5.3 实践与探索 课件（3课时，63张PPT） 2025-2026学年数学华东师大版七年级下册
文档属性
| 名称 | 5.3 实践与探索 课件（3课时，63张PPT） 2025-2026学年数学华东师大版七年级下册 |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-17 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共63张PPT)
5.3 实践与探索
第1课时 物体形状变化问题与数字问题
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.（难点）
2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
3.能利用一元一次方程解决数字问题.（重点）
从一个水杯向另一个水杯倒水
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
知识点1 与平面图形有关的实际问题
(1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.
cm
x cm
等量关系：
（长+宽）× 2=周长
解:设此时长方形的长为x cm，则它的宽为 cm. 根据题意，得
(x+) ×2 =60
解得 x =18
=12
此时长方形的长为18cm，宽为12cm.
(2)如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积；
(x-4) cm
x cm
解：设此时长方形的长为x cm，则它的宽为（x-4）cm.根据题意，得
(x+x-4) ×2 =60
解得 x=17
17-4=13
∴此时长方形的长为17cm，宽为13cm，面积为17×13=221().
(3)比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？
∴（2）中长方形的面积比(1)中长方形的面积大.
(1)中长方形的面积为18×12=216()
∵221＞216，
同理，我们可计算当宽比长少2cm时，S=224；
当宽比长少1cm时，S=224.75；
当宽与长相等时，S=22；
∴还可以围出面积更大的长方形.
由此可以得到：当长与宽相差越小时，长方形的面积越大，当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大.
每小题中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设长方形的面积为x？若不能，该怎么办？
讨论
在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数；
小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积.
只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算这个长方形的面积.
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
分析 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为
正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
∴圆的面积大．
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
∴圆的面积是π×42＝16π(m2)，
∴铁丝的长为2πr＝8π(m)．
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
问题2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
知识点2 立体图形的等积变形问题
3.列出方程并求解.
2.根据表格中的分析，找出等量关系.
旧水箱的容积 = 新水箱的容积
π×22×4
π×1.62×x
=
解得x=6.25
因此，水箱的高度变成了6.25 m.
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
1.6
2
4
x
π×22×4
π×1.62×x
一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得
π××10×36＝π××10·x.
解这个方程，得x＝25.
答：这一支牙膏能用25次．
知识点3 数字问题
例2 已知一个两位数的十位数字比个位数字的2倍多1，将这个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，得到的新两位数是原两位数减去2后的一半，求原两位数.
分析 设个位数字为x，则十位数字为（2x+1），则原两位数可表示为10（2x+1）+x，数字交换位置后所得两位数是[10x+（2x+1）]，再根据题目中的等量关系：
新两位数 = （原两位数-2）
列方程，解方程得到个位数字，进而可得十位数字.
解：设原两位数的个位数字为x，则十位数字为(2x+1),
根据题意，得
10x+(2x+1)=[10（2x+1）+x-2],
解得x=2，经检验，符合题意.
则2x+1=2×2+1=5.
答：原两位数是52.
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——注意单位名称.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数牢记继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
2.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
B
C
1.一个梯形的面积是60cm ，高为5cm，它的上底比下底短2cm，求这个梯形上底和下底的长度．设下底长为xcm，则下面所列方程正确的是( )
A.5[x+(x-2)]=60 B. 5[x+(x+2)]=60
C.×5[x+(x-2)]=60 D.×5[x+(x+2)]=60
3.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢______厘米
答案：30厘米.
16
4.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
能力提升：5.有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位
数字比百位数字大1，若将此数的个位数字与百位数字顺序对调
（个位数字变百位数字）所得的新数比原数的2倍少49，求原数.
解：设原数百位数字为x，则十位数字为（x+1），个位数字为2x.
由题意得100×2x+10×（x+1）+x+49=2×[100x+10（x+1）+2x],
即211x+59=224x+20,
解得x=3.
故原数为100×3+10×4+2×3=346.
答：原数为346.
