排查练12 圆锥曲线
1．(人A选必一P115习题1改编)化简方程＋=26的结果是( )
A．＋=1 B．＋=1
C．＋=1 D．＋=1
2．(人A选必一P115习题10)一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5=0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91=0内切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
3．已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)，圆O1：(x－2)2＋y2=4与圆O2：x2＋(y－1)2=1的公共弦所在的直线是C的一条渐近线，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
4．已知抛物线y2=8x的焦点为F，P(x，y)为抛物线上一动点，点A(6，3)，则△PAF周长的最小值为( )
A．13 B．14
C．15 D．16
5．(多选)(人A选必一P124练习4)若双曲线的渐近线方程是y=±2x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程可能是( )
A．x2－=1 B．－y2=1
C．－=1 D．－=1
6．(多选)已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F与椭圆E：＋=1的一个焦点重合，则下列说法正确的是( )
A．椭圆E的焦距是2
B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x=－1
D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
7．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)已知抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作圆A：x2＋(y－4)2=1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则( )
A．l与圆A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|=
C．当|PB|=2时，PA⊥AB
D．满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
8．(苏教选必一P125复习题14)有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．若行车道总宽度AB为6 m，则车辆通过隧道时的限制高度为____．(精确到0.1 m)
9．若直线y=x与双曲线－=1(a＞0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则双曲线的离心率e=____．
10．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点．若|AB|=12，则C的焦距为____．
11．(苏教选必一P125复习题13)直线y=ax＋1与双曲线3x2－y2=1相交于A，B两点．
(1) 求AB的长；
(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
12．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(2，2)，动直线l：y=kx＋b不经过点P，与C相交于A，B两点，且直线PA和PB的斜率之积等于3．
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
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1．(人A选必一P115习题1改编)化简方程＋=26的结果是( C )
A．＋=1 B．＋=1
C．＋=1 D．＋=1
【解析】 由方程左边式子的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c=5，a=13，所以b2=a2－c2=144，故化简结果为＋=1．
2．(人A选必一P115习题10)一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5=0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91=0内切，则动圆圆心的轨迹是( B )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设圆x2＋y2＋6x＋5=0和圆x2＋y2－6x－91=0的圆心分别为O1，O2．将圆的方程分别配方得圆O1：(x＋3)2＋y2=4，圆O2：(x－3)2＋y2=100．当动圆M与圆O1相外切时，有|O1M|=R＋2①．当动圆M与圆O2相内切时，有|O2M|=10－R②．将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|=12＞|O1O2|，所以动圆圆心M(x，y)到点O1(－3，0)和O2(3，0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(－3，0)，O2(3，0)，长轴长等于12的椭圆．设该椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则2c=6，2a=12，c=3，a=6，所以b2=36－9=27，故动圆圆心的轨迹方程为＋=1，轨迹为椭圆．
3．已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)，圆O1：(x－2)2＋y2=4与圆O2：x2＋(y－1)2=1的公共弦所在的直线是C的一条渐近线，则C的离心率为( C )
A． B．2
C． D．
【解析】 圆O1：(x－2)2＋y2=4，圆O2：x2＋(y－1)2=1，由两圆方程相减可得y=2x．由题意知C的一条渐近线方程为y=2x，即=2，则双曲线C的离心率e=====．
