分)已知抛物线C：y2＝2px(0(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，求证：AB过定点．
18．(17分)如图，点E在△ABC内部，DE是三棱锥D-ABC的高，且DE＝2．△ABC是边长为6的正三角形，DB＝DC＝5，F为BC的中点.
(1)求证：点E在AF上；
(2)点G是棱AC上的一点(不含端点)，求平面DEG与平面BCD的夹角的余弦值的最大值．
19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且长轴长等于4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若·＝－，求k的值．
人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l1：ax＋3y＋a2－5＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，若两条直线平行，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．3 D．－1或3
C [因为l1：ax＋3y＋a2－5＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，
由l1∥l2可得a(a－2)－3×1＝0且4a－(a2－5)≠0，解得a＝3．]
2．若直线4x＋3y－12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以AB为直径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－3x－4y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋3x＋4y＝0
D．x2＋y2＋4x＋3y＝0
A [直线4x＋3y－12＝0与两坐标轴的交点分别为A(3，0)，B(0，4)，则以AB为直径的圆的圆心坐标为，半径为＝，故圆的标准方程为＋(y－2)2＝，化为一般式为x2＋y2－3x－4y＝0．]
3．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝
B．＝＋2＋3
C．＝＋＋
D．＝＋＋
D [由＝＋＋，得＝()＋()，即＝＋，所以A，B，C，M四点共面．]
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
C [因为焦距为2c＝10，所以c＝5，右焦点(5，0)，a2＋b2＝25．
双曲线C：－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，
所以右焦点到它的一条渐近线的距离为d＝＝＝b，
所以b＝4，a＝＝＝3，
所以离心率e＝＝．
故选C．]
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠CAA1＝∠BAA1＝60°，则异面直线BC1与AB1 所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
A [在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠CAA1＝∠BAA1＝60°.
设棱长为1，则＝＝＝，
所以·＝()·()＝······＝12＋1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－12＝－1．
而＝()2＝＋＋－2·＋2·－2·＝1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＝2，＝()2＝||2＋||2＋2·＝1＋1＋1＝3，
所以cos 〈〉＝＝＝－，所以异面直线BC1与AB1 所成角的余弦值为．故选A．]
6．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝( )
A．－ B．
C． D．－
D [ka＋b＝(－k＋1，k，2)，a－2b＝(－3，1，－4)，则＝＝，解得k＝－．
故选D．]
7．设A是抛物线C：y2＝－4x上的动点，B是圆M：(x＋8)2＋y2＝1上的动点，则|AB|的最小值为( )
A．－1 B．4－1
C．2－1 D．27
C [由圆M：(x＋8)2＋y2＝1，
可知圆心M(－8，0)，半径为1，
如图，设A，
则|AM|2＝＋m2＝m4－3m2＋64＝(m2－24)2＋28，
当m2＝24，即m＝－2时，
|AM|2取得最小值28，
所以|AM|min＝2，所以|AB|min＝2－1．]
8．已知过点P(1，3)的直线l被圆(x－2)2＋y2＝4截得的弦长为2，则直线l的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－15＝0
C．3x＋4y－15＝0或x＝1
D．4x＋3y－13＝0或x＝1
D [圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2，圆心到直线l的距离为d＝＝1．
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，此时圆心到直线l的距离为1，符合题意；
②若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，
圆心到直线l的距离为d＝＝＝1，解得k＝－．此时直线l的方程为4x＋3y－13＝0．
综上所述，直线l的方程为4x＋3y－13＝0或x＝1．故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆C1：x2＋y2＝9，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝9，且C1与C2交于P，Q两点，则下列结论正确的是( )
A．圆C1与圆C2关于直线PQ对称
B．线段PQ所在直线的方程为6x－8y－7＝0
C．圆C1与圆C2的公切线方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
D．若A，B分别是C1与C2上的动点，则|AB|的最大值为11
AD [如图所示，对于A，两圆的半径均为3，则PQ为线段C1C2的垂直平分线，故圆C1与圆C2关于直线PQ对称，A正确；
对于B，因为圆C1与圆C2相交，所以两个方程相减可得直线PQ的方程为6x－8y－25＝0，B错误；
对于C，因为圆C1与圆C2相交，所以两圆有两条公切线，
又两圆的半径相等，所以公切线与C1C2平行，即公切线的斜率k＝＝－，
设公切线方程为y＝－x＋b，即4x＋3y－3b＝0，所以3＝，解得b＝±5，所以C1与C2的公切线方程为4x＋3y－15＝0或4x＋3y＋15＝0，C错误；
对于D，|AB|的最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝＋3＋3＝11，D正确．]
10．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，长方体的高为2，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列结论正确的是( )
A．EF⊥A1D
B．EF∥BD1
