期末·寒假大串联 七年级数学(江苏科技教材适用)
部分参考答案
第一部分 温故知新
第1章测试卷
一、1.D 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.D
二、8.750 80 9.6 10.七上八下 11.酒精 12. 13.五角星 14.能
15.4800
三、16.解:(1)∵可直接饮用的只有0.5%,大约有105万亿吨,约占淡水总量的
1,∴世界上4
可用淡水量占淡水总量的25%.
(2)∵世界上近20%的人缺少饮用水,∴世界上只有80%的人口不缺饮用水.
(3)∵我国水资源面临的形势也十分严峻,人均可用淡水量比世界人均可用淡水量少
25%,∴我国人均可用淡水量相当于世界人均可用淡水量的75%.
(4)∵地球上水的总储量中97%是咸水,其中可直接饮用的只有0.5%,大约有105万亿
吨,105÷0.5%=21000(万亿吨),∴世界上的水资源总储量大约为21000万亿吨.
17.解:∵一张100元人民币长约15.5cm,宽约7.7cm,100张100元人民币约0.9cm厚,
∴五千万元现金全部是100元一张的人民币的体积=15.5×7.7×(5×107÷100÷100)×
0.9=537075(cm3) 537075cm3≈0.5m3,∵0.5m3 远大于一个小手提箱的体积,∴这是不
可能的.
18.解:(1)都乘8人座的,12÷8=1(辆)……4(人),需2辆;都乘4人座的,12÷4=
3(辆),需3辆;也乘8人座,也乘4人座,8+4=12,需一辆8人座,一辆4人座.
(2)都乘8人座的,需付费:2×300=600(元);都乘4人座的,需付费:3×200=600(元);
也乘8人座,也乘4人座,需付费:300+200=500(元).故租一辆8人座的,一辆4人座的费用
最少.
·1·
第2章测试卷
一、1.A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.C 8.B
二、 19.2 10.9 11.1 12.-5 13.-9 14.wkdrc 15.-1 16.1-2n
三、17.整数集合:{-10,42,0,…};
非负数集合:{4.3,42,0,- 3 - ÷,…};
è 5
负分数集合:{-3.8,- 20- ,…}7 .
18.解:(1)原式=-2-2=-4.
( 4 4 12)原式=81×9×9×16=1.
( 4 5 73)原式=36×9-36×6+36×12=16-30+21=7.
(4)原式
1 1
=-1- ×(2-9)=-1- ×(-7)
7 1
6 6 =-1+6=6.
19.解:450+20×60-12×120=450+1200-1440=1650-1440=210(米).所以这时
的直升机所在的高度是210米.
20.解:(1)-4+7+(-9)+8+6+(-5)+(-2)=1(千米).
答:收工时检修小组在A 地东面1千米处.
(2)第一次距A 地:|-4|=4千米;
第二次:|-4+7|=3千米;
第三次:|-4+7-9|=6千米;
第四次:|-4+7-9+8|=2千米;
第五次:|-4+7-9+8+6|=8千米;
第六次:|-4+7-9+8+6-5|=3千米;
第七次:|-4+7-9+8+6-5-2|=1千米.
所以距A 地最远的是第五次.
(3)从出发到收工汽车行驶的总路程:|-4|+|+7|+|-9|+|+8|+|+6|+|-5|+
·2·
|-2|=41(千米);
从出发到收工共耗油:41×0.3=12.3(升).
答:从出发到收工共耗油12.3升.
21.解:∵|x|=5,∴x=±5,又|y|=2,∴y=±2,又∵|x+y|=x+y,∴x+y≥0,∴x
=5,y=±2.当x=5,y=2时,x-y=5-2=3;当x=5,y=-2时,x-y=5-(-2)=7.
( )
22.解:根据题意得 ( )
2× -3 6×4
2* -3 *4=2+(-3)*4=6*4=6+4=2.4.
23.解:(1)∵M,O,N 对应的数分别为-3,0,1,点P 到点M,点 N 的距离相等,∴x 的
值是-1.
(2)存在符合题意的点P,此时x=-3.5或1.5.
24.解:(1)t 36-t
(2)①10-(-10)=20,20÷1=20,10-(-26)=36,3×20-36=24.
②Q 返回前相遇:3(t-16)=t.解得t=24.Q 返回后相遇:3(t-16)+t=36×2.解得t=
30.即t=24或30.
第3章测试卷
一、1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7.A 8.C
二、9.-4 5 10.3a+5b 11.50-3a 12.9 13.用100元买每斤9.8元的苹果x 斤余下
的钱 14.5 15.-5 16.-5a2
2
b 23ab 17.-6 18.2
三、19.解:(1)-3(2s-5)+6s=-6s+15+6s=15.
(2)3x- éê5x- 1x ù
1 1 3
ê -4÷ ú=3x- 5x- x+4 =3x-5x+ x-4=- x-4. è2 ú [ 2 ] 2 2
(3)6a2-4ab-4 2 1 2a +2ab
÷=6a2-4ab-8a2-2ab=-2a2-6ab.
