北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末考试考前特训试题（一）（含答案）

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北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末考试考前特训试题（一）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，这样重复做了次摸球试验，摸到黄球的频数为，则估计其中的黄球的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图是几个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图为（ ）

A． B． C． D．
3．已知点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（　　）
A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验
B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验
C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验
D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验
6．已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
7．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（）
A． B． C． D．无法确定
8．已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A． B．菱形的面积等于
C．平分 D．若，则四边形是正方形
9．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；
②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；
③连接并延长交于点．则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ．
12．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
13．若，则 ．
14．七巧板是一种古老的中国传统智力游戏．在如图所示的七巧板中，若正方形的边长为4，则正方形的边长为 ．
15．如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，点B在x轴的负半轴上，连接．若，的面积为6，则k的值为 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末考试考前特训试题（一）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，在正方形中，延长至点E，使得，连接，，交于点F．
(1)试探究的形状；
(2)求的度数．
19．“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，航天员们演示了“球形火焰”“奇妙乒乓球”“动量守恒”和“又见陀螺”四个实验．本次授课活动分别在北京、内蒙古阿拉善盟、陕西延安、安徽桐城及浙江宁波设置了5个地面课堂．
(1)若航天员们随机连线一个地面课堂，求北京地面课堂被连线的概率；（请直接写出结果，不必写求解过程）
(2)某班组织同学们收看了本次太空科普课，并随机对李明和张敏两位同学进行了关于“你最感兴趣的实验”的采访，若将以上四个实验分别记为，，，，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的概率．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．

(1)作关于y轴的轴对称图形，请在平面直角坐标系中画出，并填写，的坐标．点的坐标为（______，______）；点的坐标为（______，______）．
(2)的顶点坐标分别为，，，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（______，______）
21．如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为72，，求点F到线段的距离．
22．2024年巴黎奥运会顺利举行，奥运纪念品深受喜爱，某商场两次购进，两款纪念品．第一次购进款纪念品100件，款纪念品80件，共6200元，第二次购进款纪念品150件，款纪念品40件，共6100元．
(1)求，两款纪念品的进价各是多少元？
(2)商场为了尽快将款纪念品销售完，决定对款纪念品进行降价销售，当销售单价为每个60元时，每周可以卖出50个，每降10元，每周就可以多卖100个，请问商场将每个款纪念品降价多少元时，每周销售款纪念品的利润为2340元？
23．如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在上的点E处，折痕为，过点E作交于点．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若时，则的长是多少？
24．如图，在正方形中，为边上一动点（点不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、、，交边于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，设，，
①当时，请探究得出的值；
②求出与之间满足的关系式．并解决问题：如图3所示，连接，若，当时，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线l，交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E．
ⅰ)若，求线段的长；
ⅱ)将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N(点N的横坐标大于点M的横坐标)，连接，，若，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D A B A C D B
二、填空题
11．4
12．//
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】（1）
∴
∴，；
（2）
∴或
∴，．
18．【解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
则，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．【解】（1）解：航天员们随机连线一个地面课堂有5种可能，北京地面课堂被连线1种可能，
∴北京地面课堂被连线的概率为；
（2）列表如下：
李明张敏
共有16种等可能的结果，其中李明和张敏抽到两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的结果有4种，
∴两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的概率为．
20．【解】（1）如图，即为所求．

点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：；0；；2．
（2）如图，作射线，，，相交于点，
则点为与的位似中心，
点的坐标为．
故答案为：0；．
21．【解】（1）证明：菱形的对角线和交于点O，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形是正方形；
（2）解：正方形的面积为72，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积，
在中，，
设点F到线段的距离为h，
，
即，
．
即点F到线段的距离为．
22．【解】（1）解：设款纪念品的进价为元，款纪念品的进价为元，
由题意得：，
解得：，
答：款纪念品的进价是30元，款纪念品的进价是40元．
（2）解：设商场将每个款纪念品降价元，则每周可以卖出款纪念品个，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
为了尽快将款纪念品销售完，且，
，
答：商场将每个款纪念品降价21元时，每周销售款纪念品的利润为2340元．
23．【解】（1）解：由折叠可得，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图
，
∴
在中，由勾股定理可得，
，
作
，
设，
，
由折叠可得，
，
在中，由勾股定理可得，
，
解得： ，
，
，
．
24．【解】（1）证明：正方形，
，，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，即，
又，
．
（2）解：①如图，作交于点，
由（1）得，，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
当时，则，
设，则，，
，，
，
，
；
②设，则，，
由①中的结论得，，，
，
与之间满足的关系式为；
如图，延长至使得，连接，
，，，
，
，，
由（1）得，，，
，
，即，
，
又，
，
，
，
，
，
，
在中，，
正方形，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，负值舍去，
的长为2．
25．【解】（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点
∴，解得：，
∴，反比例函数的表达式为，
∵令得：，
∴；
（2）ⅰ)设点P的坐标为，，
∵过点P作x轴的垂线l交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
∴解得：，，，
∵，
∴或2，
∴或；
ⅱ)∵，
∴
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
过点A作，垂足为H，过点N作轴，垂足为G，则，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为H，，
∴，，
∴，，
∴
设点N关于直线l的对称点为，
∴，
∵将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N，
∴在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
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