期末·寒假大串联 七年级数学(北京师范教材适用)
部分参考答案
第一部分 温故知新
第一章测试
一、1.A 2.D 3.A 4.B 5.D 6.B 7.A 8.C
二、9.3 10.线 面 面 (1)点动成线 (2)线动成面 (3)面动成体 11.球或正方体
12.48 13.224000
三、14.
15.
16.解:(1)如图所示:
(2)根据题意,得几何体的表面积为2×(3+4+5)=24(平方单位).
(3)要使表面积最大,则需满足两个小正方体重合的最少,此时从上面看到的几何体的形
·1·
状图为:
此时几何体的表面积为2×(3+5+5)=26(平方单位).
第二章测试
一、1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C
二、8.3 9.2012 10.1 11.2019 12.m-n 13.97
三、 正数集合:{ , , ,2214. 3.14 +720.618 ,…};7
非负整数集合:{+72,0,…};
整数集合:{-2,+72,0,…};
负分数集合:{-2.5,-0.6,-0.101,…}.
15.(1)0 (2)-30
16.解:因为|x+3|与(y-2)2 互为相反数,
所以|x+3|+(y-2)2=0,
所以x+3=0,y-2=0,
所以x=-3,y=2.
所以x+y-xy+xy=(-3)+2-(-3)×2+(-3)2=14.
17.解:(1)(+15)+(-3)+(+14)+(-11)+(+10)+(-12)+(+4)+(-15)+
(+16)+(-18)=15-3+14-11+10-12+4-15+16-18=15+14+10+4+16-3-11-
12-15-18=59-59=0,
∴ 此时小李在下午刚开始营运的地点.
(2)小李下午营运共行里程为:|+15|+|-3|+|+14|+|-11|+|+10|+|-12|+
|+4|+|-15|+|+16|+|-18|=15+3+14+11+10+12+4+15+16+18=118(千米),
·2·
118×a=118a(升).
18.解:(1)第
1
1个数: ;第2个数:
3;第3个数:
5
2 2 2.
-1 (-1)2 (-1)3 (-1)4046(2)第2024个数:2024- 1+ 1+ 1+ ×…2 3 4 × 1+ 4047 1+
(-1)4047 1 4 3 4048 4047 1 1
4048 =2024- …2×3×4× ×4047×4048=2024-2=20232.
第三章测试
一、1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D
二、7.3n+3 8.-4a+4b 9.2 3 10.(a+1.25b) 11.1 12.(-2)n-1xn
三、13.解:(1)6x+2x2-2x2+x3+2x=(6x+2x)+(2x2-2x2)+x3=(6+2)x+(2-2)x2+x3
=8x+x3.
(2)4yx2-2xy2-yx2+3xy2-9=(4yx2-yx2)+(-2xy2+3xy2)-9=(4-1)yx2+
(-2+3)xy2-9=3yx2+xy2-9.
1 2 3 1
14.(1)解:原式=2x
2-2x2+ 23y - x
2+ 2 2 22 3y =-3x +y .
当 2x=- ,y=-1时,3
2 2 4 4 1
-3x2+y2=-3× -3 +(-1)2=-3×9+1=-3+1=-3.
(2)解:原式=2ab-(b3-a3+2ab+3a2b-3ab2)
=2ab-b3+a3-2ab-3a2b+3ab2
=a3-3a2b+3ab2-b3.
当a=2,b=-1时,
a3-3a2b+3ab2-b3=23-3×22×(-1)+3×2×(-1)2-(-1)3=8+12+6+1=27.
15.解:A+B=A-B+2B=3m2-2m-5+2(2m2-3m-2)=3m2-2m-5+4m2-
6m-4=7m2-8m-9.
·3·
16.解:(1)第m 年年底的沙漠面积为100.2+0.2(m-1)=(0.2m+100)万平方千米.
(2)第n 年年底的沙漠面积为0.2n+100-0.8·(n-5)=(104-0.6n)万平方千米.
(3)在(2)的条件下,当n=90时,
1
104-0.6n=50,50÷100=2.
即第90年年底,该地区沙漠面积占原有沙漠面积的
1
2.
第四章测试
一、1.B 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.C
二、8.130° 9.90 75 10.5cm或11cm 11.8
三、12.解:∵各个扇形面积的比为1∶2∶6,
各个扇形的面积分别占整个圆面积的1,2,2∴ 9 9 3.
∴各个扇形的圆心角的度数分别是
1 2 2
360°×9=40°
,360°×9=80°
,360°×3=240°.
∴甲扇形的圆心角为40°,乙扇形的圆心角为80°,丙扇形的圆心角为240°.
13.解:因为 AO⊥OB,所以∠AOB=90°,因为∠BOD=130°,所以∠AOD=360°-
∠AOB-∠BOD=360°-90°-130°=140°.
14.解:因 为 OD 平 分∠AOC,OE 平 分∠BOC,所 以∠AOC=2∠AOD,∠BOE=
1
2∠BOC.
又因为∠AOD=30°,所以∠AOC=60°,所以∠BOC=180°-∠AOC=120°,所以
1
∠BOE=2∠BOC=60°.
15.解:①拴在点A 处时,羊的活动范围是以A 为圆心,以4m为半径的圆面积的一半以
及以点B 为圆心,以1m为半径的圆面积的
1,面积为1 1 33
4 2π×4
2+ π×12= ( 2);4 4πm
②拴在点B 处时,羊的活动范围是以B 为圆心,以
3 3
4m为半径的圆面积的 ,面积为4 4π
·4·
×42=12π(m2);
③拴在点C 处时,羊的活动范围与拴在点A 处一样;
④拴在点D 处时,羊的活动范围是以D 为圆心,以4m为半径的圆面积的一半,面积为
1
2π×4
2=8π(m2).
综上所述,将羊拴在点B 处时,羊在草地上活动区域的面积最大.