è
(4)-3(2x2-xy)+4(x2+xy-6)=-6x2+3xy+4x2+4xy-24=-2x2+7xy-24.
20.解:(1)a2-2ab+b2=(a-b)2=(3+5)2=82=64.
(2)(a+b)2=[3+(-5)]2=(-2)2=4.
1 2m-1=3 m=2
21.解:由3a
3bn+1和2a2m-1b3 是同类项,得 { ,解得 { .当m=2,n=2时,n+1=3 n=2
·3·
3m+n=3×2+2=6+2=8.
22.解:原式 2
1 3
=-x + x-2y+x+2y=-x2+ x,当
1
x= ,
1
2 2 2 y=2022
时,原式=-4
3 1
+4=2.
23.解:3A+6B=3(2x2+3xy-2x-1)+6(-x2+xy-1)=(15y-6)x-9,
2
∵3A+6B 的值与x 的取值无关,∴15y-6=0,解得:y=5.
24.解:当ty=66时,
5
tc= (ty-32)
5
= ×(
5 170
9 9 66-32
)=9×34= 9 <20
,所以这天纽约
的气温比镇江的低.
25.解:(1)18 24 (2)第n 层对应的点数为6(n-1)(n≥2). (3)设72个点所对应的
层数为n,根据(2)的结论得6(n-1)=72,解得n=13,即第13层对应的点数为72.
() a+b 1.75+1.6326.1 h1= 2 ×1.08= 2 ×1.08≈1.83
(米).
() 0.923a+b 0.923×1.68+1.562 h2= 2 = 2 ≈1.56
(米).
27.解:(1)2x
(2)菜地道路的面积=12×2x+10x-x·2x=34x-2x2(平方米).
答:图中菜地的道路的面积为(34x-2x2)平方米.
28.解:(1)他在A 家批发需要600×6×92%=3312(元);在B 家批发需要600×6×
85%=3060(元).
(2)∵150075%x=4.5x 元.
(3)若在A 家批发,批发价为1800×6×90%=9720(元);若在B 家批发,批发价为
1800×6×75%=8100(元),则他在B 家批发更优惠.
第4章测试卷
一、1.B 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B 8.C
二、 3 39.-1 10.2x 11.③ 12.5 13.8 14.4 15.2 16.x+5
(12-x)=48 17. 或5
·4·
33或171
20 40 18.3800
三、19.解:(1)去括号得:3x-7x+7=3-2x-6,移项合并得:-2x=-10,解得:x=5.
(2)去分母得:6y-3(y-1)=12-(y+2),去括号得:6y-3y+3=12-y-2,解得:y
7
=4.
3x-2 4x-1
20.解:依题意,得 = ×2-1,3 4
解得 5x=6.
x-4 x+2
21.解:解方程 -8=- ,得3 2 x=10.
因为方程x-4 x+2-8=- 的解与关于x 的方程4x-(3 2 3a+1
)=6x+2a-1的解相同,
所以把x=10代入方程4x-(3a+1)=6x+2a-1,得4×10-(3a+1)=6×10+2a-
1,解得a=-4.
所以 1 1 3a-a=-4+4=-34.
22.解:(1)根据题中的新定义得:原式=-3-2×2=-7.
(2)已知等式变形得:x-3-2(x+1)=1,去括号得:x-3-2x-2=1,移项合并得:-x
=6,解得:x=-6.
23.解:设大正方形的边长为xcm.
根据题意,得x-2-1=4+5-x,
解得x=6.
6×6=36(cm2).
答:大正方形的面积是36cm2.
24.解:当x=3时,原式=5x-5-2x+4-4=3x-5=9-5=4,∴已知方程的解为y=
4,把y=4代入方程得:
1 1
8- = +■,即■=7,则这个常数为2 2 7.
25.解:(1)2×6+(10-6)×4+(12.5-10)×8=48(元).
(2)设该户居民3月份用水xt,则4月份用水(15-x)t,其中x<5,15-x>10.
·5·
根据题意,得2x+2×6+4×4+(15-x-10)×8=44.
解得x=4,则15-x=11.
答:该户居民3月份用水4t,4月份用水11t.
26.解:(1)方程2x=x+m-3,解得:x=m-3.
(2)把n=2代入方程
m+2
3y-2(n-1)2=m 得:3y-2=m,即y= ,由两个方程的解互3
为相反数,得到 m+2 7m-3+ 3 =0
,去分母得:3m-9+m+2=0,解得:m=4.
27.解:(1)①若花90元在乙店购买,50元可买两副羽毛球拍和4只羽毛球,剩下40元可
以买20只羽毛球,共2副羽毛球拍24只羽毛球.
②若花90元在甲店购买,则羽毛球拍需花费25×2×0.9=45(元),剩下45元可以买羽毛
球只数为45÷0.9÷2=25(只),共2副羽毛球拍25只羽毛球;∴到甲店购买更划算.
(2)设当买羽毛球x 只时,两种优惠办法付款一样,∵乙店买2副羽毛球拍需花费50元,
甲店买2副羽毛球拍需花费45元,∴根据题意,列方程:50+2(x-4)=45+2×0.9x,解得
x=15.答:若必须买2副羽毛球拍,则当买15只羽毛球时到两家商店购买一样划算.
