排查练11 直线与圆
1．直线l：ax＋y－2=0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2=1的公共点的个数为( C )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
【解析】 由直线l：ax＋y－2=0，可得直线l过定点(0，2)，又由圆C：(x－1)2＋(y－2)2=1，可得点(0，2)在圆C上．因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2．
2．已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心C且与直线l垂直的直线的方程为( A )
A．x＋y－3=0 B．x－y＋3=0
C．x＋y＋3=0 D．x－y－3=0
【解析】 由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m=0，并设圆心坐标为(a，0)，则由题意知2＋2=(a－1)2 ，解得a=3或a=－1．又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为(3，0)．因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以3＋0＋m=0，即m=－3，故所求的直线方程为x＋y－3=0．
3．(人A选必一P102复习参考题1(2))设直线l的方程为x－ysinθ＋2=0，则直线 l 的倾斜角α的取值范围是( C )
A．［0，π］ B．
C． D．
【解析】 直线l的方程为x－ysinθ＋2=0，当sinθ=0时，直线方程为x=－2，倾斜角α=；当sinθ≠0时，直线方程化为y=x＋，斜率k=，因为sinθ∈［－1，0) (0，1］，所以k∈(－∞，－1］ ［1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1］ ［1，＋∞)，又因为α∈［0，π)，所以α∈ ．综上，α∈．
4．已知直线mx－y＋2m＋1=0与圆(x＋1)2＋(y－2)2=16相交于M，N两点，则当|MN|取最小值时，实数m的值为( C )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
【解析】 由圆的方程(x＋1)2＋(y－2)2=16，可知圆心A(－1，2)，半径R=4，直线y－1=m(x＋2)过定点B(－2，1)．因为(－2＋1)2＋(1－2)2=2＜16，则定点B(－2，1)在圆内，则当AB⊥MN时，|MN|取得最小值．因为直线AB的斜率为=1，所以m=－1．
5．过坐标原点O作圆C：x2＋y2－4x－4y＋4=0的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则|AB|=( C )
A． B．2
C．2 D．4
【解析】 如图，x轴、y轴是圆C：(x－2)2＋(y－2)2=4过点O的切线，切点为A(2，0)，B(0，2)，故|AB|=2．
6．已知抛物线y2=16x的焦点为F，P为该抛物线上的一点，Q为圆(x－5)2＋(y－1)2=1上的一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( C )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 抛物线y2=16x的焦点为F(4，0)，准线方程为x=－4，如图，过点P作准线的垂线，垂足为N．因为点P在抛物线上，则|PF|=|PN|，所以|PF|＋|PQ|=|PN|＋|PQ|≥|NQ|．如图，当P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时，|NQ|取最小值，此时P，Q，N分别在P′，Q′，N′位置处．又因为圆(x－5)2＋(y－1)2=1的圆心为M(5，1)，半径r=1，所以|PF|＋|PQ|的最小值为|MN′|－r=8．
7．已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2=16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则|＋|的最大值为( B )
A．8 B．12
C．6 D．9
【解析】 由题意知，圆心M(4，0)，圆M的半径为4．设AB的中点为D(x，y)，则ND⊥MD，即=0．又=(x－2，y)，=(x－4，y)，所以(x－2)(x－4)＋y2=0，即点D的轨迹方程为圆E：(x－3)2＋y2=1，圆心E(3，0)，半径为1，所以|PD|的最大值为|PE|＋1=＋1=6．因为|＋|=2||，所以|＋|的最大值为12．
8．已知直线l1：mx－y－3m＋1=0与直线l2：x＋my－3m－1=0相交于点P，m∈R，则下列结论正确的是( B )
A．直线l1过定点(1，3)
B．点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2=2
C．点P到点(3，1)和点(1，3)距离之和的最大值为4
D．点P到坐标原点O的距离的最小值为2
