华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·金华期末） 下列属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七下·华安月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练： 8.1《二元一次方程组》）已知 是方程 的一个解，那么 的值是（ ）
A．1 B．3 C．-3 D．-1
4．（2024七下·沈丘期中）某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·遂宁期末）下列四组答案中，哪一组是方程组的解（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七下·乐清期末）用代入消元法解二元一次方程组时，将①代入②，得（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·北仑期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2022七下·秦皇岛期中）已知方程组，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七下·东莞期中）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．（2022七下·宁波竞赛）已知是整数，方程组有正整数解，则的值为 （ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．4或5
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025七下·衡阳期末）若关于x、y的方程2xa-1+3y=1是二元一次方程，那么a= .
12．（2025七下·余姚期末）若是方程组的解，则+b的值是 ．
13．某船在河中航行，已知顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h.若设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，则所列方程组为 .
14．（2025七下·温州期中）已知二元一次方程3x-4y=5，用含y的代数式表示x，则x= 。
15．（2023七下·桑植期末）已知关于x、y的方程组的解满足x+y=2，k= ．
16．（2023七下·大余期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2025七下·遂宁期末）解下列方程或方程组
（1）
（2）
18．（2025七下·衡阳期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，我市某学校为丰富学生课余生活，计划到超市购买一批象拱和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需140元，购买1副象棋和4副围棋共需130元.
（1）求每副象棋和围棋的单价：
（2）若学校准备购买象棋和围棋共100副，总费用不超过2700元，那么最多能购买多少副象棋？
19．小东在拼图时，发现8个形状和大小均相同的小长方形，恰好可以拼成一个如图1所示的大长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个边长恰好为3c m的小正方形(阴影部分)，求小长方形的面积.
20．（2025七下·金华期末） 随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大. 某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成. 若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
21．（2025七下·义乌月考）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是 ；
（2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
（3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
22．（2024七下·任泽期中）已知代数式．
（1）当时，代数式的值是，请用含的代数式表示．
（2）当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值．
23．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
24．（2024七下·长兴月考）问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
（1）设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项次数都是一次的方程叫作二元一次方程。
A、方程中只含有一个未知数，不符合二元一次方程的概念，A错误；
B、方程中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1次，符合二元一次方程的概念，B正确；
C、方程中含有两个未知数，但含有未知数的项的次数为2次，不符合二元一次方程的概念，C错误；
D、方程含有两个未知数，但含有未知数y的项的次数为-1次，不符合二元一次方程的概念，D错误.
故答案为：B.
【分析】方程既需要符合含有两个未知数，又需要符合含有未知数的项次数都是一次，根据二元一次方程的定义即可作出判断。
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、符合定义；
B、含有三个未知数，不符合定义；
C、含有未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
D、含有分式方程，故不符合定义.
故答案为：A.
【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入方程 得 ，解得 ．
故答案为：1.
【分析】本题考查二元一次方程解的逆向应用，已知方程的解求解原方程的未知数，将解代入即可.
4．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：该班男生有人，女生有人．根据题意，，
故选：D
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②的得，3x=6
解的 x=2
将x=2代入①得 2+y=4
解的 y=2
∴方程组得解为
故答案为：A.
【分析】利用加减消元法或代入消元法求出方程组的解即可.
6．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：时，将①代入②，得2x+x-4=2.
故答案为：C.
【分析】根据代入消元法将①代入②，即②中的y用x-4进行替代即可.
7．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：2（x+y）=2m+4，
解得：x+y=m+2，
根据题意得：m+2=2，
解得：m=0．
故答案为：A.
【分析】将方程组中的两式相加可得x+y，进而求解m的值.
8．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用三元一次方程组的解法求解即可。
9．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得 ，
故选：B．
【分析】本题是新定义的应用，以及二元一次方程组的求解，根据题设的新定义，得到关于a、b的二元一次方程组，结合二元一次方程组的解法，求得a和b的值，即可得到答案.
10．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得：
得：
是正整数、
可以取或或或，解得：或或或
是整数、
或
经检验：当得时，；当得时，
即都是正整数
故答案为：C.
【分析】先解方程，分别用含字母的代数式表示出和，由于和都是正整数，是整数，可先出求的整数解，再把代入到中进行验证即可.
11．【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的定义可知，两个未知数需满足“一次”的条件，可得a-1=1，
解得a=2，
故答案为：2.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程。
12．【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入可得，，
解得，，
∴ a+b=2.
故答案为：2 .
【分析】将方程组的解代入方程组求得a和b的值，再求和即可.
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，
∵逆水速度=船速-水速=x-y，顺水速度=船速+水速，
则根据“ 顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h ”知：
故答案为：.
【分析】根据“逆水速度=船速-水速=x-y，顺水速度=船速+水速”，结合题意列出方程组即可.