28.解:(1)35÷3.5×8=80(公斤).
(2)7.5×80×a=900,解得a=1.5.
(3)设张家雇x 人,则王家雇2x 人,其中机械采摘的有
2 人,手工采摘的有4
3x 3x
人,
∵张家付给雇工工钱总额为14400元,∴80×1.5×x×8=14400,解得x=15,王家这次
采摘棉花的总重量是: 2 48×35×3×15×8+80×3×15×8=35200
(公斤).
答:王家这次采摘棉花的总重量是35200公斤.
第5章测试卷
一、1.C 2.C 3.D 4.A
二、5.面动成体 6.4 7.D 8.义 9.4
三、10.球 圆锥 正方体 圆柱 长方体
11.解:从3个小立方体上的数可知,与写有数字1的面相邻的面上数字是2,3,4,6,所以
·6·
数字1面对数字5,同理,立方体面上数字3对6.故立方体面上数字2对4.
12.解:(1)图②有7个面、15条棱、10个顶点;图③有7个面、14条棱、9个顶点;图④有7
个面、13条棱、8个顶点;图⑤有7个面、12条棱、7个顶点.
(2)例如:三棱锥被切去一块,如图所示,有5个面、9条棱、6个顶点 (3)f+v-e=2
13.解:(1)8 (2)图略
(3)∵长方体纸盒的底面是一个正方形,∴设最短的棱长高为acm,则长与宽相等
为5acm,
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm,∴4(a+5a+5a)=880,解得a=20cm,∴这个长
方体纸盒的体积为:20×100×100=200000(cm3).
第6章测试卷
一、1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C 7.C 8.C
二、9.0.75 10.69.75° 11.5 12.a∥c 13.大于 14.5 15.64° 16.13cm或5cm
17.110° 18.4cm或6cm
三、19.解:(13.9°+5°4'3″)×2-(6°5'+2°8'23″)=18°58'3″×2-8°13'23″=37°56'6″-8°13'23″=
29°42'43″.
20.解:设这个角为x,则它的余角为(90°-x),补角为(180°-x),则(90°-x+180°-x)
3
-4×180°=1°
,x=67°.
21.证明:∵HF⊥AB,CD⊥AB,∴CD∥HF,∴∠CHF+∠HCD=180°.∵∠EDC 与
∠CHF 互 补,∴ ∠EDC= ∠HCD,∴ED ∥CB,∴ ∠AED = ∠ACB.∵ ∠ACB =90°,
∴∠AED=90°,∴DE⊥AC.
22.解:设
1
BC=xcm,则AB=4xcm,∵D 为AC 中点,∴CD= ,则2AB=2x 6+x=
2x,x=6,AB=6×4=24cm.
·7·
23.解:(1)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
(2)∠APC=∠PAB+∠PCD
(3)∠APC=∠PCD-∠PAB
(4)∠APC=∠PAB-∠PCD
选择结论(1),理由如下:
过点P 作PE∥CD.
∵CD∥AB,
∴AB∥PE∥CD.
∴∠BAP+∠APE=180°,∠CPE+∠PCD=180°.
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°.
24.解:(1)
一条直线分成2部分
两条直线分成4部分 三条直线分成7部分
(2)
四条直线分成11部分
这四条直线的位置关系是每两条直线都恰好相交,且没有三条直线交于一点. (3)an=
n(n+1)
2 +1
25.解:∵2670°÷180°=14……150°,∴n-2=14+1,n=17.∴这个多边形的边数是17.
少加的内角是180°-150°=30°.∴这个多边形的边数是17,少加的内角是30°.
26.解:(1)长方形,
1
.(2)因为
1
= 1
7
÷ ,所以需连续对折 1 1 1
8 128 2 7
次.(3)原式=
è 2+4+8
1 1
+…+2n=1-2n.
27.解:(1)直线ON 平分∠AOC.理由:设ON 的反向延长线为OD,∵OM 平分∠BOC,
∴∠MOC=∠MOB,又∵OM ⊥ON,∴∠MOD=∠MON=90°,∴∠COD=∠BON,又
·8·
∵∠AOD=∠BON(对顶角相等),∴∠COD=∠AOD,∴OD 平分∠AOC,即直线ON 平
分∠AOC.
(2)∵∠BOC=120°,∴∠AOC=60°,∴∠BON=∠COD=30°,即旋转60°时 ON 平
分∠AOC,
由题意得,6t=60°或240°,∴t=10或40.
(3)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,∴∠AOM=90°-∠AON,∠NOC=60°-∠AON,
∴∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)=30°.
28.解:(1)由已知有:a<0,b>0,∵OA0,a-b<0,
∴|a|-|b|+|a+b|+|a-b|=-a-b+a+b+b-a=b-a.
(2)∵|a|+|b|=8.9,∴AB=8.9,又 MN=3,∴AN+AO+AM+AB+NO+NM+
NB+OM+OB+MB=(AN+NB)+(AO+OB)+(AM+MB)+AB+(NO+OM)+NM
=AB+AB+AB+AB+NM+NM=4AB+2NM=4×8.9+2×3=41.6.答:所有线段长度
的和为41.6.