C．异面直线EF与CD所成角的余弦值为
D．平面EAC与平面ACD的夹角的正切值为
BCD [以D为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，E，F，A1(1，0，2)，
所以＝(－1，－1，2)，＝＝(－1，0，－2)，＝(－1，1，0)，
＝(－1，－1，0)，＝(0，－1，0)．
因为·＝＋0－＝－1≠0，
所以EF⊥A1D不正确，故A不正确；
因为＝3，且BD1与FE不在同一条直线上，所以EF∥BD1，故B正确；
因为cos 〈〉＝＝，故C正确；
＝＝(－1，1，0)，
设平面EAC的法向量为m＝(x，y，z)，
则 不妨取x＝1，
则m＝(1，1，1)是平面EAC的一个法向量，
又平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
设平面EAC与平面ACD的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝，
所以sin θ＝＝，
则tan θ＝，故D正确．
故选BCD．]
11．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且|PF1|＝|PF2|，cos ∠PF2F1＝，则下列结论正确的是( )
A．椭圆E的离心率为
B．椭圆E的离心率为
C．PF1⊥PF2
D．若△PF1F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10
ACD [由|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝|PF2|，
解得|PF1|＝a，|PF2|＝a，则
cos ∠PF2F1＝
＝＝，整理得5a2＋18ac－35c2＝0，
即(a＋5c)(5a－7c)＝0，则a＝－5c(舍去)或a＝c，故椭圆E的离心率为，A正确，B不正确；
由a＝c，得|F1F2|＝2c＝a，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
故PF1⊥PF2，C正确；
由PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2，
得×(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×2
＝|PF1|×|PF2|，
即××2＝×a×a，
解得a＝7，又c＝a，故c＝5，
即椭圆E的焦距为10，D正确．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝________．
5 [a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，
c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，
设c＝ma＋nb，即(1，5，x)＝(m，－m，3m)＋(－n，4n，－2n)＝(m－n，4n－m，3m－2n)，
所以解得所以x＝5．]
13．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则＝________
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
作差得＋＝0，
所以kAB＝＝－×．
因为AB的中点坐标为M(1，－1)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
所以kAB＝＝kMF＝．]
14．已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C相交于A，B两点，且|AB|＝10．若线段AB的中点的横坐标为3，则p＝________；直线l的斜率为________．
4 ±2 [抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|＝10，
可得|AB|＝|AF|＋|FB|＝＝x1＋x2＋p＝10．
又＝3，则x1＋x2＝6，故p＝4，
此时抛物线C：y2＝8x，其焦点F(2，0)．
由题意可得直线l的斜率存在，
则其方程可设为y＝k(x－2),
由整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，
Δ＝64(k2＋1)>0，则
所以＝10，
即＝10，
即＝10，解得k＝±2．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知空间中三点A(m，－1，2)，B(3，1，－4)，C(1，n，－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求m＋n的值；
(2)若n＝0，且的夹角是钝角，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意可得＝(3－m，2，－6)，
＝(－2，n－1，3)．
因为A，B，C三点共线，
设＝k，所以
解得因此m＋n＝－1．
(2)若n＝0，则＝(－2，－1，3)．
因为的夹角是钝角，
则
解得m<13且m≠－1．
因此实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，13)．
16．(15分)已知圆C经过点A(0，2)和点B(1，3)，且圆心C在直线x－y－1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若线段DE的端点D的坐标是(4，3)，端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．
解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
故圆心为.
由题意得解得
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0．
(2)设点M的坐标是(x，y)，
点E的坐标是(x0，y0)．
因为点D的坐标是(4，3)，
且M是线段DE的中点，
所以x＝，y＝．
故x0＝2x－4，y0＝2y－3． ①
因为点E在圆C上运动，所以点E的坐标满足圆C的方程，
即－4x0－2y0＝0． ②
把①代入②，得(2x－4)2＋(2y－3)2－4(2x－4)－2(2y－3)＝0，
整理，得(x－3)2＋(y－2)2＝．
所以线段DE的中点M的轨迹方程为(x－3)2＋(y－2)2＝．
17．(15分)已知抛物线C：y2＝2px(0(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，求证：AB过定点．
(1)解：由题可知|y0|＝4，
则|DE|＝4，|DF|＝8＋．
因为|DE|＝|DF|，所以4＝，
平方后化简得p2－68p＋256＝0，
解得p＝4或p＝64．
因为0所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)证明：当直线l的斜率为0时，直线l与抛物线交于一点，不符合题意，所以直线l的斜率不为0，
可设直线l的方程为x＝my＋n(n≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x并整理得y2－8my－8n＝0，
Δ＝64m2＋32n.
