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排查练13 直线与圆锥曲线的位置关系
回归基础——考前排查
1．已知抛物线C1：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率大于零的直线l与C1及抛物线C2：y2＝ 4x的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则|AB|＝ ( )
A．4 B．6
C．8 D．10
【解析】
由题意可得F(1，0)，设直线l的方程为x＝my＋1(m＞0)．由题意可知直线l与抛物线C1必有2个交点，则l与抛物线C2相切．
【答案】C
【解析】
A
【解析】
【答案】D
【解析】
【答案】A
【解析】
【答案】BD
【解析】
【答案】ABD
7．(2026·泉州期初)(多选)在平面直角坐标系xOy中，设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，M是C上一点，点N( 1，0)，若NM的延长线与C交于点A，记∠ANF＝α，∠AFN＝β，∠MFN＝γ，则 ( )
A．tan α＝sin β B．tan α＝cos β
C．tan α＝sin γ D．tan α＝cos γ
【解析】
图(1)
图(2)
【答案】AC
【解析】
2
【解析】
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点P( 1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C交于A，B两点．记线段AB的中点为M，若线段MP的中点在C上，则k的值为_____；|AF|·|BF|的值为_____．
【解析】
【答案】2 5
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】排查练13 直线与圆锥曲线的位置关系
1．已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F，过点F且斜率大于零的直线l与C1及抛物线C2：y2=－4x的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则|AB|=( C )
A．4 B．6
C．8 D．10
【解析】 由题意可得F(1，0)，设直线l的方程为x=my＋1(m＞0)．由题意可知直线l与抛物线C1必有2个交点，则l与抛物线C2相切．联立可得y2＋4my＋4=0，所以Δ=16m2－16=0，解得m=1，故直线l的方程为x=y＋1．联立得x2－6x＋1=0．如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=6，所以|AB|=x1＋x2＋2=8．
2．直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0与椭圆C：＋=1的位置关系是( A )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
【解析】 将直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0变形为l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4=0，由解得于是直线l过定点(3，1)．因为＋=＜1，所以点(3，1)在椭圆C：＋=1的内部，因此直线l与椭圆C相交．
3．过点P(4，2)作一直线与双曲线C：－y2=1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|=( D )
A．2 B．2
C．3 D．4
【解析】 方法一：由题意可知直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x－4)＋2．由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10=0，Δ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2=－=8，解得k=1(满足Δ＞0)，所以x1x2==10，所以|AB|==4．
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－=1①，－=1②．①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)=0．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2=8，y1＋y2=4，所以4(x1－x2)－4(y1－y2)=0，即x1－x2=y1－y2，所以直线AB的斜率k==1，则直线AB的方程为y=x－2．由消去y并整理得x2－8x＋10=0，所以x1＋x2=8，x1x2=10，所以|AB|==4．
4．(2026·德州期初)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆经过点F1，且与y轴正半轴交于点A，若线段AF1的中点在C上，则C的离心率是( A )
A．－1 B．－
C．－ D．－1
【解析】 如图，设F2(c，0)(c＞0)，由题知圆F2的半径为2c，且|AF1|=|AF2|=2c，得△AF1F2为等边三角形，则∠AF1F2=．设线段AF1的中点为B，则AF1⊥BF2，且|BF2|=|BF1|=c．因为点B在C上，所以|BF1|＋|BF2|=2a，得(＋1)c=2a，即e===－1，故C的离心率为－1．
