2025-2026学年八年级数学上册期末考点复习题--北师大版（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年八年级数学上册期末考点复习题--北师大版（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-17 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年八年级数学上册期末考点复习题
一．选择题
【考点1】二次根式有意义的条件
1．若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的平方根为（ ）
A． B．8 C． D．
【考点2】判断命题真假、命题的构成、举反例
1．下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（ ）
A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角
3．举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
【考点3】算术平方根的非负性
1．已知，那么的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．在平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点P关于x轴的对称点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点4】实数的大小比较
1．下列各数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列4个数中，最大的数是( )
A． B． C．0 D．2
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，若，则c的值可能是（ ）
A． B．5 C． D．
【考点5】勾股数
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，5 B．0.3 C．5，6，8 D．8，15，17
3．下列各数组中，是勾股数的是（ ）
A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6
【考点6】两直线的交点与二元一次方程组的解
1．已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，直线和与轴围成的三角形面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【考点7】用勾股定理解三角形
1．已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
2．一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（ ）
A．25 B．5 C．5或 D．5或7
3．如图，在四边形中，，，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点8】坐标与图形变化 —— 轴对称
1．已知点和点关于轴对称，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知点与点关于y轴对称，则的值为（ ）
A．1 B． C．7 D．
3．若点的坐标是，点的坐标是，则与满足（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．轴 D．轴
【考点9】根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点10】根据要求选择合适的统计量
1．某次数学竞赛，人进入复赛，其中前名都能获奖，小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道人复赛成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．最高分
2.课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：min），数据如下：，则这组数据的上四分位数是（ ）
A． B． C． D．
3．某市 2024 年秋一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．34， 31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
【考点11】根据实际问题列二元一次方程组
1．《孙子算经》中的一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．《算法统宗》注：明代时1斤两，故有“半斤八两”．这个成语其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点12】根据一次函数增减性求参数
1．已知，是一次函数图象上两点，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，在一次函数的图象上，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点13】求最短路径
1．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
2.已知点、，点在轴上，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点14】根据两条直线的交点与方程组的解
1．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ）
A． B．5 C． D．7
2．已知两个函数图象的表达式分别为，，，与相交于，则的值为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
3．在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（ ）
A．300 B．400 C．360 D．320
【考点15】行程问题
1．在一条笔直的公路上两地相距，甲车从地开往地，乙从地开往地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲车的速度比乙的速度慢
B．甲车出发1小时后乙才出发
C．乙车行驶了或时，甲、乙两车相距
D．乙车到达地时，甲车还有1小时到达地
2．甲、乙两车沿同一条路同时出发前往B地，甲车到达B地后立即以原速沿原路返回，乙车到达B地后停止运动．两车距B地的距离，与甲车行驶时间的函数图象如图所示，下列正确的是（ ）
A． B．
C．返程时 D．两次相遇的时间间隔为
二.填空题
【考点16】无理数整数部分的有关计算
1．请写出一个整数部分为的无理数： ．
2．已知的整数部分是，则
3．任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的纯小数部分的和的形式，例如：．则的整数部分为 ，小数部分为 ．
【考点17】平方根概念理解
1．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为 ．
2．已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ．
3．若一个正数的两个不同平方根分别是和，则 ．
【考点18】利用二次根式的性质化简
1．如果都是二次根式，则 ．
2．若 且a小于1，则a的值是 ．
3．已知，化简： ．
【考点19】用勾股定理解三角形
1．如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为 ．
2．月日至日，广东国际旅游产业博览会在广州举行．在展览会现场，有一个如图所示的三角形模型，已知，，则BC边上的高为 ．
3．如图，在 ABC中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为 ．
【考点20】已知点所在的象限求参数
1．已知直线轴，点M的坐标为，并且线段，则点N的坐标为 ．
2．已知点在y轴上，则 ．
3．平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ．
【考点21】一次函数图象平移问题
1．将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ．
2．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ．
3．在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ．
【考点22】几何问题（二元一次方程组的应用）
1．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为 （用含a，b的式子表示）．
2．如图是王伯伯家的长方形茶园，长为120米，宽为90米，为了方便顾客前来品茶，他计划将茶园中五块完全相同的长方形区域建造成茶室，让顾客在茶室品茶赏景，则茶室的总面积为 平方米
3．如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度（，），得到正方形及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为，．已知正方形内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是 ．
【考点23】勾股定理与折叠问题
1．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点恰好落到边的点处．如果，，那么 ．
2．如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ．
3．如图所示，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将 ABC沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ．
【考点24】一次函数与几何综合
1．如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为 ．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形，点是上一个动点，过点作于点，点在的延长线上，且，则的最小值为 ．
3．在平面直角坐标系中，点，点，直线，若A、B两点到直线l的距离相等，则k的值为 ．
三．解答题
【考点25】解二元一次方程组
1．解方程组：
(1)； (2)
2．解下列方程组：
(1)； (2)．
3．解方程组：
(1) (2)；
【考点26】二次根式的混合运算
1．计算．
(1) (2)
2.计算：
(1)； (2)．
【考点27】数据的分析基本应用
1．某班级学生数学成绩如下（单位：分）：
(1)计算平均数、中位数和众数；
(2)画出频数分布表（分，，，四组，每组包含较小数不包含较大数）．
2．为了加强安全教育，某校组织七、八年级开展以“急救安全注意事项”为主题知识竞赛．现从该校A、B两班参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A班10名学生的竞赛成绩是：6，7，7，8，9，9，9，9，10，
A、B两班抽取学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
A班 9 b
B班 a 10
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)若将平均数、中位数、众数依次按、、的权重计算A、B两班的成绩，请通过计算说明哪个班的成绩高？
3．老师记录了全班名学生跳绳的次数：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
(1)求全班学生跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值．
(2)老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为 ，其中 ， ， ．
(3)如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？
(4)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？
(5)若将数据改为，则的值 ，的值 ，的值 填“不变”“变小”“变大”或“不确定”
【考点28】画轴对称图形、坐标与图形变化
1．如图， ABC三个顶点都在格点上．
(1)画出 ABC关于y轴对称的，并写出的各顶点坐标；
(2)在x轴上找一点P，使最小；
2．如图， ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：．
(1)作出 ABC关于y轴对称的图形，并请写出点的坐标；
(2)求 ABC的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为．
(1)在图中作出 ABC关于y轴的对称图形（不写作法）
填空：点的坐标为______，点的坐标为______，点C关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为）对称的点的坐标______．
(2)求 ABC的面积．
【考点29】平行线的性质与三角形内角和定理的应用