①审
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
③列
⑤检
②设
④解
⑥答
5.3 实践与探索
第2课时 储蓄问题与销售问题
1.掌握用一元一次方程解决储蓄问题.(重点)
2.掌握“销售中的盈亏”中的相关概念及数量关系.(重点)
3.掌握解决“销售中的盈亏”的一般思路.（难点）
列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——注意单位名称.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
知识点1 储蓄问题
例1 某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元.小明爸爸存入银行的本金是多少元？
分析 设小明爸爸存入银行的本金为x元，则一年后的利息为2.25%x.
等量关系：本利和=本金+利息
解：设小明爸爸存入银行的本金为x元，根据题意，得
x+2.25%x=10225
解得 x=10000.
经检验，符合题意.
答：小明爸爸存入银行的本金为10000元.
知识点2 销售问题
1.商品原价200元，九折出售，卖价是 元.
2.商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元.利润率
是_______.
3.某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是 元.
4.某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 元.
5.某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则定价是 元.
180
30
20％
0.9a
1.25a
18.5
上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量
成本价(进价);
标价;
销售价;
利润; 盈利; 亏损；
利润率
上面这些量有何关系
= 商品售价—商品进价
售价、进价、利润的关系式：
商品利润
进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
标价、折扣数、商品售价关系：
商品售价＝
标价×
折扣数
10
商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
例2 一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售, 此时售价为60元. 请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
分析 设这件衣服的进价是x元.则有以下等量关系：
（1）提价后的售价=进价×（1+利润率）；
（2）促销后的售价=提价后的售价×
根据等量关系列出方程求解.
解：设这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x 元，
促销后的售价是(1＋25%)x×0.8 元，
依题意得(1＋25%)x×0.8＝60
解得 x＝60
∵售价60=成本60
答：这家商店不盈不亏.
例3 某商场购进一批服装，一件服装的标价为400元.
（1）若按标价的六折销售，则实际售价是多少？
（2）在（1）的条件下销售这种服装仍可获利20%，问这种服装每件的进价为多少元？
分析（1）根据售价=标价×，列式计算；
（2）设这种服装每件的进价为a元，根据等量关系：
售价=标价× =进价×（1+利润率）
列方程.
解：（1）实际售价是400×=240（元）.
答：实际售价是240元.
（2）设这种服装每件的进价为a元，根据题意，得
（1+20%）a=400×0.6，
解得a=200.
经检验，符合题意.
答：这种服装每件的进价为200元.
某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利20%, 则该商品的标价为 元.
2970
1.几年前，李叔叔在银行存了一笔两年的定期存款，年利率是2.75%.到期后取出，得到本金和利息总共21 100元.设李叔叔存入的本金为x元，则下列方程正确的是（ ）
A.2×2.75%x=21 100 B.x+2.75%x=21 100
C.x+2×2.75%x=21 100 D.2（x+2.75%x)=21 100
C
2.某种商品按进价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件商品仍获利15元.此种商品的进价为______元.
125
3.某商品的进价是1 000元，售价是1 500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？
解:设商店最多可以打x折出售此商品,根据题意，得
1 500×=1 000(1+5%)
解得 x=7
答:商店最多可以打7折出售此商品.
4.一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏
②设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意得 y－0.25y＝60
解得 y＝80
①设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意得 x＋0.25 x＝60
解得 x＝48
解：
两件衣服总成本：48＋80＝128(元)
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏
损了8元.
= 商品售价—商品进价
售价、进价、利润的关系式：
商品利润
进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
标价、折扣数、商品售价关系：
商品售价＝
标价×
折扣数
10
商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
本金利息和=本金+利息=本金×(1+年数×利率)
5.3 实践与探索
第3课时 工程、行程、调配问题
1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型；（难点）
2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.（重点）
3.能利用工程中的数量关系列方程解应用题.（重点）
行程问题中的基本数量关系是什么
路程＝速度×时间
速度=
时间=
1．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少
2．一件工作，如果甲单独做3小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少
3．工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系
工作量＝工作效率×工作时间、工作效率= 、
工作时间=
问题1 某工厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天.
