排查练5 数列的通项与求和
1．(人A选必二P25习题6)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=5，b1=15，a100＋b100=100，则数列 {an＋bn}的前100项和为( )
A．6 000 B．6 020
C．6 040 D．6 080
2．已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1=2，=，则a5=( )
A．16 B．32
C．64 D．128
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，an＋1=则S100=( )
A．3×251－156 B．3×251－103
C．3×250－156 D．3×250－103
4．已知数列{an}，{bn}对任意的n∈N*均有an＋1=an＋bn，bn＋1=bn＋2．若a1=b1=3，则a24=( )
A．530 B．531
C．578 D．579
5．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S7=42，则下列说法正确的是( )
A．a5=4 B．Sn=n2＋n
C．为递减数列 D．的前5项和为
6．(多选)已知数列{an}满足a1=1，an＋1=2an＋1，则( )
A．数列{an}是等比数列
B．数列{log2(an＋1)}是等差数列
C．数列{an}的前n项和为2n＋1－n－2
D．a20能被3整除
7．(多选)已知数列{an}满足a1=，an－an＋1－2anan＋1=0(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn－1=Sn(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A．∈{an}
B．数列的前n项和Cn=n2＋n－＋
C．数列{anan＋1}的前n项和Tn＜
D．＋＋…＋=＋
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an－2，则数列的前n项和Tn=____．
9．数学中有许多猜想，例如，法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：Fn=22n＋1是质数．直到1732年，善于计算的大数学家欧拉才算出F5不是质数．现设an=log2［log2(Fn＋1－1)］(n∈N*)，bn=，则数列{bn}的前21项和S21=____．
10．将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20=____．
11．(人B选必三P60复习题C3)将正整数数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表．
(1) 写出数表的第4行、第5行；
(2) 写出数表中第10行的第5个数；
(3) 设数表中每行的第1个数依次构成数列{an}，数表中每行的最后一个数依次构成数列{bn}，试分别写出数列{an}，{bn}的递推公式，并求出它们的通项公式．
12．(人A 选必二P41习题11)已知数列{an}的首项a1=，且满足an＋1=．
(1) 求证：数列为等比数列；
(2) 若＋＋＋…＋＜100，求满足条件的最大整数n．
13．(人A选必二P56复习参考题11)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an＋1(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若bn=3n－1，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
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排查练5 数列的通项与求和
回归基础——考前排查
1．(人A选必二P25习题6)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝5，b1＝15，a100＋b100＝100，则数列 {an＋bn}的前100项和为 ( )
A．6 000 B．6 020
C．6 040 D．6 080
【解析】
A
【解析】
B
【解析】
【答案】A
4．已知数列{an}，{bn}对任意的n∈N*均有an＋1＝an＋bn，bn＋1＝bn＋2．若a1＝b1＝3，则a24＝ ( )
A．530 B．531
C．578 D．579
【解析】
C
【解析】
【答案】BC
6．(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则 ( )
A．数列{an}是等比数列 B．数列{log2(an＋1)}是等差数列
C．数列{an}的前n项和为2n＋1 n 2 D．a20能被3整除
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【解析】
10．将数列{3n 1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝_____．
【解析】
数列{2n}中的项为2，4，8，16，32，64，128，256，…，经检验，数列{2n}中的奇数项都是数列{3n 1}中的项，即2，8，32，128，…可以写成3n 1的形式，观察归纳可得an＝22n 1， 所以a20＝22×20 1＝239．
239
11．(人B选必三P60复习题C3)将正整数数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表．
(1) 写出数表的第4行、第5行；
【解答】
数表第4行为7，8，9，10，数表第5行为11，12，13，14，15．
11．(人B选必三P60复习题C3)将正整数数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表．
(2) 写出数表中第10行的第5个数；
【解答】
数表第6行为16，17，18，19，20，21，