1．如图，在 ABC中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证：
(1)； (2)； (3)．
2．如图，在 ABC中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，平分，求线段的长度．
3．如图， ABC中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且．
(1)求证：； (2)若，试求的长．
【考点30】勾股定理与折叠问题
1．如图，已知直线与轴、轴分别交于点，，再将 AOB沿直线折叠，使点与点重合，折痕与轴交于点，与交于点．
(1)点的坐标为 ；点的坐标为 ；
(2)求的长度，并求出此时直线的解析式．
2．如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点．
(1)求的面积． (2)求折痕的长．
3．如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．
(1)求线段的长；
(2)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设．
①求证四边形为菱形；
②是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【考点31】方案问题、和差倍分问题
1．某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材．
(1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？
(2)这些木材最多能生产多少张方桌？
2．已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题：
(1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨；
(2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？
3．某食品配送公司需将152箱食品运送到两个社区中心和．公司有大卡车和小卡车共15辆，恰好能一次性运完所有食品．已知每辆大卡车载货12箱，每辆小卡车载货8箱．大卡车运往中心的费用为800元/辆，运往中心的费用为900元/辆；小卡车运往中心的费用为400元/辆，运往中心的费用为600元/辆．根据上述信息，解答下列问题：
(1)求这15辆车中，大卡车和小卡车各有多少辆；
(2)现安排其中10辆卡车前往中心，其余卡车前往中心．设前往中心的大卡车为辆，前往两中心的总运费为元，求出与的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若运往中心的食品不少于100箱，如何调配卡车使总运费最少，并求出最少费用．
【考点32】一次函数的图象与性质综合
1．如图，直线与轴、轴分别交于点，．
(1)求的值；
(2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标．
2．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题：
(1)画出一次函数的图像；
(2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________；
(3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与两坐标轴分别相交于A、B两点，直线与相交于点．
(1)直接写出A、B两点的坐标；
(2)若直线将的面积分成的两部分，求直线的函数关系式．
【考点33】分配方案问题、销售利润问题
1．为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．
(1)求篮球和排球的价格分别为多少元？
(2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．
2．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
3．开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元．
(1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？
(2)该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？
【考点34】勾股定理综合应用
1．如图，已知点A，B为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点A作于点C，过点B作于点D，点F是线段上一点，连接交于点
(1)有下列条件：①点F是的中点；②点E是的中点；③点E是的中点．请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程；
(2)若，且，，，求的长．
2．如图，在 ABC中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接．
(1)求证：≌；
(2)试说明：；
(3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值．
3．如图，在 ABC中，于点，，．
(1)求的长；
(2)若点是射线上的一个动点，过点作于点．
①当点在线段上时，若，求的长；
②设直线交射线于点，连接，若，求的长．
【考点35】一次函数与几何综合
1．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当的面积时，
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，连接．直线与直线交于点，在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N．
(1)求m的值及的面积；
(2)若，求a的值；
33．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点．
(1)求点的坐标及直线的表达式；
(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
【考点1】二次根式有意义的条件
1．A
解：由题意可知：，
解得：；
故选：A．
2．A
解：选项A：，故一定有意义；
选项B：当时，，故不一定有意义；
选项C：当时，，故不一定有意义；
选项D：，故仅在时有意义，
故选：A．
3．D
∵ 使 和 有意义，需 且 ，
∴ 且 ，
∴ ．
当 时，．
∴ ．
∴ 的平方根为 ．
故选D．
【考点2】判断命题真假、命题的构成、举反例
1．A
解：A.图中均为的两个角相等，但不是对顶角，可说明“相等的角是对顶角”是假命题，符合题意；
B. 图中均为的两个角相等，且是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意；
C. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意；
D. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意．
故选：A．
2．D
解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角，
∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角．
故选：D．
3．A
解：A．当时，，而，说明命题“若，则”为假命题，符合题意；
B．当时，，而，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
C．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
D．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
故选：A．
【考点3】算术平方根的非负性
1．D
解：∵且，且，
∴ 且，
∴ ，即，
，即，
∴，
∴ ，
故选：D．
2．B
解：∵，
∴，，
∴，，
∴
故选：B．
3．D
解：∵，
∴，，
∴，，
∴关于x轴的对称点为，所在的象限是第四象限．
故选：D
【考点4】实数的大小比较
1．C
解：，
∵，
∴，
∵最小的是，
故选C．
2．B
解：
∴最大的数是，
故选：B．
3．C
解：由数轴图知：
∵
∴．
A、，故A选项不符合题意；
B、 ，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、，故D选项不符合题意．
故选：C．
【考点5】勾股数
1．B
解：A、，，都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；
B、，且都是正整数，所以是勾股数，故符合题意；
C、，不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；
D、，，可能不是正整数，故不符合题意．
故选：B．
2．D
解：勾股数需为正整数且满足．
A．，所以不是勾股数．
B．0.3, 0.4, 0.5 不是正整数，所以不是勾股数．
C．，所以不是勾股数．
D．，且均为正整数，所以是勾股数．
故选：D．
3．C
解：A、是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意；
B、是无理数，故1，，2不是勾股数，该选项不符合题意；
C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意．
D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意．
故选：C．
【考点6】两直线的交点与二元一次方程组的解
1．A
∵ 方程 可变形为 ，
方程 可变形为 ，
∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标．
又∵ 两函数图像交于点 ，
∴ 方程组的解为 ．
故答案为：A．
2．B
当时，，
∴．
将两个函数关系式联立，得，
即，
解得，
∴，
∴．
故选：B．
3．D
解：把代入得：，
∴，
联立，
解得
∴点的坐标为，
当直线经过点，则，
解得，
当直线经过点，则，
解得：，
∵直线与线段有交点，
∴的取值范围为或．
故选：D．
【考点7】用勾股定理解三角形
1．D
解：设该直角三角形的两直角边的长为a和b，斜边长为c，
由勾股定理得，
∵该直角三角形三边长的平方和为800，
∴，
∴，
∴
∴或（舍去），
∴该直角三角形的斜边长为20，
故选：D．
2．C
解：当为斜边时，，
解得，（舍去），
当4为斜边时，，
解得，（舍去），
综上所述，的值是5或．
故选：C．
3．A
解：，
，
，且,
，
，
，
即是直角三角形，
在中，
，即：，
，
，
故选：A．
【考点8】坐标与图形变化 —— 轴对称
1．A
解：点与关于轴对称，
，，
解得，，
则．
故选：A．
2．A
解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∴
故选：A．
3．A
解：点的坐标是，点的坐标是，
点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
这两个点关于轴对称，
故选：．
【考点9】根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．D
解：若、时，
则一次函数经过一、二、三象限，经过二、四象限，
若、时，
则一次函数经过一、三、四象限，经过一、三象限，
若、时，
则一次函数经过一、二、四象限，经过一、三象限，
若、时，
则一次函数经过二、三、四象限，经过二、四象限，
故选：D．
2．C
解：由已知得，，
∴函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
3．C
解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【考点10】根据要求选择合适的统计量
1．C
解：∵总人数为奇数，
∴中位数是第名的成绩，
∵前名都能获奖，
∴若小明的成绩高于中位数，则其排名高于第名，一定在前名，一定能获奖；若成绩不高于（小于或等于）中位数，则一定不能获奖，
∴中位数是判断是否获奖最相关的统计量．
平均数、众数、最高分均无法反映具体排名信息，故不能用于判断．
故选：C．
2．B
解：∵ 数据：，
∴ 排序后：，
∵ 数据个数 为偶数，中位数 为第和第个数据的平均值，即 ，
∴ 上半部分数据为：，
∵ 上半部分数据个数为，中位数 为第和第个数据的平均值，即 ，
∴ 上四分位数为 ，
故选：B．
3．C
解：将数据从小到大排列：30，31，31，31，32，34，35．
∵数据个数为7，是奇数，
∴中位数为第4个数，即31；
∵31出现3次，次数最多，
∴众数为31；
因此中位数和众数都是31．
故选：C．
【考点11】根据实际问题列二元一次方程组
1．A
解：设绳长为尺，木长为尺．
∵用绳子量木，余绳尺，
∴，即．
∵将绳子对折量木，长木还剩余1尺，即木长比对折绳长长1尺，
∴，即．
故另一个方程是，
故选：A．
2．A
解：设清酒斗，醑酒斗，
由题意可得，，
故选：A．
3．D
解：设共有银子x两，人数为y．
每人分7两剩余4两：总银两，变形得．
每人分9两差8两：总银两，变形得．
联立方程组：．
故选：D．
【考点12】根据一次函数增减性求参数
1．D
解：当时，，随的增大而减小，
，得．
故选：D．
2．B
解：∵一次函数的图像与轴的负半轴相交，
∴.
∵一次函数,函数值随自变量的增大而减小，
∴，
解得.
故选：B.
