排查练15 函数的图象与性质
1．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2－，则f(－1)=( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
2．(人A必一P139练习4)若函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是( )
A．y=1－x－1，x∈(0，＋∞) B．y=－x，x∈(0，＋∞)
C．y=ln x D．y=x－1，x∈(0，＋∞)
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋2)=f(x)，且f(x)在［－1，0］上单调递减，若a=f(log345)，b=f(－log58)，c=f，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
4．设函数f(x)的定义域为R，y=f(x－1)＋1为奇函数，y=f(x－2)为偶函数，若f(2 025)=1，则f(－3)=( )
A．1 B．－1
C．0 D．－3
5．(多选)若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)=ex，则有( )
A．f(x)=(ex－e－x) B．g(x)=(ex＋e－x)
C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3)
6．(多选)已知函数f(x)=－a(a≠0)，则( )
A．f(x)的定义域是(－∞，－1) (－1，＋∞) B．f(x)在(－1，＋∞)上单调递增
C．f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称 D．不等式f(x)＞a的解集是(－2，－1)
7．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，y，均有f(x＋y)=f(x)＋f(y)－1，且当x＞0时，f(x)＜1，则( )
A．f(0)=1 B．f(1)＋f(－1)=1
C．函数f(x)为减函数 D．函数y=f(x)的图象关于点(0，1)对称
8．已知函数f(x)=lg(102x＋m)－x(m＞0)为偶函数，则实数m=____．
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，且f(x)在(－∞，2］上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为____．
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在［0，2］上单调递减，f(x＋2)为偶函数，若f(x)=m在［0，12］上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4=____．
11．已知函数f(x)=为奇函数．
(1) 求实数a的值；
(2) 判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性，并证明．
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)=－f(x)．当x∈［0，2)时，f(x)=2x－x2．
(1) 求证：f(x)是周期函数；
(2) 求f(2)的值；
(3) 当x∈(2，4］时，求f(x)的解析式；
(4) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)．
13．(人A必一P87习题13)我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x＋a)－b为奇函数．
(1) 求函数f(x)=x3－3x2图象的对称中心；
(2) 类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论．
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1．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)=x2－，则f(－1)=( A )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 f(－1)=－f(1)=－(1－2)=1．
2．(人A必一P139练习4)若函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是( C )
A．y=1－x－1，x∈(0，＋∞) B．y=－x，x∈(0，＋∞)
C．y=ln x D．y=x－1，x∈(0，＋∞)
【解析】 根据f(1)=0，f(2)＜1，f(3)＞1可知只有y=ln x满足．
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋2)=f(x)，且f(x)在［－1，0］上单调递减，若a=f(log345)，b=f(－log58)，c=f，则( B )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【解析】 因为f(x)是偶函数，f(x＋2)=f(x)，f(x)在［－1，0］上单调递减，所以f(x)在［1，2］上单调递减．a=f(log345)=f(2＋log35)=f(log35)，b=f(－log58)=f(log58)．因为53=125＞34=81，83=512＜54=625，所以5＞，8＜，所以1＜log58＜＜log35＜2，所以f(log58)＞f＞f(log35)，故a＜c＜b．
4．设函数f(x)的定义域为R，y=f(x－1)＋1为奇函数，y=f(x－2)为偶函数，若f(2 025)=1，则f(－3)=( D )
A．1 B．－1
C．0 D．－3
【解析】 因为y=f(x－1)＋1为奇函数，所以f(－x－1)＋1=－1－f(x－1)，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，则f(－1)=－1．因为y=f(x－2)为偶函数，所以f(－x－2)=f(x－2)，所以f(x)的图象关于直线x=－2轴对称．由f(－x－1)＋1=－1－f(x－1)，得f(－x－2)=－2－f(x)，所以f(x－2)=－2－f(x)，则f(x－4)=－2－f(x－2)=－2－［－2－f(x)］=f(x)，则f(x)的周期为4，所以f(2 025)=f(1)=－2－f(－3)=1，则f(－3)=－3．
5．(多选)若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)=ex，则有( AD )
A．f(x)=(ex－e－x) B．g(x)=(ex＋e－x)
C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3)
【解析】 因为函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)=ex①，所以f(－x)－g(－x)=－f(x)－g(x)=e－x，变形可得f(x)＋g(x)=－e－x②，联立①②可得f(x)=(ex－e－x)，g(x)=－(ex＋e－x)，故A正确，B错误；f(2)=(e2－e－2)，g(0)=－(1＋1)=－1，f(3)=(e3－e－3)，且f(x)为增函数，则有g(0)＜f(2)＜f(3)，故C错误，D正确．
