第一章 二次函数单元 复习检测试卷 （含答案）初中数学湘教版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第一章 二次函数单元 复习检测试卷 （含答案）初中数学湘教版九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 515.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-17 00:00:00 | ||
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文档简介
第一章二次函数单元复习检测试卷湘教版2025—2026学年九年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．二次函数的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
2．对于抛物线，下列说法正确的是()
A．可由抛物线向左平移个单位长度得到
B．顶点坐标是
C．与轴无交点
D．当时，随的增大而增大
3．已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
B．
C． D．或
7．若二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根为，．其中正确的结论是（ ）
A．①②⑤ B．①④⑤ C．②④⑤ D．①②④
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x 3 4 5 6 7 8 …
y m …
则表格中m的值是 ．
10．在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x …… 1 …
y … 0 …
则当时的最小值为 ．
11．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ．
12．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
14．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果，该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为w元．
（1）分别求出y与x，w与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
15．已知抛物线C1：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点为M；抛物线C2；y＝（x﹣n）2﹣n+3的顶点为N．
（1）点M是否在直线y＝x﹣1上，并说明理由；
（2）已知点N在直线y＝x﹣1上，m＝2n﹣1，点A（s，t）在抛物线C2上，且s≠n，点B在抛物线C1上．
①若AN∥BM，求直线BM的解析式（用s表示）；
②若点B的坐标为（s+p，t+q），且p＝s+1，求q的最小值．
16．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍．
（1）b的值为 ．
（2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
①若x1＝2，t＝6m，求m的值；
②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，求t的最小值．
17.某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为x（m），其中6≤x＜15，平行于墙的一边的长为y（m），矩形劳动实践基地的面积为S（m2）．
（1）请直接写出y与x，S与x的函数关系式；
（2）当S＝100m2时，求垂直于墙的一边长；
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
18．已知是自变量的函数，当（为常数）时，称函数为函数的“阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的阶升幂点”，点在函数的“阶升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“2阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的2阶升幂点”，点在函数的“2阶升幂函数”的图象上．
(1)求函数的“3阶升幂函数”的函数表达式；
(2)点在函数的图象上，点“关于的1阶升幂点”在点的上方，当时，求点的坐标；
(3)已知函数是函数的“阶升幂函数”，与的图象交于，两点，若，且，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．C
4．C
5．D
6．C
7．C
8．D
二、填空题
9．【解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为：
直线，
∴与关于对称轴对称，
∴，
故答案为：；
10．【解】解：由表格可知，和时均有，
∴对称轴为：
观察表格，时，即顶点为，
设二次函数的顶点式为：
由表格中，，代入顶点式得：
，
即，
解得 ，
∴二次函数解析式为，
∴当时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小，
，
当时，取得最小值，为．
故答案为：．
11．【解】解：∵抛物线与轴没有交点，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．【解】解：∵把代入中，得：,
∴，
∴函数解析式为：，
∵，
∴二次函数开口向上，对称轴为轴，
∵，
∴，，
①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，
解得：，
且，
则有，
解得：；
②当，即时，函数在处取得最大值，
∴，
解得：，这与矛盾，故不成立；
综上可得：．
故答案为： ．
三、解答题
13．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1），
则，
解得：；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，
则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，
∴，
当m＝2时，最大值为8．
14．【解】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）．
把点（30，100），（40，80）代入y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+160（20＜x≤50）；
∴W＝（x﹣20） y＝（x﹣20）（﹣2x+160）＝﹣2x2+200x﹣3200（20＜x≤50）
（2）﹣2x+160≥90．
∴x≤35．
∵20＜x≤50，
∴20＜x≤35．
W＝﹣2x2+200x﹣3200＝﹣2（x﹣50）2+1800．
∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下．
∵对称轴为直线x＝50，
∴在20＜x≤35时，W随x的增大而增大，
∴当x＝35时，W取最大值，此时W＝﹣2×（35﹣50）2+1800＝1350，
答：当售价定为35元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元．
15．【解】解：（1）在，理由为：
y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴点M为（m，m﹣1），
把 x＝m代入y＝x﹣1 得，y＝m﹣1，
∴点M在直线 y＝x﹣1上；
（2）∵点N坐标为（n，﹣n+3），点N在直线y＝x﹣1上，
∴﹣n+3＝n﹣1，
解得n＝2，
∴m＝2n﹣1＝3，
∴抛物线C1：y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，
∴点M（3，2），
∵抛物线C2：y＝（x﹣2）2+1，
∴N（2，1），
∵点A（s，t）在抛物线C2上，
∴t＝（s﹣2）2+1；
①设直线AN的解析式为 y＝kx+b，
∴，
解得，
∵AN∥BM，
∴直线BM的解析式为 y＝（s﹣2）x+c，
代入点M（3，2），得2＝3（s﹣2）+c，
∴c＝8﹣3s，
∴直线BM的解析式为：y＝（s﹣2）x+8﹣3s；
②∵点B（s+p，t+q）在抛物线C1上，t＝（s﹣2）2+1，
∴t+q＝（s+p﹣3）2+2，
∴（s﹣2）2+1+q＝（s+p﹣3）2+2，
∴q＝p2+2sp﹣2s﹣6p+6，
∵p＝s+1，
∴，
∵3＞0，
∴q的最小值为．
16．【解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍，
∴2，
∴b＝8．
故答案为：8；
（2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+8x上，
①若x1＝2，t＝6m，则y1＝﹣22+4×2＝4，
∴B（2+m，4+6m），
∴4+6m＝﹣（2+m）2+8（2+m），
解得m＝2或m＝﹣4；
②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，
∴1≤m≤4，
则y1＝﹣（m+2）2+4（m+2）＝﹣m2+4，
∴B（2m+2，﹣m2+4+t），
∴﹣m2+4+t＝﹣（2m+2）2+8（2m+2），
∴t＝﹣3m2+8m+8＝﹣3（m）2，
∵1≤m≤4，
∴m＝4时，t有最小值﹣8．
17.【解】解：（1）由题意可知，2x+y＝30，
∴y＝30﹣2x，
y与x的函数关系式为y＝30﹣2x；
S＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+30x；
（2）∵S＝100，
∴100＝﹣2x2+30x，
解得x1＝10，x2＝5，
∵6≤x＜15，
∴x＝10，
∴当S＝100m2时，垂直于墙的一边长为10m；
（3）由题可得﹣2x+30≤14，
解得x≥8，
∵6≤x＜15，
∴8≤x＜15，
S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5
∵﹣2＜0，开口向下，对称轴为直线x＝7.5，
∴当x＝8时，S有最大值，S＝112m2．
所以当垂直于墙的一边长为8m时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为112m2．
18．【解】（1）解：由题意，得：
（2）∵点在函数的图象上，
∴设，
由题意，得：，即：，
∵点在点的上方，，
∴，
解得：，
∴；
（3），
令，整理，得：，
∵与的图象交于，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，则：，与矛盾，不符合题意，
∴，
∴，
∵
，
，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴．
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．二次函数的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
2．对于抛物线，下列说法正确的是()
A．可由抛物线向左平移个单位长度得到
B．顶点坐标是
C．与轴无交点
D．当时，随的增大而增大
3．已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
B．
C． D．或
7．若二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根为，．其中正确的结论是（ ）
A．①②⑤ B．①④⑤ C．②④⑤ D．①②④
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x 3 4 5 6 7 8 …
y m …
则表格中m的值是 ．
10．在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x …… 1 …
y … 0 …
则当时的最小值为 ．
11．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ．
12．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB．
（1）求b、c的值；
（2）求△PAB的面积的最大值．
14．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果，该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为w元．
（1）分别求出y与x，w与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
15．已知抛物线C1：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点为M；抛物线C2；y＝（x﹣n）2﹣n+3的顶点为N．
（1）点M是否在直线y＝x﹣1上，并说明理由；
（2）已知点N在直线y＝x﹣1上，m＝2n﹣1，点A（s，t）在抛物线C2上，且s≠n，点B在抛物线C1上．
①若AN∥BM，求直线BM的解析式（用s表示）；
②若点B的坐标为（s+p，t+q），且p＝s+1，求q的最小值．
16．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍．
（1）b的值为 ．
（2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
①若x1＝2，t＝6m，求m的值；
②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，求t的最小值．
17.某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为x（m），其中6≤x＜15，平行于墙的一边的长为y（m），矩形劳动实践基地的面积为S（m2）．
（1）请直接写出y与x，S与x的函数关系式；
（2）当S＝100m2时，求垂直于墙的一边长；
