排查练6 空间中的平行与垂直问题
1．(人A必二P142练习2)平面α与平面β平行的充分条件可以是( )
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
2．(北师必二P265复习题A7)如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中关系不成立的是( )
A．AE∥CD B．CH∥BE
C．DG⊥BH D．BG⊥DE
3．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α β=m．给出下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β； ②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；
③若n∥α，且n∥β，则m∥n； ④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n．
其中所有真命题的序号是( )
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
4．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，则图中互相垂直的平面有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
5．(多选)已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若α β=m，m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ
B．若m α，n α，则m与n为异面直线
C．若α β=l，β γ=m，γ α=n，且l m=P，则P∈n
D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
6．(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论正确的是( )
A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1
C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1
7．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AA1，A1D1，AB，DC的中点，P是平面BB1C1C的中心，则下列结论正确的是( )
A．E，F，M，P四点共面
B．平面PEF截正方体的得的截面是等腰梯形
C．EF∥平面PMN
D．平面MEF⊥平面PMN
8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件____时，就有MN∥平面B1BDD1．(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
9．(北师必二P266复习题A15)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1) 证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2) 若PD=DC=1，求四棱锥P－ABCD的体积．
10．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，∠A1AB=60°，AB=A1C=2BC=2，∠ACB=90°，M为AB的中点，AC1与A1C的交点为N．
(1) 求证：MN∥平面BB1C1C；
(2) 求证：A1M⊥平面ABC．
11．如图，在直四棱柱ABCD－EHGF中，上、下底面为等腰梯形，AD∥BC，∠ADC=60°，AE=AD=2CD=2，M为线段EF的中点．
(1) 求证：CD⊥平面ACE；
(2) 设O为线段AD上一点，试确定点O的位置，使平面BOE∥平面MCD．
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排查练6 空间中的平行与垂直问题
回归基础——考前排查
1．(人A必二P142练习2)平面α与平面β平行的充分条件可以是 ( )
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
D
2．(北师必二P265复习题A7)如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中关系不成立的是 ( )
A．AE∥CD
B．CH∥BE
C．DG⊥BH
D．BG⊥DE
【解析】
将正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．由正方体可知AE⊥CD，故A错误．
由EH∥BC且EH＝BC，知四边形BCHE为平行四边形，所以CH∥BE，故B正确．
因为DG⊥HC，BC⊥DG，HC BC＝C，HC，BC 平面BHC，所以DG⊥平面BHC，又BH 平面BHC，所以DG⊥BH，故C正确．
因为BG∥AH，DE⊥AH，所以BG⊥DE，故D正确．
【答案】A
3．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α β＝m．给出下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β； ②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；
③若n∥α，且n∥β，则m∥n； ④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n．
其中所有真命题的序号是 ( )
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
【解析】
对于①，当n α时，因为m∥n，m β，则n∥β；当n β时，因为m∥n，m α，则n∥α；当n既不在α内也不在β内时，因为m∥n，m α，m β，则n∥α且n∥β，故①正确．
对于②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误．