3．B
解：当时，，随的增大而减小，
，得．
故选：B．
【考点13】求最短路径
1．B
解：如图，在上截取，连接，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴此时有，即，
∴，
∴的最小值为，
故选：B．
2．A
取B点关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点M，如图，
即根据对称的性质有，
∴，
在x轴上另取一点N，如图，
即根据对称的性质有，
∴，当A、N、三点共线时取等号，
即M点满足取最大值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故选：A．
3．A
解：对于直线 ，
当时，；当时，，
∴，，
由中点坐标公式得，，
则点Ｅ关于ｘ轴对称的点的坐标为，
连接交ｘ轴于点Ｐ，则，
当三点在同一条直线上时最小，最小值为，
∵
故选：A．
【考点14】根据两条直线的交点与方程组的解
1．A
解：∵将直线向右平移个单位后得到直线，
∴直线的解析式为，
即直线的解析式为，
，解得：，
∵直线与直线：交于点，
∴，
，
当时，，解得：，
，
当时，，解得：，
∵直线，分别交轴于点，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故选：A．
2．C
解：，，，与相交于，
，，
①②，得，
，
，
故选：．
3．B
解：令，
解得：，
把代入得：，
∴两条直线的交点为，
把分别代入，得：，，
∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，，
∴y轴上的“美点”有；
对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，因此在上有“美点”的个数为：（个），
对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，因此在上有“美点”的个数为：个，
∴“美点”的个数为：（个）．
故选：B．
【考点15】行程问题
1．C
解：由图象可知：甲车的速度为，乙车的速度为，
∴甲车的速度比乙的速度慢，故A正确；
∴，
∴，即甲车出发1小时后乙才出发；故B正确；
设甲车所作直线的函数解析式为，把点代入可得：，
解得：，
∴甲车所作直线的函数解析式为，
同理可得乙车所作直线的函数解析式为，
∴，
解得：或，
∴甲车行驶了或时，甲、乙两车相距；故C错误；
乙车到达地，甲行驶了小时，其路程为，则还需到达地；故D正确；
故选：C．
2．D
解：由题意可知，，故A错误；
乙车的速度为：，
，故B错误；
设甲在返程时的函数解析式为，
把和代入解析式得：，
解得，
，故C错误；
甲车的速度为，
甲车前往B地时，，
两车第一次相遇：，
解得；
两车第二次相遇：，
解得：，
两车两次相遇的时间间隔为：，故D正确．
故选：D
二．填空题
【考点16】无理数整数部分的有关计算
1．（答案不唯一）
解：设这个无理数为，
这个无理数的整数部分为，
，即，
，
故答案为：（答案不唯一）．
2．4
解：∵，
，
∴的整数部分是4，
故答案为：4．
3． 2
解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
故答案为：，．
【考点17】平方根概念理解
1．
解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
故答案为：．
2．0
解：∵被开方数，且，
∴，
∴，即，
代入原式得，
∴，
∵的平方根等于它本身，
∴，
则，
故答案为：．
3．2
解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，
，
解得，
故答案为：2．
【考点18】利用二次根式的性质化简
1．
解：都是二次根式，
，
解得：，
．
故答案为：．
2．
解：∵，
∴，
∴，
∵a小于1，
∴，
故答案为：．
3．6
解：∵，
∴，
∴；
故答案为：6．
【考点19】用勾股定理解三角形
1．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
2．
解：如图，过作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3．
解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点20】已知点所在的象限求参数
1．或
解：∵直线轴，点M的坐标为，，
∴或，
∴点N的坐标为或；
故答案为：或．
2．
解：点在y轴上，
，
解得：，
故答案为：．
3．
∵点在第一象限，
∴且．
∵点到两坐标轴的距离相等，
．
由于点在第一象限，且，
故．
解方程：，得．
代入得横坐标，纵坐标
∴点的坐标为．
故答案为．
【考点21】一次函数图象平移问题
1．
解：∵ 一次函数向左平移1个单位长度，
∴ 解析式变为．
∵ 再向上平移2个单位长度，
∴ 解析式变为．
∵ 平移后的图象经过原点，
∴ 把，代入，得．
∴ ．
故答案为：．
2．1
解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度得：
，
∵平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，
∴，，
即，，
∴，
故答案为：1．
3．
解：根据题意，设，则，
∵点，关于轴对称，
∴，
解得．
故．
故答案为：．
【考点22】几何问题（二元一次方程组的应用）
1．
解：∵有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，
∴，
∴两式相加，得，
∴，
故答案为：．
2．1080
解：设每块小长方形茶室的长为米，宽为米．由题意得
解得
每块小长方形面积为（平方米）
五块总面积为（平方米）
故答案为：．
3．
解：由点A到可得方程组，
由B到可得方程组，
解得，
设点的坐标为，
点点重合得到方程组，
解得 ，
即．
故答案为：.
【考点23】勾股定理与折叠问题
1．3
解：设线段的长度为，
是直角三角形，，，
，
根据折叠，可知，
，
在中，由勾股定理可知，
解得，
线段的长度为．
故答案为：3．
2.
解：由题意得，，
由折叠的性质可得，，，
，，
；
∵，
∴，
；
设，则，
在中，由勾股定理得
，
解得
故答案为：．
3．或
解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当时，
解得，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，，
如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，
设点C的坐标为，
∵将 ABC沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，
设点C的坐标为，
∵将 ABC沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为或，
故答案为：或．
【考点24】一次函数与几何综合
1．或
解：直线交轴于点，交轴于点，
当时，，当时，，解得，
点的坐标为，点的坐标为，
点是轴上一点（不与点A重合），且，
点在点右侧，
设点的坐标为，
则，
整理得，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
2．
解：如图，连接，
∵直线分别交x轴，y轴于A，B两点，
当时，，当时，，则，，
∵C是的中点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴四边形是平行四边形，
要使的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，
∵点在的延长线上，且，
又∵点，
根据勾股定理可得
此时，，
即的最小值为
故答案为：．
3．或
解：当点位于直线l的两侧，直线l交于点，如图：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
将代入，则，
解得；
当点位于直线l的同侧，此时，
设直线，则代入点，点，
，
解得，
∴，
故的值为或
故答案为：或．
三．解答题
【考点25】解二元一次方程组
1．（1）解：，
将①代入②可得，解得：，
将代入①可得，
故方程组的解为：．
（2）解：，
整理①得：③，
得：，解得：，
把代入②得，，
∴方程组的解为．
2．（1）解：
把②代入①可得：，
解得：，
把代入②得：，
原方程组的解为；
（2）解：
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为
3．（1）解：原方程组可化简为，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
，得，
，得，
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得，
∴原方程组的解是.
【考点26】二次根式的混合运算
1．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【考点27】数据的分析基本应用
1．（1）解：平均数为，
成绩由低到高排列为，，，，，，，，，，
∴中位数为，
∵数据中出现的次数最多，
∴众数为；
（2）解：画频数分布表如下：
分组
人数（频数）
2．（1）解：班成绩的中位数，A班成绩的众数，
故答案为：，9；
（2）解：依题意，
A班的成绩为：（分），
B班的成绩为：（分），
，
班的成绩高．
3．（1）解：∵原数据已经按从小到大排列好了，
∴最小值为，最大值为，
∵，
又∵第10个、第11个数据分别为，，
∴下四分位数，
∵，
又∵第20个、第21个数据分别为，，
∴中位数，
∵，
又∵第30个、第31个数据分别为，，
∴上四分位数，
故答案为：全班学生跳绳次数的最小值为，，，，最大值为.
（2）解：这种图称为箱线图，其中，，分别对应上四分位数、中位数、下四分位数，即，，.
故答案为：箱线图；144；136；132.