数表第7行为22，23，24，25，26，27，28，
数表第8行为29，30，31，32，33，34，35，36，
数表第9行为37，38，39，40，41，42，43，44，45，
数表第10行为46，47，48，49，50，51，52，53，54，55．
综上可知，第10行的第5个数为50．
11．(人B选必三P60复习题C3)将正整数数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表．
(3) 设数表中每行的第1个数依次构成数列{an}，数表中每行的最后一个数依次构成数列{bn}，试分别写出数列{an}，{bn}的递推公式，并求出它们的通项公式．
【解答】
【解答】
【解答】
13．(人A选必二P56复习参考题11)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
13．(人A选必二P56复习参考题11)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．
(2) 若bn＝3n 1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】排查练5 数列的通项与求和
1．(人A选必二P25习题6)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=5，b1=15，a100＋b100=100，则数列 {an＋bn}的前100项和为( A )
A．6 000 B．6 020
C．6 040 D．6 080
【解析】 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也是等差数列．又a1=5，b1=15，a100＋b100=100，所以数列{an＋bn}的前100项和为==6 000．
2．已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1=2，=，则a5=( B )
A．16 B．32
C．64 D．128
【解析】 由=，得=，于是==，则=，两边取对数得nlg an＋1=(n＋1)lg an，因此=，所以数列是常数列，则==lg 2，即lg an=nlg 2=lg 2n，所以an=2n，a5=32．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，an＋1=则S100=( A )
A．3×251－156 B．3×251－103
C．3×250－156 D．3×250－103
【解析】 因为a1=1，an＋1=所以a2k＋2=a2k＋1＋1=2a2k＋1，a2k＋1=2a2k=2a2k－1＋2，k∈N*，且a2=2，所以a2k＋2＋a2k＋1=2(a2k＋a2k－1)＋3．记bn=a2n＋a2n－1，n≥1，则bn＋1=2bn＋3，所以bn＋1＋3=2(bn＋3)，所以{bn＋3}是以b1＋3=a1＋a2＋3=6为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋3=6×2n－1，bn=6×2n－1－3．记{bn}的前n项和为Tn，则S100=T50=(6×20＋6×21＋6×22＋…＋6×249)－3×50=3×251－156．
4．已知数列{an}，{bn}对任意的n∈N*均有an＋1=an＋bn，bn＋1=bn＋2．若a1=b1=3，则a24=( C )
A．530 B．531
C．578 D．579
【解析】 因为bn＋1=bn＋2，所以数列{bn}是首项b1=3，公差d=2的等差数列，所以bn=3＋2(n－1)=2n＋1．又因为an＋1=an＋bn，即an＋1－an=bn，可得a2－a1=b1，a3－a2=b2，a4－a3=b3，…，a24－a23=b23，累加可得a24－a1=b1＋b2＋b3＋…＋b23，则a24－3==575，所以a24=578．
5．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S7=42，则下列说法正确的是( BC )
A．a5=4 B．Sn=n2＋n
C．为递减数列 D．的前5项和为
【解析】 在等差数列{an}中，S7==7a4=42，解得a4=6，而a2=4，因此公差d==1，故an=a2＋(n－2)d=n＋2．对于A，a5=7，A错误；对于B，Sn==n2＋n，B正确；对于C，=1＋，为递减数列，C正确；对于D，因为==－，所以的前5项和为－＋－＋…＋－=－=，D错误．
6．(多选)已知数列{an}满足a1=1，an＋1=2an＋1，则( BCD )
A．数列{an}是等比数列
B．数列{log2(an＋1)}是等差数列
C．数列{an}的前n项和为2n＋1－n－2
D．a20能被3整除
【解析】 由an＋1=2an＋1可得an＋1＋1=2(an＋1)，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，即an=2n－1，则a1=1，a2=3，a3=7，显然a1a3≠，所以a1，a2，a3不成等比数列，故A错误；由an＋1=2n，得log2(an＋1)=log22n=n，故B正确；数列{an}的前n项和Sn=21－1＋22－1＋23－1＋…＋2n－1=－n=2n＋1－n－2，故C正确；对于D，方法一：a20=220－1=(3－1)20－1=×320＋×319×( 1)＋×318×( 1)2＋…＋×3×( 1)19＋×( 1)20 1＝3×［×319＋×318×( 1)＋×317×( 1)2＋…＋×( 1)19］，故D正确．方法二：由210=1 024，1 024除以3余数是1，所以1 0242除以3的余数还是1，从而可得a20=220－1能被3整除，故D正确．
7．(多选)已知数列{an}满足a1=，an－an＋1－2anan＋1=0(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn－1=Sn(n∈N*)，则下列说法正确的是( BCD )
A．∈{an}
B．数列的前n项和Cn=n2＋n－＋
C．数列{anan＋1}的前n项和Tn＜
