排查练4 等差数列与等比数列
1．(人A选必二P15练习4)已知在等差数列{an}中，a4＋a8=20，a7=12，则a4=( )
A．4 B．5
C．6 D．7
2．(2026·南京期初)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=6，则a5＋a6=( )
A．8 B．10
C．14 D．18
3．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则=( )
A． B．
C． D．
4．(苏教选必二P182复习题12改)某会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成的数列为{an}，那么a25=( )
A．25 B．24
C．5 D．4
5．(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值．关于该问题，下列结论正确的是( )
A．d=15
B．此人第三天行走了一百二十里
C．此人前七天共行走了九百一十里
D．此人有连续的三天共行走了三百九十里
6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且q≠－1，则下列结论正确的有( )
A．{}是等比数列
B．数列a11＋a12，a12＋a13，a13＋a14成等比数列
C．若q＞1，则{an}是递增数列
D．若q＞0，则{Sn}是递增数列
7．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2＋λn＋μ，则下列结论正确的有( )
A．若μ=0，则{an}为等差数列
B．若μ=3，则{an}为递增数列
C．若λ=－，则当且仅当n=3时Sn取得最小值
D．“λ＞－3”是“数列{Sn}为递增数列”的充要条件
8．(苏教选必一P183本章测试14)在等比数列{an}中，a2=2，a5=16．设t为实数，S2n为该数列的前2n项和，Tn为数列{}的前n项和，且S2n=tTn，则t的值为____．
9．(人A选必二P18练习3)在等差数列{an}中，an=m，am=n，且n≠m，则am＋n=____．
10．记数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，2an＋1－3an=2n，则=____．
11．(1) (人A选必二P23练习5)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列中间一项的值以及项数．
(2) (人A选必二P25习题8)已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和．
12．(北师选必二P46复习题C2)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多an－1万元．
(1) 求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购，如果有这种情况，至少会出现在第几年？
13．(人A选必二P56复习参考题11)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1=2Sn＋2(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式．
(2) 在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
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1．(人A选必二P15练习4)已知在等差数列{an}中，a4＋a8=20，a7=12，则a4=( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 在等差数列{an}中，a4＋a8=2a6=20，a6=10，则d=a7－a6=2，所以a4=a6－2d=6．
2．(2026·南京期初)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=6，则a5＋a6=( A )
A．8 B．10
C．14 D．18
【解析】 在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即2，4，S6－S4成等比数列，所以S6－S4=8，即a5＋a6=8．
3．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则=( C )
A． B．
C． D．
【解析】 因为Sn，Tn是等差数列{an}和{bn}的前n项和，所以S12=，T12=．又=，所以====．
4．(苏教选必二P182复习题12改)某会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成的数列为{an}，那么a25=( C )
A．25 B．24冖冖冖
C．5 D．4
【解析】 由题意知OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，△OA1A2，△OA2A3，…，△OA7A8，…都是直角三角形，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以=1＋(n－1)·1=n．又an＞0，所以an=，所以a25==5．
5．(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值．关于该问题，下列结论正确的是( BCD )
A．d=15
B．此人第三天行走了一百二十里
C．此人前七天共行走了九百一十里
D．此人有连续的三天共行走了三百九十里
【解析】 由题意设此人第一天走a1里，第n天走an里，{an}是等差数列，a1=100，S9=9a1＋36d=900＋36d=1 260，d=10，故A错误．a3=a1＋2d=100＋20=120，故B正确．S7=7a1＋21d=910，故C正确．a3＋a4＋a5=3a4=390，故D正确．
6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且q≠－1，则下列结论正确的有( AB )
A．{}是等比数列
B．数列a11＋a12，a12＋a13，a13＋a14成等比数列
C．若q＞1，则{an}是递增数列
D．若q＞0，则{Sn}是递增数列
【解析】 由题意得an=a1qn－1 ，Sn=(q≠1)．对于A，=(q2)n－1，所以{}是首项为 ，公比为q2 的等比数列，故A正确．对于B，因为q≠－1，a11＋a12=a1q10＋a1q11=a1q10·(1＋q)，a12＋a13=a1q11(1＋q)，a13＋a14=a1q12(1＋q)，(a12＋a13)2=q22(1＋q)2，(a11＋a12)(a13＋a14)=q22(1＋q)2 ，所以(a12＋a13)2=(a11＋a12)(a13＋a14)≠0，=，故B正确．对于C，若a1＜0，q＞1，则an＋1－an=a1qn－a1qn－1=a1qn－1(q－1)＜0，{an}为递减数列，故C错误．对于D，若q=1，a1＜0，则Sn=na1，{Sn}是递减数列；若q≠1，则Sn＋1－Sn=(1－qn＋1－1＋qn)=a1qn ，当a1＜0时，又q＞0，则Sn＋1－Sn＜0，Sn＋1＜Sn ，{Sn}是递减数列，故D错误．
7．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2＋λn＋μ，则下列结论正确的有( ACD )
A．若μ=0，则{an}为等差数列
B．若μ=3，则{an}为递增数列
C．若λ=－，则当且仅当n=3时Sn取得最小值
D．“λ＞－3”是“数列{Sn}为递增数列”的充要条件
【解析】 由Sn=n2＋λn＋μ，当n=1时，a1=1＋λ＋μ，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=n2＋λn＋μ－［(n－1)2＋λ(n－1)＋μ］=2n－1＋λ．若μ=0，则a1=1＋λ，符合an=2n－1＋λ，故{an}为等差数列，A正确；若μ=3，则a1=4＋λ，a2=3＋λ，a1＞a2，所以{an}不是递增数列，B错误；若λ=－，则a1=μ－，当n≥2时，an=2n－，即{an}从第2项起是公差为2的等差数列，又a3=－＜0，a4=＞0，所以当且仅当n=3时Sn取得最小值，C正确；当n≥2时，Sn－Sn－1=2n－1＋λ，故数列{Sn}为递增数列等价于2n－1＋λ＞0，即λ＞1－2n(n≥2)，可得λ＞－3，故D正确．