(3)∵a=-3,∴OA=3,∵M 为AB 的中点,N 为OA 的中点,
1
∴AM=2AB
,AN=
1 1 1 1 3
OA,∴MN=AM-AN= AB- OA= AB- ,又2 2 2 2 2 MN=2AB-15
,∴2AB-15=
1 3,解得: 2
2AB-2 AB=9
,∴PA=3AB=6
,若点P 在点A 的左边时,点P 在原点的左边(图
略),OP=9,故点P 所对应的数为-9;若点P 在点A 的右边时,点P 在原点的右边(图略),
OP=3,故点P 所对应的数为3.
答:点P 所对应的数为-9或3.
第二部分 专题选讲
小小数轴作用大
1.解:根据已知条件作出数轴,如图.
·9·
由数轴,知a>-b,则a+b>0,a∴|a+b|+|a-b|=a+b+(b-a)=2b.
2.数轴略 -|4|<(-1)3<-(-3)<(-2)2
3.解:由图可知:a+b<0,c-a<0,b+c<0,∴|a+b|+|c-a|-|b+c|=-a-b-c
+a-(-b-c)=-b-c+b+c=0.
4.解:|a+c|-|a+b|+|c-a|-|a-b|=-(a+c)+(a+b)+c-a+(a-b)=-a
-c+a+b+c-a+a-b=0.
“混而有序”的有理数运算
1 1
1.解:原式= 1 1 22-9-4+18
÷× - ÷5 =-2-1=-1è è 2
2.解:原式=-27×(-5)+16÷(-8)-|-20|+02=135-2-20+0=113
规律探索乐在其中
D
怎样寻找相等关系
1.C 2.A 3.C 4.A
5.20x=15(x+4)-10
6.解:设胜了x 场,那么负了(8-x)场,根据题意得:
2x+1·(8-x)=13,
x=5,
8-5=3.
答:七年级一班胜、负场数分别是5和3.
7.解:设欧洲的意向创始成员国有x 个,则亚洲的意向创始成员国有(2x-2)个,
根据题意得:2x-2+x+5=57,
解得:x=18,
∴2x-2=34,
答:亚洲和欧洲的意向创始成员国各有34个和18个.
·10·
8.解:设每件衬衫降价x 元,依题意有
120×400+(120-x)×(500-400)=80×500×(1+45%),
解得x=20.
答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.
9.解:设原来这块合金中甲种金属的百分比是x,则甲种金属有10xkg,乙种金属有(10
-10x)kg,根据题意得
( 310-10x)÷ -10=2×[(10-10x)
2
10 ÷5-10
],
解得x=40%.
则( 210-10×40%)÷5-10=5
(kg).
答:第一次加入的甲种金属是5kg,原来这块合金中甲种金属的百分比是40%.
用结论来说理
如图所示
综合检测卷
一、1.A 2.B 3.A 4.D 5.A 6.D 7.B 8.A 9.C 10.B 11.B
二、12.六
1
13.140° 14.a 15.1 16.①③④ 17.50° 18.2 19.1 20.14 21.2.5
22.3 23.30 (n2-n)
三、24.解:() 1 1 5
1 1 5
1 2-
÷ ( ) ( ) ( ) ( )
è 3-6 × -24 =2× -24 -3× -24 -6× -24 =-12+8+
20=16.
(2)-10+6×2-1-(-2)3=-1+3+8=10.
25.解:(1)原式
1 2
=5x+y-3x-4y=2x-3y,当x= ,y= 时,原式2 3 =1-2=-1.
·11·
(2)原式=16(a-b)2+8(
1
a-b),当a-b= 时,原式4 =1+2=3.
26.解:(1)去分母得:6-3x=18-x,移项合并得:2x=-12,解得:x=-6.
()方程整理得:10x+10 20x-102 2 + 5 =3
,即5x+5+4x-2=3,解得:x=0.
27.解:如图所示:
28.解:(1)S=2x+4a+18+2(6-a)=2x+30+2a
(2)设两种方案的总金额分别为W1,W2,
方案一:W1=12000×(32+2x)
方案二:W2=12000×(36+2x)×0.9
由题意,W1=W2,
∴12000×(32+2x)=12000×(36+2x)×0.9,解得x=2.
29.解:当点C 在线段AB 上时,如图:
DE =BD-BE
1 1
=2AB-2BC
1
= ( )2 AB-BC
1
= ×(2 8-3
)
=2.5(cm)
当点C 在线段AB 的延长线上时,如图:
·12·
DE =BD+BE
1 1
=2AB+2BC
1
= (2 AB+BC
)
1
= ×(2 8+3
)
=5.5(cm)
所以DE 的长度是2.5cm或5.5cm.
30.解:设这个多边形的边数为n,则(n-2)×180°=360°×4+180°,n=11,内角和为
360°×4+180°[或(n-2)×180°]=1620°.
31.解:(1)75 132
(2)设12月用电量为x 度,由题意,当用电量为400度时,电费为222元;当用电量为180
度时,电费为90元;∴181≤x≤400.