5．(多选)已知椭圆的方程为＋=1，斜率为k的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( BD )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为(1，1)，则直线AB的方程为2x＋y－3=0
C．若直线AB的方程为y=x＋1，则点M的坐标为
D．若直线AB的方程为y=x＋2，则|AB|=
【解析】 对于A，根据椭圆的中点弦的性质得kAB·kOM=－=－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM=－2，kOM=1，得kAB=－2，所以直线AB的方程为y－1=－2(x－1)，即2x＋y－3=0，所以B正确；对于C，若直线AB的方程为y=x＋1，点M，则kAB·kOM=1×4=4≠－2，所以C不正确；对于D，若直线AB的方程为y=x＋2，与椭圆方程＋=1联立，得2x2＋(x＋2)2－4=0，整理得3x2＋4x=0，解得x1=0，x2=－，所以|AB|=×=，所以D正确．
6．(多选)已知双曲线C：4x2－y2=1，直线l：y=kx＋1(k＞0)，则下列说法正确的是( ABD )
A．若k=2，则l与C仅有一个公共点 B．若k=2，则l与C仅有一个公共点
C．若l与C有两个公共点，则2＜k＜2 D．若l与C没有公共点，则k＞2
【解析】 因为双曲线C的方程为4x2－y2=1，其渐近线方程为y=±2x，当k=2时，直线l：y=2x＋1与一条渐近线平行，所以当k=2时，直线l与双曲线C有且只有一个交点，故A正确．联立消去y得(4－k2)x2－2kx－2=0，当直线l与双曲线C相切时，方程只有一个实数根，Δ=(2k)2＋8(4－k2)=0，且4－k2≠0，解得k=±2，所以当k=2时，直线l与双曲线C有且只有一个交点，故B正确．若l与C有两个公共点，则，解得2＜k＜2或0＜k＜2，故C错误．若l与C没有公共点，则故D正确．
7．(2026·泉州期初)(多选)在平面直角坐标系xOy中，设F为抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，点N(－1，0)，若NM的延长线与C交于点A，记∠ANF=α，∠AFN=β，∠MFN=γ，则( AC )
A．tan α=sin β B．tan α=cos β
C．tan α=sin γ D．tan α=cos γ
【解析】 依题意可得抛物线C的准线方程为x=－1．对于A，B，过点A作AA1垂直准线于A1，则|AA1|=|AF|，如图(1)，在△AFN中，由正弦定理有=，得=，在△AA1N中，∠A1AN=∠ANF=α，且|AA1|=|AF|，则cos α===，所以sin β==tan α，故A正确；因为当β≠时，cos β≠sin β，即当β≠时，cos β≠tan α，故B错误．对于C，D，过点M作MM1垂直准线于M1，则|MM1|=|MF|，如图(2)，在△MFN中，由正弦定理有=，得=，在△MM1N中，∠M1MN=∠ANF=α，且|MM1|=|MF|，则cos α===，所以sin γ==tan α，故C正确；因为当γ≠时，cos γ≠sin γ，即当γ≠时，cos γ≠tan α，故D错误．
图(1)
图(2)
8．(北师选必一P83习题A4改编)已知P是双曲线x2－=1上一点，A(3，0)，则|PA|的最小值为__2__．
【解析】 设P(x0，y0)，则－=1，所以=3－3，所以|PA|2=(x0－3)2＋=(x0－3)2＋(3－3)=4－6x0＋6=42＋，因为x0≥1或x0≤－1，所以当x0=1时，|PA=4－6＋6=4，所以|PA|min=2．
9．已知直线l与圆O：x2＋y2=1相切，且与椭圆C：＋=1交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1y2=－，则|AB|=____．
【解析】 易知直线l的斜率不为0，故设直线l：x=my＋t．因为直线l与圆O：x2＋y2=1相切，所以=1，所以t2=1＋m2．联立得(4＋3m2)y2＋6mty＋3t2－12=0，所以y1y2=．因为y1y2=－，所以=－，所以m2=1，t2=2．由对称性，不妨取m=1，t=，所以y1＋y2=－，所以|AB|=×=．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(－1，1)和抛物线C：y2=4x，过C的焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C交于A，B两点．记线段AB的中点为M，若线段MP的中点在C上，则k的值为__2__；|AF|·|BF|的值为__5__．
【解析】 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：y=k(x－1)，线段PM的中点为N．联立可得y2－y－4=0，则y1＋y2=，y1y2=－4，所以x1＋x2=＋2=＋2，则M，所以线段MP的中点N．由于线段MP的中点N在抛物线C上，则2=，解得k=2或k=－6(舍去)，即k=2．由于在抛物线C中，|AF|=x1＋1，|BF|=x2＋1，所以|AF|·|BF|=(x1＋1)(x2＋1)==＋＋1=＋＋1=5．
11．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M(0，2)，且|MF|=．
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】 由题意得解得故椭圆C的方程为＋=1．
(2) 若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足|AM|=|BN|，求直线l的方程．