4．已知抛物线y2=8x的焦点为F，P(x，y)为抛物线上一动点，点A(6，3)，则△PAF周长的最小值为( A )
A．13 B．14
C．15 D．16
【解析】 由题知F(2，0)，准线方程为x=－2．如图，过点P作准线的垂线，垂足为Q，过点A作准线的垂线，垂足为B，所以△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|=|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AB|＋|AF|=8＋5=13，当P为AB与抛物线的交点P′时等号成立，即△PAF周长的最小值为13．
5．(多选)(人A选必一P124练习4)若双曲线的渐近线方程是y=±2x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程可能是( AC )
A．x2－=1 B．－y2=1
C．－=1 D．－=1
【解析】 若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－=1(a＞0，b＞0)，则渐近线方程为y=±x，所以解得所以双曲线的标准方程为x2－=1；若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为－=1(a＞0，b＞0)，则渐近线方程为y=±x，所以解得所以双曲线的标准方程为－=1．综上，双曲线的标准方程为x2－=1或－=1．
6．(多选)已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F与椭圆E：＋=1的一个焦点重合，则下列说法正确的是( ABC )
A．椭圆E的焦距是2
B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x=－1
D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
【解析】 根据椭圆E：＋=1，可得a2=4，b2=3，c2=a2－b2=1，所以椭圆E的焦距是2c=2，故A正确；椭圆E的离心率为=，故B正确；因为椭圆E：＋=1的焦点为(±1，0)，抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F与椭圆E：＋=1的一个焦点重合，所以=1，即p=2，所以抛物线C的准线方程是x=－=－1，故C正确；抛物线C的焦点到其准线的距离为p=2，故D错误．
7．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)已知抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作圆A：x2＋(y－4)2=1的一条切线，Q为切点，过点P作l的垂线，垂足为B，则( ABD )
A．l与圆A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|=
C．当|PB|=2时，PA⊥AB
D．满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
【解析】 对于A，抛物线y2=4x的准线为x=－1，圆A的圆心(0，4)到直线x=－1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和圆A相切，A正确．对于B，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则点P的纵坐标yP=4，由=4xP，得xP=4，故P(4，4)，此时切线长|PQ|===，B正确．对于C，当|PB|=2时，xP=1，此时=4xP=4，故P(1，2)或P(1，－2)，当P的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA==－2，kAB==2，不满足kPA·kAB=－1；当P的坐标为(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA==－6，kAB==6，不满足kPA·kAB=－1，于是PA⊥AB不成立，C错误．
对于D，方法一(利用抛物线定义转化)：根据抛物线的定义知|PB|=|PF|，F(1，0)，于是|PA|=|PB|时点P的存在性问题转化成|PA|=|PF|时点P的存在性问题，A(0，4)，F(1，0)，AF的中点为，AF的中垂线的斜率为－=，于是AF的中垂线方程为y=，与抛物线y2=4x联立可得y2－16y＋30=0，Δ=162－4×30=136＞0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点P，使得|PA|=|PF|，D正确．
方法二(设点直接求解)：设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|=|PB|，根据两点间的距离公式得=＋1，整理得t2－16t＋30=0，Δ=162－4×30=136＞0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的点P，D正确．
8．(苏教选必一P125复习题14)有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．若行车道总宽度AB为6 m，则车辆通过隧道时的限制高度为__3.2 m__．(精确到0.1 m)
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2=－2py(p＞0)．根据题意，此抛物线过点(－4，－4)，代入抛物线方程解得p=2，所以抛物线的方程为x2=－4y．令x=－3，得y=－，所以|AM|=6－=．由－0.5=3.25，可知车辆的限制高度应为3.2 m．
9．若直线y=x与双曲线－=1(a＞0)相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为－9，则双曲线的离心率e=____．
【解析】 联立得x2－1=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2===－9，解得 a2=6，所以离心率e=====．
10．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点．若|AB|=12，则C的焦距为__7__．
