华东师大版（河南专用）七年级数学下册第8章三角形8.2多边形的内角和与外角和第1课时教案
文档属性
| 名称 | 华东师大版（河南专用）七年级数学下册第8章三角形8.2多边形的内角和与外角和第1课时教案 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 732.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 00:00:00 | ||
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文档简介
8.2 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
课题 第1课时 多边形的内角和 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P94-97
教学目标 1.了解多边形及其内角、外角等概念. 2.通过不同方式探索多边形的内角和公式，并会利用公式进行有关计算. 3.经历把多边形转化为三角形的过程，体会转化思想.
教学重难点 重点：理解多边形及相关概念，掌握多边形的内角和公式. 难点：多边形内角和定理的推导及运用.
教学准备 多媒体课件、三角板
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
一、创设情境，导入新课 教师提问： 1.观察上面的图片，你能抽象出什么平面图形？ 2.三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形.据此你能说出什么叫四边形、五边形吗？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题.（板书课题：第1课时 多边形的内角和） 从生活情境中引出多边形，激发学生学习兴趣，引出本节课的学习内容.
二、实践探究，学习新知 【探究1】 教师提问：三角形的定义是什么？上面抽象出的平面图形，它们有什么共同特点？ 学生活动：学生先独立思考，再在组内分析、讨论，得出抽象出的平面图形的共同点是由线段组成且是封闭图形. 教师活动：教师引导学生画出图形，类比三角形的定义给出四边形、五边形的定义，进而归纳出多边形的定义. 如图（1）是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD； 如图（2）是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE. 教师总结：一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，也即我们通常所说的多边形. 教师提问：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴进行交流。 师生活动：教师提出问题，学生用直尺、量角器测量学案上的多边形的各边长度、各角度数，发现每个多边形各边相等、各角也相等.教师引导学生得出正多边形的定义，然后再给出每个正多边形的名称. 教师总结：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）等. 【归纳总结】 1.由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形. 2.如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 【探究2】 与三角形类似，如图所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角. 教师提问：五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？n边形呢？ 学生活动：学生动手画出图形，根据图形得到五边形、六边形的内角、外角的个数，进而通过归纳得出n边形的内角、外角的个数. 教师总结：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.如图①，线段AC是四边形ABCD的一条对角线；图②③中，虚线表示的线段也是所画多边形的对角线. 教师提问：过n边形的每一个顶点有几条对角线？ 学生活动：对于四边形、五边形、六边形、七边形中，每一个顶点的对角线的条数，学生可通过画图独立完成，对于n边形，可小组讨论后再展示，总结得出“过n边形的一个顶点有（n-3）条对角线”的结论. 教师追问：从n边形的一个顶点画出的对角线，可以把这个n边形分割成多少个三角形？ 学生总结：四边形被分割成2个三角形，五边形被分割成3个三角形，六边形被分割成4个三角形，以此类推，可以得出从n边形的一个顶点画出的对角线，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形. 【归纳总结】 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 过n边形的每一个顶点有（n-3）条对角线，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形. 【探究3】 教师提问：三角形的内角和是多少度？四边形的内角和是多少度？你又是怎样得出的？ 学生总结： 由上图可知： 四边形内角和为2×180°=360°. 教师提问：对于n边形，其内角和又是多少呢？猜想一下内角和计算公式是什么？根据下图，完成下表，尝试归纳总结多边形的内角和. 多边形的边数34567…n分成的三角形的个数12…多边形的内角和180°360°…
学生总结：由于从多边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，从而我们可以得到： n边形的内角和等于(n－2)·180°. 【归纳总结】 n边形的内角和为(n－2)·180°. 【教材例题】 例1 求八边形的内角和. 解：八边形的内角和为（n-2）·180°=（8-2）×180°=1 080° 例2 已知一个多边形的内角和等于2 160°，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得 （n-2）·180°=2 160°. 解得n=14. 因此，这个多边形的边数为14. 试一试 如图，在n边形（图中取n=6的情形）内任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，可得到几个三角形？你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n-2）·180°？ 师生活动：学生观察图形，可以得到将六边形划分割为6个三角形，所以六边形内角和=6×180°-360°=（6-2）×180°=720°.教师应让学生画出其他多边形进行验证，得到结论. 按上述方式，n边形可以分成n个三角形，其内角总和减去点P处的圆周角，即为n边形的内角和，表示为：n·180°-360°=（n-2）·180°. 让学生通过“类比”的方法给出多边形的定义. 通过学生自己动手测量多边形的边和角，参与知识生成的过程. 引导学生从特殊的多边形开始思考，然后归纳得出n边形的相关知识，培养学生的观察思考的能力. 让学生从三角形的内角和出发，探索四边形、五边形、六边形等多边形的内角和，进而归纳得到n边形内角和公式，让学生经历从特殊到一般的归纳推理，培养学生观察思考、归纳推理的能力. 通过例题巩固学生对多边形内角和定理的掌握. 点P还可以位于n边形的某一条边上.引导学生将三种方法进行比较，归纳出这三种方法的共同点——把多边形划分成若干个三角形，从而渗透化归的数学思想方法.
三、学以致用，应用新知 考点1 多边形与正多边形 例1 下列说法中，正确说法有（ ） ①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形； ②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角； ③各条边都相等的多边形是正多边形. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：A 变式训练1 将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 答案：D 考点2 多边形的对角线 例2 过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成m个小三角形，则m+n的值是（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 答案：D 变式训练2 若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是__________． 答案：六 考点3 多边形的内角和 例3 下列多边形中，内角和为540°的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 变式训练3 如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，提高学生计算能力和做题效率.
四、随堂训练，巩固新知 1.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成（n-2）个三角形．其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 2.如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连结AB、BC、CD、DE、EA.若∠BCD=110°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（ ） A.220° B.240° C.260° D.290° 答案：D 3.正多边形的每一个内角都是135°，那么这个正多边形是（ ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 答案：D 4.在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为2 021°，这个角的大小是_____________． 答案：139° 5.有一个76人的代表团，由于任务需要，每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话？ 解：由题意，将问题转化为“一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和”. 则+76=2 850（次）. 答：他们一共通了2 850次电话. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏.
五、课堂小结，自我完善 1.课堂小结 （1）多边形的相关概念 由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形. 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. （2）连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.过n边形的每一个顶点有（n-3）条对角线，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形. （3）n边形的内角和为(n－2)·180°. 2.布置作业 课本P97练习，P99习题8.2 T1、T4、T5 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
六、板书设计 第1课时 多边形的内角和多边形的内角和多边形与正多边形投影区多边形的对角线多边形的内角和学生活动区
提纲挈领，重点突出.
七、教后反思 反思，更进一步提升.
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第1课时 多边形的内角和
课题 第1课时 多边形的内角和 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P94-97
教学目标 1.了解多边形及其内角、外角等概念. 2.通过不同方式探索多边形的内角和公式，并会利用公式进行有关计算. 3.经历把多边形转化为三角形的过程，体会转化思想.
教学重难点 重点：理解多边形及相关概念，掌握多边形的内角和公式. 难点：多边形内角和定理的推导及运用.
教学准备 多媒体课件、三角板
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
一、创设情境，导入新课 教师提问： 1.观察上面的图片，你能抽象出什么平面图形？ 2.三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形.据此你能说出什么叫四边形、五边形吗？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题.（板书课题：第1课时 多边形的内角和） 从生活情境中引出多边形，激发学生学习兴趣，引出本节课的学习内容.
二、实践探究，学习新知 【探究1】 教师提问：三角形的定义是什么？上面抽象出的平面图形，它们有什么共同特点？ 学生活动：学生先独立思考，再在组内分析、讨论，得出抽象出的平面图形的共同点是由线段组成且是封闭图形. 教师活动：教师引导学生画出图形，类比三角形的定义给出四边形、五边形的定义，进而归纳出多边形的定义. 如图（1）是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD； 如图（2）是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE. 教师总结：一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，也即我们通常所说的多边形. 教师提问：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴进行交流。 师生活动：教师提出问题，学生用直尺、量角器测量学案上的多边形的各边长度、各角度数，发现每个多边形各边相等、各角也相等.教师引导学生得出正多边形的定义，然后再给出每个正多边形的名称. 教师总结：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）等. 【归纳总结】 1.由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形. 2.如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 【探究2】 与三角形类似，如图所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角. 教师提问：五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？n边形呢？ 学生活动：学生动手画出图形，根据图形得到五边形、六边形的内角、外角的个数，进而通过归纳得出n边形的内角、外角的个数. 教师总结：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.如图①，线段AC是四边形ABCD的一条对角线；图②③中，虚线表示的线段也是所画多边形的对角线. 教师提问：过n边形的每一个顶点有几条对角线？ 学生活动：对于四边形、五边形、六边形、七边形中，每一个顶点的对角线的条数，学生可通过画图独立完成，对于n边形，可小组讨论后再展示，总结得出“过n边形的一个顶点有（n-3）条对角线”的结论. 教师追问：从n边形的一个顶点画出的对角线，可以把这个n边形分割成多少个三角形？ 学生总结：四边形被分割成2个三角形，五边形被分割成3个三角形，六边形被分割成4个三角形，以此类推，可以得出从n边形的一个顶点画出的对角线，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形. 【归纳总结】 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 过n边形的每一个顶点有（n-3）条对角线，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形. 【探究3】 教师提问：三角形的内角和是多少度？四边形的内角和是多少度？你又是怎样得出的？ 学生总结： 由上图可知： 四边形内角和为2×180°=360°. 教师提问：对于n边形，其内角和又是多少呢？猜想一下内角和计算公式是什么？根据下图，完成下表，尝试归纳总结多边形的内角和. 多边形的边数34567…n分成的三角形的个数12…多边形的内角和180°360°…
学生总结：由于从多边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形，从而我们可以得到： n边形的内角和等于(n－2)·180°. 【归纳总结】 n边形的内角和为(n－2)·180°. 【教材例题】 例1 求八边形的内角和. 解：八边形的内角和为（n-2）·180°=（8-2）×180°=1 080° 例2 已知一个多边形的内角和等于2 160°，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得 （n-2）·180°=2 160°. 解得n=14. 因此，这个多边形的边数为14. 试一试 如图，在n边形（图中取n=6的情形）内任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，可得到几个三角形？你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n-2）·180°？ 师生活动：学生观察图形，可以得到将六边形划分割为6个三角形，所以六边形内角和=6×180°-360°=（6-2）×180°=720°.教师应让学生画出其他多边形进行验证，得到结论. 按上述方式，n边形可以分成n个三角形，其内角总和减去点P处的圆周角，即为n边形的内角和，表示为：n·180°-360°=（n-2）·180°. 让学生通过“类比”的方法给出多边形的定义. 通过学生自己动手测量多边形的边和角，参与知识生成的过程. 引导学生从特殊的多边形开始思考，然后归纳得出n边形的相关知识，培养学生的观察思考的能力. 让学生从三角形的内角和出发，探索四边形、五边形、六边形等多边形的内角和，进而归纳得到n边形内角和公式，让学生经历从特殊到一般的归纳推理，培养学生观察思考、归纳推理的能力. 通过例题巩固学生对多边形内角和定理的掌握. 点P还可以位于n边形的某一条边上.引导学生将三种方法进行比较，归纳出这三种方法的共同点——把多边形划分成若干个三角形，从而渗透化归的数学思想方法.
三、学以致用，应用新知 考点1 多边形与正多边形 例1 下列说法中，正确说法有（ ） ①由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形； ②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角； ③各条边都相等的多边形是正多边形. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：A 变式训练1 将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个五边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 答案：D 考点2 多边形的对角线 例2 过n边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成m个小三角形，则m+n的值是（ ） A.15 B.16 C.17 D.18 答案：D 变式训练2 若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是__________． 答案：六 考点3 多边形的内角和 例3 下列多边形中，内角和为540°的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 变式训练3 如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，提高学生计算能力和做题效率.
四、随堂训练，巩固新知 1.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成（n-2）个三角形．其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 2.如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连结AB、BC、CD、DE、EA.若∠BCD=110°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（ ） A.220° B.240° C.260° D.290° 答案：D 3.正多边形的每一个内角都是135°，那么这个正多边形是（ ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 答案：D 4.在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为2 021°，这个角的大小是_____________． 答案：139° 5.有一个76人的代表团，由于任务需要，每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话？ 解：由题意，将问题转化为“一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和”. 则+76=2 850（次）. 答：他们一共通了2 850次电话. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏.
五、课堂小结，自我完善 1.课堂小结 （1）多边形的相关概念 由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形. 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. （2）连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.过n边形的每一个顶点有（n-3）条对角线，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形. （3）n边形的内角和为(n－2)·180°. 2.布置作业 课本P97练习，P99习题8.2 T1、T4、T5 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
六、板书设计 第1课时 多边形的内角和多边形的内角和多边形与正多边形投影区多边形的对角线多边形的内角和学生活动区
提纲挈领，重点突出.
七、教后反思 反思，更进一步提升.
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