(共23张PPT)
排查练3 平面向量与复数
回归基础——考前排查
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
A
【解析】
B
6．(人A必二P61复习参考题13(4))若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝ 2e1＋e2与b＝ 3e1＋2e2的夹角为 ( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】
C
7．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1， 1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则 ( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝ 1
C．λμ＝1 D．λμ＝ 1
【解析】
因为a＝(1，1)，b＝(1， 1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1 λ)，a＋μb＝(1＋μ，1 μ)．由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1 λ)(1 μ)＝0，整理得λμ＝ 1．
D
【解析】
【答案】B
9．(多选)(苏教必二P36练习8)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的是 ( )
A．(a·b)c (c·a)b＝ 0 B．|a| |b|＜|a b|
C．(b·c)a (a·c)b不与c垂直 D．(3a＋4b)·(3a 4b)＝9|a|2 16|b|2
【解析】
对于A，(a·b)c与c共线，(c·a)b与b共线，显然A错误．
对于B，由向量的减法法则知，两不共线向量差的模一定大于两向量模的差，故B正确．
对于C，因为［(b·c)a (a·c)b］·c＝(b·c)(a·c) (a·c)(b·c)＝0，所以(b·c)a (a·c)b与c垂直，故C错误．
对于D，根据向量的运算律知D正确．
BD
10．(多选)已知复数z，下列说法正确的是 ( )
A．若z ＝0，则z为实数 B．若z2＋2＝0，则z＝＝0
C．若|z i|＝1，则|z|的最大值为2 D．若|z i|＝|z|＋1，则z为纯虚数
【解析】
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a bi．若z ＝0，即(a＋bi) (a bi)＝2bi＝0，即b＝0，则z为实数，故A正确；
若z2＋2＝0，即(a＋bi)2＋(a bi)2＝0，化简可得a2 b2＋2abi＋a2 b2 2abi＝0，则a2＝b2，不一定满足z＝＝0，如z＝1＋i，故B错误；
【答案】AC
【解析】
【答案】 BD
【解析】
【答案】 ABD
【解析】
【解析】
3
【解答】
【答案】3排查练3 平面向量与复数
1．(人A必二P94复习参考题1(2））复数的共轭复数是( B ）
A．i＋2 B．i－2
C．－2－i D．2－i
【解析】 因为==－2－i，所以复数的共轭复数是i－2．
2．(人A必二P95复习参考题1(3））当＜m＜1时，复数m(3＋i）－(2＋i）在复平面内对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为复数m(3＋i)－(2＋i)=3m－2＋(m－1)i，＜m＜1，所以3m－2＞0，m－1＜0，所以其在复平面内对应的点位于第四象限．
3．已知复数z1，z2满足2|z1|=|z2|=|2z1－z2|=2，则=( B )
A．1 B．
C．2 D．2
【解析】 设z1=a＋bi，z2=c＋di，a，b，c，d∈R，则2===2，所以a2＋b2=1，c2＋d2=4，8－4(ac＋bd)=4，即ac＋bd=1，则= ===．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，=2，=2，记=a，=b，则=( A )
A．－a＋b B．－a－b
C．a＋b D．a－b
【解析】 如图，在平行四边形ABCD中，=2，=2，=a，=b，所以=－=－=－＋=－a＋b．
5．在△ABC中，C=，CA=CB=2，点P满足=λ＋(1－λ)，且=4，则λ=( B )
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 由题可知，=0，故=［λ＋(1－λ)］·(－)=－λ||2＋(1－λ)||2=－8λ＋8(1－λ)=－16λ＋8=4，解得λ=．