180×0.5+(x-180)×0.6=150,解得x=280,即用电量为280度.
(3)设12月用电量为y 度,则11月用电量为(480-y)度,由题意,y>240.
①当y>400时,11月用电量在180度内,
(480-y)×0.5+180×0.5+(400-180)×0.6+(y-400)×0.8=262.6,
解得y=402,则11月用电量为78度,12月用电量为402度.
②当300(480-y)×0.5+180×0.5+(y-180)×0.6=262.6,解得y=406>400,舍去.
③当240180×0.5+(y-180)×0.6+180×0.5+(480-y-180)×0.6=262.6,方程无解.
综上,11月用电78度,12月用电402度.
32.解:(1)∵∠AOM=∠CON=90°,OC 平分∠AOM,∴∠1=∠AOC=45°,∴∠AOD
=180°-∠AOC=180°-45°=135°.
() 1 12 ∵∠AOM=90°,∴∠BOM=180°-90°=90°,∵∠1=4∠BOC
,∴∠1=3∠BOM
=30°,
·13·
∴∠AOC=90°-30°=60°,∠MOD=180°-30°=150°.
33.解:(1)∵∠AOB=90°,∠BOC=60°,∴∠AOC=90°+60°=150°,∵OM 平 分
∠AOC,
1 1
ON 平分∠BOC,∴∠MOC= ,2∠AOC=75° ∠NOC=2∠BOC=30°
,∴∠MON
=∠MOC-∠NOC=45°.
( 12)∠MON= ,理由是:2α ∵∠AOB=α
,∠BOC=60°,∴∠AOC=α+60°,∵OM 平分
1 1 1
∠AOC,ON 平分∠BOC,∴∠MOC=2∠AOC=2α+30°
,∠NOC= ∠BOC=30°,2
1
∴∠MON=∠MOC-∠NOC= 1 2α+30°
÷-30°=
è 2α.
(3)
1
∠MON= α,与β的大小无关2 .
理由:∵∠AOB=α,∠BOC=β,∴∠AOC=α+β.
∵OM 是∠AOC 的平分线,ON 是∠BOC 的平分线,
1 1
∴∠MOC=2∠AOC=
(α+β),2
1 1 1 1 1 1
∠NOC=2∠BOC=
,
2β ∴∠MON=∠MOC-∠NOC=
( ) ,即
2α+β -2β=2α ∠MON=2α.
34.解:(1)AB∥CD.理由如下:如图1,延长BE 交CD 于F.∵∠BED=∠B+∠D,
∠BED=∠EFD+∠D,∴∠B=∠EFD,∴AB∥CD.
(2)∠1=∠2+∠3.理由如下:如图2,延长BA 交CE 于F,∵AB∥CD(已知),∴∠3=
∠EFA(两直线平行,同位角相等),∵∠1=∠2+∠EFA,∴∠1=∠2+∠3.
第三部分 探究先飞
第7章 幂的运算
7.1 同底数幂的乘法
1.B 2.解:因为82a+3·8b-2=82025,所以82a+3+b-2=82025,所以2a+3+b-2=2025,整理得
·14·
2a+b=2024.
7.2 幂的乘方与积的乘方
()2 2 () 11.D 2.B 3.D 4.B 5.1xy 2 - a3 (3)27x6y3 (4)8 -55x
6
6.解:原式=(0.2×5)2012×3+2×(22011×0.52011)×32
=12012×3+2×12011×32
=3+2×1×9=21
1
7.解:原式=a3b6+ (-8a3b6 )
7
= a38 b
6
当a=2,
7
b=1时,原式= ×23×168 =7.
8.解:因为S正方形ABCD=3b·3b=(3b)2,S 2正方形ABCD=b ·9=9b2,
所以(3b)2=9b2.
9.解:(1)因为3×9m×27m=316,
所以3×(32)m×(33)m=316,
即3×32m×33m=316,
所以1+2m+3m=16,
解得m=3.
(2)因为am=2,an=5,
所以a2m +n=a2m·an
=(am)2·an
=4×5
=20.
10
10.解:原式
1 1 1 1
= (10×10×9×9×8×8×…×2×2×1×1)
=110
=1
·15·
7.3 同底数幂的除法
1.C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.a5 x7 a2b2 7.8 0.0002 8.(1)> (2)解:因为
999 119 999 990 999 990 999 999
P÷Q=999÷990=999×119=990×99×119=99×119=999=1
,
所以P=Q.
( 1 ) -2009 ( 1 )20089.解:原式= -8 × -8
= ( 1 -2009+2008-8 )
( 1 ) -1= -8
=-8
第7章预习效果检测卷
一、1.(1)a6 (2)x4 (3)m12 (4)-8x6y9 2.(1)1 (2)x 3.(1)1 (2)≠2 4.3
5.y=(x-1)3+3 6.36 7.72 8.32
二、9.C 10.B 11.D 12.B 13.B 14.A 15.C 16.B
三、 117.(1)x8 (2)m-2n 18.(1)99 ()100 28 19.m=3 20.
(1)241 (2)5400
·16·第二部分 专题选讲
小小数轴作用大
5和-5,即a=±5.
由绝对值的几何意义不难知道,任何数
a 的绝对值都是一个非负数,即|a|≥0.
数轴是一条规定了原点、单位长度和正 例2 在下图所示的数轴中,OA=OB
方向的直线.在解决数学问题时,数轴是沟通 =BC=n,化简|a-b|-|b+c|+|a+b+
数与形、体现数形结合思想的重要工具之一. c|.
下面介绍数轴在《有理数》一章学习中所发挥
的作用.
1.数轴与有理数 解析 由数轴上各点的位置可知,c第
在数轴上,原点右边的点表示正数,原点 <0左边的点表示负数,原点表示非正非负的中 =n. 部
性数“0”,它把数轴分成正半轴和负半轴两部 于是,得a-b=n-(-n)=n+n=2n 分
分.在数轴上,若干个点所表示的数中,右边 >0,b+c=(-n)+(-2n)=-3n<0,a+b
的点所表示的数一定大于左边的点所表示的 +c=n+(
专
-3n)=-2n<0,
题
数,不管这些点在原点的同侧还是异侧.由于 所以,|a-b|-|b+c|+|a+b+c|=
选
数轴是一条直线,没有端点,可以向两边无限 |2n|-|-3n|+|-2n|=2n-3n+2n=n. 讲
伸展,所 以 既 没 有 最 大 的 数,也 没 有 最 小 3.相反数与数轴
的数. 只有符号不同的两个数互为相反数,如
例1 画出数轴,并用数轴上的点表示 果利用数轴认识相反数,则更加形象直观.在
下列各数. 数轴上,表示一对相反数的两个点同时具备
, ,1, 1 两个条件
:(1)到原点的距离相等;(2)分别位
5 -232 -32. 于原点的左右两侧.特殊地,0的相反数还是
解析 0本身,也可以通过“表示0的点为原点”去
理解.因为数a 的相反数是-a,所以一个数
加了负号之后,表示这个数的点在数轴上的
2.数轴与绝对值 位置,就越过原点移到与原来相对的位置上
在数轴上,一个数所对应的点与原点的 了(严格地说,就是到了这个点关于原点的对
距离,叫做这个数的绝对值.这就是绝对值的 称点的位置);如果再加一个负号,那么它又
几何意义.如|a|=5,表示数轴上到原点距离 移回来,到了原来的位置上,即-(-a)=a,
为5的点,这 样 的 点 有 两 个,分 别 表 示 数 这说明一个数 的 相 反 数 的 相 反 数 就 是 它
39
本身. 2.把下列各数化简后在数轴上表示出
4.数轴可以比较大小 来,并把它们按从小到大的顺序用“<”号连
数轴上的点所表示的数,原点右边的都 接起来.
是正数,原点左边的都是负数;数轴上两个点 -|4| (-2)2 (-1)3 -(-3)
所表示的数,右边的总比左边的大.由此可得
到下面的结论:
(1)正数都大于0,负数都小于0,正数大
于负数.
(2)对于三个有理数a,b,c,若a>b,b
>c,则a>c;若a(3)没有最大的有理数,也没有最小的有 3.有理数a,b,c 在数轴上的对应点分
理数. 别为A,B,C,其位置如下图所示,试化简:
(4)最大的负整数是-1,最小的正整数 |a+b|+|c-a|-|b+c|.
是1.
第 (5)没有绝对值最大的数,绝对值最小的
二
数是
部 0.
分 例3 已知a<0,-b>0,且|-b|<
|a|,c是-b 的相反数,试比较a,-b,c 的
专 大小,并用“<”连接.
题
解析 由条件易知,若将a,-b,c 表示
选
在数轴上,则a 在原点的左边,-b在原点的
讲
右边,且a 离原点较远,-b 离原点较近,c 4.若a,b,c 在数轴上的对应点如图所
在原点和a 之间,且c 与-b 到原点的距离 示,化简|a+c|-|a+b|+|c-a|-|a-b|.
相等(如图所示).
由此不难得出结果:a1.已知a<0,b>0,且|a|<|b|,求|a
+b|+|a-b|的值.
40
“混而有序”的有理数运算
例2 计算:
êé 7 (3 1 31 - + - )×(-4)3úùê 8 8 16 4 ú÷5
有理数混合运算之所以容易产生混乱, 解
是因为在给定的题目中,往往同时存在加、 原式= [ 7 3 1 31 - ( + - )×(-64)]
减、乘、除、
8 8 16 4
乘方等多种运算,有时还加有多重
÷5
括号.计算时,若不能根据算式的结构特点,
7 3 1 3
合理地确定运算顺序,熟练掌握并灵活运用 = [18- (-8×64-16×64+4×
各级运算法则,则很难正确进行有理数混合
64) ]÷5
运算.
那么,如何才能准确、快捷地完成有理数 = ê
é 7
ê1 -(-24-4+48)
ùú
8 ú÷5 第
的混合运算呢
需按以下几个步骤进行:
é 7 ù 二(1)仔细观察式子结构特点;(2)合理确 = ê1 -20úê ÷5 8 ú 部
定运算顺序;(3)灵活运用各级运算法则. 15 1 分
让我们通过几例一起来学习一下: = (8-20)×5
专
1.分组有序 15 1 1
=8×5-20×
题
例1 计算: 5 选
3 4 3
65+24-18+45-16+18-6.8-3.2
= -4 讲8
3 4 29解 原式= (65+45 )+(-18+18) =-8
+(-6.8-3.2)+24-16 点评 在解决混合运算问题时,只要按
2 上述步骤,仔细观察式子的特点,灵活运用运
=115+0-10+24-16 算法则,就能准确、快速、有条不紊地完成有
2
=11 -2 理数的混合运算.5
3.分配有序
2
=95 例3 计算
:
点评 (1)有些加数相加后可以得到比 ( 2 7 5233-2915+26.6-199)×(-45)
较整齐的数时,先行相加(凑整).(2)分母相
2 7 3
同或易于通分的分数,可以先行相加.(3)把 解 原式= (23+3-29-15+26+5
互为相反数的两数先行相加(凑零). 5 ( )
2.级别有序 -19-9)× -45
41
( 2 7 3 5= 1+3-15+5-9)×(-45)
2 7 3 5
=-45-3×45+15×45-5×45+9
é
1. ê 1 (3 1 3×45 ê22- 8+6-4)
ù
×24úú ÷ 5 ×
=-45-30+21-27+25 (-1)2021
=-56
点评 在加法与乘法(除法)混合运算
中,合理地运用乘法分配律可以减少通分的
麻烦.
4.拆分有序
例4 计算:
24
48 ( )25÷ -48
解析 若将带分数化为假分数直接乘第
二 除,计算量较大.根据带分数的意义,可将复 2.-33×(-5)+16÷(-2)3-|-4×5|
部 杂的带分数拆分成整数与分数的和(或差)进 5 2
分 行计算. + (8-0.625)
解 原式 ( 24专 = 48+25)÷(-48)
题
1 24 1
选 =48× (-48)+25× (-48)
讲 1
=-1-50
1
=-150
点评 进行复杂带分数的乘除时,可把
带分数的整数与分数拆开,再利用乘法分配
律进行计算,会给计算带来意想不到的简便!
42
规律探索乐在其中
例2 如图,用灰白两色正方形瓷砖铺
设 地 面,第 n 个 图 案 中 白 色 瓷 砖 块 数
为 .
学习了整式的有关知识,我们可以解决
生活中的一些规律性探索题.下面让我们共
同体验一下探索的乐趣吧!
1.日历中的规律
例1 如图1是一个数表,现用一个长
方形在数表中任意框出4个数,如图2.
解析 观察第1个图案,白色瓷砖的块
第
数为1+3+1=5,第2个图案中白色瓷砖的
二
块数为2+4+2=8,第3个图案中白色瓷砖 部
的块数为3+5+3=11……依此规律可得, 分
(1)指出a,c的关系. 第n 个图案中白色瓷砖的块数为n+(n+2)
专
(2)若a+b+c+d=32,a 的值是多少 +n=3n+2. 题
解析 (1)观察数表发现每列相邻两数 点评 本题也可从5,8,11,…数字之间 选
相差5,所以有a=c-5. 的关系发现规律. 讲
(2)由(1)知,a=c-5,d=b-5.在数表
中:每行相邻两数相差为1,即a=d+1,c=
b+1.把式子中的b,c,d 用含a 的式子来表
示,即可求出a 的值. 根据下图中的箭头的指向规律,从2013
所以,a+b+c+d=a+a+4+a+5+ 到2014再到2015,箭头的方向是以下图示
a-1=32. 中的 ( )
整理,得4a=24,即a=6.
点评 这是一个数表题,只要找到它们
之间存在的联系,即差值,就可以用含有一个
未知数的式子分别表示,考查同学们的观察
和运用字母表示数的能力.
2.地板瓷砖中的规律
43
怎样寻找相等关系
列方程解决问题,找相等关系是关键,现
介绍几种找相等关系的方法.
1.利用基本关系 解析 这是一道以图形和对话内容为主
基本关系就是我们平时掌握的公式:如 的新型一元一次方程题.解题时应根据所给
路程=速度×时间;利润率=利润÷进价等. 图景找出等量关系进行解答.通过观察发现
例1 某商品的进价为170元,按标价 两个量筒内水的体积是相等的.根据这一等
的85%销售,利润率为15%,问商品的标价 量关系可列方程.
是多少 8 2 6 2
第 解 π× (2 ) x=π× (2 ) ×(x+5),
解析
二 本题是商品销售问题
,解决问题
45
部 的关键是利用关系式:利润率=利润÷进价.
解得x=7.
分 通过设出标价列方程.