（1）两人合作需几天完成？
（2）如果师傅先工作了2天，然后与徒弟合作，问还需几天完成？
（3）现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得报酬900元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
知识点1 工程问题
试解答这一系列问题，并和同学们一起交流各自的做法.
列表分析：
工作效率 工作时间 工作量
师傅
徒弟
解：（1）设两人合作完成需要x天.
x
x
x
x
工作量之和等于总工作量1
可列方程 x+ x=1.
解得x=2.4.
所以两人合作完成需要2.4天.
（2）设还需y天完成.
列表分析：
工作效率 工作时间 工作量
师傅
徒弟
y+2
y
可列方程 + =1.
解得y=1.2.
所以还需1.2天完成.
（3）设完成这项工作总共用了z天.
列表分析：
工作效率 工作时间 工作量
师傅
徒弟
z-1
z
可列方程 + =1.
解得z=3.
徒弟完成工作量的3× = ，师傅完成工作量的 .
所以徒弟与师傅平分报酬，每人分得450元.
解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
2.相等关系：
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则
甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
分析 把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为,乙的工作效率为,根据工作效率×工作时间=工作量，列方程.
解：设要x天可以铺好这条管线，由题意得
x+x=1.
解方程，得x=8.
答：要8天可以铺好这条管线.
问题2 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
分析 由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即
小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km).
知识点2 行程问题
解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，则根据等量关系，得 13x + 12x = 20 .
解得 x = 0.8 .
答：经过0.8 h他们两人相遇.
小明走的路程
小红走的路程
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？
小明先走的路程
小红出发后小明走的路程
小红走的路程
解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，则根据等量关系，得 13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得 t = 0.54 .
答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.
路程＝速度×时间
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离
相遇问题
注意相向而行的始发时间和地点
例1 小明早晨要在7：20以前赶到
距家1 000米的学校上学．一天，小
明以80米/分钟的速度出发，5分钟
后，小明的爸爸发现他忘了带历史
作业，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，并且在
途中追上了他．
问爸爸追上小明用了多长时间？
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.
据题意，得 80×5＋80x=180x.
答：爸爸追上小明用了4分钟．
解得 x=4.
80×5
80x
180x
路程＝速度×时间
S快－S慢=S原来距离
追及问题
注意同向而行始发时间和地点
知识点3 调配问题
例2 某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1 000个或者加工B部件600个.现有工人16人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
分析 本题中设安排x人生产A部件，相等关系是“每天生产A部件的数量=每天生产B部件的数量”.列表如下：
类别 A部件 B部件
每人每天加工的数量(个) 1 000 600
安排的工人数(人)
每天生产部件的数量(个)
x
16-x
1 000x
600(16-x)
解：设安排x人生产A部件，则安排（16-x）人生产B部件.
根据题意，得1000x=600（16-x），
解方程，得x=6.
经检验，符合题意，
所以16-x=16-6=10.
答：应安排6人生产A部件，10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套.
归纳 在现实生活和生产中常见“产品配套”问题，解决这类题的基本相等关系是加工（或生产）的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比.
A．30千米 B．40千米 C．50千米 D．45千米
B
A.35x=5×() B.x=5×()
C. x=5× D.x=
B
2．甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A，B两地相向而行，2小时相遇，如果甲比乙每小时多行5千米，则乙每小时行( )
1．甲每小时走5千米，甲出发4.5小时后，乙骑车从同一地点出发追赶甲，乙用了35分钟追上甲，设乙骑车的速度为x千米/时，则所列方程为( )
3．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，则他们首次相遇时，两人都跑了( )
A．40秒 B．50秒 C．60秒 D．70秒
A
4.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做
8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为_______________.
5.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知A，B两地的距离为480km，且甲车以65km/ h的速度行驶．若两车4h后相遇，则乙车的行驶速度是多少？
6. 生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40 h 完成.现计划由一部分人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？
答：应先安排 2人做4小时.
答：乙车的行驶速度是55km/h.