6．(人A必二P61复习参考题13(4))若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e1＋e2与b=－3e1＋2e2的夹角为( C )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【解析】 因为e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，所以|e1|=1，|e2|=1，e1·e2=，所以a·b=(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)=－6＋e1·e2＋2=－6＋＋2=－，|a|=，|b|=，cos〈a，b〉==－．因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以a=2e1＋e2与b=－3e1＋2e2的夹角为120°．
7．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( D )
A．λ＋μ=1 B．λ＋μ=－1
C．λμ=1 D．λμ=－1
【解析】 因为a=(1，1)，b=(1，－1)，所以a＋λb=(1＋λ，1－λ)，a＋μb=(1＋μ，1－μ)．由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得(a＋λb)·(a＋μb)=0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)=0，整理得λμ=－1．
8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA=( B )
A． B．
C． D．
【解析】 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由AB=AC=2，BC=2，得OA==1，所以A(0，1)，B(－，0)，C(，0)．设P(x，0)，－≤x≤，则=(－x，1)，=(－－x，0)，从而=－x·(－－x)=x2＋x=2－，当x=－时，取得最小值，此时=，则PA==．
9．(多选)(苏教必二P36练习8)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的是( BD )
A．(a·b)c－(c·a)b= 0 B．|a|－|b|＜|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直 D．(3a＋4b)·(3a－4b)=9|a|2－16|b|2
【解析】 对于A，(a·b)c与c共线，(c·a)b与b共线，显然A错误．对于B，由向量的减法法则知，两不共线向量差的模一定大于两向量模的差，故B正确．对于C，因为［(b·c)a－(a·c)b］·c=(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)=0，所以(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故C错误．对于D，根据向量的运算律知D正确．
10．(多选)已知复数z，下列说法正确的是( AC )
A．若z－=0，则z为实数 B．若z2＋2=0，则z==0
C．若|z－i|=1，则|z|的最大值为2 D．若|z－i|=|z|＋1，则z为纯虚数
【解析】 设z=a＋bi(a，b∈R)，则=a－bi．若z－=0，即(a＋bi)－(a－bi)=2bi=0，即b=0，则z为实数，故A正确；若z2＋2=0，即(a＋bi)2＋(a－bi)2=0，化简可得a2－b2＋2abi＋a2－b2－2abi=0，则a2=b2，不一定满足z==0，如z=1＋i，故B错误；若|z－i|=1，即|a＋(b－1)i|==1，所以a2＋(b－1)2=1，即z表示以(0，1)为圆心，1为半径的圆上的点，且|z|表示圆上的点到原点的距离，所以|z|的最大值为2，故C正确；若|z－i|=|z|＋1，因为|z－i|=|a＋(b－1)i|=，|z|＋1=＋1，所以=＋1，可得b=－，则a=0且b≤0，此时z可能为实数也可能为纯虚数，故D错误．
11．(多选)已知非零复数z1，z2，其共轭复数分别为1，2，则下列结论正确的是( BD )
A．=
B．=＋
C．若|z2＋1|=1，则|z2－1|的最小值为2
D．=
【解析】 设z1=a＋bi，z2=c＋di(a，b，c，d∈R)．对于A，=a2＋2abi－b2，
=(a－bi)2=a2－2abi－b2，当a，b至少一个为0时，=，当a，b均不等于0时，=，故A错误；对于B，z1＋z2=(a＋c)＋(b＋d)i，则=(a＋c)－(b＋d)i，又1＋2=a－bi＋c－di=(a＋c)－(b＋d)i，所以=＋，故B正确；对于C，若|z2＋1|=1，则|(c＋1)＋di|=1，即=1，(c＋1)2＋d2=1，则(c，d)在复平面上表示圆心为(－1，0)，半径r=1的圆，|z2－1|的几何意义为点(c，d)到点(1，0)的距离，显然(1＋1)2＋02=4＞1，则点(1，0)在圆外，则圆心到定点(1，0)的距离d=2，则点(1，0)与圆上的点的距离的最小值为d－r=2－1=1，故C错误；对于D，===，===，又=，所以=，故D正确．
12．(多选)已知等边三角形ABC的边长为4，点D，E满足=2，=，AE与CD交于点O，则( ABD )
