考点回放
一、 不等式
1. 二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a＞0)、不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c≤0(a＞0)的解的对应关系
判别式Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1=x2=－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c≤0的解集 ［x1，x2］ {x1}
2. 一元二次不等式的恒成立问题
(1) ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是________．
(2) ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是________．
如：若对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是_______．
3. 基本不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≤(a≥0，b≥0)；变式：ab≤2≤(a，b∈R)，以上不等式当且仅当a=b时等号成立．
如：已知x＞0，y＞0，且4x＋2y－xy=0，则2x＋y的最小值为____．
二、 集合与简易逻辑
1. 常用数集的符号表示：自然数集_______；正整数集________；整数集_______；有理数集_______；实数集_______．
2. 注意区分集合中元素的形式，如：
A={x|y=x2－1}表示_______；
B={y|y=x2－1}表示________；
C={(x，y)|y=x2－1}表示_________；
D=表示_________．
3. 空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集．
(1) 注意{0}、 和{ }的区别：
{0}表示_________； 表示________；{ }表示__________．
(2) 注意：当条件为A B时，在讨论的时候不要遗忘了A= 的情况．
如：A={x|1≤ax≤2}，B={x|x2－2x－3≤0}，若A B，则a的取值范围为________．
4. 含n个元素的集合的子集个数为________；真子集个数为_______．
5. 若p q且qp，则q的一个________条件是p．
6. 全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为存在量词命题：_______．
(2)存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为全称量词命题：_______．
(3)命题与其否定真假相反．
三、 函数
1. 函数的单调性
(1) 单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈［a，b］，且x1≠x2，那么(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＞0 ＞0 f(x)在［a，b］上单调递______________；(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＜0 ＜0 f(x)在［a，b］上单调递_____________．
(2) 若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数．
(3) 复合函数单调性由“同增异减”判定：对于复合函数f［g(x)］，设t=g(x)，若t关于x的单调性与f关于t的单调性相同，f［g(x)］就是x的_______；若t关于x的单调性与f关于t的单调性相异，f［g(x)］就是x的_______．
提醒：求单调区间时要注意定义域；单调性一般用区间表示，不能用集合表示．
如：1)函数y=log(－x2＋2x)的单调递增区间是_______．
2)已知函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是_______．
2. 函数的奇偶性
(1) 函数有奇偶性的必要条件是其定义域关于_______对称．
(2) 若f(x)是偶函数，则f(－x)=_______，在关于原点对称的两个区间上单调性_______；若f(x)是奇函数，则f(－x)=_______，在关于原点对称的两个区间上单调性_______．
如：若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则不等式f(2x)＜f(x－1)的解集为_________．
(3) 定义域包含零的奇函数必满足________．
(4) f(x＋a)是偶函数 f(x＋a)=________．
(5) 若f(x)是偶函数，则f(x＋1)的对称轴是__x=－1__；若f(x＋1)是奇函数，则f(x)的对称中心是__(1，0)__．
3. 函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)=f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足f(x＋a)=，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(x＋a)=－f(x)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
如：若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)=－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)=x－1，则f=________．
4. 函数图象的几种常见变换
(1) 平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；
上下平移——“上加下减”(注意是针对f(x)而言)．
(2) 翻折变换：y=f(x)→y=f(|x|)；y=f(x)→y=|f(x)|．
(3) 伸缩变换(a＞0)：f(x)→f(ax)；f(x)→af(x)．
(4) 对称变换：函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于________对称；函数f(x)的图象与函数－f(x)的图象关于________对称；函数f(x)的图象与函数－f(－x)的图象关于________对称；函数f(x)的图象与它的反函数的图象关于________对称；若函数f(x)满足f(a＋x)=f(b－x)，则f(x)的图象关于________对称；对于两个函数y=f(a＋x)，y=f(b－x)，它们的图象关于直线x=对称(由a＋x=b－x求得)．
如：已知奇函数f(x)满足f(5)=1，且f(x－2)的图象关于x=3对称，则f(1 001)=____________．
5. 指数函数与对数函数的基本性质
(1) 定点：y=ax(a＞0，且a≠1)恒过定点________；y=logax(a＞0，且a≠1)恒过定点_________．
(2) 单调性：当a＞1时，y=ax在R上单调递________，y=logax在(0，＋∞)上单调递________；
当0＜a＜1时，y=ax在R上单调递________，y=logax在(0，＋∞)上单调递________．
注意：(1)y=ax与y=logax的图象关系是_________．
(2) 对数运算法则：________；__________；_________．
(3) loganbm=__________；换底公式：_______；对数恒等式：_______．
如：1) 已知函数f(x)=(x2＋kx＋2)的定义域为R，则k的取值范围为________．
2) 已知函数f(x)= (x2＋kx＋2)的值域为R，则k的取值范围为_________．
四、 导数
1. 导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作y′|x=x0=f′(x0)=．
2. 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)．
如：曲线f(x)=在(0，f(0))处的切线方程为____________．
3. 常见函数的导数公式：C′=________(C为常数)；(xn)′=_______；(sin x)′=_________；(cos x)′=_________；(ax)′=_______；(ex)′=________；(logax)′=_______；(ln x)′=_______．
4. 导数的四则运算法则：
［f(x)＋g(x)］′=__________；［f(x) g(x)］′=_________；
′=__________；［f(g(x))］′=_______．
如：1)［ln(x2－1)］′=________．
2)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造函数h(x)=_______．
3)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)=_________．
4)对于f(x)＋f′(x)＞0，构造函数h(x)=_________．
5)对于f′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)=________．
5. 利用导数判断函数的单调性：
(1) 设函数y=f(x)在某个区间内可导且连续，如果f′(x)＞0，那么f(x)为___________；如果f′(x)＜0，那么f(x)为_________．
(2) 由函数的单调性求参数的取值范围
1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则________恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则________恒成立．
