九年级数学上册试题 第1章《一元二次方程》章节复习卷 --苏科版（含答案）

第1章《一元二次方程》章节复习卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．两根之和小于0 D．两根之积大于0
3．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．若实数分别满足：且，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限
5．已知关于的多项式：．
①若，则代数式的值为；
②当时，若，则或；
③若当式子中取值为与时，对应的值相等，则的最大值为3．
以上结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知，（其中a任意实数），下列说法：
①若中不含项，则；
②若化简的结果为整式，则；
③无论a取何值，关于x的方程始终有4个不相等的实数根.其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
9．如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上．连接，若平分，四边形是平行四边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．关于x的一元二次方程的一个根为，则 ．
12．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
13．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ．
14．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ．
15．对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
16．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．则道路的宽为 m．
17．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ．
18．如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线（）同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为，，则的值为 ．
．
三．解答题（本大题有8小题，共64分..）
19．（本题6分）用你喜欢的方法解下列一元二次方程：
(1)； (2)．
20．（本题6分）（已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根．
21．（本题8分）今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍．
(1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价；
(2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？
22．（本题8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．湘江新区积极响应，着力打造的“十分钟阅读圈”，让近万持证读者在新区步行十五分钟内必遇书香．据统计，某智慧图书馆第一个周进馆人次，进馆人次逐周增加，到第三个周末累计进馆人次，若进馆人次的周平均增长率相同．
(1)求进馆人次的周平均增长率；
(2)因条件限制，该智慧图书馆每周接纳能力不超过人次，在进馆人次的每周平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四周的进馆人次，并说明理由．
23．（本题8分）夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，假设两个月平均每月增长率相同．
(1)求这两个月平均每月增长率；
(2)七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共200件．甲、乙两型号的救生衣的进价分别为每件70元和每件78元．商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，为了保证总利润不少于5440元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？
24．（本题8分）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）．
(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
(2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
25．（本题10分）某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套．
(1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率；
(2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？
26．（本题10分）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式．
参考答案
一．选择题
1．B
解：设年平均增长率为x，
可得方程，
解得或（舍去负值），
所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为，
故选：B
2．C
解：由数轴看出，，，
∵是关于x的一元二次方程，
∴，，，
∵，，
∴
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．
∴A，B，D不符合题意，C符合题意
故选：C．
3．C
解：由题意得，，
∴，
在中，，，，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或，
故选：C．
4．A
解：∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
分以下两种情况讨论：
当时，，，
∴点所在的象限是第一象限；
当时，，，
∴点所在的象限是第二象限；
综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限．
故选：A．
5．B
解：①∵，
∴，
∴，
把代入得：
，故①正确；
②当时，，
∵，
∴，
∴或，
∵方程中，
∴此方程无解；
解方程得：或，故②错误；
③∵当式子中取值为与时，对应的值相等，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
∴当时，即时，成立，
此时，，
∴或时，无论m取何值，的值一定相等；
当时，成立，
∴，
解得：，
此时的最大值为3；
∴当时，的最大值为3；故③错误；
综上分析可知：正确的有1个；
故选：B．
6．C
解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
∵，小正方形的面积为，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，
∴，
∴，
∵小正方形的边长为，即，
∵，
即，
故，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7．D
解：①
，
中不含项，
，
解得：，
故①说法正确；
② ，
当时，
原式
，
故②说法正确；
③，
，
，
或，
，
整理得：，
，
则原方程有两个不相等的实数根；
，
整理得：，
，
则原方程有两个不相等的实数根，
无论取何值，关于的方程始终有4个不相等的实数根，
故③说法正确，
正确的有①②③，共3个．
故选：D．
8．D
解：设原方程为，两个根为和．
新方程为，两个根为2和．
则，，，
得，
由题意得，
∴，
∴，
∴．
当时，，
联立，得，
则，，
则．
当时，，
联立，得，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故选：D．
9．C
解：由图②得：当时，在减小，
当时，先变小后变大，
∴应从出发沿运动到，再运动到，
或应从出发沿运动到，再运动到，
设应从出发沿运动到，再运动到，
如图，连接交于，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴当在处时，，即，
∴，
当在处时，，即，
当位于处时，，即，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴，
∴菱形的周长为；
故选C
10．C
解：过点F作于H，的延长线于的延长线交于T，连接，如下图所示：
设
∵四边形为矩形，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴ ，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即为线段的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴ ，
∴ ，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，
故选：C．
二．填空题
11．
解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴，
解得，
故答案为：．
12．
解：∵、是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴；
故答案为：．
13．
解：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
14．
解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意得：，
∵菱形面积为4，
∴，解得：，
∴菱形的边长为
，
故答案为：．
15．
解：由题意得，，
∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
16．
解：设道路宽为，
根据题意可得：，
解得，
解得（舍去），
故答案为：．
17．
解：根据题意可知
解得．
故答案为：．
18．
解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示：
则，
∴四边形是矩形，
，
把代入反比例函数的解析式得，
，
双曲线图像在第一象限，
，
，
，，
，
，
双曲线经过B，
整理得：，
解得：（舍），
故答案为：．
三．解答题
19．（1）解：
则，．
（2）解：∵
∴
∴．
20．（1）解： 方程有两个不相等实数根，
，
解得；
（2）解：是方程的一个根，
，
解得，
方程为，
解得，，
方程的另一个根是．
21．（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，符合题意，是原方程的解，
元，
答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元；
（2）解：设衬衣的销售单价为a元，
由题意得，，
解得，（舍），
答：衬衣的销售单价为100元．
22．（1）解：设进馆人次的周平均增长率为，
根据题意得，，
解得：，（不符合题意，舍去）
答：进馆人次的周平均增长率为；
（2）解：校图书馆能接纳第四周的进馆人次，理由，
∵进馆人次的周平均增长率为，
∴第四周的进馆人次为，
∴校图书馆能接纳第四周的进馆人次．
23．（1）解：设救生衣标价的月平均增长率为x，
根据题意：，
解得：或（舍去），
答：这两个月平均每月增长率为；
（2）解：设该商场购进甲品牌救生衣件，则购进乙品牌救生衣件，
根据题意：，
整理得：，
解得：，
答：该商城至少购进甲型号救生衣件．
24．（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴这两条路与等长，且它们相互垂直；
（2）解：能修建一条这样的直路，理由如下：
由（）得，，
∵米，米，
∴米，米，米，
∴，
∴，
∴，
又∵在中有，
∴，
∴，
∴，
如果另一端点在路段上，
则在中，，
∴此种情况不成立；
如果另一端点在花园边界上时，
设，则在中，有，
∴，
∴，
∵，
∴能修建成这样的一条直路．
25．（1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，依题意得：
，
解得：(舍去)，，
该公司这两个月销售A产品的月均增长率 ．
（2）设每套A产品应降价万元，依题意得：
，
整理得，
解得：，，
为了尽快减少库存，取，
答：每套A产品应降价万元．
26．（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图像上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
,
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即，
，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，．