第五章测试
一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 7.C
二、 4
4
8.x=5 9.10b+a 10. , 或5 11.265 5
12.1000 [点拨:设长方体的高为xcm,则长方体的宽为2xcm,所以x+2x+x+2x=
30,解得x=5,所以长方体的宽为10cm,长方体的长为30-2×5=20(cm),长方体的体积
为:5×10×20=1000(cm3)]
13.18或46.8
三、14.解:解方程 得
1
9-3x=5x+5 x= ,2
将 1x= 代入方程
7
2 mx-
,
2m=9
得m=-3.
15.解:(1)去括号,得2x-4-12x+3=9-9x,
移项、合并同类项,得-x=10,
两边同时除以-1,得x=-10.
(2)去分母,得2(2x-1)-(5x+2)=3(1-2x)-12,
去括号、移项、合并同类项,得5x=-5,
两边同时除以5,得x=-1.
16.解:本题答案不唯一,下列解法供参考.
·5·
问题:1辆大车和1辆小车一次各运货多少吨
解:设1辆大车一次运货x 吨,则1辆小车一次运货
22-3x吨
4 .
根据题意,得 22-3x2x+6× =23,解得4 x=4.
22-3x 22-3×4
4 = 4 =2.5.
答:1辆大车一次运货4吨,1辆小车一次运货2.5吨.
第六章测试
一、1.D 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C
二、7.5 8.(1)50 (2)1~2 (3)12:00~13:00 9.66 10.144° 11.1000
三、12.解:(1)总体是某块小麦实验田里的单株产量,个体是实验田里每株小麦的产量,样本
是抽取的100株小麦的单株产量.
(2)总体是某校学生完成课外作业的时间,个体是每名学生完成课外作业的时间,样本是
抽样调查的50名学生完成课外作业的时间.
13.解:(1)这10户家庭该月平均用水量=(10×2+13×2+14×3+17×2+18)÷10=14(吨);
(2)该小区每月共用水=14×500=7000(吨).
14.解:(1)调查的村民数=240+60=300(人),
参加合作医疗报销了医药费的人数=240×7.5%=18(人);
(2)∵参加合作医疗的百分率为240÷300=80%,
∴估计该乡参加合作医疗的村民有10000×80%=8000(人),
10000×95%-8000=1500(人),即要使参加合作医疗的村民达到95%,还需要1500名
村民参加.
15.解:(1)a=(40+45)÷2=42.5,m=12,n=100-4-12-24-36-4=20,图略.
() 36+20+424000× (人),100 =2400
·6·
答:该县中考体育成绩优秀学生人数约为2400人.
第二部分 专题选讲
对面的朋友看过来
小试牛刀:A
绝对值
小试牛刀:1.C 2.D 3.A 4.1
代数式的值
小试牛刀:1.C 2.5
几何图形的计数
小试牛刀:B
怎样寻找相等关系
小试牛刀:1.A 2.B 3.20 4.(2m+3) 5.1000
6.解:设x 小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半,据题意,
得1
2 1 11- ,8x =1-6x
解得: 24x=5.
答:24
小时后乙支蜡烛的长度是甲支蜡烛长度的一半
5 .
7.解:设小明1月份的跳远成绩为x m,则每个月增加的距离为(4.1-x)m,依题意有:
x+4(4.1-x)=4.7
解得x=3.9,
·7·
4.1-3.9=0.2(m).
答:小明1月份的跳远成绩为3.9m,每个月增加的距离为0.2m.
8.解:(1)设七年级(1)班有x 人,则七年级(2)班有 8168 -x 人,由题意,得
81612x+10× 8 -x =1118
解得:x=49,
816
8 -49=53
(人).
答:七年级(1)班有49人,七年级(2)班有53人.
(2)七年级(1)班节省的费用为:(12-8)×49=196(元),七年级(2)班节省的费用为:
(10-8)×53=106(元).
答:七年级(1)班节约了196元,七年级(2)班节约了106元.
统计图的选择
小试牛刀:解:(1)10÷10%=100(人),100-10-21-40-4=25(人).
补全频数分布直方图,如图所示.
(2)∵40÷100=40%,
∴m=40.
∵4÷100=4%,∴“E”组对应的圆心角度数为:4%×360°=14.4°.
(3)3000×(25%+4%)=870(人).
·8·
答:估计该校学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的有870人.
综合能力检测(一)
一、1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.B 10.B 11.A
3 二、12.- 13.机动车尾气4 14.x=-13 15.3a 16.x
2+3x+6 17.16 4n
三、18. 解:(1)-10-8÷(-2)× 1-2
1
=-10+4× -2
=-10-2
=-12
( 1 1 12)(-24)× 8-3+4 +(-2)3
=-3+8-6-8
=-9
19.(1)x=-5 (2)x=-3
20.解:-2(mn-3m2)-[m2-5(mn-m2)+2mn]
=-2mn+6m2-(m2-5mn+5m2+2mn)
=-2mn+6m2-m2+5mn-5m2-2mn
=mn
把m=1,n=-2代入,得
原式=1×(-2)=-2.
四、21.解:(1)6×25=150(元),12×25×0.8=240(元);故填:150 240
(2)有这种可能.
设小红购买跳绳x 根,根据题意得25×80%x=25(x-2)-5,
解得x=11.
·9·
因此小红购买跳绳11根.
22.解:(1)5 9 13
(2)(4n+1)
(3)由4n+1=121,得n=30.
故用121根火柴棒时,是第30个图案.
综合能力检测(二)
一、1.C 2.C 3.C 4.C 5.B 6.B 7.C 8.A 9.B 10.C 11.B 12.C
二、13.10a+2b 14.8 15.(2) 两点之间,线段最短 16.□ 17.15 18.1
三、19.(1)-2 (2)-25
20.解:原式=2x2-(3-x2+2)=2x2-3+x2-2=3x2-5
当x=-3时,原式=3×(-3)2-5=22.
1
21.(1)x= (2 2
)x=-3
四、 1 122.解:(1)∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=3∠BOC
,∴∠AOC=4×180°=45°.
∵OC 是∠AOD 的平分线,∴∠COD=∠AOC=45°.
(2)由(1)知∠COD=∠AOC=45°,∴∠AOD=90°,∴OD⊥AB.
23.解:(1)设钢笔的单价为x 元,则毛笔的单价为(x+4)元.
根据题意得出方程30x+45(x+4)=1755.
解得x=21.
毛笔的单价为21+4=25(元).
(2)设要买x 支钢笔,则要买(105-x)支毛笔.
根据题意得出方程21x+25(105-x)=2447.
解得x=44.5.
不存在0.5支钢笔,所以他算错了.
·10·
24.解:(1)8 12
(2)点M 表示的数为:-t,点N 表示的数为:12-3t,
AM=|8-t|,AN=|20-3t|.
根据题意得:|20-3t|=2|8-t|,解得:
36
t=4或t=5.
(3)点 表示的数为:
-8-t
P ,2
点 24-3tQ 表示的数为: ,2
∴PQ= -8-t 24-3t2 - 2 =|t-16|
,MN=|2t-12|,
∴PQ+MN=|t-16|+|2t-12|.
当t≥16时,原式=t-16+2t-12=3t-28,此时当t=16时,最小值为20;
当6≤t≤16时,原式=16-t+2t-12=t+4,此时当t=6时,最小值为10;
当t≤6时,原式=16-t+12-2t=28-3t,此时当t=6时,最小值为10.
综上所述,当t=6时,PQ+MN 有最小值,最小值为10.
第三部分 探究先飞
第一章 整式的乘除
1.1 同底数幂的乘法
1.B 2.解:因为82a+3·8b-2=82024,所以82a+3+b-2=82024,所以2a+3+b-2=2024,整
理得2a+b=2023.
1.2 幂的乘方与积的乘方
1
1.D 2.B 3.D 4.B 5.(1)x2y2 (2)- 38a
(3)27x6y3 (4)-55x6
·11·
6.解:原式=(0.2×5)2024×3+2×(22023×0.52023)×32
=12024×3+2×12023×32
=3+2×1×9=21
7.解:原式=a3
1
b6+ -8a3b6
7
= 3 68ab
当 7a=2,b=1时,原式= ×23×168 =7.
8.解:因为S 2 2 2正方形ABCD=3b·3b=(3b),S正方形ABCD=b ·9=9b ,
所以(3b)2=9b2.
9.解:(1)因为3×9m×27m=316,
所以3×(32)m×(33)m=316,
即3×32m×33m=316,
所以1+2m+3m=16,
解得m=3.
(2)因为am=2,an=5,
所以a2m +n =a2m·an
=(am)2·an
=4×5
=20.
10
10.解:原式 1 1 1 … 1= 10×10×9×9×8×8× ×2×2×1×1
=110
=1
·12·
1.3 同底数幂的除法
1.C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.a5 x7 a2b2 7.8 0.0002 8.1000
9.(1)>
999()解:因为 11
9 999 990 999 990 999 999
2 P÷Q=
999
÷
990
= 99× = × = = =1,9 119 990×99 119 99×119 999
所以P=Q.
1 -2024 1 2023
10.解:原式= -8 × -8
1 -2024+2023= -8
1 -1
= -8
=-8
1.4 整式的乘法
1.C 2.C 3.-3a5b7
4.解:(2a+b)(a+a+3b)-2a·3b
=(2a+b)(2a+3b)-2a·3b
=4a2+6ab+2ab+3b2-6ab
=4a2+2ab+3b2.
1.5 平方差公式
1.A 2.A 3.D 4.(1)x2-1 (2)x2-y2 (3)a2-9 (4)n2-m2 (5)100+1
100-1 1002 1 9999 5.10 6.(a+b)(a-b)=a2-b2
7.(1)解:原式=(a2-4)(a2+4)
=(a2)2-42
·13·
=a4-16
(2)解:原式=-2[(3x)2-(2y)2]
=-2(9x2-4y2)
=-18x2+8y2
(3)解:原式=x2-9-2x2
=-x2-9
(4)解:原式=(x2-y2)-[(3x)2-(2y)2]
=x2-y2-(9x2-4y2)
=x2-y2-9x2+4y2
=-8x2+3y2
1.6 完全平方公式
1.B 2.D 3.C 4.100-3 1002-2×100×3+32 9409 5.12xy(或-12xy)
6.(1)解:原式=[(2a+b)+1][(2a+b)-1]
=(2a+b)2-12
=(2a)2+2·2a·b+b2-1
=4a2+4ab+b2-1
(2)解:原式=x2+4x+4-(x2-2x+1)
=x2+4x+4-x2+2x-1
=6x+3
7.解:原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2.
当a=1,
1
b= 时,原式=2×1210 =2.
8.解法一:原式=4a2-4ab+b2-b2=4a2-4ab.
当a=-2,b=3时,原式=4×(-2)2-4×(-2)×3=16+24=40.
·14·
解法二:原式=(2a-b+b)(2a-b-b)=2a(2a-2b)=4a2-4ab,代入值计算同上.
9.解:原式=2b2+a2-b2-a2+2ab-b2=2ab.
当 1a=-3,b= 时,原式 ( )
1
2 =2× -3 ×2=-3.
1.7 整式的除法
1.D 2.3a
3.解:[(1.2×105)÷(1.2×104)]×[(2.4×104)÷(1.2×104)]=20(种)
预习效果检测
一、1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.D 7.C
二、8.1 9.m 10.如a2×a4=a6,(a2)3=a6 等 11.7 12.(2n+1)2-1=2n(2n+2)
13.-2ab
三、14.解:原式=a2-2ab-b2-a2+2ab-b2=-2b2.
15.解:原式=(2x2-x+2x-1)-(x2-6x+9)
=2x2-x+2x-1-x2+6x-9
=x2+7x-10
当x=-2时,原式=(-2)2+7×(-2)-10=-20.
16.解:因为21x4y3÷(-7x2y)=-3x2y2,
5xy×(-7x2y)=-35x3y2,
所以被除式中被污染的项是-35x3y2,
商式中被污染的项是-3x2y2.