（3）解：“下半截箱子”比较短，说明下四分位数到中位数之间的数据范围小，数据更集中，
∴可以说明跳绳成绩在132到136之间的学生成绩差距较小（答案不唯一）.
（4）解：∵“下半截箱子”比较短，箱子底部到最小值的距离比顶部到最大值的距离短，说明中位数后的数据多数值较大，
∴平均数中位数.
（5）解：∵，，分别对应上四分位数、中位数、下四分位数，四分位数是将有序数据分为四等份的三个分割点，其计算是基于数据的相对位置，
∴只要改变的数据仍位于数据范围的同一四分位内（不包括分割点），四分位数会保持稳定，
∵数据改为，其仍为最大值，
∴的值不变，的值不变，的值不变.
故答案为：不变；不变；不变.
【考点28】画轴对称图形、坐标与图形变化
1．（1）解：如图，即为所求作：
，，；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求；
连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
2．（1）解：如图所示，即为所求，；
（2）解： ABC的面积为．
3．（1）解：如图，即为所求；
由图可知：，点C关于直线n对称的点的坐标为．
故答案为：；；．
（2）解：
．
【考点29】平行线的性质与三角形内角和定理的应用
1．（1）证明：平分，
．
在和中，
，
．
（2）证明：∵
．
，，
，，
，
．
；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
2．（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴．
3．（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【考点30】勾股定理与折叠问题
1．（1）解：对于，当时，，解得，当时，解得，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
故答案为：（4，0）；（0，3）；
（2）解：设的长为，由折叠可知，
，
．即，
解得，
的长为．
点的坐标为
设直线的解析式为，
将，代入得
．
解得，
直线的解析式为．
2．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，设，
∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点．
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，，
∴，
∵，
∴．
3．（1）解：如图1中，
四边形是矩形，，，
，，，
由翻折可知：．，
设，则．
在中，，
，
在中，则有：，
，
；
（2）①证明：如图2中，
四边形是矩形，
，
，
由折叠得，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
②是直角三角形，，
只有或．
如图中，当时，
由（1）得，,，
∴,
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
如图中，当时，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或2．
【考点31】方案问题、和差倍分问题
1．（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，
根据题意，得，
解得
故用的木材做桌面，的木材做桌腿．
（2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。
最多能生产的方桌为（张），
所以这些木材最多可做方桌300张．
2．（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨．
根据题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨；
（2）解：由（1）得1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨；
∵租用m辆A型车，n辆B型车,
根据题意得：，
，
又、n均为正整数，
或，
该物流公司共有2种租车方案，
方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；
方案2：租用2辆A型车，6辆B型车．
选择方案1所需租车费用为（元）；
选择方案2所需租车费用为（元）．
，
最少租车费是9200元．
3．（1）解：设大卡车有辆，小卡车有辆，根据题意得
解得
答：大卡车有8辆，小卡车有7辆．
（2）解：
，
∵x应满足，
∴，
∴与的函数解析式为（，x为整数）
（3）解：由题意，得，
∴，
∵
，且为整数
∵在函数中，随减小而减小，
∴当时，y有最小值，为，
此时，，．
答：5辆大卡车前往中心A，3辆大卡车前往中心B，5辆小卡车前往中心A，2辆小卡车前往中心B，这样调配卡车总运费最少，最少费用为9900元．
【考点32】一次函数的图象与性质综合
1．（1）解：将点代入，得，
解得
（2）由（1）知，直线的函数表达式为
将代入，得，所以点的坐标为，
设点的坐标为
的面积为2， ，解得，
①将代入，得，
所以点的坐标为；
②将代入，得，
所以点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
2．（1）解：令，解得，令，则，
一次函数的图像如图：
（2）解：令，解得，令，则，
直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，
函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是；
故答案为：4；
（3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即，
令，则，解得；令，则；
，，
设点P的坐标是，
由题意得，
解得或，
∴点P的坐标是或．
3．（1）解：在中，令，得，
令，得，解得，
，；
（2）解：，，
，，
，
设C点的坐标为，
，
将的面积分成的两部分，
或，
或，
解得：或4，
或，
设直线的解析式为，
或，
解得或
直线的解析式为或．
【考点33】分配方案问题、销售利润问题
1．（1）解：设篮球的价格为元，排球的价格为元，由题意，得：
，解得：，
答：篮球的价格为元，排球的价格为元；
（2）解：设购进篮球个，则购进排球个，设总利润为元，由题意，得：，
整理，得：，
∵商场所有购买方案获利相同，
∴的值与无关，
∴，
∴．
2．（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件，
根据题意得：，
解得
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得：
，
随m的增大而增大，
，
当时，W有最大值，
此时件
答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元．
3．（1）解：设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个，
根据题意，可得，解得．
答：修正带进价为8元／个，笔袋进价为10元／个．
（2）解：设文具店修正带进货量为个，总利润为元，
则
，
，
随着的增大而减少，
又修正带的进货量不低于350个，且不高于450个，即，
当修正带的进货量为350个时，总利润的最大值为3650元．
答：该文具店总利润的最大值是3650元．
【考点34】勾股定理综合应用
1．（1）解：选择②或③，
选择②时：，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
；
选择③时，，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
，
，，
，
在中，
．
2．（1）证明：，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，且，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，是等腰直角三角形，且，
，，
，
由（1）可知，≌，
，，
，
，
，
；
（3）解：和是等腰直角三角形，，，
，，
，，，
分两种情况：
①如图，点在延长线上时，过点作于点，
，
，
，
，
，
由（2）可知，，，
；
②如图，点在延长线上时，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
同（2）得：，
；
综上所述，的值为或．
3．（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：；
（2）解：①在中，由勾股定理得：．
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
②分两种情况：
如图，当点在线段上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在线段的延长线上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【考点35】一次函数与几何综合
1．（1）解：，
∴当时，，当时，，解得：，
∴；
（2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合），
设点的横坐标为，过点作轴，
∴点坐标为，
∴的面积：
∴的面积与之间的函数关系式为；
（3）解：①．
理由如下：当的面积时，
，解得：，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴；
②存在，
过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况：
情况一：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°，
∴∠AFE=∠PAG，
在和中，
，
∴≌（AAS），
∴，
∴点
情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS），
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
2．（1）解：∵直线与直线交于点，
∴把点E的坐标代入直线：得：，
∴，
∴把点E的坐标代入直线：得：，
解得：，
∴直线：，
∵直线：与x轴，y轴分别交于点A，B，
令，则；令，则，
∴，，
∵直线：与x轴，y轴分别交于点C，D，
令，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵轴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，则点为的中点，
∵点，，
∴M点的横坐标为，
∴a的值为；
3.（1）解：当时，，
解得：，即点，
∵直线经过点，
∴，
解得：，
则直线的表达式为：．
（2）当中时，，解得
∴，
当中时，，解得
∴，
当时，为直角三角形，
此时，则，
故；
当时，为直角三角形，过作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，得，
∴，
综上，点E的坐标为或；
（3）存在，理由：
当点P在y轴左侧时，
∵，则，
即，
设，
由点A，P，C的坐标得，，，
得，即点；
当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时
综上，存在，点的坐标为或
一．选择题
【考点1】二次根式有意义的条件
1．若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的平方根为（ ）
A． B．8 C． D．
【考点2】判断命题真假、命题的构成、举反例
1．下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（ ）
A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角
3．举反例是判断一个命题为假命题时常用的方法．如判断命题“若，则”为假命题时，下列选项中可作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
【考点3】算术平方根的非负性
1．已知，那么的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．在平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点P关于x轴的对称点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点4】实数的大小比较