6．(多选)已知函数f(x)=－a(a≠0)，则( AC )
A．f(x)的定义域是(－∞，－1) (－1，＋∞) B．f(x)在(－1，＋∞)上单调递增
C．f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称 D．不等式f(x)＞a的解集是(－2，－1)
【解析】 由题意可知f(x)=－，由x＋1≠0得x≠－1，则f(x)的定义域是(－∞，－1) (－1，＋∞)，故A正确．当a＞0时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，当a＜0时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故B错误．因为f(x－1)=－是奇函数，所以C正确．f(x)＞a，即－＞a．当a＞0时，解得－2＜x＜－1；当a＜0时，解得x＜－2或x＞－1，故D错误．
7．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，y，均有f(x＋y)=f(x)＋f(y)－1，且当x＞0时，f(x)＜1，则( ACD )
A．f(0)=1 B．f(1)＋f(－1)=1
C．函数f(x)为减函数 D．函数y=f(x)的图象关于点(0，1)对称
【解析】 对于A，令x=y=0，则有f(0)=f(0)＋f(0)－1，可得f(0)=1，故A正确．对于B，令x=1，y=－1，则有f(0)=f(1)＋f(－1)－1，可得f(1)＋f(－1)=2，故B错误．对于C，令y＞0，则有f(x＋y)－f(x)=f(y)－1，其中x＋y＞x，f(y)－1＜0，令x1=x＋y，x2=x，即有对 x1，x2∈R，当x1＞x2时，f(x1)－f(x2)＜0恒成立，即函数f(x)为减函数，故C正确．对于D，令y=－x，则有f(x－x)=f(x)＋f(－x)－1，又f(0)=1，所以f(x)＋f(－x)=2，因此函数y=f(x)的图象关于点(0，1)对称，故D正确．
8．已知函数f(x)=lg(102x＋m)－x(m＞0)为偶函数，则实数m=__1__．
【解析】 由偶函数的定义得f(－x)=f(x)，所以lg(10－2x＋m)＋x=lg(102x＋m)－x，即lg=2x恒成立，所以=102x，即102x＋m=1＋m102x，整理得(m－1)(102x－1)=0，此等式在函数f(x)的定义域内恒成立，所以m－1=0，即m=1．
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，且f(x)在(－∞，2］上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为__［－1，0］__．
【解析】 因为函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称．又因为f(x)在(－∞，2］上单调递减，所以f(x)在［2，＋∞)上单调递增，则由f(2x＋3)≤f(1)得|2x＋3－2|≤|1－2|，即|2x＋1|≤1，解得－1≤x≤0，则所求不等式的解集为［－1，0］．
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在［0，2］上单调递减，f(x＋2)为偶函数，若f(x)=m在［0，12］上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4=__24__．
【解析】 由f(x＋2)为偶函数，得f(－x＋2)=f(x＋2)，故f(－x)=f(x＋4)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=－f(－x)，所以f(x)=－f(x＋4)，故f(x＋4)=－f(x＋8)，所以f(x)=f(x＋8)．综上，f(x)的周期为8，且是关于直线x=2对称的奇函数．由f(x)在［0，2］上单调递减，结合上述分析知，f(x)在［2，6］上单调递增，在［6，10］上单调递减，在［10，12］上单调递增，所以f(x)在［0，12］上的大致图象如图所示，要使f(x)=m在［0，12］上恰好有4个不同的实数根，即y=f(x)与y=m的图象有4个交点，此时必有两对交点分别关于直线x=2，x=10对称，则x1＋x2＋x3＋x4=24．
11．已知函数f(x)=为奇函数．
(1) 求实数a的值；
【解答】 因为f(x)=为奇函数，所以f(－x)＋f(x)=0，即＋=0，解得a=0．
(2) 判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性，并证明．
【解答】 f(x)=在(－1，1)上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)=－=== =．由x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，得x1x2－1＜0，x2－x1＞0，＋1＞0，＋1＞0，则有f(x1)－f(x2)＜0，所以函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)=－f(x)．当x∈［0，2)时，f(x)=2x－x2．
(1) 求证：f(x)是周期函数；
【解答】 因为f(x＋2)=－f(x)，所以f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．
(2) 求f(2)的值；
【解答】 f(2)=f(0＋2)=－f(0)=0．
(3) 当x∈(2，4］时，求f(x)的解析式；
【解答】 当x∈(－2，0］时，－x∈［0，2)，由已知得f(－x)=2(－x)－(－x)2=－2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(x)=－f(－x)=x2＋2x．又f(x)是周期为4的周期函数，所以当x∈(2，4］时，f(x)=f(x－4)=(x－4)2＋2(x－4)=x2－6x＋8．
(4) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)．
【解答】 因为f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)=0．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)=506×(0＋1＋0－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)=1．
13．(人A必一P87习题13)我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x＋a)－b为奇函数．
(1) 求函数f(x)=x3－3x2图象的对称中心；
【解答】 因为f(x＋a)=(x＋a)3－3(x＋a)2=x3＋3ax2＋3a2x＋a3－3x2－6ax－3a2=x3＋(3a－3)x2＋(3a2－6a)x＋a3－3a2，所以由y=f(x＋a)－b=x3＋(3a－3)x2＋(3a2－6a)x＋a3－3a2－b是奇函数，得解得所以f(x)=x3－3x2的对称中心为(1，－2)．
(2) 类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论．
【解答】 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是y=f(x＋a)为偶函数．
