期末核心考点检测卷2025—2026学年九年级上册北师大版数学（含答案）
文档属性
| 名称 | 期末核心考点检测卷2025—2026学年九年级上册北师大版数学（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 12:41:57 | ||
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文档简介
期末核心考点检测卷2025—2026学年九年级上册北师大版数学
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若是一元二次方程的一个根，则c的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共20个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有（ ）
A．3个 B．14个 C．5个 D．17个
5．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
6．已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，则对角线的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
8．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知线段长为2，过点B作，使；连接，以点C为圆心，长为半径作弧，交线段于点D，再以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．
12．若，其中，则的值为 ．
13．如图，沿过点的直线翻折，使点的对应点刚好落在边的延长线上，折痕交线段于点，连接交边于点，连接，若，且，则的值为 ．
14．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
15．一个不透明袋子中有若干个完全相同的小球，从袋子里随机摸出30个小球，作下记号后放回袋中，摇匀后再随机摸出40个球，其中有5个是带记号的小球，则估计这个袋子中共有小球 个．
16．如图，反比例函数的图象经过A、两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点C，D，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点E、F、若四边形和四边形不重合部分的面积和为6，则点A的坐标为 ．
期末核心考点检测卷2025—2026学年九年级上册北师大版数学
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．为进一步贯彻《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，保证学生每天一小时的体育锻炼时间，某校开展了“阳光体育活动”．现决定开设篮球、足球、乒乓球、排球、羽毛球这五项球类活动．为了解同学们对五项球类活动的喜爱情况，学校随机调查了部分学生（每个学生必须选且只能选择这五项活动中的一项），并绘制成如下的统计图．回答下列问题：
(1)本次参加调查的学生有人．补全条形统计图；
(2)若该校有名学生，那么参加羽毛球活动的学生约有______人；
(3)九年级一班有甲，乙，丙，丁4名同学参加学校排球队，现从这四名同学中随机抽取2名同学到市上参加比赛，请用树状图或列表法求恰好抽到甲，乙两位同学的概率．
19．如图，在和中，是边上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20．由10个大小相同的正方体（每个小正方体的棱长都是2）搭成的几何体如图所示：
(1)请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形．
(2)现要在这个几何体的表面喷上油漆（不包括下底面），求需要喷上油漆的面积S．
21．城市露营成为一种新的周末生活方式，某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买2顶精英型帐篷和1顶豪华型帐篷成本为900元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元．
(1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？
(2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，请用含有m的式子直接表示出该公司精英型帐篷每天的销量；
(3)在（2）问条件下，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价．
22．如图1，在中，分别为的中点，连接，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接交于点，交于点，且，连接，．
①求证：；
②若，求的长．
23．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根．
24．在正方形中，点G是边上的一个动点，点F、E在边上，且，的延长线相交于点P．
(1)如图1，当点E与点C重合时，求的度数；
(2)如图2，当点E与C不重合时，过D作于点N，若，求长；
(3)在（2）的条件下，连接，取的中点M，连接，在点G的运动过程中，求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴和轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，连接与轴相交于点．已知矩形的边，的长是一元二次方程的两个根，且．
(1)求直线的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)若点是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A A B A C B A
二、填空题
11．2027
12．
13．
14．
15．240
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，；
（2），
，
，
∴或，
解得，．
18．【解】（1）解：由题意可得，
样本容量为：（人），
∴乒乓球的人数为：（人），
∴补全条形图如下：
；
（2）解：由题意可得，
参加羽毛球活动的学生约有：（人），
答：参加羽毛球活动的学生约有人；
（3）解：根据题意列树状图如下：
或列表格如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
g共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲，乙两位同学有（甲，乙），（乙，甲）两种情况；
∴恰好抽到甲，乙两位同学的概率为．
19．【解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得
．
20．【解】（1）解：从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形如下图所示:
（2）解：需要喷上油漆的面积．
21．【解】（1）解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得：
，解得，
答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元．
（2）降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶；
（3）由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∴或，
∴精英型帐篷的售价为元或元．
22．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别为的中点，
∴，，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，四边形是菱形，
∴，
设，
∴，
设，
∴在中，，即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去负值），
∴．
23．【解】（1）证明：，
不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为，
由韦达定理可知，，
方程两个实数根的平方和等于5，即，
又，
∴，
整理，得，
解得或，
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得；
综上，，根为，；或，根为1，2．
24．【解】（1）解：在正方形中，，
∵，E与C重合，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图2，过D作于点N，连接，取中点O，连接．
在正方形中，，，
又∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
又∵O，F分别是中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）如图所示，取中点，连接，，，
由题意可得，为等腰直角三角形，
为中点，
，
设，则，，
，分别是，的中点，
，
，
，
．
又，，
，
又为等腰直角三角形，
，
，
．
．
25．【解】（1）解：由一元二次方程得或，
，，
设直线解析式为把，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（2）把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，
，
，
，
，
设则
在中，，
，
解得，
，
，
由，得直线解析式为，
设，
由折叠可知，
，
解得 不符合题意，舍去或，
（3）在坐标平面内存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，
而，，
当，为对角线时，的中点即为的中点，且，
，
解得，
的坐标为；
当，为对角线时，的中点即为的中点，且，
，
解得或，
的坐标为或，
设直线解析式为，
则，
解得，
，
