华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试提升卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·杭州期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列选项中的方程组， 是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·金华月考）下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·永康期末） 《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·瑞安期中） 若关于 x，y 的方程组的解是，则关于 x，y 的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·柯桥期末）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·浙江期中）已知关于x，y的二元一次方程组给出下列结论中，正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
8．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组 时，下列解法未实现这一转化的是( )
A．由①-②，②-③，得
B．由①-②，①×2-③，得
C．由①-③，①×2-②，得
D．由②-③，②×2-①，得
9．（2025七下·鄞州竞赛）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状和大小完全相同的长方形，所标注尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2.
A．57 B．55 C．53 D．51
10．（2025七下·台州期中） 对x、у定义一种新运算T，规定：T（x，y）=axy+bx-4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：T（0，1）=a×0×1+b×0-4=-4，若T（2，1）=2，T（-1，2）=-8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1） a=1，b=2；（2） 若T（m，n）=0，（n≠-2），则m=；（3）若T（m，n）=0，则m、n有且仅有3组整数解；（4） 若T（kx，y）=T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k=1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024七下·宁波期末）已知是方程的一个解，则 ．
12．（2024七下·江山期中）已知，用含x的代数式表示y，则 ．
13．（2025七下·浙江月考）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是 ．
14．（2025七下·海曙开学考）若是关于，的二元一次方程，则 ．
15．（2025七下·杭州月考）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）
（1）x+y= （用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程qx+3y=1（q为整数，且q不等于0或-6）的解，p也是整数，则q的最小值为 .
16．（2023七下·金东期末）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2025七下·杭州期中）解下列二元一次方程组
（1）
（2）
18．（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何
19．（2025七下·滨江期末） 某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动：
人数x/人
收费标准/元 50 45 40
经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加入数多于100人、少于200人，八年级参加入数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？
20．（2024七下·西湖月考）在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形，其中
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求阴影部分图形的总面积
21．（2025七下·西湖月考）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______．
（2）若方程中x，y的值满足表：
x 0
y 0 2
求方程的共轭二元一次方程．
（3）若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系．
22．（2025七下·瑞安期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示。如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式。
（1）填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人。（用含×的代数式表示，其中x为大于4的正整数）
（2）某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值。
（3）某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人。
23．已知关于x，y的二元一次方程组
（1）请直接写出方程2x+y-6=0的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足x-y=0，求m的值.
（3）若方程组无解，求m的值.
（4）无论实数m取何值，方程2x-2y+my+8=0总有一个固定的解，请求出这个解.
24．某品牌童装专卖店新推出 A，B，C三种款式的春装.某个周末的销售量（单位：件）如（下表：)
A B C 合计
周六的销售量 y 30
周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y
合计 10 3y 30+5x+2y
（1）请根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含 x，y的代数式表示）.
（2）已知A 款周六的销售量与 B 款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A，B 两款的销售总量之和还多 4件.
①求x，y的值.
②已知三种款式的春装单价均为大于 100 的整数，且 A 款的单价是 B 款的 3 倍.如果周六的总销售额为 5 600元，那么B款的单价可以是 （写出所有可能的结果）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.，含一个未知数，且未知数的次数为1，不是二元一次方程，故不A符合题意；
B.，含两个未知数，且未知数的次数为2，不是二元一次方程，故B不符合题意；
C.，含分式，不是二元一次方程，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D.，含两个未知数，且未知数的次数为1，是二元一次方程，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据 二元一次方程定义：含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1的整式方程，叫作二元一次方程，判断即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程组，∴A符合题意；
B、有三个未知数，不是二元一次方程组，∴B不符合题意；
C、含未知数的项最高次是二次，不是二元一次方程组，∴C不符合题意；
D、含未知数的项最高次是二次，不是二元一次方程组，∴D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据二元一次方程组的定义逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：A、x=1时，y=-1，故是方程y=-x的解，可组成满足题意的二元一次方程组.
B、组成的不是二元一次方程，故不符合题意；
C、x=1时，y=-2，故不是方程3x+2y=-1的解，故不能组成满足题意的二元一次方程组.
D、x=1时，y=，故不是方程的解，故不能组成满足题意的二元一次方程组.
故答案为：A.
【分析】先判断是否是选项所给方程的解，是，则能组成满足条件的二元一次方程组；不是，则不能组成.
