(共25张PPT)
排查练16 利用导数研究函数的性质
回归基础——考前排查
【解析】
A
2．函数f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为 ( )
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(0，2) D．(2，＋∞)
【解析】
C
【解析】
令函数g(x)＝f(x)－sin x，则g′(x)＝f′(x)－cos x．因为f′(x)≥cos x，所以g′(x)≥0，g(x)是增函数．
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，g(0)＝f(0)－sin 0＝0，所以g(x)≥0的解集为［0，＋∞)，即f(x)≥sin x的解集为［0，＋∞)．
D
【解析】
【答案】B
【解析】
依题可知点P(2，f(2))为切点，代入切线方程y＝x－4，得f(2)＝－2，所以f(2)＝8＋4a＋2b－4＝－2，即2a＋b＝－3．
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx－4，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线y＝x－4的斜率可知 f′(2)＝1，所以12＋4a＋b＝1，即4a＋b＝－11．
x (－∞，1) 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
【答案】BCD
6．(多选)已知函数f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，则 ( )
A．函数f(x)有且只有2个零点
B．函数f(x)的单调递减区间为(－3，1)
C．函数f(x)存在最大值和最小值
D．若方程f(x)＝a有三个实数解，则a∈(－2e，6e－3)
【解析】
由函数f(x)＝(x2－3)ex，x∈R，得f′(x)＝(x－1)(x＋3)ex，令f′(x)＜0，解得 －3＜x＜1；令f′(x)＞0，解得x＜－3或x＞1，所以函数f(x)在(－3，1)上单调递减，在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，且f(－3)＝6e－3，f(1)＝－2e，当x→－∞时，f(x)→0＋．
作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，可得A，B正确；
f(x)min＝f(1)＝－2e，无最大值，所以C错误；
若方程f(x)＝a有三个实数解，即y＝a与y＝f(x)的图象有三个
不同的交点，可得a∈(0，6e－3)，所以D错误．
【答案】AB
【解析】
设f(x)＝ex－x(x＞0)，则f′(x)＝ex－1＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又x＞y＞0，所以f(x)＞f(y)，即ex－x＞ey－y，即ex－ey＞x－y，A正确．
令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1，此时ln x－ln y＜x－y，B不正确．
【答案】ACD
【解析】
x＋πy－π＝0
9．(苏教选必一P230复习题13)如图，在半径为常量r、圆心角为变量2 θ(0＜2 θ＜π)的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，则圆Q半径的最大值为______．
【解析】
【解析】
作出y＝f(x)的大致图象如图所示，注意到f(－3)＝－1＝f(0)，由图可知，要使函数f(x)在(a，a＋5)上存在最小值，应有－3≤a＜0且a＋5＞0，解得－3≤a＜0．
［－3，0)
11．(人A选必二P95例7)给定函数f(x)＝(x＋1)ex．
(1) 判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
【解答】
x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ ↗
11．(人A选必二P95例7)给定函数f(x)＝(x＋1)ex．
(2) 画出函数f(x)的大致图象；
【解答】
令f(x)＝0，解得x＝－1．当x＜－1时，f(x)＜0；当x＞－1时，f(x)＞0．所以f(x)的图象经过特殊点A("－" 2"，－" 1/e^2 )，B(－1，0)，C(0，1)．当x→－∞时，f(x)→0；当x→＋∞时，f(x)→＋∞．
根据以上信息，画出f(x)的大致图象如图所示．
11．(人A选必二P95例7)给定函数f(x)＝(x＋1)ex．
(3) 求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．
【解答】
12．(北师选必二P88例4)如图(1)，一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图(2)．所得容器的容积V(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．
(1) 随着x的变化，容积V是如何变化的？
图(1)
图(2)
【解答】
根据题意，可得V＝V(x)＝(48－2x)2x．由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0＜x＜24}．
根据导数公式表及导数的运算法则，可得V′(x)＝－4x(48－2x)＋(48－2x)2＝(48－2x)(－6x＋48)＝12(x－24)(x－8)．解方程V′(x)＝0，得x1＝8，x2＝24．
根据x1，x2列出下表，分析V′(x)的符号、V(x)的单调性和极值点．
由上表可知，x＝8是函数V＝V(x)的极大值点，相应的极大值为V＝V(8)＝(48－16)2×8＝8 192(cm3)．
x (0，8) 8 (8，24)
V′(x) ＋ 0 －
V(x) ↗ 极大值 ↘
