/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025-2026人教八上数学期末临考押题卷01
河南等地适用
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.若分式 有意义，则x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x≠－1
C.x＝1 D.x＝－1
2.如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是( )
3.分解因式x2y－9y的结果是( )
A.y(x＋3)(x－3) B.y(x＋9)(x－9)
C.y(x2－9) D.y(x－3)2
4.下列运算正确的是( )
A.a2·a3＝a6 B.(ab)2＝ab2
C.(a3)2＝a5 D.a7÷a3＝a4
5.如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是( )
A.∠A＝∠D B.∠ABD＝∠DCA
C.∠ACB＝∠DBC D.∠ABC＝∠DCB
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE的度数为( )
A.80° B.60° C.50° D.40°
7.若(m－n)2＝50，(m＋n)2＝4 000，则m2＋n2的值为( )
A.2 050 B.2 025
C.3 950 D.4 050
8.定义运算m※n＝1＋ ，如：1※2＝1＋ ＝ ，则方程x※(x＋1)＝的解为( )
A.x＝－ B.x＝ C.x＝1 D.x＝－1
9.如图，P是∠BAC的平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中一定正确的结论有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.计算：－22－(3.14－π)0＋(－ )－2＝_______.
12.单个雪花的重量很轻，大约只有0.000 03 kg，0.000 03用科学记数法可表示为____________.
13.某厂接到在规定时间内加工1 500顶帐篷支援灾区人民的任务.在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，则原来每天加工帐篷_______顶.
14.如图，在△ABC中，BD＝CD，且∠1＝∠2.若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠3的度数为________.
15.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝72°，将△ABC沿边AC进行对折使得点B落在点D处，过点C作CE⊥AB于点E，P是直线CE上一动点，则∠ECD的度数为______.当DP－BP的值最大时，∠DPB的度数为______.
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)计算：
(1)a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2；
解：原式＝a2－5ab＋3a5b3÷a4b2
＝a2－5ab＋3ab
＝a2－2ab.
(2)(x＋2)(2x－3)＋(10x3－12x)÷(－2x).
解：原式＝2x2－3x＋4x－6－5x2＋6
＝－3x2＋x.
17.(8分)解下列方程：
(1)－＝10；
解：原方程可化为－＝1.
方程两边乘1.5x，
得18－12＝1.5x，解得x＝4.
检验：当x＝4时，1.5x≠0，
∴原分式方程的解为x＝4.
18.(8分)先化简，再求值：·÷(＋1)，其中x满足－2≤x≤2，取一个整数即可.
19.(9分)在正方形的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1向下平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
(3)已知△ABC内有一点P(a，b)，则经过上述两种图形变换后的对应点P2的坐标是_______________.
20.(10分)已知a，b，c分别是△ABC的三边长.
(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解；
解：ac－bc＝c(a－b)，
－a2＋2ab－b2＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a－b)2.
(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形.理由如下：
∵ac－bc＝－a2＋2ab－b2，
∴c(a－b)＝－(a－b)2，
∴c(a－b)＋(a－b)2＝0，
∴(a－b)(c＋a－b)＝0.
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴c＋a－b＞0，
∴a－b＝0，即a＝b，
∴△ABC是等腰三角形.
21.(10分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB，交BC于点E，交AC于点F，DE＝BC，∠CDE＝∠ACB＝30°.
(1)求证：△FCD是等腰三角形；
证明：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝60°，
∴∠DCF＝∠DCE－∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝∠DCF，∴DF＝CF，
∴△FCD是等腰三角形.
(2)若AB＝4，求CD的长.
解：由(1)得∠B＝∠DEC.
在△ACB和△CDE中，
∴△ACB≌△CDE(ASA)，∴AC＝CD.
在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，∴CD＝8.
22.(10分)假期里学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分别乘大、小两辆车前往距离140 km的乡村敬老院.
(1)若小车的速度是大车速度的1.4倍，且小车比大车早1 h到达，求大、小车的速度；
解：设大车的速度为x km/h，则小车的速度为1.4x km/h.
根据题意，得 ＋1＝ ，解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝56.
答：大车的速度为40 km/h，小车的速度为56 km/h.
(2)若小车与大车同时以相同的速度出发，但行驶了60 km后，小车上的同学发现有物品遗忘在学校，于是小车准备加速返回取物品，之后速度保持不变，要想与大车同时到达乡村敬老院，则小车应提速到原来的多少倍？
解：设小车原来的速度为a km/h，提速后的速度是原来的m倍，则提速后的速度为ma km/h.
根据题意，得 ＝ ，解得m＝2.5.
经检验，m＝2.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：小车应提速到原来的2.5倍.
23.(12分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.
(1)如图1，延长AD，EB，相交于点O.
①求证：BE＝AD；
证明：∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD 和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD.