【解答】 根据题意知点A必在点B的上方，才有|AM|=|BN|．当l的斜率不存在时，|AM|=2－，|BN|=，|AM|≠|BN|，不符合题意，故l的斜率必定存在．设l的方程为y=kx＋2，由得(1＋4k2)x2＋16kx＋8=0，则Δ=(16k)2－32(1＋4k2)=128k2－32＞0，即k2＞．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=－，x1x2=．设N(x0，y0)，则x0==－．由|AM|=|BN|，可得|AB|=|MN|，所以|x1－x2|=|x0－0|，则=|x0|，即=，可得k2=＞，故k=±，所以直线l的方程为y=±x＋2．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=x，且点P(，)在C上．
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】 由双曲线的渐近线方程为y=±x，可知=，即b2=3a2．将P(，)代入双曲线方程可得－=1，解得a2=1，b2=3，所以双曲线C的方程为y2－=1．
(2) 设C的上焦点为F，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，且=7，求l的斜率．
【解答】 由(1)可知F(0，2)，由=7可知直线l的斜率存在，设l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线l的方程为y=kx＋2．联立得(3k2－1)x2＋12kx＋9=0，显然Δ＞0，k2≠，所以x1＋x2=－，x1x2=．又=7，即(－x1，2－y1)=7(－x2，2－y2)，可得x1=7x2，所以即2=，解得k=±，所以直线l的斜率为±．
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1．已知抛物线C1：y2=4x的焦点为F，过点F且斜率大于零的直线l与C1及抛物线C2：y2=－4x的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则|AB|=( )
A．4 B．6
C．8 D．10
2．直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0与椭圆C：＋=1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
3．过点P(4，2)作一直线与双曲线C：－y2=1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|=( )
A．2 B．2
C．3 D．4
4．(2026·德州期初)已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆经过点F1，且与y轴正半轴交于点A，若线段AF1的中点在C上，则C的离心率是( )
A．－1 B．－
C．－ D．－1
5．(多选)已知椭圆的方程为＋=1，斜率为k的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M的坐标为(1，1)，则直线AB的方程为2x＋y－3=0
C．若直线AB的方程为y=x＋1，则点M的坐标为
D．若直线AB的方程为y=x＋2，则|AB|=
6．(多选)已知双曲线C：4x2－y2=1，直线l：y=kx＋1(k＞0)，则下列说法正确的是( )
A．若k=2，则l与C仅有一个公共点 B．若k=2，则l与C仅有一个公共点
C．若l与C有两个公共点，则2＜k＜2 D．若l与C没有公共点，则k＞2
7．(2026·泉州期初)(多选)在平面直角坐标系xOy中，设F为抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，点N(－1，0)，若NM的延长线与C交于点A，记∠ANF=α，∠AFN=β，∠MFN=γ，则( )
A．tan α=sin β B．tan α=cos β
C．tan α=sin γ D．tan α=cos γ
8．(北师选必一P83习题A4改编)已知P是双曲线x2－=1上一点，A(3，0)，则|PA|的最小值为____．
9．已知直线l与圆O：x2＋y2=1相切，且与椭圆C：＋=1交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1y2=－，则|AB|=____．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(－1，1)和抛物线C：y2=4x，过C的焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C交于A，B两点．记线段AB的中点为M，若线段MP的中点在C上，则k的值为____；|AF|·|BF|的值为____．
11．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M(0，2)，且|MF|=．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足|AM|=|BN|，求直线l的方程．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=x，且点P(，)在C上．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 设C的上焦点为F，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，且=7，求l的斜率．
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