第一章 二次函数 单元复习检测卷（一）（含答案）初中数学湘教版九年级下册

第一章二次函数单元复习检测卷（一）湘教版2025—2026学年九年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线
C．当时，y有最大值 D．当时，y随x的增大而减小
3．已知点，在抛物线上，若，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线（单位：）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．将抛物线 向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．抛物线（其中，，），一定不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．关于二次函数，下列命题中正确的是（ ）
①若，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点有2个或3个．
A．①③ B．①③④ C．①④ D．②
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　 　．
10．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　 平方米．
11．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　 　 ．
12．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若该抛物线的顶点为P，求的面积．
14．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程的两个根．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
(4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围．
15．某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元．
(1)求y关于的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？
(3)求商家销售该商品每天获得的最大利润．
16．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，，是常数且）和直线，抛物线经过点．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，且经过点，求该抛物线的表达式；
(2)若抛物线与直线交于轴上同一点．
（ⅰ）用含的代数式表示，并说明理由；
（ⅱ）已知，当时，若二次函数的最大值为，最小值为，求的最小值．
17．已知是自变量的函数，当（为常数）时，称函数为函数的“阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的阶升幂点”，点在函数的“阶升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“2阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的2阶升幂点”，点在函数的“2阶升幂函数”的图象上．
(1)求函数的“3阶升幂函数”的函数表达式；
(2)点在函数的图象上，点“关于的1阶升幂点”在点的上方，当时，求点的坐标；
(3)已知函数是函数的“阶升幂函数”，与的图象交于，两点，若，且，求的取值范围．
18．如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值；
(3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．C
4．D
5．C
6．C
7．B
8．A
二、填空题
9．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　m≤　．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0，
解得m≤，
即m的取值范围为m≤．
故答案为：m≤．
10．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　450　平方米．
【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，
又墙长为40米，
∴0＜60﹣2x≤40．
∴10≤x＜30．
又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，
∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，
即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．
故答案为：450．
11．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　（﹣1，5）　 ．
【解答】解：原式可化为y＝2x2﹣3x+k（x+1），
∵二次函数的图象必过定点，即该定点坐标与k的值无关，
∴x+1＝0，解得x＝﹣1，
此时y的值为y＝2+3＝5，图象必过定点（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
12．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　﹣5或1　 ．
【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
∵二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，
∴①当﹣1﹣t＞t+3，即t＜﹣2时，2t2+4t+1＝31
解得 t1＝﹣5，t2＝3（舍去）．
②当﹣1﹣t＜t+3，即t＞﹣2时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，
解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1；
③当t＞﹣1时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，
解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1；
综上所述，t的值是﹣5或1．
故答案为：﹣5或1．
三、解答题
13．【解】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：∵，
∴顶点，
∴．
14．【解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，
一元二次方程的两个根分别是，；
（2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方，
不等式的解集为；
（3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，
在对称轴的右侧随的增大而减小，
随的增大而减小的自变量的取值范围是；
（4）解：由图象可知，当时，
方程组有一组解，
方程有两个相等的实数根，
当时，
方程组有两组解，
方程有两个不相等的实数根，
方程有两个不相等的实数根时，．
15．【解】（1）解：设关于的函数关系式为，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：成本为元，，每天获得的利润是元，
∴，
解得：，．
∵物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元，
∴不合题意，应舍去．
∴当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润是元．
（3）解：设商家销售该商品每天获得的利润为元，
则，
∵，
∵，
∴当时，取最大值为（元）．
答：商家销售该商品每天获得的最大利润为元．
16．【解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，且经过点，
∴，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）把代入得：，
，
在中，令得，
∴直线交轴于，
把代入得：，
；
由知，抛物线解析式为，对称轴为直线，
，
，
当时，随的增大而增大，
，，
，
当时，的值最小为；
的最小值为．
17．【解】（1）解：由题意，得：
（2）∵点在函数的图象上，
∴设，
由题意，得：，即：，
∵点在点的上方，，
∴，
解得：，
∴；
（3），
令，整理，得：，
∵与的图象交于，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，则：，与矛盾，不符合题意，
∴，
∴，
∵
，
，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴．
18．【解】（1）解：∵拋物线经过，，三点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接交直线于，连接、，
由题意可得，点、关于直线对称，
∴，
∵的周长，其中为定值，
∴的周长的最小值为，
∵，，，
∴，，
∴周长的最小值为；
（3）解：∵，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），设点E的横坐标为m，
∴，
∵过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，
∴，，
∴，，，
如图，连接，
∴四边形的面积为
，
∵，，
∴当时，四边形的面积为S最大，最大值为，此时，即．