完整的试题应为
(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y.
17.解:(1)S =a2-b21 ,
1
S2= ( )(2 2b+2a a-b
)=(a+b)(a-b).
·15·
(2)(a+b)(a-b)=a2—b2
18.解:M·N+P
=(x2+5x-a)(-x+2)+(x3+3x2+5)
=-x3+2x2-5x2+10x+ax-2a+x3+3x2+5
=(10+a)x-2a+5,
∵此代数式的值与x 的取值无关,
∴10+a=0,即a=-10.
19.(1)是第二类知识.
(2)单项式乘多项式(分配律),字母表示数,数可以表示线段的长或图形的面积,等等.
(3)用数来说明:(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd.
用图形来说明:如图,边长为a+b和c+d 的矩形,
分割前后的面积相等,即(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd.
·16·第三部分 探究先飞
第一章 整式的乘除
1.1 同底数幂的乘法
3.例题学习
例1 判断下列计算是否正确:
(1)3· x x5=x15;
1.情景引入:
(2)2·3 2 x x
2=2x4;
式子10×10 的意义是什么
(3)(-x)2·(-x)3=(-x)5=-x5;
这个式子中的两个因式有何特点
解 (1)错,x3·x5=x8.
请根据自己的理解,解答下列各题.
(2)错,3 2 x
2·x2=x4. (3)正确.
10×10=(10×10×10)×(10×10)
例2 计算:(1)an+2·( ) a
n+1·an·a;
=10 ;
(2)(b+2)3·(b+2)5·(b+2)3 .2×22=(2×2×2)×(2×2)=2×2×2×2
分析 (1)中的底数为a,(2)中的底数 第
×2
(b ), a (b ) 三为 +2 两题中的 和 +2 的系数都
↓ ↓ =2
( ); 部
是1.
a3×a2=a︸aa( )
( ) 分
︸aa =a︸aaaa=a . 解 (1)an+2 ·an+1 ·an ·a =
3个a 2个a 5个a
观察下面各题左右两边,底数、指数有什 an+2+n+1+n+1=a3n+4. 探
么关系 (2)(b+2)3·(b+2)5·(b+2)=(b+ 究
103×102=10(5)=10(3+2); 2)3+5+1=(b+2)9
先
.
飞
23×22=2(5)=2(3+2);
a3×a2=a(5)=a(3+2).
猜想:am·an= (当m,n都是正整数)
2.总结同底数幂的乘法法则:am·an 1.( ) 6· 2 漳 州中 考题 计 算a a 的结果是
=am+n(m,n 都是正整数),用语言来描述此 ( )
法则即为:“同底数幂相乘,底数不变,指数 A.a12 B.a8
相加.” C.a4 D.a3
温馨提示:(1)应用同底数幂的乘法运算 2.若 82a+3·8b-2=82024,求 2a+b
性质时,要注意三点:①底数必须相同;②相 的值.
乘时底数不变;③指数相加的和为积的指数.
(2)对于同底数幂的乘法也可以推广到
三个或三个以上:am ·an·ap=am+n+p;
am·an·…·ap=am+n+…+p (m,n,…,p
都为正整数).
45
1.2 幂的乘方与积的乘方
3.例题学习
例1 计算:
(1)( -xy)4;(2)-(2ab2)3.
1.情景引入:
分析 (1)中的因式为-1,x,y;(2)中
根据已经学习过的知识,回忆并探讨以
的因式为2,a,b2,而符号为结果的符号.
下实际问题:
解 (1)(-x )4=(-1)4x4 4=x4 4;
() y y y1 乙正方体的棱长是2cm,则乙正方
(2)-(2ab2)3 3 3(2)3 3 6
体的体积V = cm3
=-2a b =-8ab .
乙 ;
例2 若10m =5,10b=3, 求102m +3b
甲正方体的棱长是乙正方体棱长的5
的值.
倍,则甲正方体的体积V甲= cm3.
分析 根据同底数幂相乘,底数不变指
(2)乙球的半径为3cm,则乙球的体积
数相加,幂的乘方,底数不变指数相乘的性质
V乙= cm3;
的逆用代入数据计算即可.
第 甲球的半径是乙球的10倍,则甲球的体
解
3 ∵10
m=5,10b=3,
三 积V甲= cm .
∴102m +3b=102m·103b, 部 如果甲球的半径是乙球的n 倍,那么甲
=(10m分 )
2×(10b)3=52×33,
球的体积是乙球体积的 倍.
=675.
探 地球、木星、太阳可以近似地看成球体. 例3 已知3n=a,求33n 的值.
究 木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和
分析 根据幂的乘方公式变形:(am)n
先 102 倍,它 们 的 体 积 分 别 约 是 地 球 的
=(an)m;因为33n=(3n)3,所以33n=(3n)3
飞 倍和 倍.
=a3.
问题 解 答:(1)8 1000 (2)36π
解 33n=(3n)3=a3.
36000π n3 103 106
2.幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,
指数相乘.
积的乘方法则:积的乘方等于积中的每
1.(广东中考题)(-4x)2= ( )
一个因式分别乘方的积.积的乘方的运算性
2 2
质可以推广到三个或多个因数, :( )n A.-8x B.8x即 abc =
2 2
an
C.-16x D.16x
bncn(n 为正整数).
2.(湖北黄石中考题)下列运算正确的
温馨提示:幂的乘方运算是转化为指数
是 ( )
的乘法运算(底数不变),而同底数幂的乘法
A.4m-m=3
是转化为指数的加法运算(底数不变).公式
2· 3 5
也可写成(an)m=anm,
B.2m m =2m
所以(am)n=(an)m.
C.(-m3)2=m9
D.-(m+2n)=-m+2n
46
3.(贵州铜仁中考题)下列计算正确的 8.同学们,我们在七年级学习了“幂的
是 ( ) 乘方”这个知识点,知道(3b)2=9b2,请你用
A.a2+a2=2a4 几何图形直观地解释上述式子.