【解析】 由椭圆C的离心率e=，可得a=2c，则b==c，所以椭圆C的方程为＋=1，即3x2＋4y2－12c2=0．由直线AB过椭圆C的左焦点F(－c，0)且斜率为1，可得直线AB的方程为y=x＋c．联立整理得7x2＋8cx－8c2=0，则Δ=64c2＋4×7×8c2=288c2＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=－c，x1x2=－c2，所以|AB|====12，解得c=，所以椭圆C的焦距为2c=7．
11．(苏教选必一P125复习题13)直线y=ax＋1与双曲线3x2－y2=1相交于A，B两点．
(1) 求AB的长；
【解答】 由得(3－a2)x2－2ax－2=0．由题意可得3－a2≠0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=．|AB|===．
(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
【解答】 由题意知OA⊥OB，则=0，即x1x2＋y1y2=0，所以x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)=0，即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1=0，所以(1＋a2)·＋a·＋1=0，解得a=±1．经检验a=±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．
12．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(2，2)，动直线l：y=kx＋b不经过点P，与C相交于A，B两点，且直线PA和PB的斜率之积等于3．
(1) 求抛物线C的标准方程；
【解答】 由抛物线C关于y轴对称，可设抛物线C的标准方程为x2=2py，由P(2，2)在抛物线C上，得4=2p×2，解得p=1，故抛物线C的标准方程为x2=2y．
(2) 证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则kPA====，同理可得kPB=，所以=3，即x1x2＋2(x1＋x2)=8．联立消去y得x2－2kx－2b=0，则Δ=4k2＋8b＞0，x1＋x2=2k，x1x2=－2b，即有－2b＋2×2k=8，化简得b=2k－4，此时Δ=4k2＋8b=4k2＋16k－32，则Δ＞0有解，则l：y=k(x＋2)－4，即直线l过定点(－2，－4)．
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排查练12 圆锥曲线
回归基础——考前排查
【解析】
C
2．(人A选必一P115习题10)一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2 6x 91＝0内切，则动圆圆心的轨迹是 ( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
【解析】
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设圆x2＋y2＋6x＋5＝0和圆x2＋y2 6x 91＝0的圆心分别为O1，O2．将圆的方程分别配方得圆O1：(x＋3)2＋y2＝4，圆O2：(x 3)2＋y2＝100．
【答案】B
【解析】
C
4．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，P(x，y)为抛物线上一动点，点A(6，3)，则△PAF周长的最小值为 ( )
A．13 B．14
C．15 D．16
【解析】
由题知F(2，0)，准线方程为x＝ 2．如图，过点P作准线的垂线，垂足为Q，过点A作准线的垂线，垂足为B，所以△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AB|＋|AF|＝8＋5＝13，当P为AB与抛物线的交点P′时等号成立，即△PAF周长的最小值为13．
A
【解析】
【答案】AC
【解析】
【答案】ABC
【解析】
【答案】ABD
8．(苏教选必一P125复习题14)有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．若行车道总宽度AB为6 m，则车辆通过隧道时的限制高度为___________．(精确到0.1 m)
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝ 2py(p＞0)．
根据题意，此抛物线过点( 4， 4)，代入抛物线方程解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝ 4y．
【答案】3.2 m
【解析】
【解析】
【答案】7
11．(苏教选必一P125复习题13)直线y＝ax＋1与双曲线3x2 y2＝1相交于A，B两点．
(1) 求AB的长；
【解答】
11．(苏教选必一P125复习题13)直线y＝ax＋1与双曲线3x2 y2＝1相交于A，B两点．
(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
【解答】
12．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(2，2)，动直线l：y＝kx＋b不经过点P，与C相交于A，B两点，且直线PA和PB的斜率之积等于3．
(1) 求抛物线C的标准方程；
【解答】
由抛物线C关于y轴对称，可设抛物线C的标准方程为x2＝2py，由P(2，2)在抛物线C上，得4＝2p×2，解得p＝1，故抛物线C的标准方程为x2＝2y．
12．已知抛物线C关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(2，2)，动直线l：y＝kx＋b不经过点P，与C相交于A，B两点，且直线PA和PB的斜率之积等于3．
(2) 证明：直线l过定点，并求出定点坐标．
【解答】
即有 2b＋2×2k＝8，化简得b＝2k 4，此时Δ＝4k2＋8b＝4k2＋16k 32，则Δ＞0有解，则l：y＝k(x＋2) 4，即直线l过定点( 2， 4)．