【解析】 对于A，直线l1的方程可化为m(x－3)＋(1－y)=0，所以直线l1过定点E(3，1)，故A错误．对于B，直线l2的方程可化为(x－1)＋m(y－3)=0，所以直线l2过定点F(1，3)，因为m×1－1×m=0，则l1⊥l2．设点P(x，y)，则=(x－3，y－1)，=(x－1，y－3)，所以=(x－3)(x－1)＋(y－1)(y－3)=0，整理得(x－2)2＋(y－2)2=2，所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2=2，故B正确．对于C，因为|EF|==2，由勾股定理可得|PE|2＋|PF|2=|EF|2=8，所以(|PE|＋|PF|)2=|PE|2＋|PF|2＋2|PE|·|PF|≤2(|PE|2＋|PF|2) =16，则|PE|＋|PF|≤4，当且仅当|PE|=|PF|=2时等号成立，所以点P到点(3，1)和点(1，3)距离之和的最大值为4，故C错误．对于D，记圆(x－2)2＋(y－2)2=2的圆心为M(2，2)，该圆的半径为r=，因为(0－2)2＋(0－2)2＞2，所以原点O在圆M外，又因为|OM|==2，所以|OP|min=|OM|－r=，故D错误．
9．(多选)已知圆 C：(x＋2)2＋y2=4，直线 l：(m＋1)x＋2y－1＋m=0(m∈R)，则( AD )
A．直线 l 恒过定点(－1，1)
B．当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于 1
C．直线l与圆C可能相切
D．若圆C与圆 x2＋y2－2x＋8y＋a=0恰有三条公切线，则a=8
【解析】 由直线l：(m＋1)x＋2y－1＋m=0(m∈R)，得m(x＋1)＋x＋2y－1=0，因为m∈R，所以令解得所以直线l恒过定点(－1，1)，故A正确．当m=0时，直线l：x＋2y－1=0，则圆心 C(－2，0)到直线l的距离d==，此时直线l与圆相交所得劣弧的顶点到直线l的距离d1=2－∈(0，1)，所以圆C上只有 2 个点到直线l的距离为 1，故B错误．因为直线l过定点(－1，1)，又(－1＋2)2＋12＜4，所以定点在圆C内，则直线l与圆C一定相交，故C错误．由圆的方程x2＋y2－2x＋8y＋a=0，可得(x－1)2＋(y＋4)2=17－a，所以圆心为(1，－4)，半径为．因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则=5=2＋，解得 a=8，故D正确．
10．(多选)已知平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( ABD )
A．C上的点到直线3x－4y＋5=0的最小距离为
B．若点(x，y)在C上，则x＋y的最小值是－2
C．若点(x，y)在C上，则的最小值是－2
D．若圆x2＋(y－a)2=4与C有公共点，则a的取值范围是
【解析】 设P(x，y)，因为A(－2，0)，B(2，0)，|PA|=2|PB|，所以=2，化简得x2＋y2－x＋4=0，所以2＋y2=，所以圆心坐标为，r=，所以C上的点到直线3x－4y＋5=0的最小距离为d=－r=3－=，故A正确．令b=x＋y，即x＋y－b=0，当直线x＋y－b=0与圆C相切时b取最值，由d==r=，解得b=－2或b=，所以x＋y的最小值是－2，故B正确．令k=，即kx－y=0，当直线kx－y=0与圆C相切时k取最值，由d==r=，解得k=－或k=，所以k的最小值是－，故C错误．记圆x2＋(y－a)2=4的圆心为M(0，a)，半径为2，因为圆M与C有公共点，所以≤|PC|≤，即≤≤，解得－≤a≤，故D正确．
11．(多选)设a，b为实数，已知圆O：x2＋y2=9，点Q(a，b)在圆O外，以线段OQ为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点，则下列说法正确的是( BCD )
A．当|QA|=|QB|=4时，点Q的轨迹方程为x2＋y2=5
B．当a=－4，b=－3时，直线AB的方程为4x＋3y＋9=0
C．当a=－4，b=－3时，cos∠AOB=－
D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则9＜a2＋b2＜16
【解析】 对于A，如图(1)，当|QA|=|QB|=4时，|OQ|=5，所以点Q的轨迹方程为x2＋y2=25，故A错误；对于B，如图(2)，当a=－4，b=－3时，圆M的方程为(x＋2)2＋2=，即x2＋y2＋4x＋3y=0，所以直线AB的方程为(x2＋y2)－(x2＋y2＋4x＋3y)=9－0，即4x＋3y＋9=0，故B正确；对于C，如图(2)，当a=－4，b=－3时，在Rt△OBQ中，cos∠BOQ=，所以cos∠BOA=2cos 2∠BOQ－1=2×2－1=－，故C正确；对于D，因为点Q在圆O外，所以|OQ|＞3，又圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，所以|OQ|＜4，所以3＜|OQ|＜4，即9＜a2＋b2＜16，故D正确．
图(1)
图(2)
12．(人A选必一P103复习参考题12)已知直线l：x－2y－8=0和A(－2，0)，B(2，4)两点，若直线l上存在点P使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为__(2，－3)__．