D．＋＋…＋=＋
【解析】 由an－an＋1－2anan＋1=0，得－=2，又=2，所以是首项为2，公差为2的等差数列，则=2n，即an=，而 {an}，故A错误．由bn－1=Sn可得b1－1=S1=b1，解得b1=3．当n≥2时，bn－1－1=Sn－1，则bn－bn－1=bn，整理得bn=3bn－1，则数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，故bn=3n(n∈N*)，则数列的前n项和Cn=(2－3)＋(4－32)＋…＋(2n－3n)=(2＋4＋…＋2n)－(3＋32＋…＋3n)=－=n2＋n－＋，故B正确．anan＋1==，则数列{anan＋1}的前n项和Tn==＜，故C正确．设数列的前n项和为An，则An=2×3＋4×32＋…＋2n·3n，3An=2×32＋4×33＋…＋2n·3n＋1，两式相减得－2An=2×3＋(2×32＋2×33＋…＋2×3n)－2n·3n＋1，整理得An=＋，则当n=10时，A10=＋，故D正确．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an－2，则数列的前n项和Tn=____．
【解析】 因为Sn=2an－2，所以当n≥2时，Sn－1=2an－1－2，两式相减得an=2an－2an－1，即an=2an－1．又a1=S1=2a1－2，所以a1=2，因此数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，即an=2×2n－1=2n．==2，所以Tn=2 =2=．
9．数学中有许多猜想，例如，法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：Fn=22n＋1是质数．直到1732年，善于计算的大数学家欧拉才算出F5不是质数．现设an=log2［log2(Fn＋1－1)］(n∈N*)，bn=，则数列{bn}的前21项和S21=____．
【解析】 an=log2［log2(Fn＋1－1)］=log2［log2(22n＋1＋1－1)］=log2(log222n＋1)=log22n＋1=n＋1，所以bn===－，则S21=－＋－＋…＋－=－=．
10．将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20=__239__．
【解析】 数列{2n}中的项为2，4，8，16，32，64，128，256，…，经检验，数列{2n}中的奇数项都是数列{3n－1}中的项，即2，8，32，128，…可以写成3n－1的形式，观察归纳可得an=22n－1， 所以a20=22×20－1=239．
11．(人B选必三P60复习题C3)将正整数数列1，2，3，4，5，…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表．
(1) 写出数表的第4行、第5行；
【解答】 数表第4行为7，8，9，10，数表第5行为11，12，13，14，15．
(2) 写出数表中第10行的第5个数；
【解答】 数表第6行为16，17，18，19，20，21，数表第7行为22，23，24，25，26，27，28，数表第8行为29，30，31，32，33，34，35，36，数表第9行为37，38，39，40，41，42，43，44，45，数表第10行为46，47，48，49，50，51，52，53，54，55．综上可知，第10行的第5个数为50．
(3) 设数表中每行的第1个数依次构成数列{an}，数表中每行的最后一个数依次构成数列{bn}，试分别写出数列{an}，{bn}的递推公式，并求出它们的通项公式．
【解答】 易知{an}的递推公式为an=n－1＋an－1，因为an－an－1=n－1，an－1－an－2=n－2，…，a2－a1=1，累加得an－a1=1＋2＋3＋…＋(n－1)=，所以an=n2－n＋1．易知{bn}的递推公式为bn=n＋bn－1，因为bn－bn－1=n，bn－1－bn－2=n－1，…，b2－b1=2，累加得bn－b1=2＋3＋…＋n=，所以bn=＋1=(n2＋n)．
12．(人A 选必二P41习题11)已知数列{an}的首项a1=，且满足an＋1=．
(1) 求证：数列为等比数列；
【解答】 由an＋1=，得==＋，所以－1=．又a1=，所以－1=，故数列是首项为，公比为的等比数列．
(2) 若＋＋＋…＋＜100，求满足条件的最大整数n．
【解答】 由(1)可得－1=×n－1=2×n，所以=2×n＋1．设数列的前n项和为Sn，则Sn=＋＋＋…＋=2＋n=2×＋n=n＋1－．令Sn＜100，得n＋1－＜100，因为函数y=x＋1－为增函数，所以满足Sn＜100的最大整数n的值为99．
13．(人A选必二P56复习参考题11)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an＋1(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】 设等差数列{an}的公差为d．由S4=4S2，a2n=2an＋1，得解得所以数列{an}的通项公式为an=1＋2(n－1)=2n－1．
(2) 若bn=3n－1，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】 因为cn=anbn=(2n－1)3n－1，所以Tn=1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1①，3Tn=1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n②．①－②得－2Tn=1×30＋2×31＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n－1)×3n=1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n=1＋2×－(2n－1)×3n，化简得Tn=(n－1)3n＋1．
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