1．下列各数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列4个数中，最大的数是( )
A． B． C．0 D．2
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，若，则c的值可能是（ ）
A． B．5 C． D．
【考点5】勾股数
1．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，5 B．0.3 C．5，6，8 D．8，15，17
3．下列各数组中，是勾股数的是（ ）
A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6
【考点6】两直线的交点与二元一次方程组的解
1．已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，直线和与轴围成的三角形面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【考点7】用勾股定理解三角形
1．已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
2．一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（ ）
A．25 B．5 C．5或 D．5或7
3．如图，在四边形中，，，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点8】坐标与图形变化 —— 轴对称
1．已知点和点关于轴对称，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知点与点关于y轴对称，则的值为（ ）
A．1 B． C．7 D．
3．若点的坐标是，点的坐标是，则与满足（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．轴 D．轴
【考点9】根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点10】根据要求选择合适的统计量
1．某次数学竞赛，人进入复赛，其中前名都能获奖，小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道人复赛成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．最高分
2.课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：min），数据如下：，则这组数据的上四分位数是（ ）
A． B． C． D．
3．某市 2024 年秋一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．34， 31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
【考点11】根据实际问题列二元一次方程组
1．《孙子算经》中的一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．《算法统宗》注：明代时1斤两，故有“半斤八两”．这个成语其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点12】根据一次函数增减性求参数
1．已知，是一次函数图象上两点，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，在一次函数的图象上，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点13】求最短路径
1．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
2.已知点、，点在轴上，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点14】根据两条直线的交点与方程组的解
1．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ）
A． B．5 C． D．7
2．已知两个函数图象的表达式分别为，，，与相交于，则的值为（ ）
A． B．8 C．9 D．10
3．在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（ ）
A．300 B．400 C．360 D．320
【考点15】行程问题
1．在一条笔直的公路上两地相距，甲车从地开往地，乙从地开往地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲车的速度比乙的速度慢
B．甲车出发1小时后乙才出发
C．乙车行驶了或时，甲、乙两车相距
D．乙车到达地时，甲车还有1小时到达地
2．甲、乙两车沿同一条路同时出发前往B地，甲车到达B地后立即以原速沿原路返回，乙车到达B地后停止运动．两车距B地的距离，与甲车行驶时间的函数图象如图所示，下列正确的是（ ）
A． B．
C．返程时 D．两次相遇的时间间隔为
二.填空题
【考点16】无理数整数部分的有关计算
1．请写出一个整数部分为的无理数： ．
2．已知的整数部分是，则
3．任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的纯小数部分的和的形式，例如：．则的整数部分为 ，小数部分为 ．
【考点17】平方根概念理解
1．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为 ．
2．已知实数满足的平方根等于它本身，则的值为 ．
3．若一个正数的两个不同平方根分别是和，则 ．
【考点18】利用二次根式的性质化简
1．如果都是二次根式，则 ．
2．若 且a小于1，则a的值是 ．
3．已知，化简： ．
【考点19】用勾股定理解三角形
1．如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为 ．
2．月日至日，广东国际旅游产业博览会在广州举行．在展览会现场，有一个如图所示的三角形模型，已知，，则BC边上的高为 ．
3．如图，在 ABC中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为 ．
【考点20】已知点所在的象限求参数
1．已知直线轴，点M的坐标为，并且线段，则点N的坐标为 ．
2．已知点在y轴上，则 ．
3．平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ．
【考点21】一次函数图象平移问题
1．将一次函数（b是常数且）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，该一次函数图象经过原点，则 ．
2．将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，则的值为 ．
3．在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ．
【考点22】几何问题（二元一次方程组的应用）
1．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为 （用含a，b的式子表示）．
2．如图是王伯伯家的长方形茶园，长为120米，宽为90米，为了方便顾客前来品茶，他计划将茶园中五块完全相同的长方形区域建造成茶室，让顾客在茶室品茶赏景，则茶室的总面积为 平方米
3．如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度（，），得到正方形及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为，．已知正方形内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是 ．
【考点23】勾股定理与折叠问题
1．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点恰好落到边的点处．如果，，那么 ．
2．如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ．
3．如图所示，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将 ABC沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ．
【考点24】一次函数与几何综合
1．如图，直线交轴于点，交轴于点，若点是轴上一点（不与点A重合），且，则点的坐标为 ．
2.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，点为的中点，点在第二象限，且四边形为矩形，点是上一个动点，过点作于点，点在的延长线上，且，则的最小值为 ．
3．在平面直角坐标系中，点，点，直线，若A、B两点到直线l的距离相等，则k的值为 ．
三．解答题
【考点25】解二元一次方程组
1．解方程组：
(1)； (2)
2．解下列方程组：
(1)； (2)．
3．解方程组：
(1) (2)；
【考点26】二次根式的混合运算
1．计算．
(1) (2)
2.计算：
(1)； (2)．
【考点27】数据的分析基本应用
1．某班级学生数学成绩如下（单位：分）：
(1)计算平均数、中位数和众数；
(2)画出频数分布表（分，，，四组，每组包含较小数不包含较大数）．
2．为了加强安全教育，某校组织七、八年级开展以“急救安全注意事项”为主题知识竞赛．现从该校A、B两班参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A班10名学生的竞赛成绩是：6，7，7，8，9，9，9，9，10，
A、B两班抽取学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
A班 9 b
B班 a 10
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)若将平均数、中位数、众数依次按、、的权重计算A、B两班的成绩，请通过计算说明哪个班的成绩高？
3．老师记录了全班名学生跳绳的次数：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
(1)求全班学生跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值．
(2)老师绘制了如图所示的统计图，这种图称为 ，其中 ， ， ．
(3)如图，中间的“箱子”被分成了两部分，其中“下半截箱子”比较短，这说明什么？
(4)请你估计一下，全班学生跳绳次数的平均数和中位数哪个大？你是怎么估计的？
(5)若将数据改为，则的值 ，的值 ，的值 填“不变”“变小”“变大”或“不确定”
【考点28】画轴对称图形、坐标与图形变化
1．如图， ABC三个顶点都在格点上．
(1)画出 ABC关于y轴对称的，并写出的各顶点坐标；
(2)在x轴上找一点P，使最小；
2．如图， ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下：．
(1)作出 ABC关于y轴对称的图形，并请写出点的坐标；
(2)求 ABC的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为．
(1)在图中作出 ABC关于y轴的对称图形（不写作法）
填空：点的坐标为______，点的坐标为______，点C关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为）对称的点的坐标______．
(2)求 ABC的面积．
【考点29】平行线的性质与三角形内角和定理的应用
1．如图，在 ABC中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证：
(1)； (2)； (3)．
2．如图，在 ABC中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，平分，求线段的长度．
3．如图， ABC中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且．
(1)求证：； (2)若，试求的长．
【考点30】勾股定理与折叠问题
1．如图，已知直线与轴、轴分别交于点，，再将 AOB沿直线折叠，使点与点重合，折痕与轴交于点，与交于点．
(1)点的坐标为 ；点的坐标为 ；
(2)求的长度，并求出此时直线的解析式．
2．如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点．
(1)求的面积． (2)求折痕的长．
3．如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．
