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排查练9 计数原理、概率
回归基础——考前排查
1．(人A选必三P34习题1(1))在(1 x)5＋(1 x)6＋(1 x)7＋(1 x)8的展开式中，含x3的项的系数是 ( )
A．74 B．121
C． 74 D． 121
【解析】
D
B
【解析】
B
4．如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．传说有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法种数为 ( )
A．10 B．40
C．44 D．70
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】AC
【解析】
8．(人A选必三P51例6)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．
(1) 接收的信号为0的概率为_________；
【解析】
0.475
8．(人A选必三P51例6)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．
(2) 已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为______．
【解析】
9．(苏教选必二P133习题5)1 000只灯泡中含有n(2≤n≤992)只不合格品，从中一次任取10只，记恰含有2只不合格品的概率为f(n)．
(1) f(n)的表达式为___________________；
【解析】
9．(苏教选必二P133习题5)1 000只灯泡中含有n(2≤n≤992)只不合格品，从中一次任取10只，记恰含有2只不合格品的概率为f(n)．
(2) 当n＝_______时，f(n)取得最大值为____________．
【解析】
200
10．(北师选必一P210习题A4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
【解答】
10．(北师选必一P210习题A4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
【解答】
10．(北师选必一P210习题A4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(3) 设ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及均值．
【解答】
ξ 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
E(ξ)＝3×0.8＝2.4．
11．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的日需求量展示如下：
【解答】
日需求量x/个 20 30 40 50
天数 5 10 10 5
(1) 从这30天中任取2天，求这两天的日需求量均为40个的概率．
11．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的日需求量展示如下：
日需求量x/个 20 30 40 50
天数 5 10 10 5
【解答】
Y 20 60 140 180
P排查练9 计数原理、概率
1．(人A选必三P34习题1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( D )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
【解析】 展开式中含x3的项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3=－121．
2．(北师选必一P224习题2)若随机变量ξ~N(μ，σ2)，其分布密度函数为φ(x)= (x∈R)，则σ的值为( B )
A．1 B．2
C．4 D．8
3．袋子中有9个除颜色外完全相同的小球，其中5个红球，4个黄球．若从袋子中任取3个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为2红1黄的概率为( B )
A． B．
C． D．
【解析】 记“摸到的球颜色不同”为事件A，“摸到2红1黄”为事件B，则P(A)=，P(AB)=，所以P(B|A)=====．
4．如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．传说有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法种数为( B )
A．10 B．40
C．44 D．70
【解析】 由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，若选取3个数的和为奇数，则有两类：一类是3个数都为奇数，共有＝10种方法；另一类是两偶一奇，共有＝30种方法．所以满足题意的方法共有10＋30＝40(种)．
5．(多选)某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛．对抗赛中甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次．若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，，，，则( BCD )
A．乙组同学恰好命中2次的概率为
B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率
C．甲组同学命中次数的方差为
D．乙组同学命中次数的数学期望为
【解析】 对于A，设“乙组同学恰好命中2次”为事件M，则P(M)=××＋××＋××=，所以A错误；对于B，设“甲组同学恰好命中2次”为事件N，则P(N)=×2×=，因为＞，所以B正确；对于C，因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为X，则X~B，可得D(X)=3××=，所以C正确；对于D，设乙组同学命中次数为随机变量Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，所以P(Y=0)=××=，P(Y=1)=××＋××＋××=，P(Y=2)=P(M)=，P(Y=3)=××=，故E(Y)=0×＋1×＋2×＋3×=，所以D正确．
6．(多选)一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M=“第一次向下的数字为3或4”，事件N=“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是( AC )
A．事件M发生的概率为 B．事件M与事件N互斥
C．事件M与事件N相互独立 D．事件M＋N发生的概率为
【解析】 由题意可得，P(M)==，故A正确；当两次抛掷的点数为(3，1)时，事件M与事件N同时发生，则事件M与事件N不互斥，故B错误；因为P(MN)==，P(M)=，P(N)==，所以P(MN)=P(M)P(N)，则事件M与事件N相互独立，故C正确；P(M＋N)=P(M)＋P(N)－P(MN)=＋－=，故D错误．
7．(苏教选必二P147本章测试14)甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为____．
【解析】 “甲比乙进球数多”包括“甲进2次，乙进1次或没进球”和“甲进1次，乙没进球”两种情况，故所求概率P=2×＋2×2=×＋2××=．
8．(人A选必三P51例6)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．
(1) 接收的信号为0的概率为__0.475__；
(2) 已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为____．