2)若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则_____________在该区间上存在解集．
如：已知函数f(x)=ln x－ax2－2x(a≠0)，若f(x)在［1，4］上单调递减，实数a的取值范围为__________；若f(x)在［1，4］上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为_________．
6. 利用导数求函数极值、最值：
若x=x0是方程f′(x)=0的根，当x＜x0时f′(x)＞0且x＞x0时f′(x)＜0，那么函数y=f(x)在x=x0处取得________值；当x＜x0时f′(x)＜0且x＞x0时f′(x)＞0，那么函数y=f(x)在x=x0处取得_______值；将y=f(x)在［a，b］内的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
如：已知x=2是f(x)=2ln x＋ax2－3x的极值点，则f(x)在上的最大值是__________．
另外，f(x)＞a恒成立 f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立 f(x)max＜a；
f(x)＞a能成立 f(x)max＞a；f(x)＜a能成立 f(x)min＜a．
如：已知函数f(x)=ln x－ax－1，若f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为_________．
五、 三角函数
1. 在半径为r的圆内，弧长为l的圆心角α的弧度数的绝对值|α|=_________；扇形的面积公式为S=___________=___________．
如：已知一扇形的周长为16 cm，则S的最大值为__________cm2，此时扇形圆心角为_________．
2. 诱导公式的记忆可概括为：奇变偶不变，符号看象限．
sin(2kπ＋α)=____sin α，cos(2kπ＋α)=_____cos α，tan(2kπ＋α)=_____tan α；
sin(2π－α)=_____sin α，cos(2π－α)=____cos α，tan(2π－α)=_____tan α；
sin(π＋α)=_____sin α，cos(π＋α)=______cos α，tan(π＋α)=____tan α；
sin(π－α)=_____sin α，cos(π－α)=____cos α，tan(π－α)=_____tan α；
sin(－α)=_____sin α，cos(－α)=____cos α，tan(－α)=____tan α；
sin=_____，cos=______，tan=_____；
sin=_______，cos=_______，tan=______．
如：已知sin＋cos(π－α)=sin α，则2sin2α－sin αcos α=_____．
3. 两角和、差的三角公式
sin(α＋β)=____________；cos(α＋β)=__________；
tan(α＋β)=____________；sin(α－β)=_____________；
cos(α－β)=____________；tan(α－β)=____________．
4. 二倍角公式
sin 2α=__________，tan 2α=_________，
cos 2α=___________=__________=__________．
如：已知sin α=，cos β=，且α，β为锐角，则α＋2β=___________．
5. 降幂公式：sin2α=_____________，cos2α=____________．
6. 辅助角公式：asin x＋bcos x=______________，其中tan φ=___________．
如：将函数f(x)=－sin x＋cos x写成f(x)=Asin(x＋φ)的形式为____________．
7. 三角函数的图象和性质
正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 正切函数y=tan x
图象
定义域 R R
值域 ［－1，1］(有界性) ［－1，1］(有界性) R
零点 {x|x=kπ，k∈π，k∈π，k∈Z}
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 单调递增区间 (k∈Z) ［－π＋2kπ，2kπ］(k∈Z) (k∈Z)
单调递减区间 (k∈Z) ［2kπ，π＋2kπ］(k∈Z)
对称性 对称轴 x=＋kπ(k∈Z) x=kπ(k∈Z)
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
8. 正弦型函数y=Asin(ωx＋φ)(A＞0)
(1) 先平移后伸缩：
y=sin xy=siny=siny=sin
(2) 先伸缩后平移：
y=sin xy=sin 2xy=siny=sin
如：已知函数f(x)=2sin，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)在［0，2π］上的单调递减区间为_____________．
9. 解斜三角形
(1) 正弦定理：____________=2R(R为△ABC外接圆的半径)．
(2) 余弦定理：a2=____________，b2=_____________，c2=_____________．
(3) 面积公式：S△ABC=____________=____________=___________．
S△ABC===r p，其中p=(a＋b＋c)，R，r分别为△ABC的外接圆和内切圆的半径．
如：在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则=____________．
10. 常用的三角换元
如：在圆x2＋y2=a2中，可设x=acos θ，y=asin θ；在椭圆＋=1中，可设x=acos θ，y=bsin θ．
六、 数列
1. an和Sn之间的关系：an= (如若a1也适合n≥2时的表达式，则统一成一种形式)．
如：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2n＋2－3，则an=．
2. 等差数列、等比数列的性质
等差数列 等比数列
求和公式 Sn=__d__ 当q=1时，Sn=__________； 当q≠1时，Sn=___________
性质 若m＋n=p＋q，则___________； 若m＋n=2p，则___________； Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列 若m＋n=p＋q，则___________； 若m＋n=2p，则___________； Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列
3. 根据数列递推公式求通项
(1) 累加法，如：已知{an}中a1=1，an＋1=an＋3n，则an=__________．
(2) 累乘法，如：已知{an}中a1=2，an＋1=an，则an=__________．
(3) an＋1=pan＋q(p，q为常数)型：设an＋1＋x=p(an＋x)，得到x=，则为等比数列．
如：已知a1=1，an＋1=2an＋5，则an=__________．
(4) an＋1=pan＋qn(p，q为常数)型：两边同时除以qn＋1，得= ＋，令bn=，转化为bn＋1=bn＋，再用(3)法解决．
4. 常用结论
(1) 1＋2＋3＋…＋n=．(2) 1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2.
(3) 12＋22＋32＋…＋n2=n(n＋1)(2n＋1)．(4) 13＋23＋33＋…＋n3=2.
(5) 裂项相消法：an==_________；an==__________；an==_________(a≠1)；an==__________；an==_________；an=(－1)n=___________．
七、 平面向量
1. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)．
(1) |a|=__________．(2) a∥b(b≠0) __________．(3) a⊥b __________．
(4) a b=_________=_________．(5) cos〈a，b〉=_________．
如：已知向量a=(2，m)，b=(3，1)，若a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是_________．
2. 向量b在a上的投影向量为_________．
如：已知向量a，b满足|a＋b|=|a－b|，则a＋b在a上的投影向量为_________．
3. 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
(1) 若P(x，y)为线段P1P2的中点，则x=_________，y=_________．
(2) 若P(x，y)为直线P1P2上的一点，且=λ，则x=_________，y=_________．
(3) P1，P，P2三点共线 存在实数λ，μ使得=λ＋μ，其中_________．
如：在△ABC中，M是BC的中点，点N满足=，AM与CN交于点D，=λ，则λ=_________．
4. △ABC中向量性质：
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为_________．
(2) ＋=2 P为_________．
(3) ＋＋=0 P为_________．
(4) = = P为__________．
八、 直线和圆的方程
1. 直线的两种位置关系
(1) 当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
1) 两直线平行：l1∥l2 _________．
2) 两直线垂直：l1⊥l2 _________．
如：已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3=0，l2：2x＋ay－1=0，若l1⊥l2，则实数a的值是_________．
(2) 直线方程一般式是Ax＋By＋C=0.
1) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1∥l2 _________．
2) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1⊥l2 _________．
2. 三种距离公式
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|=____．
(2) 已知直线方程为Ax＋By＋C=0(A2＋B2≠0)，则点P(x0，y0)到直线的距离d=____________．
(3) 两平行线l1：Ax＋By＋C1=0，l2：Ax＋By＋C2=0(A2＋B2≠0)间的距离d=__________．
3. 圆的方程
(1) 以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为_________．
(2) 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0中圆心为____________，半径为______________．
(3) 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为_____________．
4. 圆的切线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为_____________．
(2) 过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为_____________．
5. 圆的弦所在直线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为_____________；过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为______________．
(2) 相交两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0的公共弦所在的直线方程为_____________．
如：圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24=0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8=0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为____________．
九、 圆锥曲线方程
1. 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|=2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||=2a(2a＜|F1F2|) |PF|=|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 =1(a＞b＞0) =1(a＞0，b＞0) y2=2px(p＞0)
图形
几 何 性 质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±a，0) (0，0)
对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e=(0＜e＜1) e=(e＞1) e=1
准线 x=± x=± x=－
渐近线 y=±x
如：1) 已知椭圆＋=1的两个焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为____________．
2) 已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_____________．
2. 斜率为k的直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|==_______________．
3. 抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：
(1) |AB|=x1＋x2＋p．(2) x1x2=_____________，y1y2=____________．(3) ＋=____________．
4. 圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．
在椭圆＋=1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=____________；在双曲线－=1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=____________；在抛物线y2=2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=__________．
5. 过椭圆＋=1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)的切线方程为______________；过椭圆＋=1(a＞b＞0)外一点P(x0，y0)作两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为____________．
十、 直线、平面、简单几何体
1. 证明直线与平面平行的常用方法：
(1) 利用线面平行的定义(无公共点)．
(2) 利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
2. 证明平面与平面平行的常用方法：
(1) 面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2) 面面平行的判定定理(a β，b β，a b=P，a∥α，b∥α β∥α，这是主要方法)．
(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．
(4) 利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
3. 证明直线与平面垂直的常用方法：
(1) 线面垂直的判定定理(l⊥a，l⊥b，a α，b α，a b=P l⊥α)．
(2) 面面垂直的性质定理(α⊥β，α β=l，a α，l⊥a a⊥β)．
(3) 性质：a∥b，b⊥α a⊥α；α∥β，a⊥β a⊥α．
4. 证明平面与平面垂直的常用方法：
(1) 定义法：判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2) 定理法：证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直解决．
5. 空间角的求法：
(1) 异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角．
异面直线所成角的范围：_____________．
设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角的余弦为______________．
(2) 线面所成的角：斜线与它在平面内的投影所成的角．
斜线与平面所成角的范围：____________．
设a是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角的正弦为____________．
(3) 二面角
二面角大小的范围：_____________．
面面夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
设n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面的法向量，则二面角α－l－β的平面角θ的余弦的绝对值为|cos θ|=____________．
6. 距离的求法：
(1) 点线距：设e是直线l的方向向量，A是l上一点，则点P到直线l的距离为d=_____________．
(2) 点面距：设n是平面α的法向量，A是α外一点，在α内取一点B，则A到α的距离d=_____________．
7. 多面体
棱柱：
(1) 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱；
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．
(2) 性质：1) 侧面都是平行四边形；
2) 两底面是全等多边形；
3) 平行于底面的截面和底面全等，对角面是平行四边形；
4) 长方体一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
棱锥：
定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
正棱锥：底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥叫做正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥叫正四面体．
8. 立体几何中的表面积和体积公式
(1) 表面积公式
S圆柱侧=_____________，S圆锥侧=____________，S圆台侧=____________，S球=____________．
如：已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为____________cm．
(2) 体积公式
V柱体=Sh(S为底面积，h为高)，V锥体=Sh(S为底面积，h为高)，
V台体=_____________，V球=______________．
如：正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为______________．
十一、 排列组合和二项式定理
1. 排列数公式：=n(n－1) … (n－m＋1)=(m≤n，m，n∈N*)，当m=n时为全排列=n!．
2. 组合数公式：==(m≤n)，==___．
3. 二项式定理：(a＋b)n=an＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn(n∈N*)．
(1) 展开式共有__________项，其中(r=0，1，2，…，n)叫做____________系数，an－rbr叫做二项式的__________，即展开式的第_________项．
(2) 二项式系数具有下列性质：与首末两端等距离的二项式系数相等，即=；展开式正中间的二项式系数最大；＋＋＋…＋=____________；＋＋…=＋＋…=____________．
特别提醒：二项式的展开式的项的系数与二项式系数是不同的两个概念，如在(ax＋b)n的展开式中，第r＋1项的二项式系数为，第r＋1项的系数为an－rbr．
十二、 概率与统计
1. 用样本估计总体
(1) 众数：出现次数最多的数．
(2) 中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数．若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数．用频率分布直方图来估计中位数时，该数两侧面积相等．
(3) 第p百分位数
计算步骤：
第1步，按____________的顺序排列原始的n个数据；
第2步，计算i=____________；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第____________项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第j项数据的____________．