B.2a2×a3=2a6
C.3a-2a=1
D.(a2)3=x6
4.(湖北潜江中考题)计算(-2a2b)3 的
结果是 ( )
A.-6a6b3 B.-8a6b3
C.8a6b3 D.-8a5b3
5.直接写出计算结果:
(1)(xy)2= ; 9.
根据已知求值.
(1)已知3×9m×27m1 =3
16,求m 的值;
() 32 - a = ; 2 (2)已知am=2,an=5,求a2m +n 的值.
(3)(3x2y)3= ; 第
(4)(-3x3)2-[(2x)2]3= . 三
6.用简便方法计算:0.22024×3×52024+ 部
22024×32
分
×0.52023.
探
究
先
计算: 1 1 1 1
飞
10
10. 10×9×8×
…×2×1
·(10×9×8×…×2×1)10.
7.先 化 简,再 求 值:a3·(-b3)2+
1 3- ab2 ,其中a=2,2 b=1.
47
1.3 同底数幂的除法
(5)(m-n)8÷(n-m)3;
(6)(-m)4÷(-m)2.
解 ()7 4 7-4 3;
1a ÷a =a =a
1.情景引入:
(2)(-x)6÷(-x)3= (-x)6-3 =
一种液体每升含有1012个有害细菌,为
(-x)3=-x3;
了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了
(3)(xy)4÷(xy)=( x, y
)4-1=(xy)3
实验 发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种
=x3y3;
细菌,要将1升液体中的有害细菌全部杀死,
(4)b2m+2÷b2=b2m+2-2=b2m;
需要这种杀菌剂多少滴 你是怎样计算的
(5)(m-n)8÷(n-m)3=(n-m)8÷
根据题意,可列式得出需要这种杀虫剂
(n-m)3=(n-m)5;
(1012÷109)滴. (6)(-m)4÷(-m)2=(-m)2=m2.
12个10
12 10 10×10×…×10 例2 地震的强度通常用里克特震级表
第 而对于1012÷109=109
=10×10×…×10 示,描绘地震级数的数字表示地震的强度是
三 9个10 10的若干次幂.例如用里克特震级表示地震
部 =10×10×10=1000(滴)的计算;
是8级,说明地震的强度是108.某年4月荷
分 有的同学是按下面的方法计算的:1012
兰发生了5级地震,12天后,加利福尼亚发109探 ×10
3
÷109=(109×103)÷109= =103
109 生了7级地震.加利福尼亚地震强度是荷兰
究
=1000. 地震强度的多少倍 先
解 107 52.计算下列各式,并说明理由(m>n). ÷10=100飞
(1)108÷105; 答:加利福尼亚地震强度是荷兰地震强
(2)10m÷10n; 度的100倍.
(3)(-3)m÷(-3)n. 想一想:
4 4
答案:(1)103 (2)10m-n (3)(-3)m-n 10000=10, 16=2
( ) ( )
从中归纳出同底数幂除法的运算性质: 1000=10 , 8=2
( ) ( )
同底数幂相除,底数不变,指数相减. 100=10 , 4=2
( ) ( )
am÷an=am-n(a≠0,m,n 都是正整 10=10 , 2=2
数,并且m>n) 猜一猜:
( ) ( )
3.例题学习 1=10 1=2
例1 计算: 0.1=10( )
1
=2( )
(1)a7÷a4
2
;
1
(2)(-x)6÷(-x)3; 0.01=10
( ) 4=2
( )
(3)(xy)4÷(xy);
( ) 1 ( )
(4)b2m+2÷b2; 0.001=10 8=2
48
:0 , 1 1 -3得到规定 a =1a-p= p.(a≠0,a p
为 7. = ,2×10-42 =
正整数) (用小数表示).
例3 用 小 数 或 分 数 分 别 表 示 下 列 8.地震的强度通常用里克特震级表示,
各数: 描绘地震级数的数字表示地震的强度是10
(1)10-3 (2)70×8-2 (3)1.6×10-4 的若干次幂.例如用里克特表示地震是8级,
解 (1)10-3=0.001 (2)70×8-2=1 说明地震的强度是108,2011年1月26日,
1 印尼发生 级地震,-2 () -4 6 3
月11日,日本发生9
×8 =64 31.6×10 =0.00016 级地震,日本的地震强度是印尼地震强度的
倍.
9.观察下面两组式子,回答问题:
4
因为
( )6 ( )3 ① 4÷3=3>1
,所以4>3;②因为
1.计算 -a ÷ -a 的结果是
( ) 92 8192÷43= 3=64>1
,所以92>43.
A.a3 B.-a2 4 第
C.-a3 D.a2 (1)若a>0,
a
b>0,且 >1,则a b; 三b
2.(-0.2)-2 等于 ( ) 部
999 119
A.1 B.25 (2)已知P= 99,Q= 90,试比较P,Q 分9 9
C.-25 D.0.25 的大小. 探
3.计算a·a-1 的结果为 ( ) 究
A.-1 B.0 先
C.1 D.-a 飞
4.下列计算正确的是 ( )
A.2x2-4x2=-2
B.3x+x=3x2
C.3x·x=3x2
D.4x6÷2x2=2x3
:( )-2024 1 -2023
5.某种细胞的直径是0.000067厘米,
10.计算 -0.125 ÷ -8 .
将 0.000067用科学记数法表示为 ( )
A.6.7×10-5
B.6.7×10-6
C.0.67×10-5
D.67×10-6
6. ÷a2=a3,x9÷x2= ,
(ab)4÷(ab)2= .
49
1.4 整式的乘法
则计算;对于只有一个单项式里含有的字母,
一定要把它连同指数写在积中;(3)单项式乘
法法则对于三个或三个以上的单项式相乘仍
1.情景引入:
适用.
七年级(3)班举办新年才艺展示,小明的
4.单项式与多项式相乘的法则:
作品是用同样大小的纸精心制作的两幅剪贴
m(, , a+b+c
)=ma+mb+mc,即单项式
画 如图所示 第一幅画的画面大小与纸的大
与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去
小相同,第二幅画的画面在纸的上、下方各留
乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
有1x 米的空白,你能表示出这两幅画的面8 温馨提示:(1)单项式乘多项式的根据是
积吗 乘法的分配律,把单×多转化成单×单.