当Δ>0时，由一元二次方程根与系数的关系可得
y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，
所以x1·x2＝·＝n2．
又OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝n2－8n＝0，
解得n＝8，此时满足Δ>0，
所以AB过定点(8，0)．
18．(17分)如图，点E在△ABC内部，DE是三棱锥D-ABC的高，且DE＝2．△ABC是边长为6的正三角形，DB＝DC＝5，F为BC的中点.
(1)求证：点E在AF上；
(2)点G是棱AC上的一点(不含端点)，求平面DEG与平面BCD的夹角的余弦值的最大值．
(1)证明：连接EF，DF.
因为DE是三棱锥D-ABC的高，即DE⊥平面ABC．
因为BC 平面ABC，
所以DE⊥BC．
因为DB＝DC＝5，F为BC的中点，
所以DF⊥BC．
因为DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以BC⊥平面DEF.
因为EF 平面DEF，
所以BC⊥EF.
又因为△ABC是边长为6的正三角形，BC的中点为F，
所以BC⊥AF，即点E在AF上．
(2)解：结合(1)得，AF＝3，DF＝＝4，EF＝＝2，AE＝AF－EF＝．
过点E作EH∥BC，交AC于点H，
结合(1)可知EF，EH，ED两两垂直，
所以以E为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(－，0，0)，B(2，－3，0)，C(2，3，0)，D(0，0，2)，
所以＝(－2，3，2)，＝(0，6，0)．
设平面BCD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝1，则z1＝，y1＝0，所以m＝(1，0，)是平面BCD的一个法向量．
因为＝(3，3，0)，＝(－，0，0)，
＝(0，0，2)，设＝λ，λ∈(0，1)．
所以＝＋λ＝(－，0，0)＋λ(3，3，0)＝(3λ－，3λ，0)．
设平面DEG的法向量为u＝(x2，y2，z2)，
则即
取x2＝，则y2＝－3，z2＝0，
所以u＝是平面DEG的一个法向量．
所以|cos 〈u，m〉|＝＝≤，当且仅当λ＝时，等号成立．
即平面DEG与平面BCD的夹角的余弦值的最大值为．
19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且长轴长等于4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若·＝－，求k的值．
解：(1)由题意可知，椭圆的长轴长2a＝4，得a＝2．
因为点在椭圆上，所以＋＝1，得b2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)由题意及直线l与圆O相切，得＝1，
即m2＝1＋k2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．
由题意可知圆O在椭圆内，所以直线l必与椭圆相交，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km·＋m2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝＋＝．
因为m2＝1＋k2，所以x1x2＋y1y2＝．
又因为·＝－，
所以＝－，k2＝，
则k的值为±．
1 / 19
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l1：ax＋3y＋a2－5＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，若两条直线平行，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．3 D．－1或3
2．若直线4x＋3y－12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以AB为直径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－3x－4y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋3x＋4y＝0
D．x2＋y2＋4x＋3y＝0
3．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝
B．＝＋2＋3
C．＝＋＋
D．＝＋＋
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠CAA1＝∠BAA1＝60°，则异面直线BC1与AB1 所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
6．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝( )
A．－ B．
C． D．－
7．设A是抛物线C：y2＝－4x上的动点，B是圆M：(x＋8)2＋y2＝1上的动点，则|AB|的最小值为( )
A．－1 B．4－1
C．2－1 D．27
8．已知过点P(1，3)的直线l被圆(x－2)2＋y2＝4截得的弦长为2，则直线l的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－15＝0
C．3x＋4y－15＝0或x＝1
D．4x＋3y－13＝0或x＝1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆C1：x2＋y2＝9，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝9，且C1与C2交于P，Q两点，则下列结论正确的是( )
A．圆C1与圆C2关于直线PQ对称
B．线段PQ所在直线的方程为6x－8y－7＝0
C．圆C1与圆C2的公切线方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
D．若A，B分别是C1与C2上的动点，则|AB|的最大值为11
10．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，长方体的高为2，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列结论正确的是( )
A．EF⊥A1D
B．EF∥BD1
C．异面直线EF与CD所成角的余弦值为
D．平面EAC与平面ACD的夹角的正切值为
11．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且|PF1|＝|PF2|，cos ∠PF2F1＝，则下列结论正确的是( )
A．椭圆E的离心率为
B．椭圆E的离心率为
C．PF1⊥PF2
D．若△PF1F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝________．
13．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则＝________
14．已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C相交于A，B两点，且|AB|＝10．若线段AB的中点的横坐标为3，则p＝________；直线l的斜率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知空间中三点A(m，－1，2)，B(3，1，－4)，C(1，n，－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求m＋n的值；
(2)若n＝0，且的夹角是钝角，求实数m的取值范围．
16．(15分)已知圆C经过点A(0，2)和点B(1，3)，且圆心C在直线x－y－1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若线段DE的端点D的坐标是(4，3)，端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．
17．(15分)已知抛物线C：y2＝2px(0
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，求证：AB过定点．
18．(17分)如图，点E在△ABC内部，DE是三棱锥D-ABC的高，且DE＝2．△ABC是边长为6的正三角形，DB＝DC＝5，F为BC的中点.