(4) 分层随机抽样的均值与方差
设两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的均值为=_____________，方差为s2=______________．
2. 概率的计算公式
(1) 古典概型的概率计算公式：P(A)=．
(2) 互斥事件的概率计算公式：P(A B)=______________．
(3) 独立事件的概率计算公式：P(AB)=____________，这也是两个事件是否独立的判定方法．
(4) 对立事件的概率计算公式：P()=____________．
(5) 条件概率公式：P(B|A)=_____________；
概率的乘法公式：P(AB)=_____________；
全概率公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1 A2 … An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)=______________．
3. 离散型随机变量的分布列：
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
1) 期望(又称均值)E(ξ)=x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…．
2) 方差D(ξ)=［x1－E(ξ)］2p1＋［x2－E(ξ)］2p2＋…＋［xn－E(ξ)］2pn＋…．
3) 标准差δ(ξ)=．
4) E(a(ξ)＋b)=aE(ξ)＋b；D(a(ξ)＋b)=a2D(ξ)．
4. 二项分布：在n次试验中，每次发生的概率为p，满足P(ξ=k)=pk(1－p)n－k，则称随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B(n，p)，则E(ξ)=____________，D(ξ)=____________．
5. 正态总体的概率密度函数：f(x)=，x∈R，式中μ，σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
6. (1) 经验回归方程=x＋必过样本点的中心____________．
(2) 样本相关系数r具有如下性质：
1) |r|≤1；
2) |r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
3) |r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱．
7. 2×2列联表的独立性检验：χ2=，n=a＋b＋c＋d．
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考点回放
一、 不等式
1．二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a＞0)、不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c≤0(a＞0)的解的对应关系
判别式Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c≤0的解集 ［x1，x2］ {x1}
［1，3］
16
N
N*或N＋
Z
Q
R
R
{y|y≥－1}
二次函数图象上的点的集合
{x|x≤0或x≥4}
3．空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集．
(1) 注意{0}、 和{ }的区别：
{0}表示________________________； 表示_______；
{ }表示_________________________．
(2) 注意：当条件为A B时，在讨论的时候不要遗忘了A= 的情况．
如：A={x|1≤ax≤2}，B={x|x2－2x－3≤0}，若A B，则a的取值范围为
_________________________．
含有元素0的单元素集合
空集
含有元素 的单元素集合
4．含n个元素的集合的子集个数为_____；真子集个数为________．
5．若p q且q p，则q的一个_____________条件是p．
6．全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为存在量词命题：_________________．
(2)存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为全称量词命题：_________________．
(3)命题与其否定真假相反．
2n
2n－1
充分不必要
x∈M，﹁p(x)
x∈M，﹁p(x)
增
减
增函数
减函数
［1，2)
2．函数的奇偶性
(1) 函数有奇偶性的必要条件是其定义域关于_______对称．
(2) 若f(x)是偶函数，则f(－x)=_______，在关于原点对称的两个区间上单调性_______；若f(x)是奇函数，则f(－x)=_________，在关于原点对称的两个区间上单调性_______．
如：若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则不等式f(2x)＜f(x－1)的解集为______．
(3) 定义域包含零的奇函数必满足__________．
(4) f(x＋a)是偶函数 f(x＋a)=____________．
(5) 若f(x)是偶函数，则f(x＋1)的对称轴是_________；若f(x＋1)是奇函数，则f(x)的对称中心是_________．
原点
f(x)
相反
－f(x)
相同
f(0)=0
f(－x＋a)
x=－1
(1，0)
y轴
x轴
原点
y=x
1
5．指数函数与对数函数的基本性质
(1) 定点：y=ax(a＞0，且a≠1)恒过定点_________；y=logax(a＞0，且a≠1)恒过定点_________．
(2) 单调性：当a＞1时，y=ax在R上单调递_____，y=logax在(0，＋∞)上单调递_____；
当0＜a＜1时，y=ax在R上单调递_____，y=logax在(0，＋∞)上单调递_____．
(0，1)
(1，0)
增
增
减
减
关于直线y=x对称
logaM＋logaN=loga(MN)
logaNn=nlogaN
alogaN=N
y=3x－2
0
nxn－1
cos x
－sin x
axln a
ex
f′(x)＋g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
如：1)［ln(x2－1)］′=_______．
2)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造函数h(x)=______．
3)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)=______．
4)对于f(x)＋f′(x)＞0，构造函数h(x)=_________．
5)对于f′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)=________．
xf(x)
exf(x)
增函数
减函数
f′(x)≥0
f′(x)≤0
f′(x)＞0
f′(x)＜0
(－1，0) (0，＋∞)
极大
极小
五、 三角函数
1．在半径为r的圆内，弧长为l的圆心角α的弧度数的绝对值|α|=_____；扇形的面积公式为S=_______=_______．
如：已知一扇形的周长为16 cm，则S的最大值为___cm2，此时扇形圆心角为___．
16
2
＋
＋
＋
－
＋
－
－
－
＋
＋
－
－
－
＋
－
cos α
sin α
－cos α
－sin α
2
3．两角和、差的三角公式
sin(α＋β)=________________________；
cos(α＋β)=_______________________；
tan(α＋β)=________________；
sin(α－β)=_______________________；
cos(α－β)=_______________________；
tan(α－β)=________________．
sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
cos αcos β＋sin αsin β
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
7．三角函数的图象和性质
正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 正切函数y=tan x
图象
定义域 R R
值域 ［－1，1］(有界性) ［－1，1］(有界性) R
零点 {x|x=kπ，k∈Z} {x|x=kπ，k∈Z}
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 正切函数y=tan x
单调性 单调递增区间 ［－π＋2kπ，2kπ］(k∈Z)
单调递减区间 ［2kπ，π＋2kπ］(k∈Z)
对称性 对称轴 x=kπ(k∈Z)
对称中心 (kπ，0)(k∈Z)
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
≥
2．等差数列、等比数列的性质
等差数列 等比数列
求和公式 Sn=_________=_________________ 当q=1时，Sn=______；
当q≠1时，Sn=________
性质 若m＋n=p＋q，则________________；
若m＋n=2p，则______________；
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列 若m＋n=p＋q，则___________；
若m＋n=2p，则___________；
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列
na1
am＋an=ap＋aq
am＋an=2ap
am an=ap aq
2n
3×2n－5
七、 平面向量
1．设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)．
(1) |a|=_________．(2) a∥b(b≠0) _____________．(3) a⊥b ______________．
(4) a b=____________=___________．
(5) cos〈a，b〉=________________．
如：已知向量a=(2，m)，b=(3，1)，若a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是
_____________________．
2．向量b在a上的投影向量为______．
如：已知向量a，b满足|a＋b|=|a－b|，则a＋b在a上的投影向量为____．
x1y2－x2y1=0
x1x2＋y1y2=0
|a||b| cos θ
x1x2＋y1y2
a
λ＋μ=1
BC的中点
重心
垂心
八、 直线和圆的方程
1．直线的两种位置关系
(1) 当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
1) 两直线平行：l1∥l2 _________．
2) 两直线垂直：l1⊥l2 ____________．
如：已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3=0，l2：2x＋ay－1=0，若l1⊥l2，则实数a的值是_________．
(2) 直线方程一般式是Ax＋By＋C=0.
1) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，
则l1∥l2 _______________________________．
2) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1⊥l2 ________________．
k1=k2
k1k2=－1
0或－1
A1B2－B1A2=0且A1C2－A2C1≠0
A1A2＋B1B2=0
2．三种距离公式
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|=________________________．
(2) 已知直线方程为Ax＋By＋C=0(A2＋B2≠0)，则点P(x0，y0)到直线的距离
d=_______________．
(3) 两平行线l1：Ax＋By＋C1=0，l2：Ax＋By＋C2=0(A2＋B2≠0)间的距离
d=____________．
3．圆的方程
(1) 以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为__________________．
(2) 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0中圆心为____________，
半径为____________．
(3) 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为_____________________________．
4．圆的切线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为_____________．
(2) 过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为____________________________．
(x－a)2＋(y－b)2=r2
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0
x0x＋y0y=r2
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)=r2
5．圆的弦所在直线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为_______________；过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为_____________________________．
(2) 相交两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0的公共弦所在的直线方程为____________________________________．
如：圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24=0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8=0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为______．
x0x＋y0y=r2
(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)=r2
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0
x－2y＋4=0
九、 圆锥曲线方程
1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|=2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||=2a(2a＜|F1F2|) |PF|=|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 y2=2px(p＞0)
图形
名称 椭圆 双曲线 抛物线
几
何
性
质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±a，0) (0，0)
对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e=1
准线
渐近线
8
－p2
十、 直线、平面、简单几何体
1．证明直线与平面平行的常用方法：
(1) 利用线面平行的定义(无公共点)．
(2) 利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
2．证明平面与平面平行的常用方法：
(1) 面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2) 面面平行的判定定理(a β，b β，a b=P，a∥α，b∥α β∥α，这是主要方法)．
(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．
(4) 利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
3．证明直线与平面垂直的常用方法：
(1) 线面垂直的判定定理(l⊥a，l⊥b，a α，b α，a b=P l⊥α)．
(2) 面面垂直的性质定理(α⊥β，α β=l，a α，l⊥a a⊥β)．
(3) 性质：a∥b，b⊥α a⊥α；α∥β，a⊥β a⊥α．
4．证明平面与平面垂直的常用方法：
(1) 定义法：判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2) 定理法：证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直解决．
5．空间角的求法：
(1) 异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角．
异面直线所成角的范围：________．
设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角的余弦为_____．
(2) 线面所成的角：斜线与它在平面内的投影所成的角．
斜线与平面所成角的范围：_______．
设a是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角的正弦为______．
(3) 二面角
二面角大小的范围：___________．
面面夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
设n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面的法向量，则二面角α－l－β的平面角θ的余弦的绝对值为|cos θ|=_______．
6．距离的求法：
(1) 点线距：设e是直线l的方向向量，A是l上一点，则点P到直线l的距离为d=_________________．
(2) 点面距：设n是平面α的法向量，A是α外一点，在α内取一点B，则A到α的距离
d=_______．
［0，π］
(2) 性质：1) 侧面都是平行四边形；
2) 两底面是全等多边形；
3) 平行于底面的截面和底面全等，对角面是平行四边形；
4) 长方体一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
棱锥：
定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
正棱锥：底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥叫做正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥叫正四面体．
2πrl
πrl
π(r＋R)l
4πR2
2
1
n＋1
二项式
展开式通项
r＋1
2n
2n－1
十二、 概率与统计
1．用样本估计总体
(1) 众数：出现次数最多的数．
(2) 中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数．若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数．用频率分布直方图来估计中位数时，该数两侧面积相等．
(3) 第p百分位数
计算步骤：
第1步，按___________的顺序排列原始的n个数据；
第2步，计算i=_________；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第____项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第j项数据的_________．
从小到大
n×p%
j
平均数
P(A)＋P(B)
P(A)P(B)
1－P(A)
P(A)P(B|A)
3．离散型随机变量的分布列：
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
np
np(1－p)考点回放
一、 不等式
1. 二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)与一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a＞0)、不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c≤0(a＞0)的解的对应关系
判别式Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1=x2=－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R