问题解答:读图,得出第一幅画面的长、 (2)单×多结果仍是多项式,其项数与因
宽分别为mx 米、x 米,第二幅画面的长、宽 式中多项式的项数相同.第
三 1 1 3
(3)计算时要注意符号问题,多项式中的
分别为mx 米、 x- 米即 米,
部 8
x-8x 4x 每一项都包括它前面的符号.
分 利用矩形面积公式可得到:第一幅画的面积 5.多项式乘多项式法则:
是x·(mx)平 方 米,第 二 幅 画 的 面 积 是 多项式与多项式相乘,先用一个多项式
探
( 3mx)· x 平方米. 的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所究 4
先 得的积相加.(m+n)(a+b)=ma+mb+na
飞 +nb.
温馨提示:(1)运算时要按照一定的顺序
进行,防止漏项,积的项数在没有合并同类项
2.问题:以上求矩形的面积时,会遇到 以前,应是两个多项式项数的积.(2)运算时
3
x·mx,(mx)· x ,这是什么运算呢 要注意积的符号.(3)运算结果有同类项的要4 合并同类项,并按某个字母的升幂或降幂
归纳:因为因式都是单项式,所以它们相
排列.
乘是单项式乘单项式的运算. 6.例题学习:
3.单项式与单项式相乘的法则: 例1 计算:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相
(1)3x2·4x= ;
同的字母分别相乘,其余字母连同它的指数
1
, 2 2不变 作为积的因式. (2)2xy
·6xy= ;
温馨提示:(1)积的系数是各项系数的 (3)(2.5×102)×(4×103)= ;
积,应注意符号;(2)相同字母相乘是同底数
() 2 2 · 2
幂的乘法,可根据“底数不变,指数相加”的法 4 -3ab 3abc= .
50
解 (1)12x3 (2)3x3y3 (3)106 果应添加括号.
(4)-2a3b3c 解 2x(x+5)-(x-3)(x+2)
例2 计算: =2x2+10x-(x2+2x-3x-6)
(1)2×(x-1)= ; =2x2+10x-x2-2x+3x+6
(2)3x×(x2+x-1)= ; =x2+11x+6
(3)(x2y-xy2-xy)·(2x)= 当x=-2时,原式=(-2)2+11×
; (-2)+6=-12.
(4) 1 ( 2 点评 本题考查了整式的混合运算及化-2a × 4a -a+2)= 简求值,解决问题的关键是掌握多项式的乘
. 法法则及整式的加减运算法则.
解 (1)2x-2 (2)3x3+3x2-3x
(3)2x3y-2x2y2-2x2y
(4)
1
-2a3+ a22 -a
1.(沈阳中考题)计算(2a)3·a2 的结
例3 如果(x+q)与(x+8)的积中不 第
果是 ( )
含x 的一次项,那么q等于 ( ) 三
A.2a5 6 B.2a
A.8 B.-8 部
5
C.8a D.8a6
C.24 D.-24 分
2.(扬州中考题)下列计算正确的是
分析 根据多项式乘多项式法则,先用
( 探 )
一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一
A.a2·a3=a6
究
项,再把所得的积相加.先依据法则运算,展 先
( )(
, B.a+b a-2b
)=a2-2b2
开后 因为不含关于字母x 的一次项,所以 飞
C.(ab3)2=a2b6
一次项的系数为0,再求q的值.
解 (x+q)( ) 2
D.5a-2a=3
x+8 =x +8x+qx+8q
3.(朝 阳 中 考 题)计 算 (-3a2b)·
=x2+(8+q)x+8q,因为积中不含x 的一
(ab2)3= .
次项,所以8+q=0,解得q=-8.故选B.
4.如图是一模具的截面图,求这个截面
点评 本题主要考查了多项式乘多项式
的面积.
的运算及多项式相等的意义,注意当要求多
项式中不含有哪一项时,应让这一项的系数
为0.
例4 先化简,再求值:2x(x+5)-(x
-3)(x+2),其中x=-2.
分析 此题是整式的混合运算,应先算
乘法,再算减法,最后代值计算.但需注意(x
-3)(x+2)的前面是“-”,所以它的运算结
51
1.5 平方差公式
1.情景引入:
我们已经学过了多项式的乘法,两个二
项式相乘,在合并同类项前应该有几项 合
并同类项以后,积可能会是三项吗 积可能 (1)请表示图1中阴影部分的面积;
是二项吗 请举出例子. (2)如图2,小颖将阴影部分拼成了一个
问题:计算: 长方形,这个长方形的长和宽分别是多少
(1)(x+2)(x-2) 你能表示出它的面积吗
(2)(1+3a)(1-3a) 根据图1中阴影部分的面积为:a2-b2,
(3)(x+5y)(x-5y) 图2中阴影部分的面积为(a+b)(a-b);左
第 (4)(-m+n)(-m-n) 右两边的面积相等,可以验证平方差公式:
三 通过计算:你能发现什么规律 (a+b)(a-b)=a2-b2.
部 3.例题学习
分 问题解答: 例1 计算:(1)(2x+3)(2x-3)
(1)x2-4
探 (2)(2a+3b)(2a-3b)
(2)究 1-9a
2 (3)(-2b-5)(-2b+5)
2 2 2
先 (3)x -25y 解 (1)(2x+3)(2x-3)=4x -9
2 2
飞 (4)m -n (2)(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2
2.新知识掌握 (3)(-2b-5)(-2b+5)=(-2b)2-52
(a+b)(a-b)=a2-b2 作为公式,叫平 =4b2-25
方差公式.即:两数和与这两数差的积等于这 例2 (江苏无锡中考题)计算:3(x2+
两个数的平方差. 2)-3(x+1)(x-1).
温馨提示:(1)公式左边两个二项式必须 分析 利用单项式乘多项式法则及平方
是相同两数的和与差相乘;且左边两括号内 差公式,先去掉两个括号,最后合并同类项.