对于③，如图，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t．因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，同理可得n∥t，则s∥t．因为s 平面β，t 平面β，则s∥平面β．因为s 平面α，α β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确．
对于④，如果n∥α，n∥β，则n与α和β所成的角相等，m∥n，故④错误．
【答案】 A
4．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，则图中互相垂直的平面有 ( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
【解析】
因为DA⊥AB，DA⊥PA，AB PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以DA⊥平面PAB．同理，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD．所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
D
5．(多选)已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A．若α β＝m，m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ
B．若m α，n α，则m与n为异面直线
C．若α β＝l，β γ＝m，γ α＝n，且l m＝P，则P∈n
D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
【解析】
对于A，显然m α，m β，又m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，A正确；
对于B，由m α，n α，得m与n可能相交，可能平行，也可能异面，B错误；
对于C，由α β＝l，β γ＝m，l m＝P，知点P在平面α，β，γ内，即为平面α，γ的公共点，而γ α＝n，因此P∈n，C正确；
对于D，由m⊥α，m⊥β，得α∥β，而α∥γ，因此β∥γ，D正确．
【答案】 ACD
6．(多选)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论正确的是 ( )
A．CC1∥平面A1ABB1
B．AF∥平面A1B1C1
C．EF∥平面A1ABB1
D．AE∥平面B1BCC1
【解析】
【答案】 ABC
7．(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AA1，A1D1，AB，DC的中点，P是平面BB1C1C的中心，则下列结论正确的是 ( )
A．E，F，M，P四点共面
B．平面PEF截正方体的得的截面是等腰梯形
C．EF∥平面PMN
D．平面MEF⊥平面PMN
【解析】
对于A，如图，经过E，F，M三点的平面为一个正六边形EFKQHM，点P在此平面外，所以E，F，M，P四点不共面，所以A错误；
对于B，连接EF和BC1，则平面PEF即平面C1BEF，易知截面C1BEF是等腰梯形，所以B正确；
对于C，分别取BB1，CC1的中点G，Q，则平面PMN即为平面QGMN，由正六边形EFKQHM，可知HQ∥EF，因为HQ与平面PMN相交，所以EF与平面PMN相交，故C错误；
对于D，因为△AEM，△BMG是等腰直角三角形，所以∠AME＝∠BMG＝45°，所以∠EMG＝90°，所以EM⊥MG．因为M，N分别是AB，CD的中点，所以MN∥AD，由正方体可得AD⊥平面ABB1A1，所以MN⊥平面ABB1A1．又ME 平面ABB1A1，所以EM⊥MN．因为MG，MN 平面PMN，MG MN＝M，所以EM⊥平面PMN．因为EM 平面MEF，所以平面MEF⊥平面PMN，故D正确．
【答案】 BD
8．如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_____________________________ ________时，就有MN∥平面B1BDD1．(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
【解析】
连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD．因为FH 平面B1BDD1，DD1 平面B1BDD1，所以FH∥平面B1BDD1．
因为HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，所以HN∥平面B1BDD1．
又FH HN＝H，FH，HN 平面FHN，所以平面FHN∥平面B1BDD1．
故只需M∈FH，则MN 平面FHN，此时MN∥平面B1BDD1．
点M在线段FH上(或点M与点H
重合)
9．(北师必二P266复习题A15)如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1) 证明：平面PAM⊥平面PBD；
【解答】
因为PD⊥平面ABCD，AM 平面ABCD，所以PD⊥AM．因为PD⊥AM，PB⊥AM，PB PD＝P，PB 平面PBD，PD 平面PBD，所以AM⊥平面PBD．又AM 平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD．
【解答】
9．(北师必二P266复习题A15)如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(2) 若PD＝DC＝1，求四棱锥P ABCD的体积．
10．如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，∠A1AB＝60°，AB＝A1C＝2BC＝2，∠ACB＝90°，M为AB的中点，AC1与A1C的交点为N．
(1) 求证：MN∥平面BB1C1C；
【解答】
如图(1)，连接BC1．由三棱柱ABC A1B1C1可知侧面AA1C1C为平行四边形，所以N为AC1的中点．又因为M为AB的中点，所以MN∥BC1．又MN 平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C．