14．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
所以
故答案为：
【分析】先把含y的项进行移项，再把x的系数化为1即可.
15．【答案】4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2-②×3，可得y=4-k
再将y=4-k，代入①中，可得x=2k-6
∵x+y=2
∴2k-6+4-k=2，
解得：k=4
故答案为：4．
【分析】根据加减消元法可得x=2k-6，y=4-k，再代入等式，解方程即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据图 2 中算筹图的表示规则，结合题目所给的运算法则，分析算筹图中各行从左到右列出的算筹数，分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，第一行算筹表示2x + y = 11，第二行算筹表示4x + 3y = 27，所以图 2 所示的算筹图可以表述为：
．
故填：
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组。关键在于读懂算筹图的题意，根据算筹图中算筹的数量确定未知数x，y的系数以及常数项，从而列出方程组．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
①+②×2得：13x=26
x=2
将x=2代入②得y=-2
∴不等式组的解为
【知识点】解含括号的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】⑴按去括号，移项，合并同类项，系数化1完成解方程即可.
⑵根据加减消元法解二元一次方程组即可.
18．【答案】（1）解：设每副象棋的单价是x元，每副围棋的单价是y元，根据题意得，
解得，经检验，符合题意；
答：每副象棋的单价是30元，每副围棋的单价是25元；
（2）解：设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，
根据题意得：30m+25（100-m）≤2700，
解得：m≤40，
∴最大整数解为40，
答：最多能购买40副象棋.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)根据下列等量关系列方程组：①3×象棋的单价+2×围棋的单价=140，②象棋的单价+4×围棋的单价=130.
(2)根据购买象棋和围棋共100副可设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，再根据不等关系“ 总费用不超过2700元 ”列不等式求解即可.
19．【答案】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，则题图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，题图2 中大正方形的边长可以表示为(2x+y) cm或(2y+3) cm.
由题意，得
解得
答：小长方形的面积为135 cm2.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的宽为 xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题.
20．【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人，
根据题意得，
解得.
答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人
（2）解：方案一费用：甲车间共30人，每人每天平均生产15组电池，因此甲车间一天生产30×15=450（组）电池
乙车间共50人，每人每天平均生产20×（1+55%）=31（组）电池，因此乙车间一天生产50×31=1550（组）电池
共有58000组电池，需要58000÷（450+1550）=29（天）完成任务
新增费用为1200×29+1400=36200（元）
方案二费用：设方案二调整到甲车间x人，
∵方案一比方案二多用了4天时间完成 ∴方案二需要29-4=25（天）
根据题意得
解得.
新增费用为（元）
∴选方案一更节省
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的应用，根据数量关系“人数×工作效率=工作总量”列出方程组，选择适当的方法求解方程组即可。
（2）根据表格信息分别计算方案一与方案二新增的总费用，可以先计算使用方案一所需的总天数（），再求出方案一因租用设备产生的费用；由于方案一比方案二多4天，从而得到方案二的工作天数，便可以列方程求出方案二中甲车间新增的人数，从而算出新增的费用。
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
（1）
解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）
解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
【分析】
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解；
（2）根据共轭二元一次方程组的定义可得关于a、b的方程，解方程组即可求解；
（3）根据拓展的解法即可求解．
（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
（3）解：
得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
22．【答案】（1）解：根据题意得：
当时，代数式的值是，
即，
，
用含的代数式表示：．
（2）解：根据题意得：
当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，
，
解得：．
【知识点】解二元一次方程组；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】
（1）先把x的值代入到代数式中整理得到，再把c当作常数解关于b的一元一次方程即可．
（2）由题意联立关于b、c的二元一次方程组，再解方程组即可．
23．【答案】（1）解： ∵ 关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：m=1.5；
（2）解： 方程组 ( a，b，c为常数，且)，解得：，，
所以x=y，所以关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据等解方程的意义求出x，从而可得y的值，代入方程组中第二个方程，求得m；
（2）解出方程组中的x与y，比较后得出结论.
24．【答案】（1）；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得．
（3）解：方程组可化为，
关于x，y的二元一次方程组的解为，
，．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，
【分析】（1）设，，利用换元法求出，得出关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（2）利用换元法将原方程组变形，求出，得到关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（3）方程组中的两个方程两边同时除以5，将方程组变形，然后利用换元法得出，再进一步解方程组即可．
1 / 1华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试基础卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·金华期末） 下列属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项次数都是一次的方程叫作二元一次方程。
A、方程中只含有一个未知数，不符合二元一次方程的概念，A错误；
B、方程中含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1次，符合二元一次方程的概念，B正确；
C、方程中含有两个未知数，但含有未知数的项的次数为2次，不符合二元一次方程的概念，C错误；
D、方程含有两个未知数，但含有未知数y的项的次数为-1次，不符合二元一次方程的概念，D错误.
故答案为：B.