当时，,
当时，、、三点共线，故不符合题意，舍去，
的坐标为；
当，为对角线时，，的中点重合，且，
，
解得或，
的坐标为或；
综上所述，的坐标为或或或．
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若是一元二次方程的一个根，则c的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共20个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有（ ）
A．3个 B．14个 C．5个 D．17个
5．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
6．已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，则对角线的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
8．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知线段长为2，过点B作，使；连接，以点C为圆心，长为半径作弧，交线段于点D，再以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．
12．若，其中，则的值为 ．
13．如图，沿过点的直线翻折，使点的对应点刚好落在边的延长线上，折痕交线段于点，连接交边于点，连接，若，且，则的值为 ．
14．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
15．一个不透明袋子中有若干个完全相同的小球，从袋子里随机摸出30个小球，作下记号后放回袋中，摇匀后再随机摸出40个球，其中有5个是带记号的小球，则估计这个袋子中共有小球 个．
16．如图，反比例函数的图象经过A、两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点C，D，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点E、F、若四边形和四边形不重合部分的面积和为6，则点A的坐标为 ．
期末核心考点检测卷2025—2026学年九年级上册北师大版数学
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．为进一步贯彻《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，保证学生每天一小时的体育锻炼时间，某校开展了“阳光体育活动”．现决定开设篮球、足球、乒乓球、排球、羽毛球这五项球类活动．为了解同学们对五项球类活动的喜爱情况，学校随机调查了部分学生（每个学生必须选且只能选择这五项活动中的一项），并绘制成如下的统计图．回答下列问题：
(1)本次参加调查的学生有人．补全条形统计图；
(2)若该校有名学生，那么参加羽毛球活动的学生约有______人；
(3)九年级一班有甲，乙，丙，丁4名同学参加学校排球队，现从这四名同学中随机抽取2名同学到市上参加比赛，请用树状图或列表法求恰好抽到甲，乙两位同学的概率．
19．如图，在和中，是边上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20．由10个大小相同的正方体（每个小正方体的棱长都是2）搭成的几何体如图所示：
(1)请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形．
(2)现要在这个几何体的表面喷上油漆（不包括下底面），求需要喷上油漆的面积S．
21．城市露营成为一种新的周末生活方式，某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买2顶精英型帐篷和1顶豪华型帐篷成本为900元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元．
(1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？
(2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，请用含有m的式子直接表示出该公司精英型帐篷每天的销量；
(3)在（2）问条件下，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价．
22．如图1，在中，分别为的中点，连接，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接交于点，交于点，且，连接，．
①求证：；
②若，求的长．
23．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根．
24．在正方形中，点G是边上的一个动点，点F、E在边上，且，的延长线相交于点P．
(1)如图1，当点E与点C重合时，求的度数；
(2)如图2，当点E与C不重合时，过D作于点N，若，求长；
(3)在（2）的条件下，连接，取的中点M，连接，在点G的运动过程中，求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴和轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，连接与轴相交于点．已知矩形的边，的长是一元二次方程的两个根，且．
(1)求直线的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)若点是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A A B A C B A
二、填空题
11．2027
12．
13．
14．
15．240
16．
三、解答题
17．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，；
（2），
，
，
∴或，
解得，．
18．【解】（1）解：由题意可得，
样本容量为：（人），
∴乒乓球的人数为：（人），
∴补全条形图如下：
；
（2）解：由题意可得，
参加羽毛球活动的学生约有：（人），
答：参加羽毛球活动的学生约有人；
（3）解：根据题意列树状图如下：
或列表格如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
g共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲，乙两位同学有（甲，乙），（乙，甲）两种情况；
∴恰好抽到甲，乙两位同学的概率为．
19．【解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得
．
20．【解】（1）解：从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形如下图所示:
（2）解：需要喷上油漆的面积．
21．【解】（1）解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得：
，解得，
答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元．
（2）降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶；
（3）由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
∴或，
∴精英型帐篷的售价为元或元．
22．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别为的中点，
∴，，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：①证明：∵四边形是平行四边形，四边形是菱形，
∴，
设，
∴，
设，
∴在中，，即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去负值），
∴．
23．【解】（1）证明：，
不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为，
由韦达定理可知，，
方程两个实数根的平方和等于5，即，
又，
∴，
整理，得，
解得或，
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得；
综上，，根为，；或，根为1，2．
24．【解】（1）解：在正方形中，，
∵，E与C重合，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图2，过D作于点N，连接，取中点O，连接．
在正方形中，，，
又∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
又∵O，F分别是中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）如图所示，取中点，连接，，，
由题意可得，为等腰直角三角形，
为中点，
，
设，则，，
，分别是，的中点，
，
，
，
．
又，，
，
又为等腰直角三角形，
，
，
．
．
25．【解】（1）解：由一元二次方程得或，
，，
设直线解析式为把，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（2）把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，
，
，
，
，
设则
在中，，
，
解得，
，
，
由，得直线解析式为，
设，
由折叠可知，
，
解得 不符合题意，舍去或，
（3）在坐标平面内存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，，
而，，
当，为对角线时，的中点即为的中点，且，
，
解得，
的坐标为；
当，为对角线时，的中点即为的中点，且，
，
解得或，
的坐标为或，
设直线解析式为，
则，
解得，
，
当时，,
当时，、、三点共线，故不符合题意，舍去，
的坐标为；
当，为对角线时，，的中点重合，且，
，
解得或，
的坐标为或；
综上所述，的坐标为或或或．
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