(1)求证：点E在AF上；
(2)点G是棱AC上的一点(不含端点)，求平面DEG与平面BCD的夹角的余弦值的最大值．
19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且长轴长等于4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若·＝－，求k的值．
人教A版数学选择性必修第一册期末综合检测练习卷
(时间：120分钟 分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线l1：ax＋3y＋a2－5＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，若两条直线平行，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．3 D．－1或3
C [因为l1：ax＋3y＋a2－5＝0，l2：x＋(a－2)y＋4＝0，
由l1∥l2可得a(a－2)－3×1＝0且4a－(a2－5)≠0，解得a＝3．]
2．若直线4x＋3y－12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以AB为直径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－3x－4y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋3x＋4y＝0
D．x2＋y2＋4x＋3y＝0
A [直线4x＋3y－12＝0与两坐标轴的交点分别为A(3，0)，B(0，4)，则以AB为直径的圆的圆心坐标为，半径为＝，故圆的标准方程为＋(y－2)2＝，化为一般式为x2＋y2－3x－4y＝0．]
3．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝
B．＝＋2＋3
C．＝＋＋
D．＝＋＋
D [由＝＋＋，得＝()＋()，即＝＋，所以A，B，C，M四点共面．]
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
C [因为焦距为2c＝10，所以c＝5，右焦点(5，0)，a2＋b2＝25．
双曲线C：－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，
所以右焦点到它的一条渐近线的距离为d＝＝＝b，
所以b＝4，a＝＝＝3，
所以离心率e＝＝．
故选C．]
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠CAA1＝∠BAA1＝60°，则异面直线BC1与AB1 所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
A [在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠CAA1＝∠BAA1＝60°.
设棱长为1，则＝＝＝，
所以·＝()·()＝······＝12＋1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－12＝－1．
而＝()2＝＋＋－2·＋2·－2·＝1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＝2，＝()2＝||2＋||2＋2·＝1＋1＋1＝3，
所以cos 〈〉＝＝＝－，所以异面直线BC1与AB1 所成角的余弦值为．故选A．]
6．已知向量a＝(－1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k＝( )
A．－ B．
C． D．－
D [ka＋b＝(－k＋1，k，2)，a－2b＝(－3，1，－4)，则＝＝，解得k＝－．
故选D．]
7．设A是抛物线C：y2＝－4x上的动点，B是圆M：(x＋8)2＋y2＝1上的动点，则|AB|的最小值为( )
A．－1 B．4－1
C．2－1 D．27
C [由圆M：(x＋8)2＋y2＝1，
可知圆心M(－8，0)，半径为1，
如图，设A，
则|AM|2＝＋m2＝m4－3m2＋64＝(m2－24)2＋28，
当m2＝24，即m＝－2时，
|AM|2取得最小值28，
所以|AM|min＝2，所以|AB|min＝2－1．]
8．已知过点P(1，3)的直线l被圆(x－2)2＋y2＝4截得的弦长为2，则直线l的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－15＝0
C．3x＋4y－15＝0或x＝1
D．4x＋3y－13＝0或x＝1
D [圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2，0)，半径为r＝2，圆心到直线l的距离为d＝＝1．
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，此时圆心到直线l的距离为1，符合题意；
②若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，
圆心到直线l的距离为d＝＝＝1，解得k＝－．此时直线l的方程为4x＋3y－13＝0．
综上所述，直线l的方程为4x＋3y－13＝0或x＝1．故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆C1：x2＋y2＝9，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝9，且C1与C2交于P，Q两点，则下列结论正确的是( )
A．圆C1与圆C2关于直线PQ对称
B．线段PQ所在直线的方程为6x－8y－7＝0
C．圆C1与圆C2的公切线方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
D．若A，B分别是C1与C2上的动点，则|AB|的最大值为11
AD [如图所示，对于A，两圆的半径均为3，则PQ为线段C1C2的垂直平分线，故圆C1与圆C2关于直线PQ对称，A正确；
对于B，因为圆C1与圆C2相交，所以两个方程相减可得直线PQ的方程为6x－8y－25＝0，B错误；
对于C，因为圆C1与圆C2相交，所以两圆有两条公切线，
又两圆的半径相等，所以公切线与C1C2平行，即公切线的斜率k＝＝－，
设公切线方程为y＝－x＋b，即4x＋3y－3b＝0，所以3＝，解得b＝±5，所以C1与C2的公切线方程为4x＋3y－15＝0或4x＋3y＋15＝0，C错误；
对于D，|AB|的最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝＋3＋3＝11，D正确．]
10．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，长方体的高为2，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列结论正确的是( )
A．EF⊥A1D
B．EF∥BD1
C．异面直线EF与CD所成角的余弦值为
D．平面EAC与平面ACD的夹角的正切值为
BCD [以D为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，E，F，A1(1，0，2)，
所以＝(－1，－1，2)，＝＝(－1，0，－2)，＝(－1，1，0)，
＝(－1，－1，0)，＝(0，－1，0)．
因为·＝＋0－＝－1≠0，
所以EF⊥A1D不正确，故A不正确；
因为＝3，且BD1与FE不在同一条直线上，所以EF∥BD1，故B正确；
因为cos 〈〉＝＝，故C正确；
＝＝(－1，1，0)，
设平面EAC的法向量为m＝(x，y，z)，
则 不妨取x＝1，
则m＝(1，1，1)是平面EAC的一个法向量，
又平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)，
设平面EAC与平面ACD的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝，
所以sin θ＝＝，
则tan θ＝，故D正确．
故选BCD．]
11．已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆E上一点，且|PF1|＝|PF2|，cos ∠PF2F1＝，则下列结论正确的是( )
A．椭圆E的离心率为
B．椭圆E的离心率为
C．PF1⊥PF2
D．若△PF1F2内切圆的半径为2，则椭圆E的焦距为10
ACD [由|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝|PF2|，
解得|PF1|＝a，|PF2|＝a，则
cos ∠PF2F1＝
＝＝，整理得5a2＋18ac－35c2＝0，
即(a＋5c)(5a－7c)＝0，则a＝－5c(舍去)或a＝c，故椭圆E的离心率为，A正确，B不正确；
由a＝c，得|F1F2|＝2c＝a，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
故PF1⊥PF2，C正确；
由PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2，
得×(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×2
＝|PF1|×|PF2|，
即××2＝×a×a，
解得a＝7，又c＝a，故c＝5，
即椭圆E的焦距为10，D正确．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝________．
5 [a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，
c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，
设c＝ma＋nb，即(1，5，x)＝(m，－m，3m)＋(－n，4n，－2n)＝(m－n，4n－m，3m－2n)，
所以解得所以x＝5．]
13．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(4，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则＝________
[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
作差得＋＝0，
所以kAB＝＝－×．
因为AB的中点坐标为M(1，－1)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
所以kAB＝＝kMF＝．]
14．已知直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C相交于A，B两点，且|AB|＝10．若线段AB的中点的横坐标为3，则p＝________；直线l的斜率为________．
4 ±2 [抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|＝10，
可得|AB|＝|AF|＋|FB|＝＝x1＋x2＋p＝10．
又＝3，则x1＋x2＝6，故p＝4，
此时抛物线C：y2＝8x，其焦点F(2，0)．
由题意可得直线l的斜率存在，
则其方程可设为y＝k(x－2),
由整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，
Δ＝64(k2＋1)>0，则
所以＝10，
即＝10，
即＝10，解得k＝±2．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知空间中三点A(m，－1，2)，B(3，1，－4)，C(1，n，－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求m＋n的值；
(2)若n＝0，且的夹角是钝角，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意可得＝(3－m，2，－6)，
＝(－2，n－1，3)．
因为A，B，C三点共线，
设＝k，所以
解得因此m＋n＝－1．
(2)若n＝0，则＝(－2，－1，3)．
因为的夹角是钝角，
则
解得m<13且m≠－1．
因此实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，13)．
16．(15分)已知圆C经过点A(0，2)和点B(1，3)，且圆心C在直线x－y－1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若线段DE的端点D的坐标是(4，3)，端点E在圆C上运动，求线段DE的中点M的轨迹方程．
解：(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
故圆心为.
由题意得解得
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0．
(2)设点M的坐标是(x，y)，
点E的坐标是(x0，y0)．
因为点D的坐标是(4，3)，
且M是线段DE的中点，
所以x＝，y＝．
故x0＝2x－4，y0＝2y－3． ①
因为点E在圆C上运动，所以点E的坐标满足圆C的方程，
即－4x0－2y0＝0． ②
把①代入②，得(2x－4)2＋(2y－3)2－4(2x－4)－2(2y－3)＝0，
整理，得(x－3)2＋(y－2)2＝．
所以线段DE的中点M的轨迹方程为(x－3)2＋(y－2)2＝．
17．(15分)已知抛物线C：y2＝2px(0
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，求证：AB过定点．
(1)解：由题可知|y0|＝4，
则|DE|＝4，|DF|＝8＋．
因为|DE|＝|DF|，所以4＝，
平方后化简得p2－68p＋256＝0，
解得p＝4或p＝64．
因为0
(2)证明：当直线l的斜率为0时，直线l与抛物线交于一点，不符合题意，所以直线l的斜率不为0，
可设直线l的方程为x＝my＋n(n≠0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x并整理得y2－8my－8n＝0，
Δ＝64m2＋32n.
当Δ>0时，由一元二次方程根与系数的关系可得
y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，
所以x1·x2＝·＝n2．
又OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝n2－8n＝0，
解得n＝8，此时满足Δ>0，
所以AB过定点(8，0)．
18．(17分)如图，点E在△ABC内部，DE是三棱锥D-ABC的高，且DE＝2．△ABC是边长为6的正三角形，DB＝DC＝5，F为BC的中点.
(1)求证：点E在AF上；
(2)点G是棱AC上的一点(不含端点)，求平面DEG与平面BCD的夹角的余弦值的最大值．
(1)证明：连接EF，DF.
因为DE是三棱锥D-ABC的高，即DE⊥平面ABC．
因为BC 平面ABC，
所以DE⊥BC．
因为DB＝DC＝5，F为BC的中点，
所以DF⊥BC．
因为DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以BC⊥平面DEF.
因为EF 平面DEF，
所以BC⊥EF.
又因为△ABC是边长为6的正三角形，BC的中点为F，
所以BC⊥AF，即点E在AF上．
(2)解：结合(1)得，AF＝3，DF＝＝4，EF＝＝2，AE＝AF－EF＝．
过点E作EH∥BC，交AC于点H，
结合(1)可知EF，EH，ED两两垂直，
所以以E为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(－，0，0)，B(2，－3，0)，C(2，3，0)，D(0，0，2)，
所以＝(－2，3，2)，＝(0，6，0)．
设平面BCD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝1，则z1＝，y1＝0，所以m＝(1，0，)是平面BCD的一个法向量．
因为＝(3，3，0)，＝(－，0，0)，
＝(0，0，2)，设＝λ，λ∈(0，1)．
所以＝＋λ＝(－，0，0)＋λ(3，3，0)＝(3λ－，3λ，0)．
设平面DEG的法向量为u＝(x2，y2，z2)，
则即
取x2＝，则y2＝－3，z2＝0，
所以u＝是平面DEG的一个法向量．
所以|cos 〈u，m〉|＝＝≤，当且仅当λ＝时，等号成立．
即平面DEG与平面BCD的夹角的余弦值的最大值为．
19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且长轴长等于4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若·＝－，求k的值．
解：(1)由题意可知，椭圆的长轴长2a＝4，得a＝2．
因为点在椭圆上，所以＋＝1，得b2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)由题意及直线l与圆O相切，得＝1，
即m2＝1＋k2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．
由题意可知圆O在椭圆内，所以直线l必与椭圆相交，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km·＋m2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝＋＝．
因为m2＝1＋k2，所以x1x2＋y1y2＝．
又因为·＝－，
所以＝－，k2＝，
则k的值为±．
1 / 19