A．=＋ B．=8
C．=2 D．|＋＋|=
【解析】 如图，对于A，=＋=＋=＋－)=＋，故A正确．对于B，因为△ABC为等边三角形，=，则E为BC的中点，所以AE⊥BC，所以AO⊥BC，即=0，所以=(＋)·=＋==||||·cos 60°=4×4×=8，故B正确．对于C，设=λ，由A得=＋=＋，所以=＋，又O，A，E三点共线，所以＋=1，解得λ=，所以O为CD上靠近点D的四等分点，故C错误．对于D，=＋=＋，设=t，则t=＋，所以=＋，又O，C，D三点共线，所以＋=1，解得t=2，所以O为AE中点，所以＋＋=＋(＋)=＋2==，又AE=2，所以|＋＋|=，故D正确．
13．(2026·新乡期初)已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a＋b|，则a与b的夹角大小为____．
【解析】 因为|a|=|b|=|a＋b|，所以|a|2=|b|2=|a＋b|2， 即(a＋b)2=2a2，且|a|=|b|，所以a·b=0．设向量a与b的夹角为θ，则cosθ==0．又0≤θ≤π，所以θ=．
14．在平行四边形ABCD中，||=4，||=2，〈，〉=，M，N分别是CD，BC的中点，则=__3__．
【解析】 如图，=＋=＋，=＋=－，则==2－2＋．又2=16，2=4，=4×2×=4，所以=×16－×4＋×4=3．
15．如图，在等边三角形ABC中，AB=2，N为AC的中点，M是边CB(包括端点)上的一个动点，则的最大值为__3__．
【解析】 如图，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，)，N．设M(x，y)，则=(x＋1，y)，=，=(x＋1)＋y．因为M(x，y)在直线BC：x＋y－1=0上，所以x=1－y，所以=＋y=y2－y＋3．因为0≤y≤，所以当y=0时，取得最大值3．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)排查练3 平面向量与复数
1．(人A必二P94复习参考题1(2））复数的共轭复数是( ）
A．i＋2 B．i－2
C．－2－i D．2－i
2．(人A必二P95复习参考题1(3））当＜m＜1时，复数m(3＋i）－(2＋i）在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知复数z1，z2满足2|z1|=|z2|=|2z1－z2|=2，则=( )
A．1 B．
C．2 D．2
4．已知四边形ABCD是平行四边形，=2，=2，记=a，=b，则=( )
A．－a＋b B．－a－b
C．a＋b D．a－b
5．在△ABC中，C=，CA=CB=2，点P满足=λ＋(1－λ)，且=4，则λ=( )
A．－ B．
C．－ D．
6．(人A必二P61复习参考题13(4))若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e1＋e2与b=－3e1＋2e2的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
7．(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ=1 B．λ＋μ=－1
C．λμ=1 D．λμ=－1
8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA=( )
A． B．
C． D．
9．(多选)(苏教必二P36练习8)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的是( )
A．(a·b)c－(c·a)b= 0 B．|a|－|b|＜|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直 D．(3a＋4b)·(3a－4b)=9|a|2－16|b|2
10．(多选)已知复数z，下列说法正确的是( )
A．若z－=0，则z为实数 B．若z2＋2=0，则z==0
C．若|z－i|=1，则|z|的最大值为2 D．若|z－i|=|z|＋1，则z为纯虚数
11．(多选)已知非零复数z1，z2，其共轭复数分别为1，2，则下列结论正确的是( )
A．=
B．=＋
C．若|z2＋1|=1，则|z2－1|的最小值为2
D．=
12．(多选)已知等边三角形ABC的边长为4，点D，E满足=2，=，AE与CD交于点O，则( )
A．=＋ B．=8
C．=2 D．|＋＋|=
13．(2026·新乡期初)已知非零向量a，b满足|a|=|b|=|a＋b|，则a与b的夹角大小为____．
14．在平行四边形ABCD中，||=4，||=2，〈，〉=，M，N分别是CD，BC的中点，则=____．
15．如图，在等边三角形ABC中，AB=2，N为AC的中点，M是边CB(包括端点)上的一个动点，则的最大值为__3__．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