4．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件“ 若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50 ”可得方程；根据条件“ 甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50 ”可得方程.综合可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意直接列出方程组并选择即可.
5．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 由可得
∵关于x、y的方程组 的解为
∴，解得
故答案为：C .
【分析】将第一个方程组的解代入方程，与第二个方程组组成新的的方程组，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得，x=2y+m
代入①中可得3(2y+m)-y=5-2m，
∴5y=5-5m，
∴y=1-m
将y=1-m代入②中可得x-2(1-m)=m，
∴x=-m+2，
∴x-y=-m+2-(1-m)=1.
故答案为：C.
【分析】由第二个方程可得x=2y+m，代入第一个方程中可得y，然后将y代入第二个方程中表示出x，据此判断.
7．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：4y=8-4a，
解得：y=2-a，
将y=8-4a代入②式得：x-(2-a)=3a，
解得：x=2a+2，
故方程组的解为：；
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，
x+y=2a+2+2-a=0，
解得：a=-4，
故①正确；
②当a=1时，方程组的解为 ，
将代入 中得：
4+1=4+2a，
解得：≠1，
则方程组的解也不是方程的解，
故②错误；
③x+2y=2a+2+（2-a）=4，
则无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④将变形得，
将代入得： ，
故④正确；
综上所述，正确的有：①③④；
故答案为：D.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，可得出x，y的值，再根据各项一 一代入即可判断，得出答案.
8．【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A.由(1)-(2)，(2)-(3)得 未实现转化，故A符合题意；
B.由(1)-(2)，(1)×2-(3)得 实现了转化，故B不符合题意；
C.由(1)-(3)，(1)×2-(2)得 实现了转化，故C不符合题意；
D.由(2)-(3)，(2)×2-(1)得 实现了转化，故D不符合题意。
故选：A
【分析】根据消元法是三元一次方程组转化为二元一次方程组解答即可.
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：
解得：
∴图中阴影部分的面积为15×(7+2×2)-6×9×2=57(cm2).
故答案为：A.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论.
10．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件T(2，1)=2，T(-1，2)=-8，列式为
， 解得，
故结论（1）正确。
由T(m，n)=0，得mn+2m-4=0，整理得m(n+2)=4，解得m =，
故结论（2）正确。
由mn+2m =4，当n=-2时方程无解，故n≠2。令m=，m和n均为整数，则n+2是4的因数。4的因数为1，2，4，因此：
n+2=1有 n=-1，m=4；
n+2=-1有 n=-3，m=-4；
n+2=2 有 n=0，m=2；
n+2=-2有 n=-4，m=-2；
n+2=4有 n=2，m=1；
n+2=-4 有 n=-6，m=-1。
共有6组整数解，故结论（3）错误。
由T(kx，y)=T(ky，x)，得：a ( k x ) y + b ( k x ) 4 = a ( k y ) x + b ( k y ) 4
代入a=1，b=2，得： kxy+2kx=kxy+2ky
化简得2k(x - y)=0。
因对任意x，y成立，故k=0。但题目要求k为常数，而k=0与b非零无关，但结论（4）中k=1不成立，
故结论（4）错误。
因此正确的是（1）（2）
故答案为：B.
【分析】（1）（2）可以直接根据新运算 T（x，y）=axy+bx-4 代入计算即可判断正误；（3）可以根据（2）的结论，先确定4的因数有1，2，4，然后分6种情况分别计算出m和n的值，即可判断正误；（4）将a=1，b=2代入并变形，得到2k(x - y)=0，此时即可判断出k =1不成立。
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，得到关于待求字母参数的方程求解．
12．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
移项得，，
系数化为1得，
故答案为：．
【分析】把看成已知数，根据移项、系数化为1即可求解．
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组．
14．【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵原式是关于，的二元一次方程，
∴，，，解得，
故答案为：2．
【分析】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．本题根据二元一次方程的定义和特点，列式计算即可确定k的值。
15．【答案】（1）
（2）-22
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1），将①+②得，即.
故答案为：；
（2）解方程组 得.
代入，有.
∴.
∵为整数，且不等于或，
∴或.
令（为整数，且），则.
∴必为的因数.
∴.
当时，取得最小值.
∴.