工程问题
利用一元一次方程解决实际问题
工作量=工作效率×工作时间
1.甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离
2.S快－S慢=S原来距离
行程问题
配套问题
5.3 实践与探索
第1课时 物体形状变化问题与数字问题
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.（难点）
2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
3.能利用一元一次方程解决数字问题.（重点）
从一个水杯向另一个水杯倒水
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
知识点1 与平面图形有关的实际问题
(1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.
cm
x cm
等量关系：
（长+宽）× 2=周长
解:设此时长方形的长为x cm，则它的宽为 cm. 根据题意，得
(x+) ×2 =60
解得 x =18
=12
此时长方形的长为18cm，宽为12cm.
(2)如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积；
(x-4) cm
x cm
解：设此时长方形的长为x cm，则它的宽为（x-4）cm.根据题意，得
(x+x-4) ×2 =60
解得 x=17
17-4=13
∴此时长方形的长为17cm，宽为13cm，面积为17×13=221().
(3)比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？
∴（2）中长方形的面积比(1)中长方形的面积大.
(1)中长方形的面积为18×12=216()
∵221＞216，
同理，我们可计算当宽比长少2cm时，S=224；
当宽比长少1cm时，S=224.75；
当宽与长相等时，S=22；
∴还可以围出面积更大的长方形.
由此可以得到：当长与宽相差越小时，长方形的面积越大，当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大.
每小题中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设长方形的面积为x？若不能，该怎么办？
讨论
在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数；
小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积.
只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算这个长方形的面积.
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
分析 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为
正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
∴圆的面积大．
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
∴圆的面积是π×42＝16π(m2)，
∴铁丝的长为2πr＝8π(m)．
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
问题2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
知识点2 立体图形的等积变形问题
3.列出方程并求解.
2.根据表格中的分析，找出等量关系.
旧水箱的容积 = 新水箱的容积
π×22×4
π×1.62×x
=
解得x=6.25
因此，水箱的高度变成了6.25 m.
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
1.6
2
4
x
π×22×4
π×1.62×x
一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得
π××10×36＝π××10·x.
解这个方程，得x＝25.
答：这一支牙膏能用25次．
知识点3 数字问题
例2 已知一个两位数的十位数字比个位数字的2倍多1，将这个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，得到的新两位数是原两位数减去2后的一半，求原两位数.
分析 设个位数字为x，则十位数字为（2x+1），则原两位数可表示为10（2x+1）+x，数字交换位置后所得两位数是[10x+（2x+1）]，再根据题目中的等量关系：
新两位数 = （原两位数-2）
列方程，解方程得到个位数字，进而可得十位数字.
解：设原两位数的个位数字为x，则十位数字为(2x+1),
根据题意，得
10x+(2x+1)=[10（2x+1）+x-2],
解得x=2，经检验，符合题意.
则2x+1=2×2+1=5.
答：原两位数是52.
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——注意单位名称.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数牢记继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
2.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
B
C
1.一个梯形的面积是60cm ，高为5cm，它的上底比下底短2cm，求这个梯形上底和下底的长度．设下底长为xcm，则下面所列方程正确的是( )
A.5[x+(x-2)]=60 B. 5[x+(x+2)]=60
C.×5[x+(x-2)]=60 D.×5[x+(x+2)]=60
3.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢______厘米
答案：30厘米.
16
4.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
能力提升：5.有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位
数字比百位数字大1，若将此数的个位数字与百位数字顺序对调
（个位数字变百位数字）所得的新数比原数的2倍少49，求原数.
解：设原数百位数字为x，则十位数字为（x+1），个位数字为2x.
由题意得100×2x+10×（x+1）+x+49=2×[100x+10（x+1）+2x],
即211x+59=224x+20,
解得x=3.
故原数为100×3+10×4+2×3=346.
答：原数为346.
①审
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
③列
⑤检
②设
④解
⑥答
5.3 实践与探索
第2课时 储蓄问题与销售问题
1.掌握用一元一次方程解决储蓄问题.(重点)
2.掌握“销售中的盈亏”中的相关概念及数量关系.(重点)
3.掌握解决“销售中的盈亏”的一般思路.（难点）
列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——注意单位名称.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
知识点1 储蓄问题
例1 某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元.小明爸爸存入银行的本金是多少元？
分析 设小明爸爸存入银行的本金为x元，则一年后的利息为2.25%x.