(1)求线段的长；
(2)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设．
①求证四边形为菱形；
②是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【考点31】方案问题、和差倍分问题
1．某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材．
(1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？
(2)这些木材最多能生产多少张方桌？
2．已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题：
(1)求1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨；
(2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求出最少租车费是多少？
3．某食品配送公司需将152箱食品运送到两个社区中心和．公司有大卡车和小卡车共15辆，恰好能一次性运完所有食品．已知每辆大卡车载货12箱，每辆小卡车载货8箱．大卡车运往中心的费用为800元/辆，运往中心的费用为900元/辆；小卡车运往中心的费用为400元/辆，运往中心的费用为600元/辆．根据上述信息，解答下列问题：
(1)求这15辆车中，大卡车和小卡车各有多少辆；
(2)现安排其中10辆卡车前往中心，其余卡车前往中心．设前往中心的大卡车为辆，前往两中心的总运费为元，求出与的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若运往中心的食品不少于100箱，如何调配卡车使总运费最少，并求出最少费用．
【考点32】一次函数的图象与性质综合
1．如图，直线与轴、轴分别交于点，．
(1)求的值；
(2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标．
2．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题：
(1)画出一次函数的图像；
(2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________；
(3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线：与两坐标轴分别相交于A、B两点，直线与相交于点．
(1)直接写出A、B两点的坐标；
(2)若直线将的面积分成的两部分，求直线的函数关系式．
【考点33】分配方案问题、销售利润问题
1．为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元．
(1)求篮球和排球的价格分别为多少元？
(2)学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值．
2．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
3．开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元．
(1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？
(2)该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？
【考点34】勾股定理综合应用
1．如图，已知点A，B为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点A作于点C，过点B作于点D，点F是线段上一点，连接交于点
(1)有下列条件：①点F是的中点；②点E是的中点；③点E是的中点．请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程；
(2)若，且，，，求的长．
2．如图，在 ABC中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接．
(1)求证：≌；
(2)试说明：；
(3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值．
3．如图，在 ABC中，于点，，．
(1)求的长；
(2)若点是射线上的一个动点，过点作于点．
①当点在线段上时，若，求的长；
②设直线交射线于点，连接，若，求的长．
【考点35】一次函数与几何综合
1．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为．
(1)直接写出两点的坐标；
(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当的面积时，
①判断此时线段与的数量关系并说明理由；
②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，直线l1：与x轴、y轴分别交于点A、B，另一直线：与x轴、y轴分别交于点C，D，连接．直线与直线交于点，在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M，N．
(1)求m的值及的面积；
(2)若，求a的值；
33．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点．
(1)求点的坐标及直线的表达式；
(2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
【考点1】二次根式有意义的条件
1．A
解：由题意可知：，
解得：；
故选：A．
2．A
解：选项A：，故一定有意义；
选项B：当时，，故不一定有意义；
选项C：当时，，故不一定有意义；
选项D：，故仅在时有意义，
故选：A．
3．D
∵ 使 和 有意义，需 且 ，
∴ 且 ，
∴ ．
当 时，．
∴ ．
∴ 的平方根为 ．
故选D．
【考点2】判断命题真假、命题的构成、举反例
1．A
解：A.图中均为的两个角相等，但不是对顶角，可说明“相等的角是对顶角”是假命题，符合题意；
B. 图中均为的两个角相等，且是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意；
C. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意；
D. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意．
故选：A．
2．D
解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角，
∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角．
故选：D．
3．A
解：A．当时，，而，说明命题“若，则”为假命题，符合题意；
B．当时，，而，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
C．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
D．当时，，，不能说明命题“若，则”为假命题，不符合题意；
故选：A．
【考点3】算术平方根的非负性
1．D
解：∵且，且，
∴ 且，
∴ ，即，
，即，
∴，
∴ ，
故选：D．
2．B
解：∵，
∴，，
∴，，
∴
故选：B．
3．D
解：∵，
∴，，
∴，，
∴关于x轴的对称点为，所在的象限是第四象限．
故选：D
【考点4】实数的大小比较
1．C
解：，
∵，
∴，
∵最小的是，
故选C．
2．B
解：
∴最大的数是，
故选：B．
3．C
解：由数轴图知：
∵
∴．
A、，故A选项不符合题意；
B、 ，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、，故D选项不符合题意．
故选：C．
【考点5】勾股数
1．B
解：A、，，都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；
B、，且都是正整数，所以是勾股数，故符合题意；
C、，不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意；
D、，，可能不是正整数，故不符合题意．
故选：B．
2．D
解：勾股数需为正整数且满足．
A．，所以不是勾股数．
B．0.3, 0.4, 0.5 不是正整数，所以不是勾股数．
C．，所以不是勾股数．
D．，且均为正整数，所以是勾股数．
故选：D．
3．C
解：A、是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意；
B、是无理数，故1，，2不是勾股数，该选项不符合题意；
C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意．
D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意．
故选：C．
【考点6】两直线的交点与二元一次方程组的解
1．A
∵ 方程 可变形为 ，
方程 可变形为 ，
∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标．
又∵ 两函数图像交于点 ，
∴ 方程组的解为 ．
故答案为：A．
2．B
当时，，
∴．
将两个函数关系式联立，得，
即，
解得，
∴，
∴．
故选：B．
3．D
解：把代入得：，
∴，
联立，
解得
∴点的坐标为，
当直线经过点，则，
解得，
当直线经过点，则，
解得：，
∵直线与线段有交点，
∴的取值范围为或．
故选：D．
【考点7】用勾股定理解三角形
1．D
解：设该直角三角形的两直角边的长为a和b，斜边长为c，
由勾股定理得，
∵该直角三角形三边长的平方和为800，
∴，
∴，
∴
∴或（舍去），
∴该直角三角形的斜边长为20，
故选：D．
2．C
解：当为斜边时，，
解得，（舍去），
当4为斜边时，，
解得，（舍去），
综上所述，的值是5或．
故选：C．
3．A
解：，
，
，且,
，
，
，
即是直角三角形，
在中，
，即：，
，
，
故选：A．
【考点8】坐标与图形变化 —— 轴对称
1．A
解：点与关于轴对称，
，，
解得，，
则．
故选：A．
2．A
解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∴
故选：A．
3．A
解：点的坐标是，点的坐标是，
点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
这两个点关于轴对称，
故选：．
【考点9】根据一次函数解析式判断其经过的象限
1．D
解：若、时，
则一次函数经过一、二、三象限，经过二、四象限，
若、时，
则一次函数经过一、三、四象限，经过一、三象限，
若、时，
则一次函数经过一、二、四象限，经过一、三象限，
若、时，
则一次函数经过二、三、四象限，经过二、四象限，
故选：D．
2．C
解：由已知得，，
∴函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
3．C
解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【考点10】根据要求选择合适的统计量
1．C
解：∵总人数为奇数，
∴中位数是第名的成绩，
∵前名都能获奖，
∴若小明的成绩高于中位数，则其排名高于第名，一定在前名，一定能获奖；若成绩不高于（小于或等于）中位数，则一定不能获奖，
∴中位数是判断是否获奖最相关的统计量．
平均数、众数、最高分均无法反映具体排名信息，故不能用于判断．
故选：C．
2．B
解：∵ 数据：，
∴ 排序后：，
∵ 数据个数 为偶数，中位数 为第和第个数据的平均值，即 ，
∴ 上半部分数据为：，
∵ 上半部分数据个数为，中位数 为第和第个数据的平均值，即 ，
∴ 上四分位数为 ，
故选：B．
3．C
解：将数据从小到大排列：30，31，31，31，32，34，35．
∵数据个数为7，是奇数，
∴中位数为第4个数，即31；
∵31出现3次，次数最多，
∴众数为31；
因此中位数和众数都是31．
故选：C．
【考点11】根据实际问题列二元一次方程组
1．A
解：设绳长为尺，木长为尺．
∵用绳子量木，余绳尺，
∴，即．
∵将绳子对折量木，长木还剩余1尺，即木长比对折绳长长1尺，
∴，即．
故另一个方程是，
故选：A．
2．A
解：设清酒斗，醑酒斗，
由题意可得，，
故选：A．
3．D
解：设共有银子x两，人数为y．
每人分7两剩余4两：总银两，变形得．
每人分9两差8两：总银两，变形得．
联立方程组：．
故选：D．
【考点12】根据一次函数增减性求参数
1．D
解：当时，，随的增大而减小，
，得．
故选：D．
2．B
解：∵一次函数的图像与轴的负半轴相交，
∴.