V＝(48－2x)2x的大致图象如图所示．根据对函数变化规律的讨论可知：当0＜x≤8时，函数V＝V(x)单调递增；当8≤x＜24时，函数V＝V(x)单调递减．
12．(北师选必二P88例4)如图(1)，一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图(2)．所得容器的容积V(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．
图(1)
图(2)
【解答】
区间(0，24)上任意点的函数值都不超过V(8)，因此，x＝8是函数的最大值点．此时V＝V(8)＝8 192(cm3)是函数V＝V(x)在区间(0，24)上的最大值．即当截去的小正方形的边长为8 cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8 192 cm3．
(2) 截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
13．(人A选必二P104复习参考题19)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x．
(1) 讨论f(x)的单调性；
【解答】
f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
①若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－ln a，当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0；当x∈ (－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
13．(人A选必二P104复习参考题19)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x．
(2) 若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
【解答】排查练16 利用导数研究函数的性质
1．(2024·全国甲卷)曲线f(x)=x6＋3x－1在(0，－1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( A )
A． B．
C． D．－
【解析】 f′(x)=6x5＋3，所以f′(0)=3，可得切线方程为y=3(x－0)－1=3x－1，则切线的横截距为，纵截距为－1，故切线与坐标轴围成的三角形的面积为×1×=．
2．函数f(x)=x－2ln(2x)的单调递减区间为( C )
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(0，2) D．(2，＋∞)
【解析】 f(x)=x－2ln(2x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=1－2××2=1－= ，由f′(x)＜0，可得x∈(0，2)，故f(x)=x－2ln(2x)的单调递减区间为(0，2)．
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)≥cos x恒成立，则f(x)≥sin x的解集为( D )
A．［－π，＋∞) B．［π，＋∞)
C． D．［0，＋∞)
【解析】 令函数g(x)=f(x)－sin x，则g′(x)=f′(x)－cos x．因为f′(x)≥cos x，所以g′(x)≥0，g(x)是增函数．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，g(0)=f(0)－sin 0=0，所以g(x)≥0的解集为［0，＋∞)，即f(x)≥sin x的解集为［0，＋∞)．
4．已知函数f(x)=则函数y=f(1－x)的图象大致是( B )
A B C D
【解析】 当1－x＞0，即x＜1时，y=f(1－x)=，y′= =，令y′＞0，得x＜1－e，令y′＜0，得1－e＜x＜1，所以函数y=f(1－x)在(－∞，1－e)上单调递增，在(1－e，1)上单调递减，故A，C，D错误．当1－x≤0，即x≥1时，y=f(1－x)=(1－x)e1－x，y′=(1－x)′e1－x＋(1－x)(e1－x)′=－e1－x－(1－x)e1－x=－e1－x·(2－x)，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得1≤x＜2，所以函数y=f(1－x)在(2，＋∞)上单调递增，在［1，2)上单调递减，故B正确．
5．(多选)已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx－4在点P(2，f(2))处的切线方程为y=x－4，则下列说法正确的是( BCD )
A．a=－2 B．b=5
C．极大值为－2 D．极小值为－
【解析】 依题可知点P(2，f(2))为切点，代入切线方程y=x－4，得f(2)=－2，所以f(2)=8＋4a＋2b－4=－2，即2a＋b=－3．又由f(x)=x3＋ax2＋bx－4，得f′(x)=3x2＋2ax＋b，而由切线y=x－4的斜率可知f′(2)=1，所以12＋4a＋b=1，即4a＋b=－11．由解得所以f(x)=x3－4x2＋5x－4，则f′(x)=3x2－8x＋5=(3x－5)(x－1)．令f′(x)=0，得x=或x=1，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1) 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)的极大值为f(1)=－2，极小值为f=－．
6．(多选)已知函数f(x)=(x2－3)ex，x∈R，则( AB )
A．函数f(x)有且只有2个零点
B．函数f(x)的单调递减区间为(－3，1)
C．函数f(x)存在最大值和最小值
D．若方程f(x)=a有三个实数解，则a∈(－2e，6e－3)
