专练2 以数列为主背景的融合与创新题
1．在1和15之间插入m个数，使得这m＋2个数成等差数列．若这m个数中第1个为a，第m个为b，则＋的最小值是( )
A． B．2
C． D．3
2．已知函数f(x)=若数列满足an=f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．
C． D．［2，3)
3．如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成数列1，3，6，10，15，…，则该数列的前10项和为( )
A．66 B．120
C．165 D．220
4．将正整数集N*中所有与15不互素的数去掉，剩下的数按由小到大的顺序排成数列{an}，再按照两项、一项、两项、一项、两项的顺序循环分组(5组为一个周期)：(a1，a2)，(a3)，(a4，a5)，(a6)，(a7，a8)，…，那么2 036在第__ __组( )
A．672 B．679
C．680 D．681
5．(多选)定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等方差数列，这个常数称为该数列的方公差．设数列{an}是由正数组成的等方差数列，方公差为2，且a13=5，则( )
A．数列的前60项和S60=
B．数列的前60项和S60=5
C．数列{}的通项公式是=2n－1
D．数列{}的通项公式是=2n＋1
6．设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且=．设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且=＋λ，则实数λ的值为____．
7．类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列．已知向量列{an}满足 an＋1=2an＋d，且a1·d=|d|=1，则a8·d=____．
8．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2=3，x3－x2=2．
(1) 求数列{xn}的通项公式；
(2) 如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn＋1所围成的区域的面积Tn．
9．欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数．例如：φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(8)=4，φ(9)=6，φ(27)=18．由于正偶数与2n不互素，而所有正奇数与2n互素，且比2n小的正奇数有2n－1个，所以φ(2n)=2n－1．(注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1)
(1) 求φ(6)，φ(10)，φ(3n)的值；
(2) 已知数列{an}满足an=n·φ(3n)，求{an}的前n项和Sn；
(3) 若数列(n∈N*)的前n项和为Tn，对任意的n∈N*，λ·－2n＋3≥0恒成立，求实数λ的取值范围．
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专练2 以数列为主背景的融合与创新题
【解析】
C
【解析】
C
3．如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成数列1，3，6，10，15，…，则该数列的前10项和为 ( )
A．66 B．120
C．165 D．220
【解析】
D
4．将正整数集N*中所有与15不互素的数去掉，剩下的数按由小到大的顺序排成数列{an}，再按照两项、一项、两项、一项、两项的顺序循环分组(5组为一个周期)：(a1，a2)，(a3)，(a4，a5)，(a6)，(a7，a8)，…，那么2 036在第________组 ( )
A．672 B．679 C．680 D．681
【解析】
将正整数集N*中所有与15不互素的数去掉，即将3和5的倍数去掉，那么按照5组为一个周期，分组情况如下：(1，2)，(4)，(7，8)，(11)，(13，14)，(16，17)，(19)，(22，23)，(26)，(28，29)，(31，32)，(34)，(37，38)，(41)，(43，44)，…．
易知11，26，41，…，2 036构成等差数列，公差为15．故2 036为一个周期中的第4组，令2 036＝11＋15(n 1)，解得n＝136，则2 036在第135×5＋4＝679组．
B
【解析】
【答案】BC
【解析】
7．类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列．已知向量列{an}满足 an＋1＝2an＋d，且a1·d＝|d|＝1，则a8·d＝_______．
【解析】
由an＋1·d＝(2an＋d)·d＝2an·d＋d2＝2an·d＋1，得an＋1·d＋1＝2(an·d＋1)．因为a1·d＋1＝2，所以数列{an·d＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an·d＋1＝2n，即an·d＝2n 1，所以a8·d＝28 1＝255．
255
8．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3 x2＝2．
(1) 求数列{xn}的通项公式；
【解答】
8．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3 x2＝2．
(2) 如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2… Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn．
【解答】
9．欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数．例如：φ(1)＝1，φ(2)＝1，φ(3)＝2，φ(4)＝2，φ(8)＝4，φ(9)＝6，φ(27)＝18．由于正偶数与2n不互素，而所有正奇数与2n互素，且比2n小的正奇数有2n 1个，所以φ(2n)＝2n 1．(注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1)
(1) 求φ(6)，φ(10)，φ(3n)的值；
【解答】
因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以φ(6)＝2．
因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1，3，7，9，所以φ(10)＝4．
所有不超过正整数3n的正整数有3n个，其中与3n不互素的正整数有1×3，2×3，3×3，…，3n 1×3，共3n 1个，所以所有不超过正整数3n，且与3n互素的正整数的个数为3n 3n 1＝2×3n 1，即φ(3n)＝2×3n 1．
【解答】
【解答】专练2 以数列为主背景的融合与创新题
1．在1和15之间插入m个数，使得这m＋2个数成等差数列．若这m个数中第1个为a，第m个为b，则＋的最小值是( C )
A． B．2
C． D．3