【解析】 因为(－2－0－8)(2－8－8)＞0，所以A，B在直线l的同侧．设点A(－2，0)关于直线x－2y－8=0的对称点为A′(a，b)，则解得即A′(2，－8)．因为P为直线l上一点，所以|PA|＋|PB|≥|A′B|．当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．连接A′B交直线l于点P，点P即为所求．易得直线A′B的方程为x=2，与x－2y－8=0联立可得点P的坐标为(2，－3)．
13．(人A选必一P79习题8)已知 ABCD的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是6x＋8y－3=0与6x＋8y＋5=0，过 ABCD的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，则l与CD所在直线的距离是____．
【解析】 设 ABCD两条对角线的交点为点O．由平行四边形的性质，知点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同，则过点O且与AB所在直线平行的直线l的方程为6x＋8y＋=0，即6x＋8y＋1=0．由两平行线间距离公式可得直线l与CD所在直线的距离d==．
14．已知P为圆C1：(x－5)2＋y2=4上位于第一象限内的点，过点P作圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－a＋2=0(2＜a＜5)的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，直线PM，PN分别交x轴于A(1，0)，B(4，0)两点，则=__2__，|MN|=____．
【解析】 圆C2的标准方程为(x－a)2＋y2=a－2(2＜a＜5)，圆心C2(a，0)，则PC2为∠APB的平分线，所以=．设P(x0，y0)，则(x0－5)2＋=4，所以===2，则=2，即a－1=2(4－a)，解得a=3，则圆C2：(x－3)2＋y2=1，所以点N与B(4，0)重合，此时|C2M|=1，∠MAC2=30°，可得M，所以|MN|==．
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排查练11 直线与圆
回归基础——考前排查
1．直线l：ax＋y 2＝0与圆C：(x 1)2＋(y 2)2＝1的公共点的个数为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
【解析】
由直线l：ax＋y 2＝0，可得直线l过定点(0，2)，又由圆C：(x 1)2＋(y 2)2＝1，可得点(0，2)在圆C上．因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2．
C
【解析】
A
【解析】
【答案】C
4．已知直线mx y＋2m＋1＝0与圆(x＋1)2＋(y 2)2＝16相交于M，N两点，则当|MN|取最小值时，实数m的值为 ( )
A．2 B．1
C． 1 D． 2
【解析】
C
【解析】
C
6．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P为该抛物线上的一点，Q为圆(x 5)2＋(y 1)2＝1上的一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】
抛物线y2＝16x的焦点为F(4，0)，准线方程为x＝ 4，如图，过点P作准线的垂线，垂足为N．
因为点P在抛物线上，则|PF|＝|PN|，所以|PF|＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|≥|NQ|．
如图，当P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时，|NQ|取最小值，此时P，Q，N分别在P′，Q′，N′位置处．
又因为圆(x 5)2＋(y 1)2＝1的圆心为M(5，1)，半径r＝1，所以|PF|＋|PQ|的最小值为|MN′| r＝8．
【答案】 C
【解析】
B
【解析】
【答案】 B
9．(多选)已知圆 C：(x＋2)2＋y2＝4，直线 l：(m＋1)x＋2y 1＋m＝0(m∈R)，则 ( )
A．直线 l 恒过定点( 1，1)
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于 1
C．直线l与圆C可能相切
D．若圆C与圆 x2＋y2 2x＋8y＋a＝0恰有三条公切线，则a＝8
【解析】
【答案】 AD
【解析】
【答案】 ABD
【解析】
对于A，如图(1)，当|QA|＝|QB|＝4时，|OQ|＝5，所以点Q的轨迹方程为x2＋y2＝25，故A错误；
图(1)
图(2)
对于D，因为点Q在圆O外，所以|OQ|＞3，又圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，所以|OQ|＜4，所以3＜|OQ|＜4，即9＜a2＋b2＜16，故D正确．
图(1)
图(2)
【答案】 BCD
12．(人A选必一P103复习参考题12)已知直线l：x 2y 8＝0和A( 2，0)，B(2，4)两点，若直线l上存在点P使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为___________．