【分析】（1）用上式加下式，然后等号两边同时除以3即可；
（2）先求出方程组的解，代入到，得到关于、的关系式，然后整理，即用表示出，最后根据整理后的关系式、结合条件及题目所求，最终可计算出值.
16．【答案】；
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：
化简得：
由②得：9+a=18
∴a=9
把a=9代入①得：14+c=18+b
∴b-c=14-18=-4
故答案为：9；-4.
【分析】由题意列出三元一次方程组并化简，观察第二个方程就可以求出a；把a代入第一个方程就可以求出b-c的值.
17．【答案】（1）解：，
把代入，得，
，
把代入，得，
原方程组的解为.
（2）解：，
+，得，
，
把代入，得，
，
原方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)将代入，利用代入消元法消去x求得y的值，再将y值代入式解得x的值，进而求得方程组的解.
(2)利用加减消元法消去y求得x的值，再将x值代入式解得y的值，进而求得方程组的解.
18．【答案】解：设一匹马价x两，一头牛价y两，
由题意得：
解得：
答：一匹马价6两，一头牛价4两
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设一匹马价x两，一头牛价y两，根据题中的两个相等关系“四匹马+六头牛=48，三匹马+五头牛=38”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解.
19．【答案】解：设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，
(元)，
根据题意得：
解得：
答：该校七年级参观该景点的学生人数是160人，八年级参观该景点的学生人数是80人.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，根据“若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论.
20．【答案】解：（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得
，
解得
，
答：小长方形的长为4cm，宽为1cm；
（2）5×7-5×1×4=15cm2．
答：阴影部分图形的总面积15cm2．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由大长方形的长BC=小长方形的长+3个小长方形的宽及大长方形的宽AB=小长方形的长+小长方形宽列方程组求解即可；
（2）用大长方形的面积减去5个小长方形的面积即可得到阴影部分的面积．
21．【答案】（1），
（2）解：由题意，代入得，解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是。
（3）解：；理由如下：
将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】二元一次方程的概念；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
故答案为：（1），。
【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）首先根据共轭二元一次方程和共轭方程组的特点，发现第一个方程x的系数是第二个方程y的系数，并且是1；而第一个方程y的系数是第二个方程x的系数；并且等式右边都是相同的数。这样列式计算即可；
（2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；
（3）将解代入共轭方程组中，得出，然后列出进行变形，即可得出m和n的关系。
（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
（2）解：由题意得，
解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是；
（3）解：；
理由：将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
22．【答案】（1）40；（8x-16）
（2）解：m列2层空心方阵人数：8m-16
n列3层空心方阵人数：8n-16+4(n-4)-4=12n-36.
根据题意可列出方程组，解得
（3）48
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）7列2层空心方阵中，外层有24人，第二层有16人，合共40人；
x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，合共人.
故答案为：40、；
（3）若排列成m列3层空心方阵，总人数为12m-36人；
若排列成n列4层空心方阵，总人数为人.
根据题意，有，整理得4n-3m=7（n＞4，m＞3）
当n=5时，m非整数；
当n=6时，m非整数；
当n=7时，m=7.
所以人.
即该代表队至少有48人.
故答案为：48.
【分析】（1）根据图片直接可直接计算7列2层空心方阵总人数；根据图片规律，可得到 x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，然后求和即可；
（2）根据题意列出关于m、n的二元一次方程组并解方程即可；
（3）可先分别表示出m列3层空心方阵、n列4层空心方阵的各自总人数表达式，然后根据条件建立并得到关于m，n的二元一次方程，然后根据m、n的实际意义、取值范围等，得出n的最小值（或m的最小值），然后代入计算出总人数即可.
23．【答案】（1）解：或
（2）解：若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：
解得：
把代入2x-2y+my+8=0中得：m=-4.
∴m的值为-4.
（3）解：关于x、y的二元一次方程组可整理为
①-②得：（3-m）y=14，
∴当m=3时，方程组无解
（4）解：∵2x-2y+my+8=2x+（m-2）y+8=0，
∴当y=0时，x=-4，
∴无论实数m取何值，方程总有一个固定的解为
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由方程2x+y-6=0得：2x=6-y.由题意得，x、y都是正整数，
∴y为偶数且6-y>0.