【解析】 由等差数列的性质可得a＋b=1＋15=16，则＋=(a＋b)=≥(26＋2)=，当且仅当=，即a=，b=时取等号．
2．已知函数f(x)=若数列满足an=f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( C )
A．(1，3) B．
C． D．［2，3)
【解析】 由题意知解得＜a＜3．
3．如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成数列1，3，6，10，15，…，则该数列的前10项和为( D )
A．66 B．120
C．165 D．220
【解析】 由题意可知，前10项分别为，…，，则＋＋＋…＋=＋＋＋…＋=＋＋…＋=…=＋==220，所以前10项的和为220．
4．将正整数集N*中所有与15不互素的数去掉，剩下的数按由小到大的顺序排成数列{an}，再按照两项、一项、两项、一项、两项的顺序循环分组(5组为一个周期)：(a1，a2)，(a3)，(a4，a5)，(a6)，(a7，a8)，…，那么2 036在第__ __组( B )
A．672 B．679
C．680 D．681
【解析】 将正整数集N*中所有与15不互素的数去掉，即将3和5的倍数去掉，那么按照5组为一个周期，分组情况如下：(1，2)，(4)，(7，8)，(11)，(13，14)，(16，17)，(19)，(22，23)，(26)，(28，29)，(31，32)，(34)，(37，38)，(41)，(43，44)，…．易知11，26，41，…，2 036构成等差数列，公差为15．故2 036为一个周期中的第4组，令2 036=11＋15(n－1)，解得n=136，则2 036在第135×5＋4=679组．
5．(多选)定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等方差数列，这个常数称为该数列的方公差．设数列{an}是由正数组成的等方差数列，方公差为2，且a13=5，则( BC )
A．数列的前60项和S60=
B．数列的前60项和S60=5
C．数列{}的通项公式是=2n－1
D．数列{}的通项公式是=2n＋1
【解析】 根据题意，因为{an}是方公差为2的等方差数列，即－=2，所以{}是公差为2的等差数列，所以=＋12×2=52，解得=1，又an＞0，所以a1=1，所以=2n－1，故C正确，D错误．由上可知an=，所以==－)，所以Sn=－)＋－)＋…＋－)=，所以S60==5，故A错误，B正确．
6．设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且=．设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且=＋λ，则实数λ的值为__－__．
【解析】 依题意，B，C，P三点共线，所以＋λ=1，所以λ=1－．依题意得===，所以λ=1－2×=－．
7．类比数列，我们把一系列向量按照一定的顺序排列，可得到向量列．已知向量列{an}满足 an＋1=2an＋d，且a1·d=|d|=1，则a8·d=__255__．
【解析】 由an＋1·d=(2an＋d)·d=2an·d＋d2=2an·d＋1，得an＋1·d＋1=2(an·d＋1)．因为a1·d＋1=2，所以数列{an·d＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an·d＋1=2n，即an·d=2n－1，所以a8·d=28－1=255．
8．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2=3，x3－x2=2．
(1) 求数列{xn}的通项公式；
【解答】 设数列{xn}的公比为q，由已知q＞0，则所以3q2－5q－2=0，因为q＞0，所以q=2，x1=1，因此数列{xn}的通项公式为xn=2n－1．
(2) 如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn＋1所围成的区域的面积Tn．
【解答】 过P1，P2，P3，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q3，…，Qn＋1，由(1)得xn＋1－xn=2n－2n－1=2n－1．记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意得bn=×2n－1=(2n＋1)×2n－2，所以Tn=b1＋b2＋b3＋…＋bn=3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n＋1)×2n－2①，则2Tn=3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1②，①－②得－Tn=3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1=＋－(2n＋1)×2n－1，所以Tn=．
9．欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数．例如：φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(8)=4，φ(9)=6，φ(27)=18．由于正偶数与2n不互素，而所有正奇数与2n互素，且比2n小的正奇数有2n－1个，所以φ(2n)=2n－1．(注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1)
(1) 求φ(6)，φ(10)，φ(3n)的值；
【解答】 因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以φ(6)=2．因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1，3，7，9，所以φ(10)=4．所有不超过正整数3n的正整数有3n个，其中与3n不互素的正整数有1×3，2×3，3×3，…，3n－1×3，共3n－1个，所以所有不超过正整数3n，且与3n互素的正整数的个数为3n－3n－1=2×3n－1，即φ(3n)=2×3n－1．
(2) 已知数列{an}满足an=n·φ(3n)，求{an}的前n项和Sn；
【解答】 由(1)知an=n·φ(3n)=n×3n－1，Sn=1×30＋2×31＋3×32＋…＋(n－1)×3n－2＋n×3n－1，3Sn=1×31＋2×32＋3×33＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，两式相减得－2Sn=1＋31＋32＋33＋…＋3n－1－n×3n=(3n－1)－n×3n，Sn=(2n－1)3n＋．
(3) 若数列(n∈N*)的前n项和为Tn，对任意的n∈N*，λ·－2n＋3≥0恒成立，求实数λ的取值范围．
【解答】 由(2)可知==3n，Tn==×3n－，由λ·－2n＋3≥0，得λ≥×恒成立．令bn=×，则bn＋1－bn=×－×=－．易知b2＞b1；当n＞2时，bn＋1＜bn；当n=2时，bn＋1=bn．所以bn=×的最大值为b2=b3=，故λ的取值范围是．
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