【解析】
(2，－3)
13．(人A选必一P79习题8)已知□ABCD的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是6x＋8y 3＝0与6x＋8y＋5＝0，过□ABCD的两条对角线的交点作与AB所在直线的平
行线l，则l与CD所在直线的距离是______．
【解析】
【解析】排查练11 直线与圆
1．直线l：ax＋y－2=0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2=1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
2．已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心C且与直线l垂直的直线的方程为( )
A．x＋y－3=0 B．x－y＋3=0
C．x＋y＋3=0 D．x－y－3=0
3．(人A选必一P102复习参考题1(2))设直线l的方程为x－ysinθ＋2=0，则直线 l 的倾斜角α的取值范围是( )
A．［0，π］ B．
C． D．
4．已知直线mx－y＋2m＋1=0与圆(x＋1)2＋(y－2)2=16相交于M，N两点，则当|MN|取最小值时，实数m的值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
5．过坐标原点O作圆C：x2＋y2－4x－4y＋4=0的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则|AB|=( )
A． B．2
C．2 D．4
6．已知抛物线y2=16x的焦点为F，P为该抛物线上的一点，Q为圆(x－5)2＋(y－1)2=1上的一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
7．已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2=16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则|＋|的最大值为( )
A．8 B．12
C．6 D．9
8．已知直线l1：mx－y－3m＋1=0与直线l2：x＋my－3m－1=0相交于点P，m∈R，则下列结论正确的是( )
A．直线l1过定点(1，3)
B．点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2=2
C．点P到点(3，1)和点(1，3)距离之和的最大值为4
D．点P到坐标原点O的距离的最小值为2
9．(多选)已知圆 C：(x＋2)2＋y2=4，直线 l：(m＋1)x＋2y－1＋m=0(m∈R)，则( )
A．直线 l 恒过定点(－1，1)
B．当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于 1
C．直线l与圆C可能相切
D．若圆C与圆 x2＋y2－2x＋8y＋a=0恰有三条公切线，则a=8
10．(多选)已知平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )
A．C上的点到直线3x－4y＋5=0的最小距离为
B．若点(x，y)在C上，则x＋y的最小值是－2
C．若点(x，y)在C上，则的最小值是－2
D．若圆x2＋(y－a)2=4与C有公共点，则a的取值范围是
11．(多选)设a，b为实数，已知圆O：x2＋y2=9，点Q(a，b)在圆O外，以线段OQ为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A．当|QA|=|QB|=4时，点Q的轨迹方程为x2＋y2=5
B．当a=－4，b=－3时，直线AB的方程为4x＋3y＋9=0
C．当a=－4，b=－3时，cos∠AOB=－
D．若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则9＜a2＋b2＜16
12．(人A选必一P103复习参考题12)已知直线l：x－2y－8=0和A(－2，0)，B(2，4)两点，若直线l上存在点P使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为____．
13．(人A选必一P79习题8)已知 ABCD的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是6x＋8y－3=0与6x＋8y＋5=0，过 ABCD的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，则l与CD所在直线的距离是____．
14．已知P为圆C1：(x－5)2＋y2=4上位于第一象限内的点，过点P作圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－a＋2=0(2＜a＜5)的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，直线PM，PN分别交x轴于A(1，0)，B(4，0)两点，则=____，|MN|=____．
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