【分析】方程既需要符合含有两个未知数，又需要符合含有未知数的项次数都是一次，根据二元一次方程的定义即可作出判断。
2．（2022七下·华安月考）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、符合定义；
B、含有三个未知数，不符合定义；
C、含有未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
D、含有分式方程，故不符合定义.
故答案为：A.
【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断.
3．（2017-2018学年人教版数学七年级下册同步训练： 8.1《二元一次方程组》）已知 是方程 的一个解，那么 的值是（ ）
A．1 B．3 C．-3 D．-1
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】将 代入方程 得 ，解得 ．
故答案为：1.
【分析】本题考查二元一次方程解的逆向应用，已知方程的解求解原方程的未知数，将解代入即可.
4．（2024七下·沈丘期中）某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：该班男生有人，女生有人．根据题意，，
故选：D
【分析】根据题意建立方程组即可求出答案.
5．（2025七下·遂宁期末）下列四组答案中，哪一组是方程组的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②的得，3x=6
解的 x=2
将x=2代入①得 2+y=4
解的 y=2
∴方程组得解为
故答案为：A.
【分析】利用加减消元法或代入消元法求出方程组的解即可.
6．（2025七下·乐清期末）用代入消元法解二元一次方程组时，将①代入②，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：时，将①代入②，得2x+x-4=2.
故答案为：C.
【分析】根据代入消元法将①代入②，即②中的y用x-4进行替代即可.
7．（2025七下·北仑期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：2（x+y）=2m+4，
解得：x+y=m+2，
根据题意得：m+2=2，
解得：m=0．
故答案为：A.
【分析】将方程组中的两式相加可得x+y，进而求解m的值.
8．（2022七下·秦皇岛期中）已知方程组，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用三元一次方程组的解法求解即可。
9．（2024七下·东莞期中）对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得 ，
故选：B．
【分析】本题是新定义的应用，以及二元一次方程组的求解，根据题设的新定义，得到关于a、b的二元一次方程组，结合二元一次方程组的解法，求得a和b的值，即可得到答案.
10．（2022七下·宁波竞赛）已知是整数，方程组有正整数解，则的值为 （ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．4或5
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得：
得：
是正整数、
可以取或或或，解得：或或或
是整数、
或
经检验：当得时，；当得时，
即都是正整数
故答案为：C.
【分析】先解方程，分别用含字母的代数式表示出和，由于和都是正整数，是整数，可先出求的整数解，再把代入到中进行验证即可.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025七下·衡阳期末）若关于x、y的方程2xa-1+3y=1是二元一次方程，那么a= .
【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据二元一次方程的定义可知，两个未知数需满足“一次”的条件，可得a-1=1，
解得a=2，
故答案为：2.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程。
12．（2025七下·余姚期末）若是方程组的解，则+b的值是 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的解；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：将代入可得，，
解得，，
∴ a+b=2.
故答案为：2 .
【分析】将方程组的解代入方程组求得a和b的值，再求和即可.
13．某船在河中航行，已知顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h.若设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，则所列方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设船在静水中的速度为x(km/h)，水流的速度为 y(km/h)，
∵逆水速度=船速-水速=x-y，顺水速度=船速+水速，
则根据“ 顺流速度为14 km/h，逆流速度为8k m/h ”知：
故答案为：.
【分析】根据“逆水速度=船速-水速=x-y，顺水速度=船速+水速”，结合题意列出方程组即可.
14．（2025七下·温州期中）已知二元一次方程3x-4y=5，用含y的代数式表示x，则x= 。
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
所以
故答案为：
【分析】先把含y的项进行移项，再把x的系数化为1即可.
15．（2023七下·桑植期末）已知关于x、y的方程组的解满足x+y=2，k= ．
【答案】4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①×2-②×3，可得y=4-k
再将y=4-k，代入①中，可得x=2k-6
∵x+y=2
∴2k-6+4-k=2，
解得：k=4
故答案为：4．
【分析】根据加减消元法可得x=2k-6，y=4-k，再代入等式，解方程即可求出答案.
16．（2023七下·大余期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 ．
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据图 2 中算筹图的表示规则，结合题目所给的运算法则，分析算筹图中各行从左到右列出的算筹数，分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，第一行算筹表示2x + y = 11，第二行算筹表示4x + 3y = 27，所以图 2 所示的算筹图可以表述为：
．
故填：
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组。关键在于读懂算筹图的题意，根据算筹图中算筹的数量确定未知数x，y的系数以及常数项，从而列出方程组．
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2025七下·遂宁期末）解下列方程或方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
①+②×2得：13x=26
x=2
将x=2代入②得y=-2
∴不等式组的解为
【知识点】解含括号的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】⑴按去括号，移项，合并同类项，系数化1完成解方程即可.
⑵根据加减消元法解二元一次方程组即可.