ax2＋bx＋c≤0的解集 ［x1，x2］ {x1}
2. 一元二次不等式的恒成立问题
(1) ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是____．
(2) ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是____．
如：若对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是__［1，3］__．
3. 基本不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；≤(a≥0，b≥0)；变式：ab≤2≤(a，b∈R)，以上不等式当且仅当a=b时等号成立．
如：已知x＞0，y＞0，且4x＋2y－xy=0，则2x＋y的最小值为__16__．
二、 集合与简易逻辑
1. 常用数集的符号表示：自然数集__N__；正整数集__N*或N＋__；整数集__Z__；有理数集__Q__；实数集__R__．
2. 注意区分集合中元素的形式，如：
A={x|y=x2－1}表示__R__；
B={y|y=x2－1}表示__{y|y≥－1}__；
C={(x，y)|y=x2－1}表示__二次函数图象上的点的集合__；
D=表示__{x|x≤0或x≥4}__．
3. 空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集．
(1) 注意{0}、 和{ }的区别：
{0}表示__含有元素0的单元素集合__； 表示__空集__；{ }表示__含有元素 的单元素集合__．
(2) 注意：当条件为A B时，在讨论的时候不要遗忘了A= 的情况．
如：A={x|1≤ax≤2}，B={x|x2－2x－3≤0}，若A B，则a的取值范围为____．
4. 含n个元素的集合的子集个数为__2n__；真子集个数为__2n－1__．
5. 若p q且qp，则q的一个__充分不必要__条件是p．
6. 全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为存在量词命题：__ x∈M，﹁p(x)__．
(2)存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定为全称量词命题：__ x∈M，﹁p(x)__．
(3)命题与其否定真假相反．
三、 函数
1. 函数的单调性
(1) 单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈［a，b］，且x1≠x2，那么(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＞0 ＞0 f(x)在［a，b］上单调递__增__；(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］＜0 ＜0 f(x)在［a，b］上单调递__减__．
(2) 若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数．
(3) 复合函数单调性由“同增异减”判定：对于复合函数f［g(x)］，设t=g(x)，若t关于x的单调性与f关于t的单调性相同，f［g(x)］就是x的__增函数__；若t关于x的单调性与f关于t的单调性相异，f［g(x)］就是x的__减函数__．
提醒：求单调区间时要注意定义域；单调性一般用区间表示，不能用集合表示．
如：1)函数y=log(－x2＋2x)的单调递增区间是__［1，2)__．
2)已知函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是____．
2. 函数的奇偶性
(1) 函数有奇偶性的必要条件是其定义域关于__原点__对称．
(2) 若f(x)是偶函数，则f(－x)=__f(x)__，在关于原点对称的两个区间上单调性__相反__；若f(x)是奇函数，则f(－x)=__－f(x)__，在关于原点对称的两个区间上单调性__相同__．
如：若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则不等式f(2x)＜f(x－1)的解集为____．
(3) 定义域包含零的奇函数必满足__f(0)=0__．
(4) f(x＋a)是偶函数 f(x＋a)=__f(－x＋a)__．
(5) 若f(x)是偶函数，则f(x＋1)的对称轴是__x=－1__；若f(x＋1)是奇函数，则f(x)的对称中心是__(1，0)__．
3. 函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)=f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)若函数f(x)满足f(x＋a)=，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(x＋a)=－f(x)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
如：若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)=－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)=x－1，则f=__－__．
4. 函数图象的几种常见变换
(1) 平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；
上下平移——“上加下减”(注意是针对f(x)而言)．
(2) 翻折变换：y=f(x)→y=f(|x|)；y=f(x)→y=|f(x)|．
(3) 伸缩变换(a＞0)：f(x)→f(ax)；f(x)→af(x)．
(4) 对称变换：函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于__y轴__对称；函数f(x)的图象与函数－f(x)的图象关于__x轴__对称；函数f(x)的图象与函数－f(－x)的图象关于__原点__对称；函数f(x)的图象与它的反函数的图象关于__y=x__对称；若函数f(x)满足f(a＋x)=f(b－x)，则f(x)的图象关于__x=__对称；对于两个函数y=f(a＋x)，y=f(b－x)，它们的图象关于直线x=对称(由a＋x=b－x求得)．
如：已知奇函数f(x)满足f(5)=1，且f(x－2)的图象关于x=3对称，则f(1 001)=__1__．
5. 指数函数与对数函数的基本性质
(1) 定点：y=ax(a＞0，且a≠1)恒过定点__(0，1)__；y=logax(a＞0，且a≠1)恒过定点__(1，0)__．
(2) 单调性：当a＞1时，y=ax在R上单调递__增__，y=logax在(0，＋∞)上单调递__增__；
当0＜a＜1时，y=ax在R上单调递__减__，y=logax在(0，＋∞)上单调递__减__．
注意：(1)y=ax与y=logax的图象关系是__关于直线y=x对称__．
(2) 对数运算法则：__logaM＋logaN=loga(MN)__；__logaM－logaN=loga__；__logaNn=nlogaN__．
(3) loganbm=__logab__；换底公式：__logab=__；对数恒等式：__alogaN=N__．
如：1) 已知函数f(x)=(x2＋kx＋2)的定义域为R，则k的取值范围为__(－2，2)__．
2) 已知函数f(x)= (x2＋kx＋2)的值域为R，则k的取值范围为__(－∞，－2］ ［2，＋∞)__．
四、 导数
1. 导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作y′|x=x0=f′(x0)=．
2. 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，切线方程为y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)．
如：曲线f(x)=在(0，f(0))处的切线方程为__y=3x－2__．
3. 常见函数的导数公式：C′=__0__(C为常数)；(xn)′=__nxn－1__；(sin x)′=__cos x__；(cos x)′=__－sin x__；(ax)′=__axln a__；(ex)′=__ex__；(logax)′=____；(ln x)′=____．
4. 导数的四则运算法则：
［f(x)＋g(x)］′=__f′(x)＋g′(x)__；［f(x) g(x)］′=__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__；
′=____；
［f(g(x))］′=f′(g(x)) g′(x)．
如：1)［ln(x2－1)］′=____．
2)对于xf′(x)＋f(x)＞0，构造函数h(x)=__xf(x)__．
3)对于xf′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)=____．
4)对于f(x)＋f′(x)＞0，构造函数h(x)=__exf(x)__．
5)对于f′(x)－f(x)＞0，构造函数h(x)=____．
5. 利用导数判断函数的单调性：
(1) 设函数y=f(x)在某个区间内可导且连续，如果f′(x)＞0，那么f(x)为__增函数__；如果f′(x)＜0，那么f(x)为__减函数__．
(2) 由函数的单调性求参数的取值范围
1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则__f′(x)≥0__恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则__f′(x)≤0__恒成立．
2)若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，则__f′(x)＞0__(__f′(x)＜0__)在该区间上存在解集．