图(1)
10．如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，∠A1AB＝60°，AB＝A1C＝2BC＝2，∠ACB＝90°，M为AB的中点，AC1与A1C的交点为N．
(2) 求证：A1M⊥平面ABC．
【解答】
图(2)
11．如图，在直四棱柱ABCD EHGF中，上、下底面为等腰梯形，AD∥BC，∠ADC＝60°，AE＝AD＝2CD＝2，M为线段EF的中点．
(1) 求证：CD⊥平面ACE；
【解答】
11．如图，在直四棱柱ABCD EHGF中，上、下底面为等腰梯形，AD∥BC，∠ADC＝60°，AE＝AD＝2CD＝2，M为线段EF的中点．
(2) 设O为线段AD上一点，试确定点O的位置，使平面BOE∥平面MCD．
【解答】
当O为AD的中点时，平面BOE∥平面MCD．
如图，在等腰梯形ABCD中，BC＝AD 2CD·cos∠ADC＝2 2×1× cos 60°＝1，即BC＝OD＝1．又AD∥BC，所以四边形BODC为平行四边形，即有BO∥CD．因为BO 平面MCD，CD 平面MCD，所以BO∥平面MCD．
因为OD＝EM＝1，EF∥AD，所以四边形EODM为平行四边形，则EO∥MD，而EO 平面MCD，MD 平面MCD，因此，EO∥平面MCD．
又EO BO＝O，EO，BO 平面BOE，所以平面BOE∥平面MCD．排查练6 空间中的平行与垂直问题
1．(人A必二P142练习2)平面α与平面β平行的充分条件可以是( D )
A．α内有无穷多条直线都与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
2．(北师必二P265复习题A7)如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中关系不成立的是( A )
A．AE∥CD B．CH∥BE
C．DG⊥BH D．BG⊥DE
【解析】 将正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．由正方体可知AE⊥CD，故A错误．由EH∥BC且EH=BC，知四边形BCHE为平行四边形，所以CH∥BE，故B正确．因为DG⊥HC，BC⊥DG，HC BC=C，HC，BC 平面BHC，所以DG⊥平面BHC，又BH 平面BHC，所以DG⊥BH，故C正确．因为BG∥AH，DE⊥AH，所以BG⊥DE，故D正确．
3．(2024·全国甲卷)设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α β=m．给出下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β； ②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；
③若n∥α，且n∥β，则m∥n； ④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n．
其中所有真命题的序号是( A )
A．①③ B．②④
C．①②③ D．①③④
【解析】 对于①，当n α时，因为m∥n，m β，则n∥β；当n β时，因为m∥n，m α，则n∥α；当n既不在α内也不在β内时，因为m∥n，m α，m β，则n∥α且n∥β，故①正确．对于②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误．对于③，如图，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t．因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，同理可得n∥t，则s∥t．因为s 平面β，t 平面β，则s∥平面β．因为s 平面α，α β=m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确．对于④，如果n∥α，n∥β，则n与α和β所成的角相等，m∥n，故④错误．
4．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，则图中互相垂直的平面有( D )
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
【解析】 因为DA⊥AB，DA⊥PA，AB PA=A，AB，PA 平面PAB，所以DA⊥平面PAB．同理，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD．所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．
5．(多选)已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不同的平面，则下列说法正确的是( ACD )
A．若α β=m，m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ
B．若m α，n α，则m与n为异面直线
C．若α β=l，β γ=m，γ α=n，且l m=P，则P∈n
D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
【解析】 对于A，显然m α，m β，又m⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，A正确；对于B，由m α，n α，得m与n可能相交，可能平行，也可能异面，B错误；对于C，由α β=l，β γ=m，l m=P，知点P在平面α，β，γ内，即为平面α，γ的公共点，而γ α=n，因此P∈n，C正确；对于D，由m⊥α，m⊥β，得α∥β，而α∥γ，因此β∥γ，D正确．
6．(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论正确的是( ABC )
A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1
C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1