【解析】 (1) 设事件A=“发送的信号为0”，事件B=“接收的信号为0”，则=“发送的信号为1”，=“接收的信号为1”．由题意得P(A)=P()=0.5，P(B|A)=0.9，P(|A)=0.1，P(B|)=0.05，P(|)=0.95，所以P(B)=P(A)P(B|A)＋P()P(B|)=0.5×0.9＋0.5×0.05=0.475．
(2) P(|B)===．
9．(苏教选必二P133习题5)1 000只灯泡中含有n(2≤n≤992)只不合格品，从中一次任取10只，记恰含有2只不合格品的概率为f(n)．
(1) f(n)的表达式为__f(n)=__；
(2) 当n=__200__时，f(n)取得最大值为____．
【解析】 (1) 用X表示“取出的不合格品数”，则X服从超几何分布，f(n)=P(X=2)=．
(2) 假设当n=k时，f(n)最大，则即有故解得199.2≤k≤200.2，又因为k∈Z，所以k=200，即n=200时，f(n)取最大值，最大值为f(200)=．
10．(北师选必一P210习题A4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
【解答】 记事件A=“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，记事件B=“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，记事件C=“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”，记事件D=“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．因为C=A·＋·B，所以P(C)=P(A·＋·B)=P(A·)＋P(·B)=P(A)·P()＋P(A)·P()=0.5×0.4＋0.5×0.6=0.5．
(2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
【解答】 因为=，所以P()=P()=P()·P()=0.5×0.4=0.2，故P(D)=1－P()=0.8．
(3) 设ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及均值．
【解答】 ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则P(ξ=0)=0.23=0.008，P(ξ=1)=C×0.8×0.22=0.096，P(ξ=2)=C×0.82×0.2=0.384，P(ξ=3)=0.83=0.512，所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
E(ξ)=3×0.8=2.4．
11．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的日需求量展示如下：
日需求量x/个 20 30 40 50
天数 5 10 10 5
(1) 从这30天中任取2天，求这2天的日需求量均为40个的概率．
【解答】 从这30天中任取2天，样本点总数n=，这2天的日需求量均为40个包含的样本点个数m=，所以这2天的日需求量均为40个的概率P==．
(2) 以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=．现有员工建议扩大生产，一天生产45个，试列出生产45个时利润Y的分布列，并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．
【解答】 由题知P(Y=－20)=，P(Y=60)=，P(Y=140)=，P(Y=180)=，所以Y的分布列为
Y －20 60 140 180
P
E(Y)=－20×＋60×＋140×＋180×=．因为该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=，且＜，所以此建议不该被采纳．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)排查练9 计数原理、概率
1．(人A选必三P34习题1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
2．(北师选必一P224习题2)若随机变量ξ~N(μ，σ2)，其分布密度函数为φ(x)= (x∈R)，则σ的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
3．袋子中有9个除颜色外完全相同的小球，其中5个红球，4个黄球．若从袋子中任取3个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为2红1黄的概率为( )
A． B．
C． D．
4．如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．传说有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法种数为( )
A．10 B．40
C．44 D．70
5．(多选)某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛．对抗赛中甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次．若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，，，，则( )
A．乙组同学恰好命中2次的概率为
B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率
C．甲组同学命中次数的方差为
D．乙组同学命中次数的数学期望为
6．(多选)一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M=“第一次向下的数字为3或4”，事件N=“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是( )
A．事件M发生的概率为 B．事件M与事件N互斥
C．事件M与事件N相互独立 D．事件M＋N发生的概率为
7．(苏教选必二P147本章测试14)甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为____．
8．(人A选必三P51例6)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．
(1) 接收的信号为0的概率为____；
(2) 已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为____．
9．(苏教选必二P133习题5)1 000只灯泡中含有n(2≤n≤992)只不合格品，从中一次任取10只，记恰含有2只不合格品的概率为f(n)．
(1) f(n)的表达式为____；
(2) 当n=____时，f(n)取得最大值为____．
10．(北师选必一P210习题A4)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1) 求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2) 求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3) 设ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及均值．
11．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的日需求量展示如下：
日需求量x/个 20 30 40 50
天数 5 10 10 5
(1) 从这30天中任取2天，求这2天的日需求量均为40个的概率．
(2) 以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)=．现有员工建议扩大生产，一天生产45个，试列出生产45个时利润Y的分布列，并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．
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