∴当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；
∴方程2x+y-6=0的正整数解为：
或
【分析】（1）先把由方程2x+y-6=0变形得：2x=6-y.再由题意得，x、y都是正整数，所以y为偶数且6-y>0.再逐步讨论：当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；即为所求.
（2）若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：解出方程组：再把代入2x-2y+my+8=0中即求出m的值.
（3）可整理为，①-②得：（3-m）y=14，所以只有当m=3时，方程组无解.（4）2x-2y+my+8=0可变形为2x+（m-2）y+8=0，所以只有当y=0时，x=-4时无论实数m取何值，方程才总有一个固定的解，这个固定的解为.
24．【答案】（1）解：A款式周六的销售量：
C款式的周六周天的总销售量：
C款式的周六的销售量：
故补全表格如下，
A B C 合计
周六的销售量 10-x y 20+x-y 30
周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y
合计 10 3y 20+5x-y 30+5x+2y
（2）解：①∵A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A，B两款的销售总量之和还多4件，
∴，
解得：，
②128元或119元或110元或101元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）②由①得：，
设B款的单价为m元，C款的单价为n元，则A款的单价为3m元，
∴
即
∴
∵三种款式的春装单价均为大于100的整数，
∴
∴B款的单价可以是128元或119元或110元或101元，
故答案为：128元或119元或110元或101元.
【分析】（1）根据题意结合表中的数据计算即可；
（2）①根据题意得到二元一次方程组，进而解方程组即可求解；
②由①得：，设B款的单价为m元，C款的单价为n元，则A款的单价为3m元，根据"周六的总销售额为5600元"，则进而得到根据"三种款式的春装单价均为大于100的整数"，即可得到符合题意得m的解，即可求解.
1 / 1华东师大版数学七（下）第6章 一次方程组 单元测试提升卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025七下·杭州期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A.，含一个未知数，且未知数的次数为1，不是二元一次方程，故不A符合题意；
B.，含两个未知数，且未知数的次数为2，不是二元一次方程，故B不符合题意；
C.，含分式，不是二元一次方程，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D.，含两个未知数，且未知数的次数为1，是二元一次方程，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据 二元一次方程定义：含有两个未知数、且未知数对应项的次数为1的整式方程，叫作二元一次方程，判断即可得出答案.
2．下列选项中的方程组， 是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程组，∴A符合题意；
B、有三个未知数，不是二元一次方程组，∴B不符合题意；
C、含未知数的项最高次是二次，不是二元一次方程组，∴C不符合题意；
D、含未知数的项最高次是二次，不是二元一次方程组，∴D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据二元一次方程组的定义逐项分析判断即可.
3．（2025七下·金华月考）下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的概念；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：A、x=1时，y=-1，故是方程y=-x的解，可组成满足题意的二元一次方程组.
B、组成的不是二元一次方程，故不符合题意；
C、x=1时，y=-2，故不是方程3x+2y=-1的解，故不能组成满足题意的二元一次方程组.
D、x=1时，y=，故不是方程的解，故不能组成满足题意的二元一次方程组.
故答案为：A.
【分析】先判断是否是选项所给方程的解，是，则能组成满足条件的二元一次方程组；不是，则不能组成.
4．（2025七下·永康期末） 《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件“ 若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50 ”可得方程；根据条件“ 甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50 ”可得方程.综合可得 .
故答案为：D.
【分析】根据题意直接列出方程组并选择即可.
5．（2025七下·瑞安期中） 若关于 x，y 的方程组的解是，则关于 x，y 的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 由可得
∵关于x、y的方程组 的解为
∴，解得
故答案为：C .
【分析】将第一个方程组的解代入方程，与第二个方程组组成新的的方程组，即可求解.
6．（2023七下·柯桥期末）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得，x=2y+m
代入①中可得3(2y+m)-y=5-2m，
∴5y=5-5m，
∴y=1-m
将y=1-m代入②中可得x-2(1-m)=m，
∴x=-m+2，
∴x-y=-m+2-(1-m)=1.
故答案为：C.
【分析】由第二个方程可得x=2y+m，代入第一个方程中可得y，然后将y代入第二个方程中表示出x，据此判断.
