北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末综合检测练习卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末综合检测练习卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-19 12:43:58 | ||
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文档简介
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北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末综合检测练习卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．当时，代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的两个根是（ ）
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=0，x2=0 D．x1=1，x2=-1
3．如图是由5个相同的小正方体组成的一个几何体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ）
A．主视图和俯视图 B．主视图和左视图
C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同
4．如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
5．矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对边平行且相等 D．内角和为360°
6．如图，已知在△ABC中，AB＝14，BC＝12，AC＝10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条（ ）
A．2 B．3 C．3或4 D．4
7．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，点P是反比例函数的图象上的任意一点，过点P分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，点D是矩形内任意一点，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
12．若点，都在反比例函数的图象上，当时，则k的取值范围是 ．
13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为 ．
14．已知m，n是一元二次方程的两根，则 ．
15．如图，在中，点E在上，与相交于点F，若，则的值为 ．
16．已知双曲线和的图象如图所示，直线与双曲线交于点，将直线向上平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末综合检测练习卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列方程：
(1)； (2)．
18．有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，现将它们背面朝上搅匀后放在桌面上．
(1)小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是______；
(2)小刚从中一次性随机抽取两张扑克牌，记下每张扑克牌上的数字，用列表或画树状图的方法求抽到的扑克牌正面上的两个数字乘积为奇数的概率．
19．如图，点是矩形中边上一点，连接，沿线段翻折，点的对应点恰好落在边上．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
20．如图，在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)已知四边形的面积为20，，点在线段上，，射线交于点，交的延长线于点，求线段的长．
21．随着电子商务的不断发展，网络销售已经成为一种常用的销售方式．一商家通过电商平台销售某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利30元．经调研，在每件降价不超过15元的情况下，该服装每件降价1元，则每天可多售5件．设该服装每件降价x元，每天的销售量为y件．
(1)直接写出y与x的函数表达式；
(2)若此商家某天销售该服装共获得利润1200元，求这天该服装的销量．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为．
(1)求点坐标及反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标．
23．如图，在矩形中，，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接
(1)若，求的长；
(2)若，求的值；
(3)过点作且，连接交射线于点，若为等腰三角形，求此时的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限．
(1)求双曲线的解析式；
(2)当时，求的面积；
(3)若平分，求点的坐标．
25．在平面直角坐标系中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点（点在点左侧），直线交轴于点．
(1)如图1，若，直线的解析式为，求的面积；
(2)直线与反比例函数图象的另一个交点为，连接交轴于点．
①如图2，若，点的横坐标为1，求的长；
②如图3，点关于直线的对称点为，过点的直线与直线垂直，若，且直线与轴交于点，求点的横坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B C B D B B D B
二、填空题
11．
12．
13．22.5°
14．12
15．
16．8
三、解答题
17．【解】（1）解：，
移项，得，
配方，得，
即，
∴，
解得：，；
（2）解：，
得，
移项，得，
因式分解，得，
∴或，
解得：，．
18．【解】（1）解：∵有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，
∴小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是；
（2）解：由题意，画树状图如图．
由树状图知，共12种等可能的结果，其中积为奇数的结果有2种，
∴两个数字乘积为奇数的概率．
19．【解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，
设，则，，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴．
20．【解】（1）证明：垂直平分，
，，
，
,
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：过作于，
四边形是菱形，
，
四边形的面积为20，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
．
21．【解】（1）解：由题意可知，；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
，
答：这天该服装的销量为50件．
22．【解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
故将代入，得，
解得，
∴反比例函数的表达式为：．
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
联立，解得或，
∴另一个交点的坐标为．