等量关系：本利和=本金+利息
解：设小明爸爸存入银行的本金为x元，根据题意，得
x+2.25%x=10225
解得 x=10000.
经检验，符合题意.
答：小明爸爸存入银行的本金为10000元.
知识点2 销售问题
1.商品原价200元，九折出售，卖价是 元.
2.商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元.利润率
是_______.
3.某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是 元.
4.某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 元.
5.某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则定价是 元.
180
30
20％
0.9a
1.25a
18.5
上面商品销售中的盈亏问题里有哪些量
成本价(进价);
标价;
销售价;
利润; 盈利; 亏损；
利润率
上面这些量有何关系
= 商品售价—商品进价
售价、进价、利润的关系式：
商品利润
进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
标价、折扣数、商品售价关系：
商品售价＝
标价×
折扣数
10
商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
例2 一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售, 此时售价为60元. 请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？
分析 设这件衣服的进价是x元.则有以下等量关系：
（1）提价后的售价=进价×（1+利润率）；
（2）促销后的售价=提价后的售价×
根据等量关系列出方程求解.
解：设这件衣服的进价是x元，
则提价后的售价是(1＋25%)x 元，
促销后的售价是(1＋25%)x×0.8 元，
依题意得(1＋25%)x×0.8＝60
解得 x＝60
∵售价60=成本60
答：这家商店不盈不亏.
例3 某商场购进一批服装，一件服装的标价为400元.
（1）若按标价的六折销售，则实际售价是多少？
（2）在（1）的条件下销售这种服装仍可获利20%，问这种服装每件的进价为多少元？
分析（1）根据售价=标价×，列式计算；
（2）设这种服装每件的进价为a元，根据等量关系：
售价=标价× =进价×（1+利润率）
列方程.
解：（1）实际售价是400×=240（元）.
答：实际售价是240元.
（2）设这种服装每件的进价为a元，根据题意，得
（1+20%）a=400×0.6，
解得a=200.
经检验，符合题意.
答：这种服装每件的进价为200元.
某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利20%, 则该商品的标价为 元.
2970
1.几年前，李叔叔在银行存了一笔两年的定期存款，年利率是2.75%.到期后取出，得到本金和利息总共21 100元.设李叔叔存入的本金为x元，则下列方程正确的是（ ）
A.2×2.75%x=21 100 B.x+2.75%x=21 100
C.x+2×2.75%x=21 100 D.2（x+2.75%x)=21 100
C
2.某种商品按进价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件商品仍获利15元.此种商品的进价为______元.
125
3.某商品的进价是1 000元，售价是1 500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？
解:设商店最多可以打x折出售此商品,根据题意，得
1 500×=1 000(1+5%)
解得 x=7
答:商店最多可以打7折出售此商品.
4.一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏
②设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意得 y－0.25y＝60
解得 y＝80
①设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意得 x＋0.25 x＝60
解得 x＝48
解：
两件衣服总成本：48＋80＝128(元)
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏
损了8元.
= 商品售价—商品进价
售价、进价、利润的关系式：
商品利润
进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品进价
商品利润
×100%
标价、折扣数、商品售价关系：
商品售价＝
标价×
折扣数
10
商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销
售
中
的
盈
亏
本金利息和=本金+利息=本金×(1+年数×利率)
5.3 实践与探索
第3课时 工程、行程、调配问题
1.学会利用线段图分析行程问题，寻找等量关系，建立数学模型；（难点）
2.能利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.（重点）
3.能利用工程中的数量关系列方程解应用题.（重点）
行程问题中的基本数量关系是什么
路程＝速度×时间
速度=
时间=
1．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少
2．一件工作，如果甲单独做3小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少
3．工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系
工作量＝工作效率×工作时间、工作效率= 、
工作时间=
问题1 某工厂需制作一块广告牌，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天.