②用含α的式子表示∠BOA的度数；
解：由①知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAO＋α.
∵∠ABE＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠CBE＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BAO＋α＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BOA＝2α.
(2)如图2，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点M，延长MC，交BD于点N，求证：N是BD的中点.
证明：过点B作BP⊥MN，交MN的延长线于点P，
过点D作DQ⊥MN于点Q，则∠BPN＝∠DQN＝90°.
∵α＝45°，∴∠BCA＝180°－45°－45°＝90°，
∴∠BCP＋∠ACM＝90°.
∵∠CAM＋∠ACM＝90°，∴∠BCP＝∠CAM.
在△CBP和△ACM 中，
∴△CBP≌ △ACM(AAS)，∴MC＝BP.
同理CM＝DQ，∴DQ＝BP.
在△BPN和△DQN中，
∴△BPN≌△DQN(AAS)，
∴BN＝ND，∴N是BD的中点.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
人教版八上数学期末复习 讲解课件
人教八上数学期末临考押题卷01
河南等地适用
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.若分式 有意义，则x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x≠－1
C.x＝1 D.x＝－1
A
2.如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是( )
A B C D
D
3.分解因式x2y－9y的结果是( )
A.y(x＋3)(x－3) B.y(x＋9)(x－9)
C.y(x2－9) D.y(x－3)2
4.下列运算正确的是( )
A.a2·a3＝a6 B.(ab)2＝ab2
C.(a3)2＝a5 D.a7÷a3＝a4
A
D
5.如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是( )
A.∠A＝∠D
B.∠ABD＝∠DCA
C.∠ACB＝∠DBC
D.∠ABC＝∠DCB
C
第5题图
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE的度数为( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
D
第6题图
7.若(m－n)2＝50，(m＋n)2＝4 000，则m2＋n2的值为( )
A.2 050 B.2 025
C.3 950 D.4 050
B
8.定义运算m※n＝1＋ ，如：1※2＝1＋ ＝ ，则方程x※(x＋1)＝
的解为( )
A.x＝－ B.x＝
C.x＝1 D.x＝－1
B
9.如图，P是∠BAC的平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是( )
A.6
B.7
C.8
D.9
A
第9题图
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中一定正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
第10题图
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.计算：－22－(3.14－π)0＋(－ )－2＝_______.
12.单个雪花的重量很轻，大约只有0.000 03 kg，0.000 03用科学记数法可表示为____________.
13.某厂接到在规定时间内加工1 500顶帐篷支援灾区人民的任务.在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，则原来每天加工帐篷_______顶.
－1
3×10－5
100
14.如图，在△ABC中，BD＝CD，且∠1＝∠2.若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠3的度数为________.
第14题图
35°
15.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝72°，将△ABC沿边AC进行对折使得点B落在点D处，过点C作CE⊥AB于点E，P是直线CE上一动点，则∠ECD的度数为______.当DP－BP的值最大时，∠DPB的度数为______.
第15题图
78°
84°
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)计算：
(1)a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2；
(2)(x＋2)(2x－3)＋(10x3－12x)÷(－2x).
解：原式＝a2－5ab＋3a5b3÷a4b2
＝a2－5ab＋3ab
＝a2－2ab.
解：原式＝2x2－3x＋4x－6－5x2＋6
＝－3x2＋x.
17.(8分)解下列方程：
(1)
解：原方程可化为
方程两边乘1.5x，
得18－12＝1.5x，解得x＝4.
检验：当x＝4时，1.5x≠0，
∴原分式方程的解为x＝4.
(2) .
解：方程两边乘2(x＋1)，
得2x＋2－x＋3＝6x，解得x＝1.
检验：当x＝1时，2(x＋1)≠0，
∴原分式方程的解为x＝1.
18.(8分)先化简，再求值： ，其中x满足－2≤
x≤2，取一个整数即可.
解：原式＝
＝
＝
∵－2≤x≤2，且x为整数，∴x＝±2，±1，0.
∵当x＝±2或0时，原式无意义，∴x可以为±1.
当x＝1时，原式＝ ＝3；
当x＝－1时，原式＝ ＝－1.
19.(9分)在正方形的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求.
(2)将△A1B1C1向下平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
解：如图△A2B2C2即为所求.
(3)已知△ABC内有一点P(a，b)，则经过上述两种图形变换后的对应点P2的坐标是_______________.
(－a，b－4)
20.(10分)已知a，b，c分别是△ABC的三边长.
(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解；
解：ac－bc＝c(a－b)，
－a2＋2ab－b2＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a－b)2.
(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形.理由如下：
∵ac－bc＝－a2＋2ab－b2，
∴c(a－b)＝－(a－b)2，
∴c(a－b)＋(a－b)2＝0，
∴(a－b)(c＋a－b)＝0.