【解析】 由函数f(x)=(x2－3)ex，x∈R，得f′(x)=(x－1)(x＋3)ex，令f′(x)＜0，解得－3＜x＜1；令f′(x)＞0，解得x＜－3或x＞1，所以函数f(x)在(－3，1)上单调递减，在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，且f(－3)=6e－3，f(1)=－2e，当x→－∞时，f(x)→0＋．作出函数y=f(x)的大致图象如图所示，可得A，B正确；f(x)min=f(1)=－2e，无最大值，所以C错误；若方程f(x)=a有三个实数解，即y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点，可得a∈(0，6e－3)，所以D错误．
7．(多选)已知x＞y＞0，则下列不等式正确的有( ACD )
A．ex－ey＞x－y B．ln x－ln y＞x－y
C．ln x≥1－ D．＞
【解析】 设f(x)=ex－x(x＞0)，则f′(x)=ex－1＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又x＞y＞0，所以f(x)＞f(y)，即ex－x＞ey－y，即ex－ey＞x－y，A正确．令x=e，y=1，则ln x－ln y=1，而x－y=e－1，此时ln x－ln y＜x－y，B不正确．设h(x)=ln x－1＋，则h′(x)=－=(x＞0)，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x＞1时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，则h(x)min=h(1)=ln 1－1＋=0，即ln x≥1－，C正确．设g(x)=x·ex(x＞0)，则g′(x)=(x＋1)ex＞0，所以g(x)=x·ex在(0，＋∞)上单调递增，所以由x＞y＞0得x·ex＞y·ey，即＞，D正确．
8．(人A选必二P81习题5)曲线y=在点M(π，0)处的切线方程为__x＋πy－π=0__．
【解析】 由函数的解析式可得y′=，所求切线的斜率k=y′|x=π==－，由于切点坐标为(π，0)，故切线方程为y=－(x－π)，即x＋πy－π=0．
9．(苏教选必一P230复习题13)如图，在半径为常量r、圆心角为变量2θ(0＜2θ＜π)的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，则圆Q半径的最大值为____．
【解析】 设圆P的半径为x，圆Q的半径为y，圆P切OA于E，连接PE，则sinθ=，故x=，同理可得y=(r－2x)=．令sinθ=t，0＜t＜1，则y=r·，y′t=r·．令y′t=0，则t=．经检验知，当t=时，y取得最大值，ymax=，此时sinθ=．即圆Q半径的最大值为，此时sinθ=．
10．若函数f(x)=x3＋x2－1在(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是__［－3，0)__．
【解析】 由题知f′(x)=x2＋2x=x(x＋2)，由f′(x)＞0可得x＜－2或x＞0，由f′(x)＜0可得－2＜x＜0，从而f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的极大值为f(－2)=，极小值为f(0)=－1．作出y=f(x)的大致图象如图所示，注意到f(－3)=－1=f(0)，由图可知，要使函数f(x)在(a，a＋5)上存在最小值，应有－3≤a＜0且a＋5＞0，解得－3≤a＜0．
11．(人A选必二P95例7)给定函数f(x)=(x＋1)ex．
(1) 判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
【解答】 函数f(x)的定义域为R，f′(x)=(x＋2)ex．令f′(x)=0，解得x=－2．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ － ↗
所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．当x=－2时，f(x)有极小值f(－2)=－，无极大值．
(2) 画出函数f(x)的大致图象；
【解答】 令f(x)=0，解得x=－1．当x＜－1时，f(x)＜0；当x＞－1时，f(x)＞0．所以f(x)的图象经过特殊点A，B(－1，0)，C(0，1)．当x→－∞时，f(x)→0；当x→＋∞时，f(x)→＋∞．根据以上信息，画出f(x)的大致图象如图所示．
(3) 求出方程f(x)=a(a∈R)解的个数．
【解答】 方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数．由(1)及图可得，当x=－2时，f(x)取最小值f(－2)=－，所以关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数有如下结论：当a＜－时，方程的解有0个；当a=－或a≥0时，方程的解有1个；当－＜a＜0时，方程的解有2个．
12．(北师选必二P88例4)如图(1)，一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图(2)．所得容器的容积V(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．
图(1)
图(2)
(1) 随着x的变化，容积V是如何变化的？
【解答】 根据题意，可得V=V(x)=(48－2x)2x．由实际情况可知函数V(x)的定义域为{x|0＜x＜24}．根据导数公式表及导数的运算法则，可得V′(x)=－4x(48－2x)＋(48－2x)2=(48－2x)(－6x＋48)=12(x－24)(x－8)．解方程V′(x)=0，得x1=8，x2=24．根据x1，x2列出下表，分析V′(x)的符号、V(x)的单调性和极值点．
x (0，8) 8 (8，24)
V′(x) ＋ 0 －
V(x) ↗ 极大值 ↘