∵一次函数,函数值随自变量的增大而减小，
∴，
解得.
故选：B.
3．B
解：当时，，随的增大而减小，
，得．
故选：B．
【考点13】求最短路径
1．B
解：如图，在上截取，连接，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长，
由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴此时有，即，
∴，
∴的最小值为，
故选：B．
2．A
取B点关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点M，如图，
即根据对称的性质有，
∴，
在x轴上另取一点N，如图，
即根据对称的性质有，
∴，当A、N、三点共线时取等号，
即M点满足取最大值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故选：A．
3．A
解：对于直线 ，
当时，；当时，，
∴，，
由中点坐标公式得，，
则点Ｅ关于ｘ轴对称的点的坐标为，
连接交ｘ轴于点Ｐ，则，
当三点在同一条直线上时最小，最小值为，
∵
故选：A．
【考点14】根据两条直线的交点与方程组的解
1．A
解：∵将直线向右平移个单位后得到直线，
∴直线的解析式为，
即直线的解析式为，
，解得：，
∵直线与直线：交于点，
∴，
，
当时，，解得：，
，
当时，，解得：，
∵直线，分别交轴于点，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故选：A．
2．C
解：，，，与相交于，
，，
①②，得，
，
，
故选：．
3．B
解：令，
解得：，
把代入得：，
∴两条直线的交点为，
把分别代入，得：，，
∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，，
∴y轴上的“美点”有；
对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，因此在上有“美点”的个数为：（个），
对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，因此在上有“美点”的个数为：个，
∴“美点”的个数为：（个）．
故选：B．
【考点15】行程问题
1．C
解：由图象可知：甲车的速度为，乙车的速度为，
∴甲车的速度比乙的速度慢，故A正确；
∴，
∴，即甲车出发1小时后乙才出发；故B正确；
设甲车所作直线的函数解析式为，把点代入可得：，
解得：，
∴甲车所作直线的函数解析式为，
同理可得乙车所作直线的函数解析式为，
∴，
解得：或，
∴甲车行驶了或时，甲、乙两车相距；故C错误；
乙车到达地，甲行驶了小时，其路程为，则还需到达地；故D正确；
故选：C．
2．D
解：由题意可知，，故A错误；
乙车的速度为：，
，故B错误；
设甲在返程时的函数解析式为，
把和代入解析式得：，
解得，
，故C错误；
甲车的速度为，
甲车前往B地时，，
两车第一次相遇：，
解得；
两车第二次相遇：，
解得：，
两车两次相遇的时间间隔为：，故D正确．
故选：D
二．填空题
【考点16】无理数整数部分的有关计算
1．（答案不唯一）
解：设这个无理数为，
这个无理数的整数部分为，
，即，
，
故答案为：（答案不唯一）．
2．4
解：∵，
，
∴的整数部分是4，
故答案为：4．
3． 2
解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
故答案为：，．
【考点17】平方根概念理解
1．
解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
故答案为：．
2．0
解：∵被开方数，且，
∴，
∴，即，
代入原式得，
∴，
∵的平方根等于它本身，
∴，
则，
故答案为：．
3．2
解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，
，
解得，
故答案为：2．
【考点18】利用二次根式的性质化简
1．
解：都是二次根式，
，
解得：，
．
故答案为：．
2．
解：∵，
∴，
∴，
∵a小于1，
∴，
故答案为：．
3．6
解：∵，
∴，
∴；
故答案为：6．
【考点19】用勾股定理解三角形
1．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为： ．
2．
解：如图，过作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3．
解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点20】已知点所在的象限求参数
1．或
解：∵直线轴，点M的坐标为，，
∴或，
∴点N的坐标为或；
故答案为：或．
2．
解：点在y轴上，
，
解得：，
故答案为：．
3．
∵点在第一象限，
∴且．
∵点到两坐标轴的距离相等，
．
由于点在第一象限，且，
故．
解方程：，得．
代入得横坐标，纵坐标
∴点的坐标为．
故答案为．
【考点21】一次函数图象平移问题
1．
解：∵ 一次函数向左平移1个单位长度，
∴ 解析式变为．
∵ 再向上平移2个单位长度，
∴ 解析式变为．
∵ 平移后的图象经过原点，
∴ 把，代入，得．
∴ ．
故答案为：．
2．1
解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度得：
，
∵平移后的函数图象与正比例函数的图象重合，
∴，，
即，，
∴，
故答案为：1．
3．
解：根据题意，设，则，
∵点，关于轴对称，
∴，
解得．
故．
故答案为：．
【考点22】几何问题（二元一次方程组的应用）
1．
解：∵有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，
∴，
∴两式相加，得，
∴，
故答案为：．
2．1080
解：设每块小长方形茶室的长为米，宽为米．由题意得
解得
每块小长方形面积为（平方米）
五块总面积为（平方米）
故答案为：．
3．
解：由点A到可得方程组，
由B到可得方程组，
解得，
设点的坐标为，
点点重合得到方程组，
解得 ，
即．
故答案为：.
【考点23】勾股定理与折叠问题
1．3
解：设线段的长度为，
是直角三角形，，，
，
根据折叠，可知，
，
在中，由勾股定理可知，
解得，
线段的长度为．
故答案为：3．
2.
解：由题意得，，
由折叠的性质可得，，，
，，
；
∵，
∴，
；
设，则，
在中，由勾股定理得
，
解得
故答案为：．
3．或
解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当时，
解得，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，，
如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，
设点C的坐标为，
∵将 ABC沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，
设点C的坐标为，
∵将 ABC沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，
∴
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为或，
故答案为：或．
【考点24】一次函数与几何综合
1．或
解：直线交轴于点，交轴于点，
当时，，当时，，解得，
点的坐标为，点的坐标为，
点是轴上一点（不与点A重合），且，
点在点右侧，
设点的坐标为，
则，
整理得，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
2．
解：如图，连接，
∵直线分别交x轴，y轴于A，B两点，
当时，，当时，，则，，
∵C是的中点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴四边形是平行四边形，
要使的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，
∵点在的延长线上，且，
又∵点，
根据勾股定理可得
此时，，
即的最小值为
故答案为：．
3．或
解：当点位于直线l的两侧，直线l交于点，如图：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
将代入，则，
解得；
当点位于直线l的同侧，此时，
设直线，则代入点，点，
，
解得，
∴，
故的值为或
故答案为：或．
三．解答题
【考点25】解二元一次方程组
1．（1）解：，
将①代入②可得，解得：，
将代入①可得，
故方程组的解为：．
（2）解：，
整理①得：③，
得：，解得：，
把代入②得，，
∴方程组的解为．
2．（1）解：
把②代入①可得：，
解得：，
把代入②得：，
原方程组的解为；
（2）解：
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为
3．（1）解：原方程组可化简为，
，得，
，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
，得，
，得，
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得，
∴原方程组的解是.
【考点26】二次根式的混合运算
1．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【考点27】数据的分析基本应用
1．（1）解：平均数为，
成绩由低到高排列为，，，，，，，，，，
∴中位数为，
∵数据中出现的次数最多，
∴众数为；
（2）解：画频数分布表如下：
分组
人数（频数）
2．（1）解：班成绩的中位数，A班成绩的众数，
故答案为：，9；
（2）解：依题意，
A班的成绩为：（分），
B班的成绩为：（分），
，
班的成绩高．
3．（1）解：∵原数据已经按从小到大排列好了，
∴最小值为，最大值为，
∵，
又∵第10个、第11个数据分别为，，
∴下四分位数，
∵，
又∵第20个、第21个数据分别为，，
∴中位数，
∵，
又∵第30个、第31个数据分别为，，
∴上四分位数，
故答案为：全班学生跳绳次数的最小值为，，，，最大值为.