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排查练15 函数的图象与性质
回归基础——考前排查
【解析】
f(－1)＝－f(1)＝－(1－2)＝1．
A
【解析】
根据f(1)＝0，f(2)＜1，f(3)＞1可知只有y＝ln x满足．
C
【解析】
B
4．设函数f(x)的定义域为R，y＝f(x－1)＋1为奇函数，y＝f(x－2)为偶函数，若f(2 025)＝1，则f(－3)＝ ( )
A．1 B．－1 C．0 D．－3
【解析】
因为y＝f(x－1)＋1为奇函数，所以f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，则f(－1)＝－1．
因为y＝f(x－2)为偶函数，所以f(－x－2)＝f(x－2)，所以f(x)的图象关于直线x＝－2轴对称．
由f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，得f(－x－2)＝－2－f(x)，所以f(x－2)＝－2－f(x)，则f(x－4)＝－2－f(x－2)＝－2－［－2－f(x)］＝f(x)，则f(x)的周期为4，所以f(2 025)＝f(1)＝－2－f(－3)＝1，则f(－3)＝－3．
D
【解析】
AD
【解析】
【答案】AC
7．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x＞0时，f(x)＜1，则 ( )
A．f(0)＝1
B．f(1)＋f(－1)＝1
C．函数f(x)为减函数
D．函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称
【解析】
对于A，令x＝y＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)－1，可得f(0)＝1，故A正确．
对于B，令x＝1，y＝－1，则有f(0)＝f(1)＋f(－1)－1，可得f(1)＋f(－1)＝2，故B错误．
对于C，令y＞0，则有f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1，其中x＋y＞x，f(y)－1＜0，令x1＝x＋y，x2＝x，即有对 x1，x2∈R，当x1＞x2时，f(x1)－f(x2)＜0恒成立，即函数f(x)为减函数，故C正确．
对于D，令y＝－x，则有f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1，又f(0)＝1，所以f(x)＋f(－x)＝2，因此函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，故D正确．
【答案】ACD
8．已知函数f(x)＝lg(102x＋m)－x(m＞0)为偶函数，则实数m＝_____．
【解析】
1
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在(－∞，2］上单调递减，则不等式f(2x＋3) ≤f(1)的解集为____________．
【解析】
因为函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．又因为f(x)在(－∞，2］上单调递减，所以f(x)在［2，＋∞)上单调递增，则由 f(2x＋3) ≤f(1)得|2x＋3－2|≤|1－2|，即|2x＋1|≤1，解得－1≤x≤0，则所求不等式的解集为［－1，0］．
［－1，0］
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在［0，2］上单调递减，f(x＋2)为偶函数，若f(x)＝m在［0，12］上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋ x3＋x4＝______．
【解析】
由f(x＋2)为偶函数，得f(－x＋2)＝f(x＋2)，故f(－x)＝f(x＋4)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－f(x＋4)，故f(x＋4)＝ －f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8)．综上，f(x)的周期为8，且是关于直线x＝2对称的奇函数．
由f(x)在［0，2］上单调递减，结合上述分析知，f(x)在［2，6］上单调递增，在［6，10］上单调递减，在［10，12］上单调递增，所以f(x)在［0，12］上的大致图象如图所示，
【答案】 24
要使f(x)＝m在［0，12］上恰好有4个不同的实数根，即y＝f(x)与y＝m的图象有4个交点，此时必有两对交点分别关于直线x＝2，x＝10对称，则x1＋x2＋x3＋x4＝24．
【解答】
【解答】
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈［0，2)时，f(x)＝2x－x2．
(1) 求证：f(x)是周期函数；
【解答】
因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈［0，2)时，f(x)＝2x－x2．
(2) 求f(2)的值；
【解答】
f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0．
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈［0，2)时，f(x)＝2x－x2．
(3) 当x∈(2，4］时，求f(x)的解析式；
【解答】
当x∈(－2，0］时，－x∈［0，2)，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝ －2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x2＋2x．
又f(x)是周期为4的周期函数，所以当x∈(2，4］时，f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋ 2(x－4)＝x2－6x＋8．
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈［0，2)时，f(x)＝2x－x2．
(4) 计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)．
【解答】
因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝506×(0＋1＋ 0－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝1．
13．(人A必一P87习题13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1) 求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心；
【解答】
13．(人A必一P87习题13)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(2) 类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
【解答】
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是y＝f(x＋a)为偶函数．