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴c＋a－b＞0，
∴a－b＝0，即a＝b，
∴△ABC是等腰三角形.
21.(10分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB，交BC于点E，交AC于点F，DE＝BC，∠CDE＝∠ACB＝30°.
(1)求证：△FCD是等腰三角形；
证明：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝60°，
∴∠DCF＝∠DCE－∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝∠DCF，∴DF＝CF，
∴△FCD是等腰三角形.
(2)若AB＝4，求CD的长.
解：由(1)得∠B＝∠DEC.
在△ACB和△CDE中，
∴△ACB≌△CDE(ASA)，∴AC＝CD.
在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，∴CD＝8.
22.(10分)假期里学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分别乘大、小两辆车前往距离140 km的乡村敬老院.
(1)若小车的速度是大车速度的1.4倍，且小车比大车早1 h到达，求大、小车的速度；
解：设大车的速度为x km/h，则小车的速度为1.4x km/h.
根据题意，得 ，解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝56.
答：大车的速度为40 km/h，小车的速度为56 km/h.
(2)若小车与大车同时以相同的速度出发，但行驶了60 km后，小车上的同学发现有物品遗忘在学校，于是小车准备加速返回取物品，之后速度保持不变，要想与大车同时到达乡村敬老院，则小车应提速到原来的多少倍？
解：设小车原来的速度为a km/h，提速后的速度是原来的m倍，则提速后的速度为ma km/h.
根据题意，得 ，解得m＝2.5.
经检验，m＝2.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：小车应提速到原来的2.5倍.
23.(12分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.
(1)如图1，延长AD，EB，相交于点O.
①求证：BE＝AD；
图1
证明：∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD 和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD.
图1
②用含α的式子表示∠BOA的度数；
解：由①知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAO＋α.
∵∠ABE＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠CBE＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BAO＋α＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BOA＝2α.
图1
(2)如图2，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点M，延长MC，交BD于点N，求证：N是BD的中点.
图2
证明：过点B作BP⊥MN，交MN的延长线于点P，
过点D作DQ⊥MN于点Q，则∠BPN＝∠DQN＝90°.
∵α＝45°，∴∠BCA＝180°－45°－45°＝90°，
∴∠BCP＋∠ACM＝90°.
∵∠CAM＋∠ACM＝90°，∴∠BCP＝∠CAM.
在△CBP和△ACM 中，
∴△CBP≌ △ACM(AAS)，∴MC＝BP.
同理CM＝DQ，∴DQ＝BP.
在△BPN和△DQN中，
∴△BPN≌△DQN(AAS)，
∴BN＝ND，∴N是BD的中点.
Thanks!
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2025-2026人教八上数学期末临考押题卷01
河南等地适用
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.若分式 有意义，则x的取值范围是( )
A
A.x≠1 B.x≠－1
C.x＝1 D.x＝－1
2.如图所示的运动图标中，是轴对称图形的是( )
D
3.分解因式x2y－9y的结果是( )
A
A.y(x＋3)(x－3) B.y(x＋9)(x－9)
C.y(x2－9) D.y(x－3)2
4.下列运算正确的是( )
D
A.a2·a3＝a6 B.(ab)2＝ab2
C.(a3)2＝a5 D.a7÷a3＝a4
5.如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是( )
A.∠A＝∠D B.∠ABD＝∠DCA
C.∠ACB＝∠DBC D.∠ABC＝∠DCB
C
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE的度数为( )
A.80° B.60° C.50° D.40°
D
7.若(m－n)2＝50，(m＋n)2＝4 000，则m2＋n2的值为( )
B
A.2 050 B.2 025
C.3 950 D.4 050
8.定义运算m※n＝1＋ ，如：1※2＝1＋ ＝ ，则方程x※(x＋1)＝的解为( )
B
A.x＝－ B.x＝ C.x＝1 D.x＝－1
9.如图，P是∠BAC的平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是( )
A
A.6 B.7 C.8 D.9
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的平分线，延长AC至点E，使得CE＝AC，连接DE，BE.有下列结论：①BD＝ED；②BD＝2CD；③ED平分∠CEB；④S△ABD＝S△EBD.其中一定正确的结论有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.计算：－22－(3.14－π)0＋(－ )－2＝_______.
－1
12.单个雪花的重量很轻，大约只有0.000 03 kg，0.000 03用科学记数法可表示为____________.
3×10－5
13.某厂接到在规定时间内加工1 500顶帐篷支援灾区人民的任务.在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，则原来每天加工帐篷_______顶.
100
14.如图，在△ABC中，BD＝CD，且∠1＝∠2.若∠ABC＋∠ACB＝110°，则∠3的度数为________.
35
15.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝72°，将△ABC沿边AC进行对折使得点B落在点D处，过点C作CE⊥AB于点E，P是直线CE上一动点，则∠ECD的度数为______.当DP－BP的值最大时，∠DPB的度数为______.