（2）解：这种图称为箱线图，其中，，分别对应上四分位数、中位数、下四分位数，即，，.
故答案为：箱线图；144；136；132.
（3）解：“下半截箱子”比较短，说明下四分位数到中位数之间的数据范围小，数据更集中，
∴可以说明跳绳成绩在132到136之间的学生成绩差距较小（答案不唯一）.
（4）解：∵“下半截箱子”比较短，箱子底部到最小值的距离比顶部到最大值的距离短，说明中位数后的数据多数值较大，
∴平均数中位数.
（5）解：∵，，分别对应上四分位数、中位数、下四分位数，四分位数是将有序数据分为四等份的三个分割点，其计算是基于数据的相对位置，
∴只要改变的数据仍位于数据范围的同一四分位内（不包括分割点），四分位数会保持稳定，
∵数据改为，其仍为最大值，
∴的值不变，的值不变，的值不变.
故答案为：不变；不变；不变.
【考点28】画轴对称图形、坐标与图形变化
1．（1）解：如图，即为所求作：
，，；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求；
连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
2．（1）解：如图所示，即为所求，；
（2）解： ABC的面积为．
3．（1）解：如图，即为所求；
由图可知：，点C关于直线n对称的点的坐标为．
故答案为：；；．
（2）解：
．
【考点29】平行线的性质与三角形内角和定理的应用
1．（1）证明：平分，
．
在和中，
，
．
（2）证明：∵
．
，，
，，
，
．
；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
2．（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴．
3．（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【考点30】勾股定理与折叠问题
1．（1）解：对于，当时，，解得，当时，解得，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
故答案为：（4，0）；（0，3）；
（2）解：设的长为，由折叠可知，
，
．即，
解得，
的长为．
点的坐标为
设直线的解析式为，
将，代入得
．
解得，
直线的解析式为．
2．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，设，
∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点．
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，，
∴，
∵，
∴．
3．（1）解：如图1中，
四边形是矩形，，，
，，，
由翻折可知：．，
设，则．
在中，，
，
在中，则有：，
，
；
（2）①证明：如图2中，
四边形是矩形，
，
，
由折叠得，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
②是直角三角形，，
只有或．
如图中，当时，
由（1）得，,，
∴,
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
如图中，当时，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或2．
【考点31】方案问题、和差倍分问题
1．（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，
根据题意，得，
解得
故用的木材做桌面，的木材做桌腿．
（2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。
最多能生产的方桌为（张），
所以这些木材最多可做方桌300张．
2．（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨．
根据题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨；
（2）解：由（1）得1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨；
∵租用m辆A型车，n辆B型车,
根据题意得：，
，
又、n均为正整数，
或，
该物流公司共有2种租车方案，
方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；
方案2：租用2辆A型车，6辆B型车．
选择方案1所需租车费用为（元）；
选择方案2所需租车费用为（元）．
，
最少租车费是9200元．
3．（1）解：设大卡车有辆，小卡车有辆，根据题意得
解得
答：大卡车有8辆，小卡车有7辆．
（2）解：
，
∵x应满足，
∴，
∴与的函数解析式为（，x为整数）
（3）解：由题意，得，
∴，
∵
，且为整数
∵在函数中，随减小而减小，
∴当时，y有最小值，为，
此时，，．
答：5辆大卡车前往中心A，3辆大卡车前往中心B，5辆小卡车前往中心A，2辆小卡车前往中心B，这样调配卡车总运费最少，最少费用为9900元．
【考点32】一次函数的图象与性质综合
1．（1）解：将点代入，得，
解得
（2）由（1）知，直线的函数表达式为
将代入，得，所以点的坐标为，
设点的坐标为
的面积为2， ，解得，
①将代入，得，
所以点的坐标为；
②将代入，得，
所以点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
2．（1）解：令，解得，令，则，
一次函数的图像如图：
（2）解：令，解得，令，则，
直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，
函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是；
故答案为：4；
（3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即，
令，则，解得；令，则；
，，
设点P的坐标是，
由题意得，
解得或，
∴点P的坐标是或．
3．（1）解：在中，令，得，
令，得，解得，
，；
（2）解：，，
，，
，
设C点的坐标为，
，
将的面积分成的两部分，
或，
或，
解得：或4，
或，
设直线的解析式为，
或，
解得或
直线的解析式为或．
【考点33】分配方案问题、销售利润问题
1．（1）解：设篮球的价格为元，排球的价格为元，由题意，得：
，解得：，
答：篮球的价格为元，排球的价格为元；
（2）解：设购进篮球个，则购进排球个，设总利润为元，由题意，得：，
整理，得：，
∵商场所有购买方案获利相同，
∴的值与无关，
∴，
∴．
2．（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件，
根据题意得：，
解得
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得：
，
随m的增大而增大，
，
当时，W有最大值，
此时件
答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元．
3．（1）解：设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个，
根据题意，可得，解得．
答：修正带进价为8元／个，笔袋进价为10元／个．
（2）解：设文具店修正带进货量为个，总利润为元，
则
，
，
随着的增大而减少，
又修正带的进货量不低于350个，且不高于450个，即，
当修正带的进货量为350个时，总利润的最大值为3650元．
答：该文具店总利润的最大值是3650元．
【考点34】勾股定理综合应用
1．（1）解：选择②或③，
选择②时：，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
；
选择③时，，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
，
，，
，
在中，
．
2．（1）证明：，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，且，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，是等腰直角三角形，且，
，，
，
由（1）可知，≌，
，，
，
，
，
；
（3）解：和是等腰直角三角形，，，
，，
，，，
分两种情况：
①如图，点在延长线上时，过点作于点，
，
，
，
，
，
由（2）可知，，，
；
②如图，点在延长线上时，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
同（2）得：，
；
综上所述，的值为或．
3．（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：；
（2）解：①在中，由勾股定理得：．
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
②分两种情况：
如图，当点在线段上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在线段的延长线上时．
∵，
∴，
∵，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【考点35】一次函数与几何综合
1．（1）解：，
∴当时，，当时，，解得：，
∴；
（2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合），
设点的横坐标为，过点作轴，
∴点坐标为，
∴的面积：
∴的面积与之间的函数关系式为；
（3）解：①．
理由如下：当的面积时，
，解得：，
∴点坐标为，
∴，
∵，
∴；
②存在，
过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况：
情况一：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴∠AFE+∠FAE=∠FAE+∠PAG=90°，
∴∠AFE=∠PAG，
在和中，
，
∴≌（AAS），
∴，
∴点
情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS），
∴，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
2．（1）解：∵直线与直线交于点，
∴把点E的坐标代入直线：得：，
∴，
∴把点E的坐标代入直线：得：，
解得：，
∴直线：，
∵直线：与x轴，y轴分别交于点A，B，
令，则；令，则，
∴，，
∵直线：与x轴，y轴分别交于点C，D，
令，则，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵轴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，则点为的中点，
∵点，，
∴M点的横坐标为，
∴a的值为；
3.（1）解：当时，，
解得：，即点，
∵直线经过点，
∴，
解得：，
则直线的表达式为：．
（2）当中时，，解得
∴，
当中时，，解得
∴，
当时，为直角三角形，
此时，则，
故；
当时，为直角三角形，过作于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，得，
∴，
综上，点E的坐标为或；
（3）存在，理由：
当点P在y轴左侧时，
∵，则，
即，
设，
由点A，P，C的坐标得，，，
得，即点；
当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时
综上，存在，点的坐标为或
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