（2）解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，如图：
则，
∴四边形是矩形，
∵点，点，
∴，，，，
∴，，
∴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
又∵，
∴．
（3）解：过点作轴交轴于点，如图：
∵点的坐标为，
∴，，
对于一次函数，当时，，当时，，
即点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵轴上存在一点，使与相似，
∴有以下两种情况，
①当时，如图：
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
②当时，如图：
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
综上所述：点P的坐标是或．
23．【解】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于，则，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，，
，
；
（3）解： ①当时，则，
，
，
，
又，
，
，
；
②当时，过作交延长线于，交延长线于，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得（舍去负值），
经检验，是原方程的解；
；
③当时，不存在的情况，
综上所述，当或时，为等腰三角形．
24．【解】（1）解：∵双曲线与直线交于点
将代入
∴
∴
将代入
∴
∴
（2）解：设直线的表达式为
将代入，得
∴直线的表达式为
∵经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，
可得方程组，
解方程组得：或
∴点
又∵
∴
∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）解：延长交的延长线于点，如图
∵平分
∴
∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限
∴
在和中，
∴
∴
∴点是的中点
∵点在直线上
∴设点
∴
∵
∴
解得
∴
∴
设点
∵点是的中点
∴
∴
25．【解】（1）解：对于直线，令，则，
解得：，
∴点C坐标为，则，
联立，
解得或．
∴，
∴；
（2）解：①过点A、B、D向x轴作垂线，垂足分别为P、Q、H，
由题意得：点A和点D关于原点O对称，
∴．
根据作图可得．
由平行线分线段成比例得：，，
∵，
∴，
∴，
根据反比例函数的性质，，则．
∴，
∴．
②过点B作x轴的垂线，再过点A、D作直线的垂线，垂足分别为G、H，连接．直线和分别与y轴交于P，Q，直线l与x轴交于点K，设直线与直线交点为，
设点坐标为，B点坐标为，则点D坐标为，
∴点G坐标为，点H坐标为，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为：；
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为；
设直线的解析式为，则，解得：，
直线解析式为；
∴，
∴，
∴，
又∵O是的中点，
∴，
∴，即点T是的中点，
∵，则，
∴是直角三角形，且为斜边，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
将代入，则，
∴，
将代入，则，
∴，
∵．
∴点B在线段的中垂线上，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，，点关于直线的对称点为，
∴，
∴点和点D关于对称，
过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
把点及代入解析式得：，
整理得：，则．
故点A的横坐标为．
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北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末综合检测练习卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．当时，代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的两个根是（ ）
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=0，x2=0 D．x1=1，x2=-1
3．如图是由5个相同的小正方体组成的一个几何体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ）
A．主视图和俯视图 B．主视图和左视图
C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同
4．如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
5．矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对边平行且相等 D．内角和为360°
6．如图，已知在△ABC中，AB＝14，BC＝12，AC＝10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条（ ）
A．2 B．3 C．3或4 D．4
7．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠的宽为，根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．36
9．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，点P是反比例函数的图象上的任意一点，过点P分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形，点D是矩形内任意一点，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
12．若点，都在反比例函数的图象上，当时，则k的取值范围是 ．
13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为 ．
14．已知m，n是一元二次方程的两根，则 ．
15．如图，在中，点E在上，与相交于点F，若，则的值为 ．
16．已知双曲线和的图象如图所示，直线与双曲线交于点，将直线向上平移与双曲线交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，，，则 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末综合检测练习卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解下列方程：
(1)； (2)．
18．有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，现将它们背面朝上搅匀后放在桌面上．
(1)小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是______；
(2)小刚从中一次性随机抽取两张扑克牌，记下每张扑克牌上的数字，用列表或画树状图的方法求抽到的扑克牌正面上的两个数字乘积为奇数的概率．
19．如图，点是矩形中边上一点，连接，沿线段翻折，点的对应点恰好落在边上．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
20．如图，在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)已知四边形的面积为20，，点在线段上，，射线交于点，交的延长线于点，求线段的长．
21．随着电子商务的不断发展，网络销售已经成为一种常用的销售方式．一商家通过电商平台销售某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利30元．经调研，在每件降价不超过15元的情况下，该服装每件降价1元，则每天可多售5件．设该服装每件降价x元，每天的销售量为y件．
(1)直接写出y与x的函数表达式；
(2)若此商家某天销售该服装共获得利润1200元，求这天该服装的销量．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为．
(1)求点坐标及反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标．
23．如图，在矩形中，，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接
(1)若，求的长；
(2)若，求的值；
(3)过点作且，连接交射线于点，若为等腰三角形，求此时的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点，经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，以为斜边作直角，直角顶点落在第二象限．
(1)求双曲线的解析式；
(2)当时，求的面积；
(3)若平分，求点的坐标．
25．在平面直角坐标系中，反比例函数图象在第一象限内的两个动点（点在点左侧），直线交轴于点．
(1)如图1，若，直线的解析式为，求的面积；
(2)直线与反比例函数图象的另一个交点为，连接交轴于点．
①如图2，若，点的横坐标为1，求的长；
②如图3，点关于直线的对称点为，过点的直线与直线垂直，若，且直线与轴交于点，求点的横坐标．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B C B D B B D B
二、填空题
11．
12．
13．22.5°
14．12
15．
16．8
三、解答题
17．【解】（1）解：，
移项，得，
配方，得，
即，
∴，
解得：，；
（2）解：，
得，
移项，得，
因式分解，得，
∴或，
解得：，．
18．【解】（1）解：∵有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，
∴小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是；
（2）解：由题意，画树状图如图．
由树状图知，共12种等可能的结果，其中积为奇数的结果有2种，
∴两个数字乘积为奇数的概率．
19．【解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，
设，则，，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴．
20．【解】（1）证明：垂直平分，
，，
，
,
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：过作于，
四边形是菱形，
，
四边形的面积为20，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
．
21．【解】（1）解：由题意可知，；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
，
答：这天该服装的销量为50件．
22．【解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
故将代入，得，
解得，
∴反比例函数的表达式为：．
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
联立，解得或，
∴另一个交点的坐标为．
（2）解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点F，，的延长线交于点，如图：
则，
∴四边形是矩形，
∵点，点，
∴，，，，
∴，，
∴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
又∵，
∴．
（3）解：过点作轴交轴于点，如图：
∵点的坐标为，
∴，，
对于一次函数，当时，，当时，，
即点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵轴上存在一点，使与相似，
∴有以下两种情况，
①当时，如图：
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
②当时，如图：
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴点的坐标是；
综上所述：点P的坐标是或．
23．【解】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于，则，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，，
，
；
（3）解： ①当时，则，
，
，
，
又，
，
，
；
②当时，过作交延长线于，交延长线于，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得（舍去负值），
经检验，是原方程的解；
；
③当时，不存在的情况，
综上所述，当或时，为等腰三角形．
24．【解】（1）解：∵双曲线与直线交于点
将代入
∴
∴
将代入
∴
∴
（2）解：设直线的表达式为
将代入，得
∴直线的表达式为
∵经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点，
可得方程组，
解方程组得：或
∴点
又∵
∴
∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）解：延长交的延长线于点，如图
∵平分
∴
∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限
∴
在和中，
∴
∴
∴点是的中点
∵点在直线上
∴设点
∴
∵
∴
解得
∴
∴
设点
∵点是的中点
∴
∴
25．【解】（1）解：对于直线，令，则，
解得：，
∴点C坐标为，则，
联立，
解得或．
∴，
∴；
（2）解：①过点A、B、D向x轴作垂线，垂足分别为P、Q、H，
由题意得：点A和点D关于原点O对称，
∴．
根据作图可得．
由平行线分线段成比例得：，，
∵，
∴，
∴，
根据反比例函数的性质，，则．
∴，
∴．
②过点B作x轴的垂线，再过点A、D作直线的垂线，垂足分别为G、H，连接．直线和分别与y轴交于P，Q，直线l与x轴交于点K，设直线与直线交点为，
设点坐标为，B点坐标为，则点D坐标为，
∴点G坐标为，点H坐标为，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为：；
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为；
设直线的解析式为，则，解得：，
直线解析式为；
∴，
∴，
∴，
又∵O是的中点，
∴，
∴，即点T是的中点，
∵，则，
∴是直角三角形，且为斜边，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
将代入，则，
∴，
将代入，则，
∴，
∵．
∴点B在线段的中垂线上，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，，点关于直线的对称点为，
∴，
∴点和点D关于对称，
过点作轴于点W，连接，设交y轴于点S，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
把点及代入解析式得：，
整理得：，则．
故点A的横坐标为．
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