78°
84°
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16.(8分)计算：
(1)a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2；
解：原式＝a2－5ab＋3a5b3÷a4b2
＝a2－5ab＋3ab
＝a2－2ab.
(2)(x＋2)(2x－3)＋(10x3－12x)÷(－2x).
解：原式＝2x2－3x＋4x－6－5x2＋6
＝－3x2＋x.
17.(8分)解下列方程：
(1)－＝10；
解：原方程可化为－＝1.
方程两边乘1.5x，
得18－12＝1.5x，解得x＝4.
检验：当x＝4时，1.5x≠0，
∴原分式方程的解为x＝4.
18.(8分)先化简，再求值：·÷(＋1)，其中x满足－2≤x≤2，取一个整数即可.
解：原式＝·÷
＝··
＝.
∵－2≤x≤2，且x为整数，∴x＝±2，±1，0.
∵当x＝±2或0时，原式无意义，∴x可以为±1.
当x＝1时，原式＝ ＝3；
当x＝－1时，原式＝＝－1.
19.(9分)在正方形的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求.
(2)将△A1B1C1向下平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
解：如图△A2B2C2即为所求.
(3)已知△ABC内有一点P(a，b)，则经过上述两种图形变换后的对应点P2的坐标是_______________.
(－a，b－4)
20.(10分)已知a，b，c分别是△ABC的三边长.
(1)分别将多项式ac－bc，－a2＋2ab－b2进行因式分解；
解：ac－bc＝c(a－b)，
－a2＋2ab－b2＝－(a2－2ab＋b2)＝－(a－b)2.
(2)若ac－bc＝－a2＋2ab－b2，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形.理由如下：
∵ac－bc＝－a2＋2ab－b2，
∴c(a－b)＝－(a－b)2，
∴c(a－b)＋(a－b)2＝0，
∴(a－b)(c＋a－b)＝0.
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴c＋a－b＞0，
∴a－b＝0，即a＝b，
∴△ABC是等腰三角形.
21.(10分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB，交BC于点E，交AC于点F，DE＝BC，∠CDE＝∠ACB＝30°.
(1)求证：△FCD是等腰三角形；
证明：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝90°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝60°，
∴∠DCF＝∠DCE－∠ACB＝30°，
∴∠CDE＝∠DCF，∴DF＝CF，
∴△FCD是等腰三角形.
(2)若AB＝4，求CD的长.
解：由(1)得∠B＝∠DEC.
在△ACB和△CDE中，
∴△ACB≌△CDE(ASA)，∴AC＝CD.
在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，∴CD＝8.
22.(10分)假期里学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分别乘大、小两辆车前往距离140 km的乡村敬老院.
(1)若小车的速度是大车速度的1.4倍，且小车比大车早1 h到达，求大、小车的速度；
解：设大车的速度为x km/h，则小车的速度为1.4x km/h.
根据题意，得 ＋1＝ ，解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝56.
答：大车的速度为40 km/h，小车的速度为56 km/h.
(2)若小车与大车同时以相同的速度出发，但行驶了60 km后，小车上的同学发现有物品遗忘在学校，于是小车准备加速返回取物品，之后速度保持不变，要想与大车同时到达乡村敬老院，则小车应提速到原来的多少倍？
解：设小车原来的速度为a km/h，提速后的速度是原来的m倍，则提速后的速度为ma km/h.
根据题意，得 ＝ ，解得m＝2.5.
经检验，m＝2.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：小车应提速到原来的2.5倍.
23.(12分)在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α.
(1)如图1，延长AD，EB，相交于点O.
①求证：BE＝AD；
证明：∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°－2α，∠DCE＝180°－2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD 和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD.
②用含α的式子表示∠BOA的度数；
解：由①知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAO＋α.
∵∠ABE＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠CBE＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BAO＋α＋α＝∠BOA＋∠BAO，
∴∠BOA＝2α.
(2)如图2，当α＝45°时，连接BD，AE，作CM⊥AE于点M，延长MC，交BD于点N，求证：N是BD的中点.
证明：过点B作BP⊥MN，交MN的延长线于点P，
过点D作DQ⊥MN于点Q，则∠BPN＝∠DQN＝90°.
∵α＝45°，∴∠BCA＝180°－45°－45°＝90°，
∴∠BCP＋∠ACM＝90°.
∵∠CAM＋∠ACM＝90°，∴∠BCP＝∠CAM.
在△CBP和△ACM 中，
∴△CBP≌ △ACM(AAS)，∴MC＝BP.
同理CM＝DQ，∴DQ＝BP.
在△BPN和△DQN中，
∴△BPN≌△DQN(AAS)，
∴BN＝ND，∴N是BD的中点.
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