18．（2025七下·衡阳期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，我市某学校为丰富学生课余生活，计划到超市购买一批象拱和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需140元，购买1副象棋和4副围棋共需130元.
（1）求每副象棋和围棋的单价：
（2）若学校准备购买象棋和围棋共100副，总费用不超过2700元，那么最多能购买多少副象棋？
【答案】（1）解：设每副象棋的单价是x元，每副围棋的单价是y元，根据题意得，
解得，经检验，符合题意；
答：每副象棋的单价是30元，每副围棋的单价是25元；
（2）解：设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，
根据题意得：30m+25（100-m）≤2700，
解得：m≤40，
∴最大整数解为40，
答：最多能购买40副象棋.
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)根据下列等量关系列方程组：①3×象棋的单价+2×围棋的单价=140，②象棋的单价+4×围棋的单价=130.
(2)根据购买象棋和围棋共100副可设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，再根据不等关系“ 总费用不超过2700元 ”列不等式求解即可.
19．小东在拼图时，发现8个形状和大小均相同的小长方形，恰好可以拼成一个如图1所示的大长方形.小林看见了说：“我也来试一试.”结果小林七拼八凑，拼成了如图2所示的正方形，中间还留下了一个边长恰好为3c m的小正方形(阴影部分)，求小长方形的面积.
【答案】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm，则题图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，题图2 中大正方形的边长可以表示为(2x+y) cm或(2y+3) cm.
由题意，得
解得
答：小长方形的面积为135 cm2.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的宽为 xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题.
20．（2025七下·金华期末） 随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大. 某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成. 若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人，
根据题意得，
解得.
答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人
（2）解：方案一费用：甲车间共30人，每人每天平均生产15组电池，因此甲车间一天生产30×15=450（组）电池
乙车间共50人，每人每天平均生产20×（1+55%）=31（组）电池，因此乙车间一天生产50×31=1550（组）电池
共有58000组电池，需要58000÷（450+1550）=29（天）完成任务
新增费用为1200×29+1400=36200（元）
方案二费用：设方案二调整到甲车间x人，
∵方案一比方案二多用了4天时间完成 ∴方案二需要29-4=25（天）
根据题意得
解得.
新增费用为（元）
∴选方案一更节省
【知识点】二元一次方程组的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的应用，根据数量关系“人数×工作效率=工作总量”列出方程组，选择适当的方法求解方程组即可。
（2）根据表格信息分别计算方案一与方案二新增的总费用，可以先计算使用方案一所需的总天数（），再求出方案一因租用设备产生的费用；由于方案一比方案二多4天，从而得到方案二的工作天数，便可以列方程求出方案二中甲车间新增的人数，从而算出新增的费用。
21．（2025七下·义乌月考）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）方程的共轭二元一次方程是 ；
（2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ；
（3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题：
解共轭方程组时，可以采用下面的解法：
②+①得：，所以③
③得：④
①-④得：，从而得
所以原方程组的解是
用上述方法求共轭方程组的解．
【答案】（1）
（2）
（3）解：得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
（1）
解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）
解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
【分析】
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解；
（2）根据共轭二元一次方程组的定义可得关于a、b的方程，解方程组即可求解；
（3）根据拓展的解法即可求解．
（1）解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是
故答案为：；
（2）解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，，
解得，，
故答案为：；
（3）解：
得，
，
，得，
，得，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
22．（2024七下·任泽期中）已知代数式．
（1）当时，代数式的值是，请用含的代数式表示．
（2）当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值．
【答案】（1）解：根据题意得：
当时，代数式的值是，
即，
，
用含的代数式表示：．
（2）解：根据题意得：
当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，
，
解得：．
【知识点】解二元一次方程组；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】
（1）先把x的值代入到代数式中整理得到，再把c当作常数解关于b的一元一次方程即可．
（2）由题意联立关于b、c的二元一次方程组，再解方程组即可．
23．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组。
（1）关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值。
（2）判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗？并说明理由.
【答案】（1）解： ∵ 关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，解得：，
∴，
∴，解得：m=1.5；
（2）解： 方程组 ( a，b，c为常数，且)，解得：，，
所以x=y，所以关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据等解方程的意义求出x，从而可得y的值，代入方程组中第二个方程，求得m；
（2）解出方程组中的x与y，比较后得出结论.
24．（2024七下·长兴月考）问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
（1）设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得 ．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【答案】（1）；
（2）解：设，，则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得．
（3）解：方程组可化为，
关于x，y的二元一次方程组的解为，
，．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得，
故答案为：，
【分析】（1）设，，利用换元法求出，得出关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（2）利用换元法将原方程组变形，求出，得到关于x，y的新的二元一次方程组，再进一步解方程组即可；
（3）方程组中的两个方程两边同时除以5，将方程组变形，然后利用换元法得出，再进一步解方程组即可．
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