7．（2025七下·浙江期中）已知关于x，y的二元一次方程组给出下列结论中，正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①-②得：4y=8-4a，
解得：y=2-a，
将y=8-4a代入②式得：x-(2-a)=3a，
解得：x=2a+2，
故方程组的解为：；
①当方程组的解x，y的值互为相反数时，
x+y=2a+2+2-a=0，
解得：a=-4，
故①正确；
②当a=1时，方程组的解为 ，
将代入 中得：
4+1=4+2a，
解得：≠1，
则方程组的解也不是方程的解，
故②错误；
③x+2y=2a+2+（2-a）=4，
则无论取什么实数，的值始终不变，
故③正确；
④将变形得，
将代入得： ，
故④正确；
综上所述，正确的有：①③④；
故答案为：D.
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，可得出x，y的值，再根据各项一 一代入即可判断，得出答案.
8．对于三元一次方程组，我们一般是先消去一个未知数，转化为二元一次方程组求解，那么在解三元一次方程组 时，下列解法未实现这一转化的是( )
A．由①-②，②-③，得
B．由①-②，①×2-③，得
C．由①-③，①×2-②，得
D．由②-③，②×2-①，得
【答案】A
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：A.由(1)-(2)，(2)-(3)得 未实现转化，故A符合题意；
B.由(1)-(2)，(1)×2-(3)得 实现了转化，故B不符合题意；
C.由(1)-(3)，(1)×2-(2)得 实现了转化，故C不符合题意；
D.由(2)-(3)，(2)×2-(1)得 实现了转化，故D不符合题意。
故选：A
【分析】根据消元法是三元一次方程组转化为二元一次方程组解答即可.
9．（2025七下·鄞州竞赛）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状和大小完全相同的长方形，所标注尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2.
A．57 B．55 C．53 D．51
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：
解得：
∴图中阴影部分的面积为15×(7+2×2)-6×9×2=57(cm2).
故答案为：A.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论.
10．（2025七下·台州期中） 对x、у定义一种新运算T，规定：T（x，y）=axy+bx-4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算.例如：T（0，1）=a×0×1+b×0-4=-4，若T（2，1）=2，T（-1，2）=-8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1） a=1，b=2；（2） 若T（m，n）=0，（n≠-2），则m=；（3）若T（m，n）=0，则m、n有且仅有3组整数解；（4） 若T（kx，y）=T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k=1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件T(2，1)=2，T(-1，2)=-8，列式为
， 解得，
故结论（1）正确。
由T(m，n)=0，得mn+2m-4=0，整理得m(n+2)=4，解得m =，
故结论（2）正确。
由mn+2m =4，当n=-2时方程无解，故n≠2。令m=，m和n均为整数，则n+2是4的因数。4的因数为1，2，4，因此：
n+2=1有 n=-1，m=4；
n+2=-1有 n=-3，m=-4；
n+2=2 有 n=0，m=2；
n+2=-2有 n=-4，m=-2；
n+2=4有 n=2，m=1；
n+2=-4 有 n=-6，m=-1。
共有6组整数解，故结论（3）错误。
由T(kx，y)=T(ky，x)，得：a ( k x ) y + b ( k x ) 4 = a ( k y ) x + b ( k y ) 4
代入a=1，b=2，得： kxy+2kx=kxy+2ky
化简得2k(x - y)=0。
因对任意x，y成立，故k=0。但题目要求k为常数，而k=0与b非零无关，但结论（4）中k=1不成立，
故结论（4）错误。
因此正确的是（1）（2）
故答案为：B.
【分析】（1）（2）可以直接根据新运算 T（x，y）=axy+bx-4 代入计算即可判断正误；（3）可以根据（2）的结论，先确定4的因数有1，2，4，然后分6种情况分别计算出m和n的值，即可判断正误；（4）将a=1，b=2代入并变形，得到2k(x - y)=0，此时即可判断出k =1不成立。
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024七下·宁波期末）已知是方程的一个解，则 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，得到关于待求字母参数的方程求解．
12．（2024七下·江山期中）已知，用含x的代数式表示y，则 ．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
移项得，，
系数化为1得，
故答案为：．
【分析】把看成已知数，根据移项、系数化为1即可求解．
13．（2025七下·浙江月考）古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得， ，
故答案为：．
【分析】
根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个可得，根据十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果可得，然后即可写出相应的方程组．
14．（2025七下·海曙开学考）若是关于，的二元一次方程，则 ．
【答案】2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵原式是关于，的二元一次方程，
∴，，，解得，
故答案为：2．
【分析】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．本题根据二元一次方程的定义和特点，列式计算即可确定k的值。
15．（2025七下·杭州月考）已知关于x、y的二元一次方程组（p为实数）
（1）x+y= （用含p的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程qx+3y=1（q为整数，且q不等于0或-6）的解，p也是整数，则q的最小值为 .