【解析】 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因为CC1∥AA1，CC1 平面A1ABB1，AA1 平面A1ABB1，所以CC1∥平面A1ABB1，故A正确．因为平面ABC∥平面A1B1C1，AF 平面ABC，所以AF∥平面A1B1C1，故B正确．取AB的中点G，连接A1G，GF(图略)，因为G，F分别是棱AB，BC的中点，所以GF∥AC，且GF=AC，又A1E∥AC且A1E=AC，所以GF∥A1E，且GF=A1E，所以四边形GFEA1为平行四边形，所以EF∥A1G，又EF 平面A1ABB1，A1G 平面A1ABB1，所以EF∥平面A1ABB1，故C正确．取AC的中点H，连接C1H(图略)，易证得四边形AHC1E为平行四边形，所以EA∥C1H．又C1H与平面B1BCC1相交，所以AE与平面B1BCC1相交，故D错误．
7．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AA1，A1D1，AB，DC的中点，P是平面BB1C1C的中心，则下列结论正确的是( BD )
A．E，F，M，P四点共面
B．平面PEF截正方体的得的截面是等腰梯形
C．EF∥平面PMN
D．平面MEF⊥平面PMN
【解析】 对于A，如图，经过E，F，M三点的平面为一个正六边形EFKQHM，点P在此平面外，所以E，F，M，P四点不共面，所以A错误；对于B，连接EF和BC1，则平面PEF即平面C1BEF，易知截面C1BEF是等腰梯形，所以B正确；对于C，分别取BB1，CC1的中点G，Q，则平面PMN即为平面QGMN，由正六边形EFKQHM，可知HQ∥EF，因为HQ与平面PMN相交，所以EF与平面PMN相交，故C错误；对于D，因为△AEM，△BMG是等腰直角三角形，所以∠AME=∠BMG=45°，所以∠EMG=90°，所以EM⊥MG．因为M，N分别是AB，CD的中点，所以MN∥AD，由正方体可得AD⊥平面ABB1A1，所以MN⊥平面ABB1A1．又ME 平面ABB1A1，所以EM⊥MN．因为MG，MN 平面PMN，MG MN=M，所以EM⊥平面PMN．因为EM 平面MEF，所以平面MEF⊥平面PMN，故D正确．
8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件__点M在线段FH上(或点M与点H重合)__时，就有MN∥平面B1BDD1．(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
【解析】 连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD．因为FH 平面B1BDD1，DD1 平面B1BDD1，所以FH∥平面B1BDD1．因为HN 平面B1BDD1，BD 平面B1BDD1，所以HN∥平面B1BDD1．又FH HN=H，FH，HN 平面FHN，所以平面FHN∥平面B1BDD1．故只需M∈FH，则MN 平面FHN，此时MN∥平面B1BDD1．
9．(北师必二P266复习题A15)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．
(1) 证明：平面PAM⊥平面PBD；
【解答】 因为PD⊥平面ABCD，AM 平面ABCD，所以PD⊥AM．因为PD⊥AM，PB⊥AM，PB PD=P，PB 平面PBD，PD 平面PBD，所以AM⊥平面PBD．又AM 平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD．
(2) 若PD=DC=1，求四棱锥P－ABCD的体积．
【解答】 因为M为BC的中点，所以BM=AD，且PD=DC=1①．因为AM⊥平面PBD，BD 平面PBD，所以AM⊥BD，则有∠BAM＋∠MAD=90°，∠MAD＋∠ADB=90°，即∠BAM=∠ADB，则有△BAM∽△ADB，所以=，将①代入，解得AD=，所以S矩形ABCD=AD·DC=×1=，VP－ABCD=S矩形ABCD·PD=××1=．
10．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1为菱形，∠A1AB=60°，AB=A1C=2BC=2，∠ACB=90°，M为AB的中点，AC1与A1C的交点为N．
(1) 求证：MN∥平面BB1C1C；
【解答】 如图(1)，连接BC1．由三棱柱ABC－A1B1C1可知侧面AA1C1C为平行四边形，所以N为AC1的中点．又因为M为AB的中点，所以MN∥BC1．又MN 平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C．
图(1)
(2) 求证：A1M⊥平面ABC．
【解答】 如图(2)，连接MC，A1B．在菱形ABB1A1中，由A1A=AB=2，∠A1AB=60°，可得△AA1B为等边三角形．因为M是AB的中点，所以A1M⊥AB，且A1M=．由∠ACB=90°，可得MC=AB=1．因为A1C=2，所以A1M2＋MC2=A1C2，即A1M⊥MC．又MC AB=M，MC，AB 平面ABC，所以A1M⊥平面ABC．
图(2)
11．如图，在直四棱柱ABCD－EHGF中，上、下底面为等腰梯形，AD∥BC，∠ADC=60°，AE=AD=2CD=2，M为线段EF的中点．
(1) 求证：CD⊥平面ACE；
【解答】 因为ABCD－EHGF为直四棱柱，所以EA⊥平面ABCD，而CD 平面ABCD，于是EA⊥CD．在△ADC中，CD=1，AD=2，∠ADC=60°，由余弦定理得AC2=CD2＋AD2－2CD·ADcos 60°=1＋4－2×1×2×=3，因此，AC2＋CD2=AD2，即CD⊥AC．又EA AC=A，EA，AC 平面ACE，所以CD⊥平面ACE．
(2) 设O为线段AD上一点，试确定点O的位置，使平面BOE∥平面MCD．
【解答】 当O为AD的中点时，平面BOE∥平面MCD．如图，在等腰梯形ABCD中，BC=AD－2CD·cos∠ADC=2－2×1×cos 60°=1，即BC=OD=1．又AD∥BC，所以四边形BODC为平行四边形，即有BO∥CD．因为BO 平面MCD，CD 平面MCD，所以BO∥平面MCD．因为OD=EM=1，EF∥AD，所以四边形EODM为平行四边形，则EO∥MD，而EO 平面MCD，MD 平面MCD，因此，EO∥平面MCD．又EO BO=O，EO，BO 平面BOE，所以平面BOE∥平面MCD．
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