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
18．已知是自变量的函数，当（为常数）时，称函数为函数的“阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的阶升幂点”，点在函数的“阶升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“2阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的2阶升幂点”，点在函数的“2阶升幂函数”的图象上．
(1)求函数的“3阶升幂函数”的函数表达式；
(2)点在函数的图象上，点“关于的1阶升幂点”在点的上方，当时，求点的坐标；
(3)已知函数是函数的“阶升幂函数”，与的图象交于，两点，若，且，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．C
4．C
5．D
6．C
7．C
8．D
二、填空题
9．【解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为：
直线，
∴与关于对称轴对称，
∴，
故答案为：；
10．【解】解：由表格可知，和时均有，
∴对称轴为：
观察表格，时，即顶点为，
设二次函数的顶点式为：
由表格中，，代入顶点式得：
，
即，
解得 ，
∴二次函数解析式为，
∴当时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小，
，
当时，取得最小值，为．
故答案为：．
11．【解】解：∵抛物线与轴没有交点，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．【解】解：∵把代入中，得：,
∴，
∴函数解析式为：，
∵，
∴二次函数开口向上，对称轴为轴，
∵，
∴，，
①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，
解得：，
且，
则有，
解得：；
②当，即时，函数在处取得最大值，
∴，
解得：，这与矛盾，故不成立；
综上可得：．
故答案为： ．
三、解答题
13．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1），
则，
解得：；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E，
则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2，
∴，
当m＝2时，最大值为8．
14．【解】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）．
把点（30，100），（40，80）代入y＝kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+160（20＜x≤50）；
∴W＝（x﹣20） y＝（x﹣20）（﹣2x+160）＝﹣2x2+200x﹣3200（20＜x≤50）
（2）﹣2x+160≥90．
∴x≤35．
∵20＜x≤50，
∴20＜x≤35．
W＝﹣2x2+200x﹣3200＝﹣2（x﹣50）2+1800．
∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下．
∵对称轴为直线x＝50，
∴在20＜x≤35时，W随x的增大而增大，
∴当x＝35时，W取最大值，此时W＝﹣2×（35﹣50）2+1800＝1350，
答：当售价定为35元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元．
15．【解】解：（1）在，理由为：
y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴点M为（m，m﹣1），
把 x＝m代入y＝x﹣1 得，y＝m﹣1，
∴点M在直线 y＝x﹣1上；
（2）∵点N坐标为（n，﹣n+3），点N在直线y＝x﹣1上，
∴﹣n+3＝n﹣1，
解得n＝2，
∴m＝2n﹣1＝3，
∴抛物线C1：y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，
∴点M（3，2），
∵抛物线C2：y＝（x﹣2）2+1，
∴N（2，1），
∵点A（s，t）在抛物线C2上，
∴t＝（s﹣2）2+1；
①设直线AN的解析式为 y＝kx+b，
∴，
解得，
∵AN∥BM，
∴直线BM的解析式为 y＝（s﹣2）x+c，
代入点M（3，2），得2＝3（s﹣2）+c，
∴c＝8﹣3s，
∴直线BM的解析式为：y＝（s﹣2）x+8﹣3s；
②∵点B（s+p，t+q）在抛物线C1上，t＝（s﹣2）2+1，
∴t+q＝（s+p﹣3）2+2，
∴（s﹣2）2+1+q＝（s+p﹣3）2+2，
∴q＝p2+2sp﹣2s﹣6p+6，
∵p＝s+1，
∴，
∵3＞0，
∴q的最小值为．
16．【解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x的顶点横坐标的2倍，
∴2，
∴b＝8．
故答案为：8；
（2）已知点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+8x上，
①若x1＝2，t＝6m，则y1＝﹣22+4×2＝4，
∴B（2+m，4+6m），
∴4+6m＝﹣（2+m）2+8（2+m），
解得m＝2或m＝﹣4；
②若x1＝m+2，且3≤x1≤6，
∴1≤m≤4，
则y1＝﹣（m+2）2+4（m+2）＝﹣m2+4，
∴B（2m+2，﹣m2+4+t），
∴﹣m2+4+t＝﹣（2m+2）2+8（2m+2），
∴t＝﹣3m2+8m+8＝﹣3（m）2，
∵1≤m≤4，
∴m＝4时，t有最小值﹣8．
17.【解】解：（1）由题意可知，2x+y＝30，
∴y＝30﹣2x，
y与x的函数关系式为y＝30﹣2x；
S＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+30x；
（2）∵S＝100，
∴100＝﹣2x2+30x，
解得x1＝10，x2＝5，
∵6≤x＜15，
∴x＝10，
∴当S＝100m2时，垂直于墙的一边长为10m；
（3）由题可得﹣2x+30≤14，
解得x≥8，
∵6≤x＜15，
∴8≤x＜15，
S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5
∵﹣2＜0，开口向下，对称轴为直线x＝7.5，
∴当x＝8时，S有最大值，S＝112m2．
所以当垂直于墙的一边长为8m时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为112m2．
18．【解】（1）解：由题意，得：
（2）∵点在函数的图象上，
∴设，
由题意，得：，即：，
∵点在点的上方，，
∴，
解得：，
∴；
（3），
令，整理，得：，
∵与的图象交于，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，则：，与矛盾，不符合题意，
∴，
∴，
∵
，
，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴．