第五章 直角三角形 单元检测卷（含答案）初中数学湘教版（2024）八年级上册

第五章直角三角形单元检测卷湘教版2025—2026学年八年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
5．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（ ）
A． B． C． D．
6．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）．
A．斜边长为25 B．三角形的周长为25
C．斜边长上的高为 D．三角形的面积为20
7．两只小鼹鼠在地下同时从同一处开始打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖，另一只朝正东方向挖，每分钟挖，之后两只小鼹鼠相距（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，高，则的周长为（ ）
A．42 B．52 C．42或60 D．52或70
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米．
10．若一块直角三角板，两直角边分别为和，不移动三角板，能画出的线段最长是 ．
11．如图，在中，是的角平分线，，垂足为，则的长 ．
12．如图，在Rt中，平分，过点作，垂足为，连接，若，则的面积为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转后得到，连接，．
(1)求的长；
(2)求的长．
14．如图，在中，，，点D在线段的延长线上，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，过点E作于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染．
(1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离；
(2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长．
16．如图，在中，，，点D是内一点，且平分，，点E是延长线上一点，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：．
17．如图，在中，，，，平分，E为边上一点，且．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
18．课本再现：
方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________．
方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________．
（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________．
（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）
参考答案
一、选择题
1—8：ABBBCCDC
二、填空题
9．【解】解：飞机飞行的距离为：米，
∴飞行的速度为千米/时，
故答案为：540．
10．【解】解：根据勾股定理，得，
故答案为：13．
11．【解】解：∵是的角平分线，，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在等腰直角三角形中，由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
12．【解】解：延长交于点，
在中，，，
，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
13．【解】（1）解：根据题意，由旋转性质可得，，
为等边三角形，
；
（2）解：根据题意，由旋转性质可得，，
由（1）可知，
，
在中，，，，则由勾股定理可得．
14．【解】（1）证明：∵线段绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
，
∵，
，
，
在中，，
∴，
设，则有，
∴，
解得，
∴
∴．
15．【解】（1）证明：由题意可知，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
如图1，过点C作于点D，
∴，
∴，
即点C到铁路的距离为；
（2）解：∵，
∴当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，
如图2，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、，
则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：，
答：当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为．
16．【解】（1）证明：平分
在和中
（2）解：，
平分
是的外角
（3）解：在线段上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，
17．【解】（1）解：为直角三角形，理由如下：
，，，
，，，
.
为直角三角形.
（2）解：∵平分
∴
∵，．
∴
，
为直角三角形，
，
设，则，，
在中，，
，
，
,
在中，，
.
18．【解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和．
根据勾股定理，最短路径为：
（2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为，
根据勾股定理，，
绕两周彩条最短长度为：；
（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为；
根据勾股定理，金属丝最短长度为：
（4）底面是半圆长加一个半径，，高为6，
根据勾股定理，爬行最短长度为．