解 设商品的标价为x 元,则售价为
专
题 85%x 元,根据公式得
85%x-170
=15%,170
选 1.某商场销售的一款空调机每台的标
解得
讲 x=230. 价是1635元,在一次促销活动中,按标价的
2.抓住不变量
八折销售,仍可盈利9%.则这款空调每台的
例2 某种商品若按标价的九折出售,
进价为 ( )
利润率为15%,若按标价的八折出售,则仍
A.1000元 B.1100元
可获利34元.问该商品的标价为多少
C.1200元 D.1300元
解析 本题中隐含的不变量就是商品两 2.某工程甲单独完成要45天,乙单独完
次打折,其进价不变.根据这个不变量可设标 成要30天,若乙先单独干22天,剩下的由甲
价为x 元,列方程求解. 单独完成.问甲、乙一共用几天可以完成全部
解 设商品的标价为x 元,则商品进价 工作.若设甲、乙共用x 天完成,则符合题意
为 0.9x 元或( )元,则 0.9x0.8x-34 的方程是 ( )1+15% 1+15%=
x-22 22 x+22 22
0.8x-34,解得x=1955. A. 45 +30=1 B. 30 +45=1
3.借助示意图 x+22 22 x x-22
例3 请根据图中给出的信息,列出正 C. 45 +30=1 D.30+ 45 =1
确的方程. 3.设有x 个人共种m 棵树苗,如果每人
44
种8棵,则剩下2棵树苗未种,如果每人种 7.为支持亚太地区国家基础设施建设,
10棵,则缺6棵树苗.根据题意,列方程正确 由中国倡议设立亚投行,截至2015年4月
的是 ( ) 15日,亚投行意向创始成员国确定为57个,
x x x x 其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少
A.8-2=10+6 B.8+2=10-6 2个,其余洲共5个,求亚洲和欧洲的意向创
m-2 m+6 m+2 m-6
C. = D. = 始成员国各有多少个 8 10 8 10
4.某电器按成本价提高30%后标价,再
打八折销售,售价为2080元.设该电器的成
本价为x 元,由题意,下面所列方程正确的是
( )
A.80%(1+30%)x=2080
8.某校七年级社会实践小组去商场调
B.30%·80%x=2080
查商品销售情况,了解到该商场以每件80元
C.2080×30%×80%=x
的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件
D.30%·x=2080×80% 第
120元的价格销售了400件,商场准备采取
5.某工厂生产一种零件,计划在20天内 二
促销措施,将剩下的衬衫降价销售.请你帮商
完成,若每天多生产4个,则15天完成且还 部
场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完
多生产10个.设原计划每天生产x 个,根据 分
这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标
题意可列方程为 . 专
6.为有效开展阳光体育活动,云洱中学 题
利用课外活动时间进行班级篮球比赛,每场 选
比赛都要决出胜负,每队胜一场得2分,负一 讲
场得1分.已知七年级一班在8场比赛中得
到13分,问七年级一班胜、负场数分别是
9.现有甲、乙两种金属的合金10k
g
,如
多少
果加入甲种金属若干,那么重新熔炼后的合
金中乙种金属占2份,甲种金属占3份,如果
加入的甲种金属是第一次加入的2倍,那么
重新熔炼后的合金中乙种金属占3份,甲种
金属占7份,第一次加入的甲种金属是多少
原来这块合金中甲种金属的百分比是多少
45
用结论来说理
(1)作图:连接AB,BC,CA.
(2)比较大小:AB+AC BC,
AB+BC AC,BC+AC AB.
数学知识源于生活,又服务于生活,生活 (3)小组讨论:由(2)的结论你有什么
中的许多问题,蕴含着丰富的数学结论.现举 启发
例说明“两点之间,线段最短”在生活中的 解析 (1)作图如图4所示.
应用.
1.平面图形中的最短路径问题
例1 (1)如图1,从 A 到B 有3条路
径,最短的路径是③,理由是 .
图4
第 (2)根据“两点之间,线段最短”,不难比
二 较大小:AB+AC>BC,AB+BC>AC,BC
部 +AC>AB;(3)图4实质上是一个同学们非
分 图1 图2 常熟悉的三角形,AB,BC,CA 就是这个三
专 (2)如图2,从学校A 到书店B 最近的 角形的三条边.由(2)的结论发现:在一个三
题 路线是 号路线,其中的道理用数学 角形中,任意两边之和大于第三条边.
选 知识解释应是 .
讲 解析 图1中从A 到B 的第①条路径
是曲线,第②条路径是折线,第③条路径是线
段AB.第③条路径是最短的,其理由是“两点 某同学的茶杯是圆柱形,旁边还紧挨着
之间,线段最短”.图2中从学校A 到书店B 一个正方体盒子,如图是茶杯和盒子的立体
有2条路径,其中第(1)条路径是线段 AB, 图,茶杯与盒子一样高.在圆柱侧面中间B
第(2)条路径是折线 AB,同样根据“两点之 处有一只蚂蚁,它发现正方体一条棱的中点
间,线段最短”,可判断从学校到书店最近的
C 处有食物,但考虑独自又搬不动,于是先到
路线是(1)号路线.
A 处叫同伙,再直接爬行到C 处搬食物.如
2.最短路径问题的拓展与延伸
果蚂蚁爬行路线从B A C 最短,请用平
例2 如图3,不在同一条直线上的点
面展开图画出这条最短路线图.
A,B,C,请完成以下各题:
图3
46