的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数 解 原式=3x2+6-3(x2-1)=3x2+
(式)];(2)公式右边是这两个数的平方差,即 6-3x2+3=9.
右边是左边括号内的第一项的平方减去第二
项的平方;(3)公式中的a 和b 可以代表数,
也可以是代数式.
平方差公式的几何意义:如图,边长为 1.下列多项式乘法中,能用平方差公式
a 的 大 正 方 形 中 有 一 个 边 长 为b 的 小 正 计算的是 ( )
方形. A.(2a+b)(-2a+b)
52
B.(a+2)(2+a) 7.计算:
C.(-a+b)(a-b) (1)(a+2)(a-2)(a2+4)
D.(a+b2)(a2-b)
2.等式(x-4y)( )=x2-16y2 中
括号内应填入下式中的 ( )
A.x+4y
B.x-2y
C.2y+x
D.y-2x (2)-2(3x+2y)(3x-2y)
3.(贵州遵义中考题)下列运算正确的
是 ( )
A.4a-a=3
B.2(2a-b)=4a-b
C.(a+b)2=a2+b2
D.(a+2)(a-2)=a2-4 第
4.直接填空. (3)(x+3)(x-3)-2x·x 三
(1)(x-1)(x+1)= ; 部
(2)(x-y)(x+y)= ; 分
(3)(
a+3)(a-3)= ; 探
(4)(m-n)(-m-n)= ; 究
(5)101×99=( )( )= 先
( )-( )= . 飞
5.(衡阳中考题)若m-n=2,m+n= (4)(x+y)(x-y)-(3x+2y)(3x-
5,则m2-n2 的值为 . 2y)
6.在边长为a 的正方形中挖去一个边
( )( ), 长为b的小正方形 a>b 如图 把余下的
部分拼成一个矩形(如图),根据两个图形中
阴影部分的面积相等,可以验证的乘法公式
是 .
53
1.6 完全平方公式
中央.
例2 (广西中考题)计算:(a-2)2+
4(a-1).
1.情景引入:
分析 先利用完全平方公式运算(a-
一块边长为a 米的正
)2 2
, 2 =a -4a+4
,4(a-1)=4a-4,再合并
方形实验田 由于效益比
同类项
较高, .所以要扩大农田,将
, 解 原式=a
2-4a+4+4a-4=a2
其边长增加b 米 形成四
例
块实验田,以种植不同的 3
(四川绵阳中考题)图(1)是一个
长为
( ) 2m
,宽为2n(m>n)的长方形,用剪刀
新品种 如图 .
沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形
用不同的形式表示实验田的总面积,并
状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那
进行比较.
样拼成一个正方形,则中间空的部分的面
第 归纳:方法1:(a+b)2
三 积是:2
( )
方法2a +2ab+b2
部 2.新知识掌握
分 认识完全平方公式:两数和(或差)的平
探 方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两
究 数积的两倍;即(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a
先 -b)2=a2-2ab+b2.
飞 温馨提示:结构特点:左边是二项式[两 A.2mn B.(m+n)2
数和(差)]的平方;右边是两数的平方和加上 C.(m-n)2 D.m2-n2
(减去)这两数乘积的两倍. 分析 小正方形的面积有两种求法:一
3.例题学习 是根据大正方形面积减去四个全等的长方形
例1 直接写出计算结果. 的面积;二是直接根据图形中的小正方形的
(1)( )2
x+1 = ; 边长与长方形的长宽之间的关系求出.
(2)(m-3)2= ; 解 空白面积=(m+n)2-4×mn=m2
(3)(-a+1)2= ; +2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-
2 (4)(2x+y)= . n)2,故C正确.
解 (1)x2+2x+1 点评 运用完全平方公式(a±b)2=a2
(2)m2-6m+9 ±2ab+b2 时,应注意公式的特点:左边是
(3)a2-2a+1 “两个数的和或差”的平方,右边是三项,首末
(4)4x2+4xy+y2 两项是平方项,且符号相同,中间项是2ab,
归纳口诀:首平方,尾平方,两倍乘积放 且符号由左边的“和”或“差”来确定.
54
例4 (浙江丽水中考题)已知A=2x+ 5.多项式4x2+M+9y2 可化为一个整
y,B=2x-y,计算A2-B2. 式的平方,则 M 等于 (填一个即可).
分析 要求 A2-B2,可先用完全平方 6.计算:
公式展开,再进行整式的减法运算化简;或先 (1)(2a+b+1)(2a+b-1)
将A2-B2 因式分解为(A+B)(A-B),代
入A,B 两式化简后再相乘.
解 解法1:A2-B2=(2x+y)2-(2x
-y)2
=(4x2+4xy+y2)-(4x2-4xy+y2) (2)(x+2)
2-(x-1)2
=4x2+4xy+y2-4x2+4xy-y2
=8xy
解法2:A2-B2=(A+B)(A-B)
=(2x+y+2x-y)(2x+y-2x+y)
=4x·2y 7.求代数式(a+2b)(a-2b)+(a+
第
=8xy 1 2b)2-4ab的值,其中a=1,b=10. 三
部
分
1.下列多项式乘法中,可以用完全平方 探
究
公式计算是 ( )
先
A.(a+b)(a-b)
8.(湖南株洲中考题)先化简,再求值: 飞
B.(m+2)(2+m) (
2a-b)2-b2,其中a=-2,b=3.
C.(3+y)(y-3)
D.(x-2)(x+1)
2.下列计算正确的是 ( )
A.(x+y)2=x2+y2
B.(x-y)2=x2-2xy-y2 9.(贵州贵阳中考题)先化简,再求值:
C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2,其中a=
D.(-x+y)2=x2-2xy+y2 1
3.(湖南邵阳中考题)已知a+b=3,ab -3,b=2.
=2,则a2+b2 的值为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
4.利 用 完 全 平 方 公 式 计 算:972 =
( )2= = .
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1.7 整式的除法
b)÷c=a÷c+b÷c.