（1）两人合作需几天完成？
（2）如果师傅先工作了2天，然后与徒弟合作，问还需几天完成？
（3）现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得报酬900元.如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
知识点1 工程问题
试解答这一系列问题，并和同学们一起交流各自的做法.
列表分析：
工作效率 工作时间 工作量
师傅
徒弟
解：（1）设两人合作完成需要x天.
x
x
x
x
工作量之和等于总工作量1
可列方程 x+ x=1.
解得x=2.4.
所以两人合作完成需要2.4天.
（2）设还需y天完成.
列表分析：
工作效率 工作时间 工作量
师傅
徒弟
y+2
y
可列方程 + =1.
解得y=1.2.
所以还需1.2天完成.
（3）设完成这项工作总共用了z天.
列表分析：
工作效率 工作时间 工作量
师傅
徒弟
z-1
z
可列方程 + =1.
解得z=3.
徒弟完成工作量的3× = ，师傅完成工作量的 .
所以徒弟与师傅平分报酬，每人分得450元.
解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
2.相等关系：
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则
甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
分析 把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为,乙的工作效率为,根据工作效率×工作时间=工作量，列方程.
解：设要x天可以铺好这条管线，由题意得
x+x=1.
解方程，得x=8.
答：要8天可以铺好这条管线.
问题2 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
分析 由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即
小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km).
知识点2 行程问题
解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，则根据等量关系，得 13x + 12x = 20 .
解得 x = 0.8 .
答：经过0.8 h他们两人相遇.
小明走的路程
小红走的路程
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？
小明先走的路程
小红出发后小明走的路程
小红走的路程
解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，则根据等量关系，得 13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得 t = 0.54 .
答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.
路程＝速度×时间
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离
相遇问题
注意相向而行的始发时间和地点
例1 小明早晨要在7：20以前赶到
距家1 000米的学校上学．一天，小
明以80米/分钟的速度出发，5分钟
后，小明的爸爸发现他忘了带历史
作业，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追小明，并且在
途中追上了他．
问爸爸追上小明用了多长时间？
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.
据题意，得 80×5＋80x=180x.
答：爸爸追上小明用了4分钟．
解得 x=4.
80×5
80x
180x
路程＝速度×时间
S快－S慢=S原来距离
追及问题
注意同向而行始发时间和地点
知识点3 调配问题
例2 某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1 000个或者加工B部件600个.现有工人16人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
分析 本题中设安排x人生产A部件，相等关系是“每天生产A部件的数量=每天生产B部件的数量”.列表如下：
类别 A部件 B部件
每人每天加工的数量(个) 1 000 600
安排的工人数(人)
每天生产部件的数量(个)
x
16-x
1 000x
600(16-x)
解：设安排x人生产A部件，则安排（16-x）人生产B部件.
根据题意，得1000x=600（16-x），
解方程，得x=6.
经检验，符合题意，
所以16-x=16-6=10.
答：应安排6人生产A部件，10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套.
归纳 在现实生活和生产中常见“产品配套”问题，解决这类题的基本相等关系是加工（或生产）的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比.
A．30千米 B．40千米 C．50千米 D．45千米
B
A.35x=5×() B.x=5×()
C. x=5× D.x=
B
2．甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A，B两地相向而行，2小时相遇，如果甲比乙每小时多行5千米，则乙每小时行( )
1．甲每小时走5千米，甲出发4.5小时后，乙骑车从同一地点出发追赶甲，乙用了35分钟追上甲，设乙骑车的速度为x千米/时，则所列方程为( )
3．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同时同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，则他们首次相遇时，两人都跑了( )
A．40秒 B．50秒 C．60秒 D．70秒
A
4.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做
8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为_______________.
5.甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知A，B两地的距离为480km，且甲车以65km/ h的速度行驶．若两车4h后相遇，则乙车的行驶速度是多少？
6. 生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40 h 完成.现计划由一部分人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排多少人工作？
答：应先安排 2人做4小时.
答：乙车的行驶速度是55km/h.
工程问题
利用一元一次方程解决实际问题
工作量=工作效率×工作时间
1.甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离
2.S快－S慢=S原来距离
行程问题
配套问题