如：已知函数f(x)=ln x－ax2－2x(a≠0)，若f(x)在［1，4］上单调递减，实数a的取值范围为__ (0，＋∞)__；若f(x)在［1，4］上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为__(－1，0) (0，＋∞)__．
6. 利用导数求函数极值、最值：
若x=x0是方程f′(x)=0的根，当x＜x0时f′(x)＞0且x＞x0时f′(x)＜0，那么函数y=f(x)在x=x0处取得__极大__值；当x＜x0时f′(x)＜0且x＞x0时f′(x)＞0，那么函数y=f(x)在x=x0处取得__极小__值；将y=f(x)在［a，b］内的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
如：已知x=2是f(x)=2ln x＋ax2－3x的极值点，则f(x)在上的最大值是__2ln 3－__．
另外，f(x)＞a恒成立 f(x)min＞a；f(x)＜a恒成立 f(x)max＜a；
f(x)＞a能成立 f(x)max＞a；f(x)＜a能成立 f(x)min＜a．
如：已知函数f(x)=ln x－ax－1，若f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为____．
五、 三角函数
1. 在半径为r的圆内，弧长为l的圆心角α的弧度数的绝对值|α|=____；扇形的面积公式为S=__lr__=__|α|r2__．
如：已知一扇形的周长为16 cm，则S的最大值为__16__cm2，此时扇形圆心角为__2__．
2. 诱导公式的记忆可概括为：奇变偶不变，符号看象限．
sin(2kπ＋α)=__＋__sin α，cos(2kπ＋α)=__＋__cos α，tan(2kπ＋α)=__＋__tan α；
sin(2π－α)=__－__sin α，cos(2π－α)=__＋__cos α，tan(2π－α)=__－__tan α；
sin(π＋α)=__－__sin α，cos(π＋α)=__－__cos α，tan(π＋α)=__＋__tan α；
sin(π－α)=__＋__sin α，cos(π－α)=__－__cos α，tan(π－α)=__－__tan α；
sin(－α)=__－__sin α，cos(－α)=__＋__cos α，tan(－α)=__－__tan α；
sin=__cos α__，cos=__sin α__，tan=____；
sin=__－cos α__，cos=__－sin α__，tan=____．
如：已知sin＋cos(π－α)=sin α，则2sin2α－sin αcos α=__2__．
3. 两角和、差的三角公式
sin(α＋β)=__sin αcos β＋cos αsin β__；cos(α＋β)=__cos αcos β－sin αsin β__；
tan(α＋β)=____；sin(α－β)=__sin αcos β－cos αsin β__；
cos(α－β)=__cos αcos β＋sin αsin β__；tan(α－β)=____．
4. 二倍角公式
sin 2α=__2sin αcos α__，tan 2α=____，cos 2α=__cos2α－sin2α__=__2cos2α－1__=__1－2sin2α__．
如：已知sin α=，cos β=，且α，β为锐角，则α＋2β=____．
5. 降幂公式：sin2α=____，cos2α=____．
6. 辅助角公式：asin x＋bcos x=__sin(x＋φ)__，其中tan φ=____．
如：将函数f(x)=－sin x＋cos x写成f(x)=Asin(x＋φ)的形式为__2sin__．
7. 三角函数的图象和性质
正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 正切函数y=tan x
图象
定义域 R R
值域 ［－1，1］(有界性) ［－1，1］(有界性) R
零点 {x|x=kπ，k∈π，k∈π，k∈Z}
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 单调递增区间 (k∈Z) ［－π＋2kπ，2kπ］(k∈Z) (k∈Z)
单调递减区间 (k∈Z) ［2kπ，π＋2kπ］(k∈Z)
对称性 对称轴 x=＋kπ(k∈Z) x=kπ(k∈Z)
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
8. 正弦型函数y=Asin(ωx＋φ)(A＞0)
(1) 先平移后伸缩：
y=sin xy=siny=siny=sin
(2) 先伸缩后平移：
y=sin xy=sin 2xy=siny=sin
如：已知函数f(x)=2sin，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)在［0，2π］上的单调递减区间为____．
9. 解斜三角形
(1) 正弦定理：__==__=2R(R为△ABC外接圆的半径)．
(2) 余弦定理：a2=__b2＋c2－2bccos A__，b2=__a2＋c2－2accos B__，c2=__a2＋b2－2abcos C__．
(3) 面积公式：S△ABC=__bcsin A__=__acsin B__=__absin C__．
S△ABC===r p，其中p=(a＋b＋c)，R，r分别为△ABC的外接圆和内切圆的半径．
如：在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则=____．
10. 常用的三角换元
如：在圆x2＋y2=a2中，可设x=acos θ，y=asin θ；在椭圆＋=1中，可设x=acos θ，y=bsin θ．
六、 数列
1. an和Sn之间的关系：an= (如若a1也适合n≥2时的表达式，则统一成一种形式)．
如：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2n＋2－3，则an=____．
2. 等差数列、等比数列的性质
等差数列 等比数列
求和公式 Sn=__d__ 当q=1时，Sn=__na1__； 当q≠1时，Sn=____
性质 若m＋n=p＋q，则__am＋an=ap＋aq__； 若m＋n=2p，则__am＋an=2ap__； Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列 若m＋n=p＋q，则__am an=ap aq__； 若m＋n=2p，则__am an=__； Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列
3. 根据数列递推公式求通项
(1) 累加法，如：已知{an}中a1=1，an＋1=an＋3n，则an=____．
(2) 累乘法，如：已知{an}中a1=2，an＋1=an，则an=__2n__．
(3) an＋1=pan＋q(p，q为常数)型：设an＋1＋x=p(an＋x)，得到x=，则为等比数列．
如：已知a1=1，an＋1=2an＋5，则an=__3×2n－5__．
(4) an＋1=pan＋qn(p，q为常数)型：两边同时除以qn＋1，得= ＋，令bn=，转化为bn＋1=bn＋，再用(3)法解决．
4. 常用结论
(1) 1＋2＋3＋…＋n=．(2) 1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2.
(3) 12＋22＋32＋…＋n2=n(n＋1)(2n＋1)．(4) 13＋23＋33＋…＋n3=2.
(5) 裂项相消法：an==____；an==__－)__；an==____(a≠1)；an==__－__；an==____；an=(－1)n=__(－1)n__．
七、 平面向量
1. 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)．
(1) |a|=____．(2) a∥b(b≠0) __x1y2－x2y1=0__．(3) a⊥b __x1x2＋y1y2=0__．
(4) a b=__|a||b| cos θ__=__x1x2＋y1y2__．(5) cos〈a，b〉=____．
如：已知向量a=(2，m)，b=(3，1)，若a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是__ __．
2. 向量b在a上的投影向量为__ a__．
如：已知向量a，b满足|a＋b|=|a－b|，则a＋b在a上的投影向量为__a__．
3. 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
(1) 若P(x，y)为线段P1P2的中点，则x=____，y=____．
(2) 若P(x，y)为直线P1P2上的一点，且=λ，则x=____，y=____．
(3) P1，P，P2三点共线 存在实数λ，μ使得=λ＋μ，其中__λ＋μ=1__．
如：在△ABC中，M是BC的中点，点N满足=，AM与CN交于点D，=λ，则λ=____．
4. △ABC中向量性质：
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G的坐标为____．
(2) ＋=2 P为__BC的中点__．
(3) ＋＋=0 P为__重心__．
(4) = = P为__垂心__．
八、 直线和圆的方程
1. 直线的两种位置关系
(1) 当不重合的两条直线l1和l2的斜率都存在时：
1) 两直线平行：l1∥l2 __k1=k2__．
2) 两直线垂直：l1⊥l2 __k1k2=－1__．
如：已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3=0，l2：2x＋ay－1=0，若l1⊥l2，则实数a的值是__0或－1__．
(2) 直线方程一般式是Ax＋By＋C=0.
1) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1∥l2 __A1B2－B1A2=0且A1C2－A2C1≠0__．
2) 若直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1⊥l2 __A1A2＋B1B2=0__．
2. 三种距离公式
(1) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间的距离|AB|=____．
(2) 已知直线方程为Ax＋By＋C=0(A2＋B2≠0)，则点P(x0，y0)到直线的距离d=____．
(3) 两平行线l1：Ax＋By＋C1=0，l2：Ax＋By＋C2=0(A2＋B2≠0)间的距离d=____．
3. 圆的方程
(1) 以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为__(x－a)2＋(y－b)2=r2__．
(2) 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0中圆心为____，半径为____．
(3) 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为__(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0__．
4. 圆的切线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为__x0x＋y0y=r2__．
(2) 过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2上的点P(x0，y0)的切线方程为__(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)=r2__．
5. 圆的弦所在直线方程
(1) 过圆x2＋y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为__x0x＋y0y=r2__；过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为__(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)=r2__．
(2) 相交两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0的公共弦所在的直线方程为__(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0__．
如：圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24=0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8=0的公共弦所在直线的方程为__x－2y＋4=0__，公共弦长为__2__．
九、 圆锥曲线方程
1. 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
定义 |PF1|＋|PF2|=2a(2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||=2a(2a＜|F1F2|) |PF|=|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M
标准方程 =1(a＞b＞0) =1(a＞0，b＞0) y2=2px(p＞0)
图形
几 何 性 质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±a，0) (0，0)
对称性 关于x轴、y轴和原点对称 关于x轴对称
焦点 (±c，0)
轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e=(0＜e＜1) e=(e＞1) e=1
准线 x=± x=± x=－
渐近线 y=±x
如：1) 已知椭圆＋=1的两个焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为__8__．
2) 已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为__2__．
2. 斜率为k的直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|==__|x1－x2|__．
3. 抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：
(1) |AB|=x1＋x2＋p．(2) x1x2=____，y1y2=__－p2__．(3) ＋=____．
4. 圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．
在椭圆＋=1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=__－__；在双曲线－=1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=____；在抛物线y2=2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k=____．
5. 过椭圆＋=1(a＞b＞0)上的点P(x0，y0)的切线方程为__＋=1__；过椭圆＋=1(a＞b＞0)外一点P(x0，y0)作两切线，A，B为切点，则直线AB的方程为__＋=1__．
十、 直线、平面、简单几何体
1. 证明直线与平面平行的常用方法：
(1) 利用线面平行的定义(无公共点)．
(2) 利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3) 利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
2. 证明平面与平面平行的常用方法：
(1) 面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2) 面面平行的判定定理(a β，b β，a b=P，a∥α，b∥α β∥α，这是主要方法)．
(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．
(4) 利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
3. 证明直线与平面垂直的常用方法：
(1) 线面垂直的判定定理(l⊥a，l⊥b，a α，b α，a b=P l⊥α)．
(2) 面面垂直的性质定理(α⊥β，α β=l，a α，l⊥a a⊥β)．
(3) 性质：a∥b，b⊥α a⊥α；α∥β，a⊥β a⊥α．
4. 证明平面与平面垂直的常用方法：
(1) 定义法：判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2) 定理法：证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直解决．
5. 空间角的求法：
(1) 异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角．
异面直线所成角的范围：____．
设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角的余弦为____．
(2) 线面所成的角：斜线与它在平面内的投影所成的角．
斜线与平面所成角的范围：____．
设a是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角的正弦为____．
(3) 二面角
二面角大小的范围：__［0，π］__．
面面夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
设n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面的法向量，则二面角α－l－β的平面角θ的余弦的绝对值为|cos θ|=____．
6. 距离的求法：
(1) 点线距：设e是直线l的方向向量，A是l上一点，则点P到直线l的距离为d=__||sin〈，e〉__．
(2) 点面距：设n是平面α的法向量，A是α外一点，在α内取一点B，则A到α的距离d=____．
7. 多面体
棱柱：
(1) 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱；
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．
(2) 性质：1) 侧面都是平行四边形；
2) 两底面是全等多边形；
3) 平行于底面的截面和底面全等，对角面是平行四边形；
4) 长方体一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
棱锥：
定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
正棱锥：底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥叫做正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥叫正四面体．
8. 立体几何中的表面积和体积公式
(1) 表面积公式
S圆柱侧=__2πrl__，S圆锥侧=__πrl__，S圆台侧=__π(r＋R)l__，S球=__4πR2__．
如：已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为__2__cm．
(2) 体积公式
V柱体=Sh(S为底面积，h为高)，V锥体=Sh(S为底面积，h为高)，
V台体=__(S上＋S下＋)×h__，V球=__πR3__．
如：正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为____．
十一、 排列组合和二项式定理
1. 排列数公式：=n(n－1) … (n－m＋1)=(m≤n，m，n∈N*)，当m=n时为全排列=n!．
2. 组合数公式：==(m≤n)，==__1__．
3. 二项式定理：(a＋b)n=an＋an－1b＋…＋an－rbr＋…＋bn(n∈N*)．
(1) 展开式共有__n＋1__项，其中(r=0，1，2，…，n)叫做__二项式__系数，an－rbr叫做二项式的__展开式通项__，即展开式的第__r＋1__项．
(2) 二项式系数具有下列性质：与首末两端等距离的二项式系数相等，即=；展开式正中间的二项式系数最大；＋＋＋…＋=__2n__；＋＋…=＋＋…=__2n－1__．
特别提醒：二项式的展开式的项的系数与二项式系数是不同的两个概念，如在(ax＋b)n的展开式中，第r＋1项的二项式系数为，第r＋1项的系数为an－rbr．
十二、 概率与统计
1. 用样本估计总体
(1) 众数：出现次数最多的数．
(2) 中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数．若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数．用频率分布直方图来估计中位数时，该数两侧面积相等．
(3) 第p百分位数
计算步骤：
第1步，按__从小到大__的顺序排列原始的n个数据；
第2步，计算i=__n×p%__；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__j__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第j项数据的__平均数__．
(4) 分层随机抽样的均值与方差
设两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的均值为=____，方差为s2=__［＋(－)2］＋［＋(－)2］__．
2. 概率的计算公式
(1) 古典概型的概率计算公式：P(A)=．
(2) 互斥事件的概率计算公式：P(A B)=__P(A)＋P(B)__．
(3) 独立事件的概率计算公式：P(AB)=__P(A)P(B)__，这也是两个事件是否独立的判定方法．
(4) 对立事件的概率计算公式：P()=__1－P(A)__．
(5) 条件概率公式：P(B|A)=____；
概率的乘法公式：P(AB)=__P(A)P(B|A)__；
全概率公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1 A2 … An=Ω，且P(Ai)＞0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)=__)__．
3. 离散型随机变量的分布列：
ξ x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
1) 期望(又称均值)E(ξ)=x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…．
2) 方差D(ξ)=［x1－E(ξ)］2p1＋［x2－E(ξ)］2p2＋…＋［xn－E(ξ)］2pn＋…．
3) 标准差δ(ξ)=．
4) E(a(ξ)＋b)=aE(ξ)＋b；D(a(ξ)＋b)=a2D(ξ)．
4. 二项分布：在n次试验中，每次发生的概率为p，满足P(ξ=k)=pk(1－p)n－k，则称随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B(n，p)，则E(ξ)=__np__，D(ξ)=__np(1－p)__．
5. 正态总体的概率密度函数：f(x)=，x∈R，式中μ，σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
6. (1) 经验回归方程=x＋必过样本点的中心__(，)__．
(2) 样本相关系数r具有如下性质：
1) |r|≤1；
2) |r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
3) |r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱．
7. 2×2列联表的独立性检验：χ2=，n=a＋b＋c＋d．
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