由上表可知，x=8是函数V=V(x)的极大值点，相应的极大值为V=V(8)=(48－16)2×8=8 192(cm3)．V=(48－2x)2x的大致图象如图所示．根据对函数变化规律的讨论可知：当0＜x≤8时，函数V=V(x)单调递增；当8≤x＜24时，函数V=V(x)单调递减．
(2) 截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
【解答】 区间(0，24)上任意点的函数值都不超过V(8)，因此，x=8是函数的最大值点．此时V=V(8)=8 192(cm3)是函数V=V(x)在区间(0，24)上的最大值．即当截去的小正方形的边长为8 cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8 192 cm3．
13．(人A选必二P104复习参考题19)已知函数f(x)=ae2x＋(a－2)ex－x．
(1) 讨论f(x)的单调性；
【解答】 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)=2ae2x＋(a－2)ex－1=(aex－1)(2ex＋1)．①若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．②若a＞0，则由f′(x)=0得x=－ln a，当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
(2) 若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
【解答】 ①若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．②若a＞0，由(1)知，当x=－ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(－ln a)=1－＋ln a．当a=1时，由于f(－ln a)=0，故f(x)只有一个零点．当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln a＞0，即f(－ln a)＞0，故f(x)没有零点．当a∈(0，1)时，1－＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0．又f(－2)=ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－ln a)上有一个零点．设正整数n0满足n0＞ln，则f(n0)=en0(a en0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0．由于ln＞－ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)上有一个零点．
综上，实数a的取值范围为(0，1)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)排查练16 利用导数研究函数的性质
1．(2024·全国甲卷)曲线f(x)=x6＋3x－1在(0，－1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A． B．
C． D．－
2．函数f(x)=x－2ln(2x)的单调递减区间为( )
A．(－∞，1) B．(0，1)
C．(0，2) D．(2，＋∞)
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)≥cos x恒成立，则f(x)≥sin x的解集为( )
A．［－π，＋∞) B．［π，＋∞)
C． D．［0，＋∞)
4．已知函数f(x)=则函数y=f(1－x)的图象大致是( )
A B C D
5．(多选)已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx－4在点P(2，f(2))处的切线方程为y=x－4，则下列说法正确的是( )
A．a=－2 B．b=5
C．极大值为－2 D．极小值为－
6．(多选)已知函数f(x)=(x2－3)ex，x∈R，则( )
A．函数f(x)有且只有2个零点
B．函数f(x)的单调递减区间为(－3，1)
C．函数f(x)存在最大值和最小值
D．若方程f(x)=a有三个实数解，则a∈(－2e，6e－3)
7．(多选)已知x＞y＞0，则下列不等式正确的有( )
A．ex－ey＞x－y B．ln x－ln y＞x－y
C．ln x≥1－ D．＞
8．(人A选必二P81习题5)曲线y=在点M(π，0)处的切线方程为____．
9．(苏教选必一P230复习题13)如图，在半径为常量r、圆心角为变量2θ(0＜2θ＜π)的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，则圆Q半径的最大值为____．
10．若函数f(x)=x3＋x2－1在(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是____．
11．(人A选必二P95例7)给定函数f(x)=(x＋1)ex．
(1) 判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
(2) 画出函数f(x)的大致图象；
(3) 求出方程f(x)=a(a∈R)解的个数．
12．(北师选必二P88例4)如图(1)，一边长为48 cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图(2)．所得容器的容积V(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单位：cm)的函数．
图(1)
图(2)
(1) 随着x的变化，容积V是如何变化的？
(2) 截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
13．(人A选必二P104复习参考题19)已知函数f(x)=ae2x＋(a－2)ex－x．
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