8．(苏教选必一P183本章测试14)在等比数列{an}中，a2=2，a5=16．设t为实数，S2n为该数列的前2n项和，Tn为数列{}的前n项和，且S2n=tTn，则t的值为__3__．
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，因为a2=2，a5=16，所以a1q=2，a1q4=16，联立解得a1=1，q=2，所以S2n==4n－1，an=2n－1，所以=22n－2．因为Tn为数列{}的前n项和，所以Tn==(4n－1)．因为S2n=tTn，所以4n－1=t×(4n－1)，解得t=3．
9．(人A选必二P18练习3)在等差数列{an}中，an=m，am=n，且n≠m，则am＋n=__0__．
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，则解得所以am＋n=a1＋(m＋n－1)d=m＋n－1－m－n＋1=0．
10．记数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，2an＋1－3an=2n，则=____．
【解析】 由2an＋1－3an=2n，得=×＋1，则－4=，又－4=0，所以=4，则an=2n，所以a8=28，S8==29－2，从而==．
11．(1) (人A选必二P23练习5)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列中间一项的值以及项数．
【解答】 设等差数列的项数为2n－1，设所有奇数项的和为S，则S==nan．设所有偶数项的和为T，则T==(n－1)an，===，解得n=10，项数2n－1=19，中间项为a10．由S=10a10=290，得a10=29，所以此数列中间一项是29，项数为19．
(2) (人A选必二P25习题8)已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和．
【解答】 两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列为2，14，26，38，50，…，182，共有＋1=16(项)，也是等差数列，它们的和为×16=1 472，故这个新数列的各项之和为1 472．
12．(北师选必二P46复习题C2)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多an－1万元．
(1) 求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
【解答】 设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn，当n≥1时，an＋1=［(n＋1)2－(n＋1)＋2－n2＋n－2］=na，所以an=(n－1)a；当n=1时，a1=a不满足此式，所以an=由题意知，bn－bn－1=an－1，所以bn=a=3a．综上，甲超市第n年销售额的表达式为an=乙超市第n年销售额的表达式为bn=3a．
(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购，如果有这种情况，至少会出现在第几年？
【解答】 当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2，b2＞a2；当n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3，b3＞a3；当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被收购．当n≥4时，令an＞bn，则(n－1)a＞a，有n－1＞6－4·n－1，即n＞7－4·n－1．当n≥7时，0＜4·n－1＜1，故当n∈N*且n≥7时，必有n＞7－4·n－1，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半．故乙超市可能被收购，至少出现在第7年．
13．(人A选必二P56复习参考题11)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1=2Sn＋2(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式．
【解答】 由题意知，当n=1时，a1q=2a1＋2①．当n=2时，a1q2=2(a1＋a1q)＋2②．联立①②，解得a1=2，q=3，所以数列{an}的通项公式为an=2×3n－1．
(2) 在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【解答】 由(1)知an=2×3n－1，an＋1=2×3n，所以an＋1=an＋(n＋2－1)dn，所以dn==．假设数列{dn}中存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则=dm·dp，所以2=，即2=．因为m，k，p成等差数列，所以2k=m＋p，所以(k＋1)2=(m＋1)(p＋1)，化简得k2＋2k=mp＋m＋p，所以k2=mp．又2k=m＋p，所以k=m=p，与已知矛盾．所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列．
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排查练4 等差数列与等比数列
回归基础——考前排查
1．(人A选必二P15练习4)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝ ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】
在等差数列{an}中，a4＋a8＝2a6＝20，a6＝10，则d＝a7 a6＝2，所以a4＝a6 2d＝6．
C
2．(2026·南京期初)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝6，则a5＋a6＝ ( )
A．8 B．10
C．14 D．18
【解析】
在等比数列{an}中，S2，S4 S2，S6 S4成等比数列，即2，4，S6 S4成等比数列，所以S6 S4＝8，即a5＋a6＝8．
A
【解析】
C
4．(苏教选必二P182复习题12改)某会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成的数列为{an}，那么a25＝ ( )
A．25 B．24
C．5 D．4
【解析】
C
5．(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值．关于该问题，下列结论正确的是 ( )
A．d＝15
B．此人第三天行走了一百二十里
C．此人前七天共行走了九百一十里
D．此人有连续的三天共行走了三百九十里
【解析】
由题意设此人第一天走a1里，第n天走an里，{an}是等差数列，a1＝100， S9＝9a1＋36d＝900＋36d＝1 260，d＝10，故A错误．
a3＝a1＋2d＝100＋20＝120，故B正确．
S7＝7a1＋21d＝910， 故C正确 ．
a3＋a4＋a5＝3a4＝390， 故D正确 ．
【答案】BCD
【解析】
【答案】AB
【解析】
【答案】ACD
【解析】
3
9．(人A选必二P18练习3)在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝_____．
【解析】
0
【解析】
11．(1) (人A选必二P23练习5)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列中间一项的值以及项数．
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
13．(人A选必二P56复习参考题11)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝ 2Sn＋2(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式．
【解答】
由题意知，当n＝1时，a1q＝2a1＋2①．当n＝2时，a1q2＝2(a1＋a1q)＋2②．
联立①②，解得a1＝2，q＝3，所以数列{an}的通项公式为an＝2×3n 1．
13．(人A选必二P56复习参考题11)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝ 2Sn＋2(n∈N*)．
(2) 在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【解答】