【答案】（1）
（2）-22
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1），将①+②得，即.
故答案为：；
（2）解方程组 得.
代入，有.
∴.
∵为整数，且不等于或，
∴或.
令（为整数，且），则.
∴必为的因数.
∴.
当时，取得最小值.
∴.
【分析】（1）用上式加下式，然后等号两边同时除以3即可；
（2）先求出方程组的解，代入到，得到关于、的关系式，然后整理，即用表示出，最后根据整理后的关系式、结合条件及题目所求，最终可计算出值.
16．（2023七下·金东期末）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
【答案】；
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：
化简得：
由②得：9+a=18
∴a=9
把a=9代入①得：14+c=18+b
∴b-c=14-18=-4
故答案为：9；-4.
【分析】由题意列出三元一次方程组并化简，观察第二个方程就可以求出a；把a代入第一个方程就可以求出b-c的值.
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17．（2025七下·杭州期中）解下列二元一次方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
把代入，得，
，
把代入，得，
原方程组的解为.
（2）解：，
+，得，
，
把代入，得，
，
原方程组的解为.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)将代入，利用代入消元法消去x求得y的值，再将y值代入式解得x的值，进而求得方程组的解.
(2)利用加减消元法消去y求得x的值，再将x值代入式解得y的值，进而求得方程组的解.
18．（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何
【答案】解：设一匹马价x两，一头牛价y两，
由题意得：
解得：
答：一匹马价6两，一头牛价4两
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】设一匹马价x两，一头牛价y两，根据题中的两个相等关系“四匹马+六头牛=48，三匹马+五头牛=38”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解.
19．（2025七下·滨江期末） 某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动：
人数x/人
收费标准/元 50 45 40
经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加入数多于100人、少于200人，八年级参加入数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？
【答案】解：设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，
(元)，
根据题意得：
解得：
答：该校七年级参观该景点的学生人数是160人，八年级参观该景点的学生人数是80人.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，根据“若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论.
20．（2024七下·西湖月考）在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形，其中
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求阴影部分图形的总面积
【答案】解：（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意得
，
解得
，
答：小长方形的长为4cm，宽为1cm；
（2）5×7-5×1×4=15cm2．
答：阴影部分图形的总面积15cm2．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由大长方形的长BC=小长方形的长+3个小长方形的宽及大长方形的宽AB=小长方形的长+小长方形宽列方程组求解即可；
（2）用大长方形的面积减去5个小长方形的面积即可得到阴影部分的面积．
21．（2025七下·西湖月考）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组．
（1）若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______．
（2）若方程中x，y的值满足表：
x 0
y 0 2
求方程的共轭二元一次方程．
（3）若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系．
【答案】（1），
（2）解：由题意，代入得，解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是。
（3）解：；理由如下：
将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
【知识点】二元一次方程的概念；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
故答案为：（1），。
【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）首先根据共轭二元一次方程和共轭方程组的特点，发现第一个方程x的系数是第二个方程y的系数，并且是1；而第一个方程y的系数是第二个方程x的系数；并且等式右边都是相同的数。这样列式计算即可；
（2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程；
（3）将解代入共轭方程组中，得出，然后列出进行变形，即可得出m和n的关系。
（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组，
∴，，
∴解得，；
（2）解：由题意得，
解得，
∴原方程为：，
∴这个方程的共轭二元一次方程是；
（3）解：；
理由：将代入，
得，
∴，
∴，
，
∵，
∴．
22．（2025七下·瑞安期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示。如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式。
（1）填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人。（用含×的代数式表示，其中x为大于4的正整数）
（2）某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值。
（3）某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人。
【答案】（1）40；（8x-16）
（2）解：m列2层空心方阵人数：8m-16
n列3层空心方阵人数：8n-16+4(n-4)-4=12n-36.
根据题意可列出方程组，解得
（3）48
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）7列2层空心方阵中，外层有24人，第二层有16人，合共40人；
x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，合共人.
故答案为：40、；
（3）若排列成m列3层空心方阵，总人数为12m-36人；
若排列成n列4层空心方阵，总人数为人.
根据题意，有，整理得4n-3m=7（n＞4，m＞3）
当n=5时，m非整数；
当n=6时，m非整数；
当n=7时，m=7.
所以人.
即该代表队至少有48人.
故答案为：48.
【分析】（1）根据图片直接可直接计算7列2层空心方阵总人数；根据图片规律，可得到 x列2层空心方阵中，最外层有人，第二层有人，然后求和即可；
（2）根据题意列出关于m、n的二元一次方程组并解方程即可；
（3）可先分别表示出m列3层空心方阵、n列4层空心方阵的各自总人数表达式，然后根据条件建立并得到关于m，n的二元一次方程，然后根据m、n的实际意义、取值范围等，得出n的最小值（或m的最小值），然后代入计算出总人数即可.
23．已知关于x，y的二元一次方程组
（1）请直接写出方程2x+y-6=0的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足x-y=0，求m的值.
（3）若方程组无解，求m的值.
（4）无论实数m取何值，方程2x-2y+my+8=0总有一个固定的解，请求出这个解.
【答案】（1）解：或
（2）解：若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：
解得：
把代入2x-2y+my+8=0中得：m=-4.
∴m的值为-4.
（3）解：关于x、y的二元一次方程组可整理为
①-②得：（3-m）y=14，
∴当m=3时，方程组无解
（4）解：∵2x-2y+my+8=2x+（m-2）y+8=0，
∴当y=0时，x=-4，
∴无论实数m取何值，方程总有一个固定的解为
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由方程2x+y-6=0得：2x=6-y.由题意得，x、y都是正整数，
∴y为偶数且6-y>0.
∴当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；
∴方程2x+y-6=0的正整数解为：
或
【分析】（1）先把由方程2x+y-6=0变形得：2x=6-y.再由题意得，x、y都是正整数，所以y为偶数且6-y>0.再逐步讨论：当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；即为所求.
（2）若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：解出方程组：再把代入2x-2y+my+8=0中即求出m的值.
（3）可整理为，①-②得：（3-m）y=14，所以只有当m=3时，方程组无解.（4）2x-2y+my+8=0可变形为2x+（m-2）y+8=0，所以只有当y=0时，x=-4时无论实数m取何值，方程才总有一个固定的解，这个固定的解为.
24．某品牌童装专卖店新推出 A，B，C三种款式的春装.某个周末的销售量（单位：件）如（下表：)
A B C 合计
周六的销售量 y 30
周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y
合计 10 3y 30+5x+2y
（1）请根据表格信息，补全表格中的划线部分（用含 x，y的代数式表示）.
（2）已知A 款周六的销售量与 B 款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A，B 两款的销售总量之和还多 4件.
①求x，y的值.
②已知三种款式的春装单价均为大于 100 的整数，且 A 款的单价是 B 款的 3 倍.如果周六的总销售额为 5 600元，那么B款的单价可以是 （写出所有可能的结果）.
【答案】（1）解：A款式周六的销售量：
C款式的周六周天的总销售量：
C款式的周六的销售量：
故补全表格如下，
A B C 合计
周六的销售量 10-x y 20+x-y 30
周日的销售量 x 2y 4x 5x+2y
合计 10 3y 20+5x-y 30+5x+2y
（2）解：①∵A款周六的销售量与B款周日的销售量相等，且这个周末C款的销售总量比A，B两款的销售总量之和还多4件，
∴，
解得：，
②128元或119元或110元或101元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）②由①得：，
设B款的单价为m元，C款的单价为n元，则A款的单价为3m元，
∴
即
∴
∵三种款式的春装单价均为大于100的整数，
∴
∴B款的单价可以是128元或119元或110元或101元，
故答案为：128元或119元或110元或101元.
【分析】（1）根据题意结合表中的数据计算即可；
（2）①根据题意得到二元一次方程组，进而解方程组即可求解；
②由①得：，设B款的单价为m元，C款的单价为n元，则A款的单价为3m元，根据"周六的总销售额为5600元"，则进而得到根据"三种款式的春装单价均为大于100的整数"，即可得到符合题意得m的解，即可求解.
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