温馨提示:多项式除以单项式的原则就
是把它化为几个单项式除以单项式,然后再
1.情景引入:
求和;在做除法运算时,应注意各项的符号;
下雨时,常常是“先见闪电,后闻雷鸣”,
所得的商的项数应与原多项式的项数相同.
这是因为光速比声速快的缘故.已知光在空
4.例题学习
气中的传播速度为3.0×108 米/秒,而声音
例 计算.
在空气中的传播速度约为300米/秒,你知道
1 3
光速是声速的多少倍吗 3x4y3z2 ÷ - x24 y
问题解答:3.0×108÷300=106
解 1 4 3 2 3 2
答:光速是声速的106 倍. 3xyz ÷ -4xy
2.你能计算下列各题吗 如果能,说说 = 1 3 ÷ - (x4÷x2)(第 y3÷y)z2你的理由. 3 4
三 (1)x5y÷x2 (2)8m2n2÷2m2n 4
部 =- x
2y29 z
2
(3)a4b2c÷3a2b
分
分析:利用乘除法的互逆方法或利用类
探 似分数约分的方法.
究
3 1
先 解:(1)xy (2)4n (3)3a
2bc 1.(湖北鄂州中考题)下列运算正确的
飞 3.单项式除以单项式法则:单项式相 是 ( )
4 2 8
除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的 A.a ·a =a
2 4 6
因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同 B.(a )=a
2 2
它的指数一起作为商的因式. C.(ab)=ab
3 2
温馨提示:(1)先确定商的系数,系数相 D.2a ÷a=2a
除所得的商作为商的系数; 2.化简:3a
2b÷ab= .
(2)同底数幂相除,所得的商作为商的一 3.某农科所要在一块长为1.2×10
5
部分; cm,宽为2.4×10
4cm的实验基地上培育粮
(3)只有被除式里出现的字母,则连同它 食新品种,已知培育每种新品种需边长为
的指数作为商的一个因式,不能遗漏; 1.2×10
4cm的正方形实验田,问:这块实验
(4)要注意运算的顺序. 基地最多能培育几种粮食新品种
多项式除以单项式法则:多项式除以单
项式,先把这个多项式的每一项分别除以单
项式,再把所得的商相加;公式表示为:(a+
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预习效果检测
一、选择题 ②a(a+2b)=a(a+b)+ab
1.(安徽省中考题)计算(2x)3÷x 的结 ③a(a+2b)-a(a+b)=ab
果正确的是 ( ) ④a(a+2b)-2ab=a2
A.8x2 B.6x2 C.8x3 D.6x3 A.1个 B.2个
2.(湖南邵阳中考题)2011年3月,英国 C.3个 D.4个
和 新 加 坡 研 究 人 员 制 造 出 观 测 极 限 为 7.如果36x2-Mxy+49y2 是一个完全
0.00000005 米 的 光 学 显 微 镜,其 中 平方式,那么 M 的值是 ( )
0.00000005用科学记数法表示正确的是 A.1764 B.42
( ) C.±84 D.84
A.0.5×10-9 米 B.5×10-8 米 二、填空题
C.5×10-9
0
米 D.5×10-7 米 8.2015= .
第
3.(内蒙古赤峰中考题)下列运算正确 9.(福建厦门中考题)计算:m
3÷m2=
三
的是 ( ) . 部
A.x5-x3=x2 10.(山东滨州中考题)根据你学习的数 分
B.(a+b)2=a2+b2 学知识,写出一个运算结果为a
6 的算式:
C.(mn2)3=mn6 .
探
究
D.p6÷p2=p4 11.(浙江宁波中考题)若x+y=3,xy 先
1 =1,则x
2+y2= .
4.若x=2,y= ,则x22 +4xy+4y
2 的 飞
12.(江苏泰州中考题)观察等式:①9-
值是 ( ) 1=2×4,②25-1=4×6,③49-1=6×
A.2 B.9 C.16 D.12 8……按照这种规律写出第n 个等式:
5.(江 苏 南 京 中 考 题)计 算(a2)3÷ .
(a2)2 的结果是 ( ) 13.规定一种运算:a*b=ab+a+b,
A.a B.a2 C.a3 D.a4 且当同时含有*和+、-运算时,先算*运
6.如图,通过图形面积可表达的等式有 算,则a*(-b)+b*(-a)计算结果为 .
( ) 三、解答题
14.(湖 北 咸 宁 中 考 题)化简:(a2b-
2ab2-b3)÷b-(a-b)2.
①a2+2ab=a(a+2b)
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15.先化简,再求值:(x+1)(2x-1)- 18.已知多项式 M=x2+5x-a,N=
(x-3)2,其中x=-2. -x+2,P=x3+3x2+5,且 M·N+P 的
值与x 的取值无关,求字母a 的值.
16.马丽在做数学题时,不小心碰翻了
身边的墨水瓶,把正在做的一道题污染成
(21x4y3■■+7x2y2)÷(-7x2y)=■■+
5xy-y,马丽很着急,但她知道自己这道题
做对了,并且被污染的部分都是单项式,请你
帮马丽把被墨水污染的部分补充出来. 19.(广东佛山中考题)新知识一般有两
类:第一类是不依赖于其他知识的新知识,如
第 “数”“字母表示数”这样的初始性的知识;第
三
二类是在某些旧知识的基础上进行联系、拓
部
分 广等方式产生的知识,大多数知识是这样的
知识.
探 17.如图1,从边长为a 的正方形纸片中 (1)多项式乘多项式的法则,是第几类
究
剪去一个边长为b 的小正方形,再沿着线段 知识
先
AB 剪开,把剪成的两张纸片拼成如图2的 (2)在多项式乘多项式之前,你已拥有的
飞
等腰梯形. 有关知识是哪些 (写出三条即可)
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2 (3)请你用已拥有的有关知识,通过数和
中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代 图形两个方面说明多项式乘多项式的法则是
数式表示S1,S2; 如何获得的 [用(a+b)(c+d)来说明]
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
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